《多面体构成》
探索多面体的特征
探索多面体的特征多面体是一个有限的三维几何体，它由若干个多边形所围成，每个多边形都共用一个边。
多面体的研究已经有很长的历史，并且在数学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
本文将探讨多面体的特征，包括面、边、顶点的数量以及欧拉公式和分类等。
一、多面体的面、边和顶点多面体由若干个面所组成，每个面都是一个多边形。
我们以正多边形为例来讨论多面体的特征。
如果一个多面体的面都是正多边形，并且每个顶点处的多个面都可见，则称之为凸多面体。
凸多面体的特点是每个面都向外凸出，并且所有顶点都在多面体的内部。
多面体的边是面和面之间的边界线段，它们连接了相邻的面。
每两个相邻的面共享一个边。
边的数量等于所有面内部的边的数量之和。
顶点是多面体中的角点，它们是相邻的边的交点。
顶点的数量等于所有面内部的角点数量之和。
二、欧拉公式欧拉公式是研究多面体特征的重要定理，它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
欧拉公式表明，对于任何一个凸多面体，它的面数、边数和顶点数之间满足以下关系：面数 + 顶点数 = 边数 + 2这个公式被认为是将面、边和顶点联系在一起的重要定理，它描述了多面体的拓扑性质。
欧拉公式也被应用在其他领域，比如图论和计算几何等。
三、多面体的分类根据多面体的特征，我们可以将其进行分类。
首先，根据面的形状，多面体可以分为正多面体和非正多面体两种类型。
正多面体是指所有的面都是正多边形的多面体。
最著名的正多面体是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
正多面体具有对称性和规则性的特点，它们的所有边长和内角都相等。
非正多面体则是指除了正多边形以外的多边形组成的多面体。
非正多面体的面可以是任意形状的多边形，它们的边长和内角可以不相等。
其次，根据多面体的拓扑结构，多面体可以分为闭合多面体和开放多面体。
闭合多面体是指所有的面都是由完全封闭的多边形所构成的多面体，它们没有任何的挖空部分。
闭合多面体包括正多面体和非正多面体，它们由有限数量的面所组成。
多面体立体构成步骤
多面体立体构成步骤多面体立体构成超有趣的呢！咱先来说说材料准备。
你得找些合适的材料呀，像硬卡纸就很不错，容易裁剪还比较好塑形。
或者是轻木片，有那种自然的木质纹理，做出来的多面体很有质感。
再准备一把好用的剪刀或者美工刀，还有胶水或者胶棒。
接下来就可以开始构思多面体的形状啦。
最简单的就是正四面体啦，想象一下，它就像一个超级稳定的小金字塔。
你可以先在纸上画个草图，把各个面的形状和大小确定好。
如果想要更复杂一点的，像正八面体或者正十二面体，那可就要多花点心思在草图上喽。
每个面的角度和边长都得考虑好，不然做出来的多面体就会歪歪扭扭的，那可就不好看啦。
画好草图后就开始裁剪材料啦。
按照你画好的面的形状，小心翼翼地用剪刀或者美工刀把材料裁剪出来。
这时候可得注意安全哦，要是不小心伤到小手就不好啦。
裁剪的时候尽量让边缘整齐一些，这样拼接的时候才会严丝合缝。
然后就是拼接的环节啦。
把裁剪好的面用胶水或者胶棒粘在一起。
从一个角开始粘起，慢慢地把各个面组合起来。
这就像是在搭建一个小城堡一样，一块一块地把城墙垒起来。
在粘的时候要稍微用点力按压一下，确保每个面都粘得牢牢的。
要是有哪个面没粘好，多面体可能就会散架，那之前的努力可就白费啦。
要是觉得做出来的多面体有点单调，还可以给它装饰一下呢。
可以用彩色的笔在面上画一些小图案，或者贴上一些小贴纸。
比如在正四面体上画上小星星，或者在正八面体上贴上小花花，瞬间就变得超级可爱啦。
多面体立体构成就是这么个过程，虽然可能会有点小挑战，但是当你看到自己亲手做出来的漂亮多面体时，那种成就感是无法言喻的哦。
立体构成—几何多面体的变形(分析“多面体”文档)共10张PPT
