数学建模转运问题
蔬菜运输问题数学建模
蔬菜运输问题数学建模
蔬菜运输问题可以通过数学建模来解决。
以下是一种可能的数学建模方法：
1. 定义变量：
- X[i][j]：表示从地点i运送蔬菜到地点j的数量，其中i和j 是地点的编号。
- D[i][j]：表示从地点i到地点j的运输距离。
2. 目标函数：
由于蔬菜运输的目标通常是最小化总运输成本或最短运输时间，可以设置目标函数为最小化运输成本或最小化运输时间。
具体的目标函数可以根据具体情况来定。
3. 约束条件：
- 每个地点的进出蔬菜数量必须平衡：对于每个地点i，进出的蔬菜数量之和要等于该地点的需求或产出量。
即∑X[i][j] - ∑X[j][i] = 0。
- 运输量不能超过运输能力限制：对于每个地点i到地点j的运输量X[i][j]，必须满足X[i][j] <= C[i][j]，其中C[i][j]表示地点i到地点j的运输能力限制。
- 运输量必须是非负数：X[i][j] >= 0。
4. 其他要求和限制：
- 可以考虑添加其他特殊要求和限制，如运输时间窗限制、调度顺序要求等。
5. 求解方法：
运用数学规划方法，如线性规划或整数规划，求解目标函数和约束条件得到最优的蔬菜运输方案。
数学建模之运输问题
数学建模之运输问题1. 引言运输问题是指在给定产地到销售地之间有若干个供应点和需求点的情况下，如何安排运输使得总运输成本最低。
这是一个经济管理中的经典问题，也是数学建模中常见的一个研究方向。
2. 问题描述假设有n个供应点和m个需求点，其中每个供应点的供应量和每个需求点的需求量已知，并且每个供应点到每个需求点的运输成本也已知。
我们的目标是确定供应点到需求点的运输量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立数学模型，我们可以引入一个矩阵来表示供应点和需求点之间的运输成本。
设C为一个n行m列的矩阵，其中Cij表示供应点i到需求点j的运输成本。
我们需要引入决策变量X，其中Xij表示从供应点i到需求点j的运输量。
那么，目标函数可以定义为最小化总运输成本，即$$\min \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} C_{ij} X_{ij}$$同时，我们需要保证供应点和需求点的供需平衡，即满足每个供应点的供应量和每个需求点的需求量。
这可以表示为以下约束条件：1. 对于每个供应点i，有 $\sum_{j=1}^{m} X_{ij} = s_i$，其中$s_i$ 表示供应点i的供应量。
2. 对于每个需求点j，有 $\sum_{i=1}^{n} X_{ij} = d_j$，其中$d_j$ 表示需求点j的需求量。
进一步地，我们需要确保运输量的非负性，即$X_{ij} \geq 0$。
4. 求解方法对于较小规模的问题，我们可以使用线性规划方法求解运输问题。
线性规划是一种数学优化方法，可以在满足一定约束条件的前提下，使得目标函数达到最小值。
对于大规模的问题，我们可以使用近似算法或启发式算法进行求解。
这些算法可以快速找到较好的解，但不能保证找到最优解。
常用的算法包括模拟退火算法、遗传算法等。
5. 应用领域运输问题在许多实际应用中都有广泛的应用。
例如，在物流管理中，优化运输方案可以减少运输成本、提高运输效率；在生产计划中，合理安排运输可以确保供应链的稳定性和高效性。
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
数学建模,线性规划,运输为问题
X31 30.00000 0.000000
X32 20.00000 0.000000
X33 0.000000 3.000000
X34 0.000000 11.00000
X35 0.000000 23.00000
X36 0.000000 8.000000
X41 0.000000 7.000000
Objective value: 1620.000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 9
Variable Value Reduced Cost
X11 0.000000 14.00000
X12 0.000000 6.000000
X13 0.000000 4.000000
X55 0.000000 8.000000
X56 0.000000 32.00000
X64 30.00000 0.000000
X65 0.000000 3.000000
X66 0.000000 7.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1620.000 -1.000000
X42 0.000000 0.000000
X43 40.00000 0.000000
X44 0.000000 26.00000
X45 0.000000 16.00000
X46 0.000000 13.00000
X52 30.00000 0.000000
X53 0.000000 0.000000
X54 0.000000 21.00000
供应限制：x11+x12+x13+x14+x15+x16=20
转运问题例题
转运问题例题转运问题是运筹学中的一个重要概念，涉及物资运输、生产计划以及资源分配等方面。
本文将通过一个实际例题，详细介绍转运问题的基本概念和求解方法。
假设某公司有三个工厂（A、B、C）和四个销售点（X、Y、Z、W），其中工厂A、B、C每天生产的产品分别为100、150、200台。
销售点X、Y、Z、W每天的需求量分别为80、100、120、150台。
为了满足销售点的需求，公司需要合理安排产品的转运路线，以最小化运输成本。
1. 转运问题的数学建模转运问题可用线性规划进行数学建模。
