若尔当标准形介绍
矩阵的若尔当标准型及简单应用
矩阵的若尔当标准型及简单应用-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。
对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。
关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：设λ是一个复数，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ1000..................00 (1000)...0100 (00)，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k B B B 0021这里i B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i is i i J J J 0021，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i =证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值，kr r r ,...,,21是正整数。
又iV =kerVi r i ∈=-ξλσ{)(｜)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：iis i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间),...2,1(i ij s j W ==里，取一个循环基，凑成i V 的一个基，那么i τ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i is i i i N N N N 0021这里),...,2,1(i ij s j N -是幂零若尔当块。
若尔当标准形简介
5.4 若尔当标准形简介
我们知道，并不是每一个方阵都相似于对角阵， 那么任一方阵是否能够相似于形式比较简单的矩阵呢？ 它是什么形状？如何计算它？这一节就来讨论这个问 题.
定义5.4 若r阶矩阵的形式为
a 1 0 L 0 a 1 L M M M 0 0 0 L 0 0 0 L
当矩阵，其主对角线元素是A的全部特征值.主对角元 素为λj 的若尔当块的总数为
N (j ) n R( A j E)
其中t阶若尔当块 的个数为
N(t,j ) R(A j E)t1 2R(A j E)t R(A j E)t1
这个若尔当矩阵除去若尔当块的排列次序外，是被
0 0
0 0
M M
a 1
0 a
则称它为一个r 阶若尔当（Jordan）块，记作Jr（a）， 其中a是对角线上元素，r是矩阵的阶数.
5.4 若尔当标准形简介
例如
0 1 0
(3),
2
0
1 2
,
0
0
0 0
1
0
分别是一阶，二阶，三阶若尔当块，分别记为
5.4 若尔当标准形简介
例2 求
2
0
A
0
0
的若尔当标准形
10 20 02 00
1
0
2
2
解 因 E A ( 2)4,
所以
为A的四重特征值.又
5.4 若尔当标准形简介
0 0 2E A 0 0
J1(3),J2(2),J3(0).
由特征多项式求若尔当标准型
由特征多项式求若尔当标准型的技术报告一、引言若尔当标准型是一种线性变换的重要性质，它在矩阵理论、线性代数和微分方程等领域有着广泛的应用。
对于给定的矩阵，我们可以通过特征多项式来求解其若尔当标准型。
本文将详细介绍这一过程。
二、特征多项式特征多项式是矩阵的特征值与特征向量之间的关系的一种表达方式。
对于给定的矩阵A，其特征多项式定义为：f(λ) = det(A - λI)，其中I是单位矩阵。
特征多项式可以帮助我们找到矩阵的特征值和特征向量。
三、求若尔当标准型1.找到矩阵的特征值和特征向量。
根据特征多项式的定义，我们可以求解出矩阵的特征值和对应的特征向量。
2.将特征向量正交化。
为了得到正交化的特征向量，我们需要将特征向量进行正交化处理。
这一步可以通过施密特正交化方法实现。
3.构建若尔当标准型。
根据正交化的特征向量，我们可以构建出矩阵的若尔当标准型。
若尔当标准型是一种特殊的标准型，它的形式是J= diag(j_1,j_2, ..., j_n)，其中j_i是矩阵的特征值。
四、实例分析为了更好地理解这一过程，我们可以通过一个具体的例子进行分析。
假设有一个2x2的矩阵A，其特征多项式为f(λ) = (λ - 1)^2 - 1。
首先，我们可以通过求解特征多项式得到矩阵的特征值和对应的特征向量。
然后，我们将特征向量进行正交化处理，得到正交化的特征向量。
最后，我们根据正交化的特征向量构建出矩阵的若尔当标准型。
五、结论通过特征多项式求解若尔当标准型是一种有效的方法，可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。
在实际应用中，我们可以利用这一方法对矩阵进行分析和处理，从而解决各种实际问题。
若尔当标准型
若尔当标准型例：求矩阵的若尔当标准型。
STEP1：求的初等因子注:定理陈述了矩阵的特征矩阵()可以通过初等变换转化为上述标准型，称为矩阵的标准型。
初等因子:矩阵标准对角线上的次数大于0且第一项是1的一次幂。
本例题中，初等因子为，。
注:以上两个初等因子虽然有相同的特征值，但代表两个不同的Jordan块。