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切挖：在棱边部位作直线或弧线切挖，切除部分的量，切挖的长度和面积不宜过大。
棱角处理 切角：将多面体的棱角部分作直线或弧线切割，将角去掉。 角凹凸：将多面体外棱角进行折入或折入再凸出处理，折痕线可以处理为直线，也 可为弧线。
棱面处理
表面凹凸 一个完整的平面，如果不借助于重叠或切割的去掉一部分量，是无法形成立体的。 多面体的表面为多边形平面，我们只有将此多边形分为几个等大的角面，设置折痕线，才有可能 使平面折成凹入或突出的状态。
——本体变化 棱角处理 出更加全新的视觉心理感受。
表面凹凸 一个完整的平面，如果不借助于重叠或切割的去掉一部分量，是无法形成立体的。 多面体变异——外接增形 折痕线变形：将多面体原来的棱边折痕线变成曲线，幅度不宜过大，可使原来严肃的形体变得优美起来。
第十六节 多面体的表面为多边形平面，我们只有将此多边形分为几个等大的角面，设置折痕线，才有可能使平面折成凹入或突出的状态。 立体构成 棱面处理 多面体的表面为多边形平面，我们只有将此多边形分为几个等大的角面，设置折痕线，才有可能使平面折成凹入或突出的状态。 几何多面体（四） 多面体的表面为多边形平面，我们只有将此多边形分为几个等大的角面，设置折痕线，才有可能使平面折成凹入或突出的状态。
棱多边面压 体屈的：表压面屈为部多分边的形压平幅面不，宜我过们大只。有将此进多边行形处分为理几，个等多大面的角体面将，设呈置折现痕出线，更才加有可多能样使平的面异折成形凹变入或化突，出的营状造态。出更加全新
多面体变异——本体变化 折痕线变形：将多面体原来的棱边折痕线变成曲线，幅度不宜过大，可使原来严肃的形体变得优美起来。
单线变复线：将多面体棱边处理为双线，这样形成了一个狭窄棱面，棱角由尖锐变的平钝。
多面体的结构特征课件
对称性的分类
1 2
3
镜面对称
物体或图形关于某一直线或平面进行对称，使得左右两侧或 上下两侧的形状和大小完全相同。
旋转对称
物体或图形围绕某一点进行旋转一定角度后，能够与其自身 重合。旋转对称可以分为不同的旋转轴，如绕垂直轴旋转 180度、绕水平轴旋转180度等。
平移对称
物体或图形沿某一直线或平面进行平移一定距离后，能够与 其自身重合。平移对称可以分为不同的平移方向和平移距离。
射影变换
通过投影的方式将一个图形变为 另一个图形，可能改变图形间的 相对位置和大小。
变换的性质和作用
性质
变换具有可逆性、等价性、可组合性 和恒等性等性质。
作用
通过几何变换可以研究图形的性质和 关系，解决几何问题，以及进行图形 的变换和设计等。
05
多面体的组合与分解
多面体的组合
定义
多面体的组合是指将两个或多个 多面体通过某种方式连接在一起， 形成一个新的多面体。
新材料开发 利用多面体结构的特性，可以开发出具有优异性 能的新材料，满足各种工程和科技领域的需求。
药物研发与生物医学应用 多面体结构在药物研发和生物医学领域的应用， 有助于设计出具有特定功能和疗效的药物和医疗 设备。
计算机图形学中的应用
3D建模与渲染
01
多面体结构特征在计算机图形学中广泛应用于3D建模和渲染，
对称性的应用
对称性在几何学中有着广泛的应用，如建筑设计、艺术创作、自然界形 态等。通过对称性原理，可以创造出具有美感和规律的图形和物体，提 高设计的质量和美感。
在物理学中，对称性也具有重要意义，如空间对称性在描述物质运动规 律时的作用，以及时间对称性在描述热力学和电磁学现象时的作用。
阿基米德多面体
阿基米德多面体 Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am
阿基米得多面体
Archimedes polyhedron
阿基米得多面体, 也称为半正多面体, 是指至少由两种类型的为面构成的凸多面体[]. 一共有中阿基米得多面体.
