用图像法解追及问题
用图像法解追及问题
用图像法解追及问题（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）1、 t=t 0以前，后面的物体 与前面间的物体间的距 离增大。
2、 t=t 0时，两物体相距最远为x 0 x 。
3、 t=t 0以后，后面的物体 与前面物体韹距离减 小。
4、 能追及且只能相遇一 次。
5、 说明：X o 为在t o 时间内做匀速运动的物体通过 的距离。
（一） 匀 加 速 追 匀 速（三） 匀 加 速 追 匀 减 速t 0t时（二） 匀 速 追 匀 减例题:甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距为x。
甲的初速度（四）匀减速追匀速（五）匀速追匀减速（六）匀减速追匀匀加速II 1 1L■011t 0t2t开始追及时，后面的物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t t o时刻：1、若X X0，则恰能追及，两物体只能相遇一次，这民是避免相撞的临界条件。
2、若X X o，则不能追及，此时两物体有最小距离为X）x。
3、若x x0，则相遇两次，设1时刻治x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇。
为零，加速度为a,做匀加速直线运动。
关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析:设两质点相遇前，它们韹距离为 x ，贝U x !at 22离x 有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。
你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的， 请求出它们间的最小距离；如果不正确, 请说明理由，并作出正确分析。
思维导图:M 在前此加速遇相遇前/两者之间的距离变能相遇是不确定的，这完全取决于两质点点的初始距离x 与v o 、a 之间的大小关系，所以该同学的分析不正确。
变大直到A 点，A 点后，v ?＞ v 乙，距离又变小直到二次相遇；（3）若x2相同速度，甲仍在前，乙在后，还没有相遇，距离还是 x 匹，以后呦＞v 乙，就更不能相遇2a注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）此题也可用解析法：了。
运动图像 追及相遇问题
知识点 1 匀变速直线运动的图像 Ⅱ
1.直线运动的x-t图像 (1)物理意义：反映了物体做直线运动的_位__移__随_时__间__变化的 规律。 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体_速__度__的 大小，斜率正负表示物体_速__度__的方向。
2.直线运动的v-t图像 (1)物理意义：反映了做直线运动的物体的_速__度__随_时__间__变化 的规律。 (2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体_加__速__度__
• 训练.如图所示,A、B两物体相距s=7 m,物体A以 =4 m/s的速度向右匀速运动,而物体B此时的速度 =10 m/s,只在摩擦力作用下向右做匀减速运动,加 速度大小为a=2 m/s2,那么物体A追上物体B所用
的时间为 ( B )--匀速追匀减速，出发点不同
• A.7 s
B.8 s
C.9 s
D.10 s
【拓展例题1】
考查内容
利用图像信息解决实际问题
【全国高考透析】如图所示为汽车刹车痕迹长度s(即刹车
距离)与刹车前车速v(汽车刹车前匀速行驶)的关系图像。
例如,当刹车痕迹长度为40 m时,刹车前车速为80 km/h。
(1)假设刹车时,车轮立即停止转动, 尝试用你学过的知识定量推导 并说明刹车痕迹与刹车前车速 的关系。
2.常见类型
(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题。 (2)两个做匀加速直线运动物体的追及相遇问题。 (3)求追及相遇过程中距离的极值问题。
3.解题思路
用图像法解决追及相遇问题时应把握的三个环节：
环节
基本要求
定量画图时需根据物体在不同阶段的运动情况， 画 图 通过定量计算分阶段、分区间逐一描图
2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题精讲精练 009追及相遇模型+图像法【含答案】
一.模型及图像特征1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．追及相遇问题的两种典型情况(1)速度小者追速度大者类型图像说明匀加速追匀速匀速追匀减速匀加速追匀减速①0～t 0时段，后面物体与前面物体间距离不断增大②t ＝t 0时，两物体相距最远，为x 0＋Δx (x 0为两物体初始距离)③t >t 0时，后面物体追及前面物体的过程中，两物体间距离不断减小④能追上且只能相遇一次(2)速度大者追速度小者类型图像说明匀减速追匀速匀速追匀加速匀减速追匀加速开始追时，两物体间距离为x 0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t ＝t 0时刻：①若Δx ＝x 0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δx <x 0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x 0－Δx③若Δx >x 0，则相遇两次，设t 1时刻Δx 1＝x 0，两物体第一次相遇，则t 2时刻两物体第二次相遇(t 2－t 0＝t 0－t 1)3.追及相遇问题的解题思路及技巧(1)解题思路(2)解题技巧①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
