条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题

一、知识点

① 只须将无条件概率()P B 替换为条件概率)(A B P ，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ② 在古典概型中 ---

)

()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==

A B A =事件包括的基本事件（样本点）数

事件包括的基本事件（样本点）数

③ 在几何概型中 ---

)

()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==

(,,)

(,,)A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等

条件概率及全概率公式

.对任意两个事件A 、B , 是否恒有P (A )≥P (A |B ).

答：不是. 有人以为附加了一个B 已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P (A )≥P (A |B ), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P (A )≥P (A |B ), 也可能P (A )≤P (A |B ), 下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令

A ={抽到一数字是3的倍数};

B 1={抽到一数字是偶数}; B 2={抽到一数字大于8}, 那么

P (A )=3/10, P (A |B 1)=1/5, P (A |B 2)=1. 因此有 P (A )＞

P (A |B 1), P (A )＜P (A |B 2). .以下两个定义是否是等价的.

定义1. 若事件A 、B 满足P (AB )=P (A )P (B ), 则称A 、B 相互独立. 定义2. 若事件A 、B 满足P (A |B )=P (A )或P (B |A )=P (B ), 则称A 、B 相互独立.

答：不是的.因为条件概率的定义为

P (A |B )=P (AB )/P (B ) 或 P (B |A )=P (AB )/P (A )

自然要求P (A )≠0, P (B )≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P (AB )=P (A )P (B )对于P (A )=0或P (B )=0也是成立的. 事实上, 若P (A )=0由0≤P (AB )≤P (A )=0可知P (AB )=0故 P (AB )=P (A )P (B ).

因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.

.对任意事件A、B, 是否都有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B).

答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*)

因为 P(AB)≥0, 故P(A+B)≤P(A)+P(B).

由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0≤P(B|A)≤1,故P(AB)≤P(A);

同理P(AB)≤P(B), 从而 P(B)-P(AB)≥0, 由(*)知P(A+B)≥P(A).

原命题得证.

.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?

答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:

P(A|B)的计算基于附加样本空间Ω

B

;

P(B|A)的计算基于附加样本空间Ω

A

;

P(AB)的计算基于原有样本空间Ω.

.在n个事件的乘法公式：

P(A

1A

2

…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)

中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及

P(A

1A

2

…A n-1)>0呢?

答：按条件概率的本意, 应要求

P(A

1

)>0, P(A1A2)>0, …,P(A1A2…A n-2)>0, P(A1A2…A n-1

)>0.

事实上, 由于A 1A2A3…A n-2A1A2A3…A n-2A n-1, 从而便有P(A1A2…A n-2)

≥P(A1A2…A n-1)>0. 这样, 除P(A1A2…A n-1)>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2…A n-2) >0, …,P(A1A2) >0, P(A1)>0便是题设条件P(A1A2…A n-1)>0的自然结论了.

.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.

答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于

A

1

,A2,…,A n的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件A i, 使之满足

(*)

就可得

.

(**)这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.

因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**)式, 而要有(**)式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有(*)式.

.设P(A)≠0,P(B)≠0, 因为有

(1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立.

(2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.

故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.

答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0,P(B)≠0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.

5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记A i={第i次取到新球}, i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又

A 1A

2

A

3

={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发

生, 因此A1、A2、A3不互不相容.

.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B“独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?

答：“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” →“互不相容”,反之未必成立.

至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了

然.

事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事

件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观

显示.

事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.

它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B 互不相容” →“A、B不独立”.其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下, 则