阿基米得多面体
截半立方体个正三角形+个正四边形
截半二十面体个正三角形+个正五边形
截角四面体
个正六边形+个正三角形截角八面体个正六边形+个正四边形
截角立方体个正八边形+个正三角形
截角二十面体个正六边形+个正五边形
截角十二面体个正十边形+个正三角形
小斜方截半立方体个正四边形+个正三角形
大斜方截半立方体个正八边形+个正六边形+个正四边形
小斜方截半十二面体个正五边形+个正三角形+个正四边形大斜方截半十二面体个正十边形+个正六边形+个正四边形扭棱立方体个正四边形+个正三角形
扭棱十二面体个正五边形+个正三角形
阿基米得多面体
阿基米得多面体（Archimedean solids）是半规则（如顶点相同，面不相同）并且其面为规则的多边形。
这样的总共有13种，这13种多面体由阿基米得发现，因此命名为阿基米得多面体。
阿基米得的生平在一开始即有介绍，在此不加敷述，可以点选左方选项浏览阿基米得的生平。
接下来，一起看看这13种阿基米得多面体。
13种阿基米得多面体
阿基米得多面体的展开图。
3 立体构成-多面体练习
• • • •
b 角的变化 ① 剪角（平角） ② 楷角 剪角\ 楷角
立体构成
• • • •
c 边的变化 ① 剪边 ② 楷边 ③ 凸边
材料属性 立体构成是通过材料来实现的，材料的体 验和理解是学习立体构成必不可少的重要 内容。随着社会的进步，材料领域也在不 断地扩大并复杂化。现代造型艺术，如雕 塑、建筑、工业设计，在材料的使用山已 无明显的界限。这不仅说明了材料的认识 与体验对于造型艺术的表现非常重要，而 且与造型的基础教育也是密切相关的。 在飞速发展的当今社会，材料的种类越来 越丰富，材料在生活中的应用也越来越广 泛。若对材料进行分类，大致可分为金属 材料与非金属材料。
立体构成
段骏平
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
475185814@
立体构成
• 纸的多面体设计 • 1 正多面体的分类及其展开图
正方体
正八面体
正十二面体
正二十面体
2
半正立体形的分类及其展开图
三角形+正方形棱面球体
正五边形+正方形棱面球体
3 多面体的变化要素
a 面的变化 ① 开窗 ② 凹入 ③ 凸出 ④ 附加
【趣味数学】高中数学校本课程：第10课时 立体几何趣题——正多面体拼接构成新多面体面数问题
第10课时立体几何趣题——正多面体拼接构成新多面体面数问题教学要求：训练学生空间想象能力，动手动脑能力，提高学习数学兴趣教学过程：一、问题提出在《数学(高二下册)》“立体几何多面体”一节的课堂教学中，老师给出了一道例题：“已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都相等，把它们拼接起采，使一个表面重合，所得的新多面体有多少个面?”对于这个问题学生们表现出了极大的兴趣．他们通过直观感知，提出了自己的看法：正四面体和正八面体共12个面，两者各有一个面重叠，因此减少两个面，所以重合之后的新多面体有10个面．二、故事介绍教师乘着学生浓厚的兴趣讲了一个与这道例题有关的故事．多年前美国的一次数学竞赛中有这样一道题：一个正三棱锥和一个正四棱锥，所有棱长都相等，问重合一个面后还有几个面?大学教授给这道竞赛题的参考答案是7个面，他们认为正三棱锥和正四棱锥共9个面，两者各有一个面重叠，减少两个面，所以重合之后还有7个面。
但佛罗里达州的一名参赛学生丹尼尔的答案是5个面，与参考答案不合而被判错误，对此丹尼尔一直有所疑惑，于是他动手拼接了符合题意的正三棱锥和正四棱锥实物模型，结果正如他所判断的只有5个面；他将自己的结论和实物模型提交给竞赛组委会，教授们接受了他的想法并改正了这道题的答案。
三、操作确认故事讲完后学生立刻对丹尼尔的结论进行了激烈地讨论．于是教师建议：请同学们拿出课前分组做出上述两个问题的实物模型，通过自己的操作(模型组合)来确认自己的结论．学生展示大小不一的实物模型．教师让每个组的学生代表在讲台上演示实物模型的组合过程．通过观察、讨论，全班同学明白丹尼尔结论的原因所在．同时也观察到了正四面体和正八面体重合之后新多面体只有七个面，这与学生们在上一节课通过直观感知所得的结论是不一致的。
原因在于他们发现在重合过程中正四面体和正八面体另有两个侧面分别拼接成一个面了．四、思辩论证老师要求学生利用立体几何的相关知识，对操作实物模型得出的结论进行证明。
多面体的定义
多面体的定义多面体是指一个立方体，由六个相同的正方形构成。
那我们今天就来了解一下它，看看这个“奇特”的物体到底为什么会有如此大的魅力?在数学上，每一个立方体的内角和都是180度;在几何学中，任意三维空间里的一条直线都可以用三个平面来截得到;从物理学来讲，一个密闭容器内部最小质量的物体体积等于其外表面积乘以高除以3。
总之，只要你能想象出来的东西，那么他便可以存在。
对了!有一个非常著名的图案——切金字塔，那是建筑学家们认为古埃及人留给后世的最伟大工程，至少也算得上是“千年建筑奇迹”了。
而现代科技则证明了这些金字塔并没有真正存在过。
那么，这座神秘的庞然大物又究竟是谁修建的呢?根据计算机模拟显示：这座金字塔一共花费了埃及人约5000万块巨石。