③若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解进行讨论分析。
④紧紧抓住速度相等这个临界点。
⑤遇到此类选择题时，图像法往往是最便捷的解法。
二.例题精讲：例1.红球匀速运动，速度V1=8m/s；蓝球匀减速运动直到静止不再运动，初速度V0=12m/s，加速度a=-1m/s2，蓝球与红球在同一位置同时出发,经多长时间与红球同速?同速前，两者距离如何变化？何时相遇？相遇前何时相距最远？答案：4s,增大，8s,4s变式1：红球匀速运动，初速度 V1=8m/s；蓝球匀减速运动直到静止不再运动，初速度V0=12m/s，加速度 a=-1m/s2，蓝球在红球后8m,经多长时间与红球同速?何时相遇？还能再次相遇吗？答案：4s,4s第一次相遇，不能再次相遇。
物理追急相遇问题讲解
物理追急相遇问题讲解一、公式法1.确定两物体的初始位置和速度。
通常设追赶的物体为A，被追赶的物体为B。
2.判断两物体是否能够相遇。
如果A的速度大于B的速度，并且A的初始位置在B的后面，那么两物体一定能够相遇。
否则，两物体不会相遇。
3.如果两物体能够相遇，计算相遇时的时间和位置。
根据公式，两物体的相对速度为VA-VB（VA为A的速度，VB为B的速度），相对距离为两物体初始位置之间的距离。
因此，相遇时间t=相对距离/相对速度。
相遇位置可以根据A或B的位移公式计算。
4.如果两物体不能够相遇，计算它们之间的最小距离。
最小距离出现在A的速度等于B的速度时，此时A和B的相对位移达到最大。
最小距离可以根据相对位移公式计算。
二、图像法1.画出两物体的运动图像，通常是速度-时间图像或位移-时间图像。
2.根据图像判断两物体是否能够相遇。
如果A的图像在B的图像的上方，并且两图像有交点，那么两物体一定能够相遇。
否则，两物体不会相遇。
3.如果两物体能够相遇，根据图像计算相遇时的时间和位置。
相遇时间可以通过找到两图像的交点来得到，相遇位置可以根据交点处的位移来计算。
4.如果两物体不能够相遇，根据图像计算它们之间的最小距离。
最小距离可以通过找到两图像之间的垂直距离来得到。
在具体求解过程中，需要注意以下几点：1.分析问题是，一个条件，两个关系。
一个条件是：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等。
两个关系是：时间关系和位移关系。
时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。
2.追及问题中速度相等是能否追上、刚好追上、最大距离或最小距离的临界条件。
3.此类问题的解题关键是：充分理解题意、分析题意、挖掘题目中的隐含条件（如“刚好”、“最大”、“至少”等词语），找出临界条件并利用好临界条件。
追及问题训练例题
追及问题训练例题例1，火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距d处有另一火车以v2做匀速运动（v1>v2）,司机立即刹车，要使两车不相碰，刹车的加速度要满足什么条件？例2，在水平轨道上有两列大车A和B相距为s，A车在后面做初速度为v0，加速度为2a的匀减速直线运动，两车运动方向相同，B车做初速度为0，加速度为a的匀加速直线运动，要使两车不相碰，求A车初速度v0满足什么条件？例3，如图为θ的光滑斜面顶端有一质点A由静止释放，与此同时，在斜面底端有另一质点B由静止开始以加速度a在光滑的水平面上运动（匀加速），设斜面的倾角为θ，A质点能平稳的通过斜面底端，且它通过底端小圆弧的时间可忽略，要使质点A不能追上质点B，试求质点B的加速度取值范围？例4，一辆执勤警车停在公路边，当警员发现从他身边以10m/s匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s警车启动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的速度必须控制在90Km/h以内，问：（1）警车在追赶货车的过程中，两车间动的最大距离为多少？（2）警车启动后要多长时间才能追上货车？典型例题分析之二（图像法）例1，（2007年全国高考题Ⅱ卷）在一浅色传送带上放煤块，传送带先以a0的加速度启动，当速度到达v0后匀速运动，结果煤块在传送带上留下一道黑色痕迹，煤块与传送带之间的动摩擦因数为u，求痕迹的长度L？图像法一般分析法例2，将粉笔头A轻放在以2m/s的恒定速度运动的足够长的水平传送带后，传送带上留下一条为4m的划线，若使该传送带该做加速度大小为1.5m/s2的匀减速直线运动直至速度为0，并且在传送带开始减速时，将另一粉笔B 轻放在传送带上，则粉笔头B停止在传送带的位置与划线起点间的距离为多少？图像法一般分析法例3，汽车由草地从静止出发，沿平直的公路驶向乙地，先以加速度a,做匀加速运动，然后做匀速运动，最后以a2做匀减速运动，到乙地恰好停下。
用v-t图象分析追及相遇问题
3．汽车正以 10 m/s 的速度在平直公路上匀速直线运动，突然发现正前方有一辆自行车以 4 m/s 的速度同方向做匀速直线运动， 汽车立即关闭油门， 做加速度为 6 m/s2 的匀减速运动， 求汽车开始减速时，他们间距离为多大时恰好不相撞？ 答案：3m。