STEP2：写出每个初等因子对应的若尔当块初等因子对应的特征值是对应Jordan块的对角元素，初等因子的阶是对应Jordan块的阶。
对应的若尔当块为：；对应的若尔当块为：若尔当标准型 4和的顺序可以改变，但一般是按初等因子的顺序。
方法二：求特征值法例：求矩阵的若尔当标准型。
STEP1：求矩阵的特征值令，解得；STEP2：求每个特征值的几何重数（相同特征值求一次即可）几何重数：代表该特征值对应的若尔当块的个数；几何重数=特征矩阵的列数-rank(特征矩阵)。
本题中：对应的几何重数==3-1=2。
STEP3：求每个特征值对应的若尔当块的最大阶数设每个特征值对应的Jordan块的最大阶为，并且是成立的最小正整数。
引用本题中，由于为零矩阵，所以k=2，即对应的若尔当块的最大阶数为2，所以有两个若尔当块，一个一阶的，一个二阶的，即：若尔当标准型 9与的顺序可以变。
方法三：求Q矩阵（特征值均互异可用）STEP1：求矩阵的特征值STEP2：求矩阵的特征值对应的特征向量p1,p2,p3STEP3：由特征向量组成Q矩阵STEP4：求JJ=Q-1*A*Q参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013:342-348.。
mathematica 求若尔当标准型
mathematica 求若尔当标准型若尔当标准型（Jordan Canonical Form）是线性代数中的一个重要概念，用于描述一个线性变换在一组合适的基下的矩阵形式。
Mathematica是一种强大的数学软件，可以用来计算和处理线性代数相关的问题，包括求解若尔当标准型。
下面是一个详细的步骤，使用Mathematica求解若尔当标准型的示例：1. 首先，打开Mathematica软件并创建一个新的笔记本文件。
2. 定义一个矩阵A，表示线性变换的矩阵形式。
可以使用MatrixForm函数将矩阵以可视化的方式显示出来。
例如，可以使用以下代码定义一个3x3的矩阵A：A = {{2, 1, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}};MatrixForm[A]3. 使用JordanDecomposition函数对矩阵A进行若尔当标准型的分解。
该函数的输入参数是一个矩阵，返回值是一个包含两个元素的列表，第一个元素是若尔当标准型矩阵，第二个元素是相应的变换矩阵。
可以使用以下代码进行计算：{J, P} = JordanDecomposition[A];4. 使用MatrixForm函数将计算得到的若尔当标准型矩阵J和变换矩阵P以可视化的方式显示出来。
例如，可以使用以下代码显示J和P：MatrixForm[J]MatrixForm[P]5. 运行代码，Mathematica将计算并显示矩阵A的若尔当标准型矩阵J和变换矩阵P。
以上是使用Mathematica求解若尔当标准型的基本步骤。
需要注意的是，Mathematica还提供了许多其他函数和工具，用于处理线性代数问题，如求解特征值和特征向量等。
可以根据具体的问题和需求，灵活运用这些功能来完成更复杂的计算任务。
矩阵的若尔当标准型及简单应用
矩阵的若尔当标准型及简单应用矩阵的及若尔当标准型及简单应用摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。
对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。
主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P 的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。
关键词：若尔当线性变换矩阵标准定义1：????1?0??...?0?00??0??...00??.... ........?001???，其中主对角上0...00...0?1...0设?是一个复数，矩阵的元素都是?，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的?一个若尔当.当?=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ：设?是n维向量空间V的一个线性变换，?1,?2,...,?k都是?的一切互不相同特征值，那么存在V的一个基，?关于这个基的矩阵有形式?B1?????0?B20??????Bk???Ji1?????0?Ji2这里Bi=0??????Jisi??，而Ji1,Ji2,...,Jisi都是属于?i的若尔当块，i?1,2,...,k. r1rkP(x)?(x??)...(x??)?1k证：设的最小多项式是，而P(x)在复数域上是不可约的因式分解，这里?1,?2,...,?k是互不相同的特征值，r1,r2,...,rk是正整数。
ririV(???)?{??V(???)??0 }，i?1,2,...,k,所以空间iii又=ker｜V有直和分解V=V1?...?Vk. 1 对于每一i，令?i是?—?i在Vi上的限制，那么?i 是子空间Vi的一个幂零线性变换，而子空间Vi可以分解为?i一循环子空间的直和：Vi?Wi1?...?Wisi. 在每一循环子空间Wij?(j?1,2,...si)里，取一个循环基，凑成Vi的?Ni1??Ni????0??i一个基，那么关于这个基的矩阵有形状Ni20??????Nisi?? 这里Nij(j?1,2,...,si)是幂零若尔当块。
8.6若尔当标准型(课堂PPT)
ks 也可能有相同的.