当时整个埃及地区一年才生产1.5吨黄金，所以全国经济一下子就陷入瘫痪状态。
这时，为数不多的聪明人就开始提议，既然无法改变人口比例，那就尽量减少货币供应量，把钱省下来换粮食，然后再凭借粮食，在市场竞争中逐渐占领优势。
多面体的种类很多，通常分为简单多面体、凸多面体、凹多面体。
像三棱锥、四棱柱和五棱柱属于简单多面体，像三棱台、四棱台、五棱台、圆柱、圆锥和球属于凸多面体。
另外还有一些属于凹多面体的多面体，例如十二面体、二十面体、四面体等。
大家应该都听说过有关多面体的趣闻轶事吧?有的人长着一张天使般美丽的脸蛋，但是却是恶魔的心灵;有的人拥有迷人的身材，可是脑袋却短路了……当然，我知道，我的朋友应该都是正常的人。
然而，这么复杂的问题还是要归结于哲学的概念，因为我觉得我们所处的社会和自然界本来就充满了各种难以理解的怪异现象。
最初的宇宙诞生了基本粒子，然后慢慢组合在一起，在亿万年的漫长岁月中逐步发展成今天这个样子，在过去的5年中，人类发射了很多探测卫星，有些甚至深入太空中几百公里，在距离地球40多亿光年远的位置找到了数十颗系外行星，而且将越来越多的新行星带回地球作研究观察。
未来人类或许能够解开更多关于多面体的谜团，让我们拭目以待吧!不管怎么样，多面体是永恒存在的，他将陪伴着我们，与我们共同前进。
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样棱边形成了一个狭窄棱面，棱角由尖锐变成了平钝。
折痕线变形 将多面体原来笔直的棱边折痕线变成曲线的处 理，幅度不宜过大，可使原来严肃的形体变得优美起来。
棱边压屈 压屈部分的压幅不宜过大。
切挖 在棱边部位作直线或弧线切挖，切除部分的量，切挖 的长度和面积不宜过大，否则多面体的结构会变形，甚至散 架。
柏 拉 图 多 面 体
正四面体展开图
正六面体展开图
正八面体展开图
正十二面体 5-6CM
正二十面体 7-8CM
108度
O阿基米德多面体——由两种或两
种以上的多边形构成，棱角外凸但不相等， 连接各顶角形成接近与球体的曲面体。是 在正多面体的基础上变化而成的立体造型。
O 阿基米德多面体一共有13个，包括十四面 体、十六面体、二十六面体等。
截半立方体 截半十二面体
多面体变异 无论是柏拉图多面体，还是阿
基米德多面体，由于表面具有平面几何形的数理性， 若以此作为基本结构，对其表面、棱边、棱角进行 处理，多面体将呈现出更加多样的异形变化，营造 出更加全新的视觉听觉心理感受。
对球体的变化
面的处理 切孔、切折、附加、凹入 凸出等处理 （效果：坚实或轻巧）
则来构成。
课堂小结
对球体的变化
面的处理 切孔、切折、附加、凹入 凸出等处理 （效果：坚实或轻巧）
边的处理 进行变化
角的处理
反折、剪边、平折等手段 剪角或内折等方法
下节课准备的材料
O 1、选择其中一种材料：一次性筷子、牙签 棉签、木条、火柴、吸管
O 2、双面胶或502胶水
2、边的处理
O 剪边——在多面体的边上进行切除，形成在边上 开窗的效果
O 反折——在多面体的边上按所涉及的形态划痕， 然后将划痕部位形态折入反折（本来的凸边变 得凹进去，于是一条边线变成两条）
O 凸边——将边向外突出，求得形态的变化
①本体变化
①本体变化 就是在多面体的造型上直接进行加工，不除
量，也不增形。
3、角的处理
O 剪角——将多面体的角剪去，能剪得新的 形态
O 角凹凸——将多面体外棱角进行折入或折 入再凸出处理，折痕线可以处理为直线， 也可为弧线。
练习
O 任选一种制作方法来制作十二面体或二十面体的 变异构成
O 要求： O 1、材料：彩色卡纸 O 2、尺寸：不限 O 3、制作精致，色彩搭配协调，能运用形式美的法
边的处理 进行变化
角的处理
反折、剪边、平折等手段 剪角或内折等方法
1、面的处理
面的处理是在多面体的面上进行开窗、 附加、凹入凸出等变化 O 开窗——在面的某一部位按照设计的需要切
口形成窗口状 O 附加——在面上家如别的形态，使原有的面
形态更富于变化 O 凹入凸出——在面上做折层变化，凹入或凸
出使平面产生立体感，层次变化丰富
球体构成
——多面体立体构成
几
何
多
柏拉图多面体
面
体
阿基米德多面体
造
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
型
柏拉图多面体——并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉
图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的
对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，
我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生
混淆。
古希腊时代，柏拉图认为5种多面体结构是构成物质 的主要元素，它们是正四面体、正六面体、正八面体、 正十二面体、正二十面体。其它类型的多面体都是在此 基础上发展而来的。