4． 气球以������������������/������的速度匀速上升， 某时刻在气球正正下方距气球 4m 处有一石子以������������������/������的 速度竖起上抛，不计阻力，g 取������������������/������������，则石子（） A．一定能击中气球 B．一定不能击中气球 C．若气球速度变小时，一定还能击中气球 D．若气球速度为������������������/������，一定不能击中气球 答案：ACD
υ/(m· 绿灯亮起时起动， 以������. ������������/������������的加速度做匀加速运动， 经过 30s 后以该时刻的速度做匀速直线运动。设在绿灯亮的同时，汽车 B 以������������/������的速度从 A 车旁边 经过， 且一直以相同的速度做匀速直线运动， 运动方向与 A 车相同， 则从绿灯亮时开始 （ C ） A．A 车在加速过程中与 B 车相遇 B．A、B 相遇时速度相同 C．相遇时 A 车做匀速运动 D．两车不可能再次相遇 分析：画 v-t 图用直观的面积大小关系可得结果，强调不用进行具体的运算去比较两个三角 形面积的大小，而用直观的感觉，而这种感觉是可靠的。当然也可以进行简单的大小的比 较。但不益进行繁琐的运算。
第二课时匀减速追匀速
二者间有最大距离或最小距离的临界条件是二者速度相等。至于到底是最大还是最小需要 看速度相等之有二者的速度关系：当速度相等之前，处于前面的物体的速度比后面的大而 速度相等之后前面的物体比后面的小时，二者间将出现距离的最小值；当速度相等之前处 于前面的物体的速度比后面的小而速度相等之后前面的物体比后面的大时，二者间将出现 距离的最大值。 例 1：一列火车以������������ 的速度直线行驶，司机忽然发现在正前方同一轨道上距车为 s 处有另一 辆火车正沿着同一方向以较小速度������������ 做匀速运动，于是他立即刹车，为使两车不致相撞， 则������应满足什么条件？ 分析：由题意可得到两列火车运动的 v-t 图象 ������ v1 1 v2 O t1 2 t2
用图像法解追及问题
用图像法解追及问题 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020用图像法解追及问题（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）题：甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距为x。
甲的初速度为零，加速度为a，做匀加速直线运动。
关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析：设两质点相遇前，它们韹距离为x ∆，则2012x at x v t ∆=+-，当0v t a=时，两质点的的距离x ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。
你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们间的最小距离；如果不正确，请说明理由，并作出正确分析。
思维导图：）若此时202v a<时，前，距离变大直到A 点，A 点后，v 甲乙＞v ，距离又变小直到二次相遇；（3）若202v x a >时，两者具有相同速度，甲仍在前，乙在后，还没有相遇，距离还是202v x a -，以后v 甲乙＞v ，就更不能相遇了。
相同速度时有最小距离，即202v x a-。
注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）的临界条件。
此题也可用解析法：根据题意：甲、乙相遇的须满足：2012x at v t +=, 即20102at v t x -+=（1） 当2214402b ac v ax -=-⨯>，即满足202v x a <，方程有两解，即甲、乙相遇两次；（2） 当2214402b ac v ax -=-⨯=，即202v x a =时，甲、乙相遇一次；（3） 当2214402b ac v ax -=-⨯<，即202v x a >时，方程无解，甲、乙不能相遇。
巧解追及相遇问题四法
巧解追及相遇问题四法临界法：寻求问题中隐含的条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两侧物体相等时有最大距离；物体大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
函数法：思路一：先求出在任意时刻t 两物体间的距离y=f （t ），若对任意时刻t ，均存在0y f t =>（），则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t ，使得0y f t =≤（），则这两个物体能相遇思路二：设两个物体在t 时间相遇，然后根据位移关系列出关于t 的方程0f t =（），若方程0f t =（）无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程0f t =（）存在正实数解，说明这两个物体能相遇图像法：（1）若用位移图像法求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇（2）若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴所包围的面积相对运动法：用相对运动的知识求解追及问题时，要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对的物理量，在追及问题中，常把被追物体作为参考系，这样追赶物体相对被追赶物体的各物理量即可表示为：x x x =-后相对前，v v v =-后相对前，a a a =-后相对前，且式中各物理量（矢量）的符号都江堰市应以统一的正方向确定例1在水平轨道上有两列火车A 和B 相距x ，A 车在后面做初速度为0v 、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度大小为a ．