以该实例为例，我们将工厂A、B、C到销售点X、Y、Z、W的运输量表示为变量，分别记为AX、AY、AZ、AW、BX、BY、BZ、BW、CX、CY、CZ、CW。
则转运问题的目标是最小化总运输成本Z，即：Z = 10AX + 12AY + 8AZ + 11AW + 18BX + 14BY + 13BZ + 20BW + 16CX + 19CY + 17CZ + 22CW同时，转运问题还需要满足以下约束条件：- 工厂A的产量约束：AX + AY + AZ + AW ≤ 100- 工厂B的产量约束：BX + BY + BZ + BW ≤ 150- 工厂C的产量约束：CX + CY + CZ + CW ≤ 200- 销售点X的需求约束：AX + BX + CX ≥ 80- 销售点Y的需求约束：AY + BY + CY ≥ 100- 销售点Z的需求约束：AZ + BZ + CZ ≥ 120- 销售点W的需求约束：AW + BW + CW ≥ 150- 非负约束条件（运输量不能为负）：AX, AY, AZ, AW, BX, BY, BZ, BW, CX, CY, CZ, CW ≥ 02. 转运问题的求解为了求解转运问题，我们可以使用线性规划的求解方法，比如单纯形法或者网络流算法等。
这里我们以单纯形法为例进行求解。
首先，将转运问题的目标函数和约束条件进行标准化，转化为如下形式：Z = -10AX - 12AY - 8AZ - 11AW - 18BX - 14BY - 13BZ - 20BW - 16CX - 19CY - 17CZ - 22CWs.t.AX + AY + AZ + AW + s1 = 100BX + BY + BZ + BW + s2 = 150CX + CY + CZ + CW + s3 = 200AX + BX + CX - s4 = 80AY + BY + CY - s5 = 100AZ + BZ + CZ - s6 = 120AW + BW + CW - s7 = 150AX, AY, AZ, AW, BX, BY, BZ, BW, CX, CY, CZ, CW, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7 ≥ 0其中，s1、s2、s3、s4、s5、s6、s7为松弛变量。
全国大学生数学建模竞赛——运输问题(参考答案)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。
各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。
另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。
于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。
第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。
数学建模中优化模型之运输问题讲解
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：5－(4＋(－4)＝5
4 3
u1=-4
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(10)
1
2
3
6
7
5
1
14
5
5
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
v3=4
单位费用变化：3－(0＋(－4)＝7
4
3 u1=-4
7
7 u2=-2
6
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(6)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u2+v1=c21 v1=10
v3=4
4 3
u1
7 u2=-2
6
13 u3=6
v4=0
对偶变量法(7)
1
2
3
6
7
5
1
14
8
4
2
2
8
13
6
5 3
9
10
6
v1=10
v2=6
u1+v1=c11 u1=-4
运输问题
运输问题的表示 网络图、线性规划模型、运输表 初始基础可行解 西北角法、最小元素法 求解方法 闭回路法、对偶变量法 特殊形式运输问题 不平衡问题、转运问题
数学建模---第四章-运输问题
p , p , , p i1 j1 i2 j2
ir jr
是线性相关的.
推论 1 若变量组对应的列向量组线性无关，则该变 量组一定不包含闭回路.
Go on
性质 1 的证明
Proof : 由直接计算可知
p p p p i1 j1
i1 j2
i2 j2
从理论上讲，运输问题也可用单纯形法来求解， 但是由于运输问题数学模型具有特殊的结构，存在一 种比单纯形法更简便的计算方法 —— 表上作业法， 用表上作业法来求解运输问题比用单纯形法可节约计 算时间与计算费用.但表上作业法的实质仍是单纯形法
§1 运输问题及其数学模型
§1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
A3 55
6
3
10 4
10
bj 5500 25 10 15
§2 运输问题的表上作业法 2、最小元素法 规则:优先安排单位运价最小的产地与销地之间的运输
任务. Note : 在某行（或列）填入最后一个数时，如果行和 列同时饱和，规定只划去该行（或列）
z 10 40 5 25 3 5 110
设某种物资共有 m 个产地 A1，A2，…，Am，各 产地的产量分别是a1，a2 ，…，am；有n 个销地 B1， B2，…，Bn ，各销地的销量分别为b1，b2，…，bn .