16
每一初等因子 (i)ki 对应 于一个若尔当块
i 0 1 i
Ji 0 1
0 0 0 0
0Hale Waihona Puke 0(i 1,2, ,s).
0
0
1
i
这些若尔当块构成一若尔当形矩阵
J1
J
J2
.
所以 E- Ji 与
于是
1 1
1
(
i )ki
等价.
Ek1 J1 EJ
Ek2 J2
Eks Js 13
与
1
1 ( 1 )k1
1
1 ( 2 )k2
1
等价.
1
(
s
)ks
因此，J 的全部初等因子是：
( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s.14
( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 .
求矩阵A的Jordan标准形.
解 按定义，它的初等因子有 7 个，即
( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .
于是其若尔当标准形为
J s
17
根据以上的计算，J 的初等因子也是
( 1 ) k 1 ,( 2 ) k 2 , ,( s ) k s
因为 J 与 A 有相同的初等因子，所以它们相似. 如果另一若尔当形矩阵 J 与 A 相似，那么 J
与 A 就有相同的初等因子，因此 J 与 J 除了其中
若尔当标准型的研究3
若尔当标准形的研究中文摘要：矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用。
每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。
对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可以通过相似变换化为对角形。
本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若尔当标准形的几种求解方法，对若尔当标准形进行探讨。
关键字：若尔当标准形、相似矩阵、初等因子、循环向量目录目录 (2)第一章：绪论 (1)第二章：若尔当标准形 (2)2.1若尔当标准形的定义 (2)2.2矩阵最小多项式 (3)2.3定理的证明 (6)本章小结： (10)3.1利用初等因子求矩阵的若尔当标准型 (11)3.2利用矩阵的秩 (13)3.3用循环向量法求若尔当形 (17)本章小结： (19)第四章若尔当标准形的应用 (20)4.1可逆矩阵P的求法 (20)4.2常系数齐次线性微分方程的解 (24)本章小结： (27)结论： (28)参考文献： (30)致谢： (29)第一章：绪论矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相识变换得到。
矩阵的若尔当标准型理论在数学、力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛的应用，因此矩阵的若尔当标准形和过度矩阵的研究成为一个重要的研究课题。
在线性代数中，若尔当标准型（或称若尔当正规型）是矩阵的一类。
若尔当矩阵理论说明了任何一个系数域的方块矩阵如果特征值都在中，那么必然和某个若尔当标准型相似。
或者说，如果一个线性空间上的自同态特征值都在系数域中，那么它可以在某个基底下表示成若尔当标准型。
若尔当标准型几乎是对角矩阵：除了主对角线和主对角线上方的对角线外系数都是零。
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都是若尔当块，而
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0
是一个若尔当形矩阵.
5
一级若尔当块就是一级矩阵,因此若尔当形矩 阵中包括对角矩阵.
因为若尔当形矩阵是下三角形矩阵,所以不难 算出,在一个线性变换的若尔当形矩阵中,主对角 线上的元素正是特征多项式的全部根(重根按重数 计算).