的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A 车的初速度0v 满足的条件．运动过程如图所示解法一 临界法：利用位移公式，速度公式求解，对A 车有201'2)'2A x v t a t =+-(，02'A v v a t =+-() 对B 车有21'2B x a t =)，'B v at = 两车的位移关系有A B x x x =-追上时，两车不相撞的临界条件是A B v v =联立发上各式解得0v =故要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足条件是0v ≤解法二 函数法利用判别式求解，由解法一可知A B x x x =+ 即22011'(2a)t''22v t x at +⨯-=+ 整理得203'2'20at v t x -+=这是一个关于时间t'的一元二次方程，当根的判别式20(2)4320v a x ∆=-⨯⨯<，t'无实数解，即两车不相撞.所以要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足的条件是0v ≤解法三 图像法利用速度—时间图象求解，先作A 、B 两车的v —t 图象，其图象如图所示，设经过t'时间两车刚好不相撞，则对A 车有0'2'A v v v at ==-对B 车有''B v v at ==以上两式联立解得0'3v t a= 经't 时间两车发生的位移之差为原来两车距离x ，它可用图中的阴影 面积表示，由图可知2000011'2236v v x v t v a a===故要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足条件是0v ≤解法三 相对运动法（巧选参考系）巧选参考系求解，以B 车为参考系，A 车的初速度为0v ，加速度a ′=-2a-a=-3a .A 车追上且刚好不相撞的条件是：0v =，这一过程A 车相对B 车的位移为x .由运动学公式2202v v ax -=得，22002(3)v a x -=-，所以0v =故要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足条件是0v ≤例2在同一水平面上，一辆小车从静止开始以21m/s 的加速度前进，在车后后相距025x m =处，与该车运动方向相同某人同时开始以6m/s 的速度匀速追车，问能否追上？若追不上，人、车的最小距离为多少? 作出运动过程示意图，如图所示解法一 临界法人的速度只要大于车的速度，两者的距离就越来越小，人的速度小于车的速度，两者的距离就越来越大，那么，当两车速度相等时，两者的距离最小。
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用图像法解追及问题
（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）
例题：甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距为x 。
甲的初速度为零，加速度为a ，做匀加速直线运动。
关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析：
设两质点相遇前，它们韹距离为x ∆，则2
012x at x v t ∆=
+-，当0v t a
=时，两质点的的距离x ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。
你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们间的最小距离；如果不正确，请说明理由，并作出正确分析。
思维导图：
解析：乙在后匀速，甲在前匀加速，相遇前两者之间的距离变化规律是不确定的，这完全取决于两质点间的初始距离x 与0
v 、a 之间的大小关系，所以该同学的分析不正确。
分别作出两者的速度－时间图像如图所示。
交点A 表明此时两者的速度相等。
（1）若此时 (对应的时刻为
v a
) 恰好相遇，则阴影面积即为x ，即20
2v x a
=，从图上看，再以后
v 甲
乙＞v ，不再相遇，相遇前距离一直减小到零；
（2）若 2
2v x a
<时，相遇时v 甲乙<v ，在这之前
距离一直减小，以后乙在前，距离变大直到A 点，A 点后，v 甲乙＞v ，距离又变小直到二次
相遇；（3）若20
2v x a >时，两者具有相同速度，甲仍在前，乙在后，还没有相遇，距离还是
202v x a -，以后v 甲乙＞v ，就更不能相遇了。
相同速度时有最小距离，即202v x a
-。
注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）的临界条件。
此题也可用解析法：
根据题意：甲、乙相遇的须满足：2012x at v t +
=, 即201
02
at v t x -+= （1） 当2
2
1
4402
b a
c v ax -=-⨯>，即满足2
02v x a <，方程有两解，即甲、乙相遇
两次；
（2） 当2
2
1
4402
b a
c v ax -=-⨯=，即202v x a =时，甲、乙相遇一次；
（3） 当2
2
1
4402
b a
c v ax -=-⨯<，即202v x a >时，方程无解，甲、乙不能相遇。