假定从产地Ai（i =1，2，…，m）向销地Bj（j =1， 2，…，n）运输单位物资的运价是cij，问怎样调运才能 使总运费最小？
j 1
i 1, 2, , m
m
xij bj
i 1
j 1, 2, , n
xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n xij 0 i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
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长江学院课程设计报告课程设计题目：数学建模转运问题姓名1：朱天伟学号：******** 姓名2：胡锦堂学号：******** 姓名3：吴腾学号：******** 专业：计算机科学与技术班级：093212指导教师：***2010 年12 月5 日摘要近些年，随着市场经济发展迅速，竞争也随之加快。
为了能在这激烈的市场竞争中立足，企业都谋取最大的利润，最少的成本也就是最小的费用。
企业通过不断的改进，利用各种方式企图使得费用最少。
本题是通过建立合适的运输法案来获得最佳方法，降低运输成本。
主要是费用最小化，我们运用新学到的lingo 模型来合理的安排工厂的运输问题。
我们得到的结果是从A工厂运8个单位产品到X仓库；从A工厂运1个单位产品到Y仓库；从B工厂运3个单位产品到Y仓库；从B工厂运5个单位产品到Z仓库；从X仓库运3个单位产品到顾客1；从X仓库运5个单位产品到顾客2；从Y仓库运4个单位产品到顾客3；从Z仓库运5个单位产品到顾客4，最终工厂最小的费用是121。
通过此例子讨论用数学建模的思想寻求最优解的办法解决这类问题。
本论文为我组三人刻苦实践后所得，其间辛苦唯有自当勉励，论文包括了问题重述，模型假设，问题分析，关系建立和符号分析，模型建立及求解，模型检验，参考文献。
其中原材料简单介绍我组选择之课题的问题，问题背景简单的介绍了我组所设计的数学建模所适用的各个场合和背景，问题的分析阐述了该数学建模的构造原理，数学思想，以及其具体的方法，是整篇论文的核心，也是构造出这个模型的主要思想。
求解方法是具体的解决过程，还有编译的源程序代码和运行的结果，还有编辑方法的优点介绍。
我们的论文仍有许多值得推敲之处，故而不求闻达于学术，但求能阐述我等这一个礼拜来数学建模的学习体验，再次感谢老师的指导。
以下就是我等的课程实践论文报告。
关键词：成本最少转运问题lingo 数学目录摘要 (2)一、问题重述 (1)二、模型假设 (1)三、问题分析 (1)四、关系建立和符号说明 (3)五、模型建立及求解 (3)六、模型优缺点及检验 (8)七、参考文献 (9)一、问题重述此题为转运问题，设有两个工厂A、B,产量分别为9，8个单位；四个顾客分别为1，2，3，4，需求量分别为3，5，4，5；三个仓库x,y,z.其中工厂到仓库、仓库到顾客的运费单价见下表所示。
试求总运费最少的运输方案以及总运费。
二、模型假设1．的单价是详细的运算得出的结果，在较长的时间内不会变动。
1．产品是通过货运站才能到顾客手里，而不是直接从工厂到达顾客。
而且要按时间暗质量将产品送到顾客手中2．产品的运输可以忽略中转的次数，自己根据自己的情况来安排。
3．运输中可以稍微忽略产品的破损问题，不用太多考虑，比较方便。
4．产品出厂时候质量可以太多注重。
三、问题分析针对这类问题，如果我们用传统的数学方法解决问题，必定很繁琐，还不一定得到理想的结果，也不是个上上之策，所以我们要综合考虑，采取建立模型是最好的解决方法。
首先，必须分析的是此题的研究对像，以及数学思路，建立一个较好的模型。
由题目可知，此题是典型的线性规划问题。
所涉及的问题是如何通过建立合适的运输法来获得最佳方法，降低运输成本。
假设有m 个场地，n 个销售地，l 表示工厂到仓库的运输单位用2ij C 表示仓库到顾客的单价，1ij X 表示中间环节，i a 表示第i 个工厂的产量，k b 表示第k 个顾客的需求量，1ij C 表仓库的运量，2ij X 表示仓库到顾客的运量，则运转问题可以用数学表示为：Min 22111jkjk lj nk ijX C X ∑∑==+ S.t i ij lj a X ≤∑=11 ，i=1,2,3·······m ，（运出量不大于生成量）2111jk nk ijmi X X ∑∑===， j=1，2，······l ，（运入量应等于运出量）k jk lj b X =∑=21， k=1，2，········看，（运入量等于需求量） 0,021≥≥X X 。
转运图：图1. 个工厂，一个仓库，4个顾客的转运关系四、关系建立和符号说明Xa:代表从A工厂运产品到X仓库；Xb:代表从B工厂运产品到X仓库；X1:代表从X仓库将产品运到顾客1处；X2:代表从X仓库将产品运到顾客2处；X3:代表从X仓库将产品运到顾客3处X4:代表从X仓库将产品运到顾客4处；Ya:代表从A工厂运产品到Y仓库；Yb:代表从B工厂运产品到Y仓库；Y1:代表从Y仓库将产品运到顾客1处；Y2:代表从Y仓库将产品运到顾客2处；Y3:代表从Y仓库将产品运到顾客3处；Y4:代表从Y仓库将产品运到顾客4处；Za:代表从A工厂运产品到Z仓库；Zb:代表从A工厂运产品到Z仓库；Z1:代表从Z仓库将产品运到顾客1处；Z2:代表从Z仓库将产品运到顾客2处；Z3:代表从Z仓库将产品运到顾客3处；Z4:代表从Z仓库将产品运到顾客4处；五、模型建立及求解我们的目标是用最小的费用从A、B两工厂的产品经过X、Y、Z中的一个或多个仓库运到1、2、3、4四个顾客处。
