初三相似三角形压轴题.

初三相似三角形压轴题

一．选择题（共1小题）

1．（2013•江干区一模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点A、B、D分别在平行直线l1、l5、l2上，∠ABC=90°且AB=3AD，则tanα=（）

A．B．C．D．

二．填空题（共3小题）

2．（2013•宁波模拟）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x 轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，

F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x 的函数关系式为．

3．（2012•南岗区一模）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，点E在边AD上，且AE：DE=1：3，连接BE，BE与AC相交于点M，若AC=6，则M0的长是．

4．（2004•深圳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．

三．解答题（共12小题）

5．（2012•重庆模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）试求△ABC的面积；

（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

（3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（4）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长．

6．（2012•亭湖区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．

（1）试求sin∠MCH的值；

（2）求证：∠ABM=∠CAH；

（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为．

7．（2011•莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

8．（2011•武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；

（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；

②如图3，求证：MN2=DM•EN．

9．（2011•本溪模拟）如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB上一个动点，过P点作PF∥AC交线段BD于点F，作GP⊥AB交线段AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x．

（1）①试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；

②用x的代数式表示线段DG的长，并写出x的取值范围；

（2）记△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S值为时x的值；

（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长；如果不能，请说明理由．

10．（2010•武汉）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P．

（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；

（2）如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．

（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．

11．（2011•绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．

（1）若BD是AC的中线，求的值；

（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；

（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．

12．（2011•海淀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不

与A，C重合），连接BD，F为BD中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

13．（1997•吉林）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C 作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2=PE•PF．

14．（2015•成都模拟）已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．

（1）当α=60°时（如图1），

①判断△ABC的形状，并说明理由；

②求证：BD=AE；

（2）当α=90°时（如图2），求的值．