用图像法解追及问题

用图像法解追及问题

（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）

例题：甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距为x 。甲的初速度为零，加速度为a ，做匀加速直线运动。关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析：

设两质点相遇前，它们韹距离为x ∆，则2

012x at x v t ∆=

+-，当0v t a

=时，两质点的的距离x ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。

你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们间的最小距离；如果不正确，请说明理由，并作出正确分析。

思维导图：

解析：乙在后匀速，甲在前匀加速，相遇前两者之间的距离变化规律是不确定的，这完全取决于两质点间的初始距离x 与0

v 、a 之间的大小关系，所以该同学的分析不正确。

分别作出两者的速度－时间图像如图所示。 交点A 表明此时两者的速度相等。（1）若此时 (对应的时刻为

v a

) 恰好相遇，则阴影面积即为x ，即20

2v x a

=，从图上看，再以后

v 甲

乙＞v ，不再相遇，相遇前距离一直减小到零；

（2）若 2

2v x a

<时，相遇时v 甲乙

距离一直减小，以后乙在前，距离变大直到A 点，A 点后，v 甲乙＞v ，距离又变小直到二次

相遇；（3）若20

2v x a >时，两者具有相同速度，甲仍在前，乙在后，还没有相遇，距离还是

202v x a -，以后v 甲乙＞v ，就更不能相遇了。相同速度时有最小距离，即202v x a

-。

注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）的临界条件。

此题也可用解析法：

根据题意：甲、乙相遇的须满足：2012x at v t +

=, 即201

02

at v t x -+= （1） 当2

2

1

4402

b a

c v ax -=-⨯>，即满足2

02v x a <，方程有两解，即甲、乙相遇

两次；

（2） 当2

2

1

4402

b a

c v ax -=-⨯=，即202v x a =时，甲、乙相遇一次；

（3） 当2

2

1

4402

b a

c v ax -=-⨯<，即202v x a >时，方程无解，甲、乙不能相遇。