对于本题中所遇到的转运问题，因为工厂到仓库和仓库到顾客的运费各不相同，所以我们建立了不同的符号以便很好的区分。
目标函数：min=xa +2*ya+100*za+3*xb+yb+2*zb+5*x1+7*x2+100*x3+100*x4+9*y1+6*y2+7*y3+100*y4+100*z1+6*z2+7*z3+4*z4;根据题意列出的约束条件如下：x 1+y1+z1=3;x 2+y2+z2=5;x 3+y3+z3=4;x 4+y4+z4=5;x a +ya+za=9;x b +yb+zb=8;x a +xb=x1+x2+x3+x4;y a +yb=y1+y2+y3+y4;z a +zb=z1+z2+z3+z4;将上述思路输入LONGO源程序如下：model:min=xa +2*ya+100*za+3*xb+yb+2*zb+5*x1+7*x2+100*x3+100*x4+9*y1+6*y2+7*y3+100*y4+100*z1+6*z2+7*z3+4*z4;x 1+y1+z1=3;x 2+y2+z2=5;x 3+y3+z3=4;x 4+y4+z4=5;x a +ya+za=9;x b +yb+zb=8;x a +xb=x1+x2+x3+x4;y a +yb=y1+y2+y3+y4;z a +zb=z1+z2+z3+z4;end则得到的运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 121.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost8.000000 0.000000 XA1.000000 0.000000 YAZ0.000000 97.00000A0.000000 3.000000 XBY3.000000 0.000000B5.000000 0.000000 ZB3.000000 0.000000 X1X5.000000 0.00000020.000000 92.00000 X30.000000 94.00000 X40.000000 5.000000 Y1Y0.000000 0.00000024.000000 0.000000 Y3Y0.000000 95.0000040.000000 97.00000 Z10.000000 1.000000 Z2Z0.000000 1.00000035.000000 0.000000 Z4Row Slack or Surplus Dual Price1 121.0000 -1.0000002 0.000000 -3.0000003 0.000000 -5.0000004 0.000000 -6.0000005 0.000000 -4.0000006 0.000000 -3.0000007 0.000000 -2.0000008 0.000000 2.0000009 0.000000 1.00000010 0.000000 0.000000运行过程及结果截图如下:(图2).（图3）工厂A向仓库x，y，z分别运输3，6，0个单位，工厂B向仓库x，y，z 分别运输0，3，5个单位，仓库x向顾客1运输3个单位，仓库y向顾客2，3分别运输5，4个单位，创库z向顾客4运输5个单位，总运费121个单位。
结果如下图所示：（图4）六、模型优缺点及检验优点：1.本题的模型比较简单，算法也比较直观，易于编程实现得到理想答案。
2.本题巧妙地运用了多个约束函数以及一个目标函数使读者易懂。
3.本题模型注重效率的提高，通过大量的数据提取，并结合有效的算法，使其完全满足问题的要求。
缺点：1.程序代码还是长了点，看起来有点复杂，可读性不强。
2.符号定义比较多，看起来也比较繁琐。
体验：利用lingo解决本题的转运问题，可以得到比较理想的答案，准确度比较高。
和lingo同样的一种求解方法线性规划，相对于我们数学里学的线性规划，lingo 更简便，使我们能很快的得到我们想要的结果。
因此更便于程序推广到一般形式使用。
Lingo对于数学建模还是有很多帮助的，我们应该好好运用这款软件。
七、参考文献【1】徐权智杨晋浩数学建模高等教育出版社2004 【2】数学建模实验周义仓，赫孝良编西安：西安交通大学出版社，1999 【3】数学建模案例精选朱道元等编著北京：科学出版社，2003【4】《运筹学软件应用课件Lindo-Lingo软件》：指导老师提供东华理工大学长江学院课程设计评分表学生姓名：朱天伟、胡锦堂、吴腾班级：093212学号：09321232 、09321206 、09321222 课程设计题目：数学建模转运问题。