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11
但 (V ) {0}, 得V {0}, 矛盾. 故 (V )的维数 n.
k
将 看成是 (V )上的线性变换, 仍有 k (零变换).
由归纳假设, (V )上有基 1 2 ( 1 ) ( 2 )
t ( t )
(4)
k1 1 ( 1 ), k2 1 ( 2 ), k1 k2 ( ( 1 ) 0) ( ( 2 ) 0)
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2
定义 8 形式为 0 0 0 0 0 0 0 1 J ( , t 1 0 0 0 0 0 0 1 t t 的矩阵称为若尔当(Jordan)块,其中 是复数.由若 干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩 阵,其一般形状如
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15
现在回来证明定理 13 . 因为
Vi { | ( i )ri 0, V }.
所以在 Vi 上有
( i ) .
ri
作
( i ) | Vi ,
则
.
ri
由引理, 有 Vi 的基使τ的矩阵为若尔当形.
§8 若尔当(Jordan)标准形介绍
主要内容
基本概念 主要结论
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1
一、基本概念
从前面第五节的讨论可以知道,并不是对于每 一个线性变换都有一组基,使它在这组基下的矩阵 成为对角形.
那么,在适当选择的基下,一般的一个线性变 换的矩阵能化简成什么形状.
在这一节,我们的讨论限制在复数域中.
1
l2
i
1
i
19
这也是若尔当形.
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li
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把每个 Vi 的上述基合起来是 V 的基,σ在该基下的 矩阵仍为若尔当形矩阵. 上述结果用矩阵表示就是：
定理 14 每个 n 级复矩阵 A 都与一个若尔当形 矩阵相似. 定理 14是借助于线性变换的不变子空间的直和 分解及取适当基向量来达到证明的.这是用线性变换 的工具来解决矩阵问题的范例. 但这方法用于计算一般矩阵的若尔当形却不方 便. 甚至也难于判断两个 n n 矩阵何时是相似的.
k1
k2
0 1
0
(3)
ks
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10
证 我们对 V 的维数 n 作归纳法.
n 1时,V 有基1 , 且 (1 ) 11 . 由
(1 ) 1 1 0,
k k
得1 0. 于是1 ( (1 ) 0), 是要求的基.
2
, kt ( t )合起来构成 1 (0)的一组基 :
k (1 ), k ( 2 ),
, kt ( t ), t 1 ,
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, s
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14
于是,下列向量集合:
(V )的一组基的原像
1 (1 )
2 ( 2 )
t ( t )
k2 k2 kt kt
,
kt 1
( t ) ( ( t )) ( t ) 0
所以 k1 (1 ),
, kt ( t )是 的核 1 (0)中的向量, 它
们是 (V )的基中的部分向量, 故是线性无关的.
设 t 1 ,
1
, s 是 1 (0)中的向量, 它们与 k1 (1 ),
这一节我们将利用线性变换按它的不变子空间 的直和分解的性质来证明下列重要结论.
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6
二、主要结论
定理 13 设 是复数域上线性空间V的一个线 性变换, 则在V中必定存在一组基, 使 在这组基下 的矩阵是若尔当形矩阵, 称为 的若尔当标准形.
证 设 的特征多项式为
f ( ) ( 1 )r1 ( 2 )r2 ( s )rs ,
(5)
k1 1 (1 ), k2 1 ( 2 ), k1 (1 ) k2 ( 2 )
kt 1 ( t ). kt ( t ), t 1 ,
1 0)的一组基
, s ,
由定理11知虚线方框中的向量与最后一行的向 量合起来就是 V 的一组基, 且符合引理的要求(这时 kt+1 = … = ks =1 ) . 由数学归纳法原理,引理成立.
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20
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16
0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
l1
l2
0 1
0
17
li
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由 ( i ) | Vi 知, 在Vi 上, 有 i ,即
设线性空间维数 < n 时, 引理的结论成立.
对满足引理条件的n维线性空间V , 考察 的不 变子空间 (V ).
若 (V )的维数等于n, 则 (V ) V , 于是
(V )
k
k 1
( (V ))
k 1
(V )
k 2
(V )
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(V ) V
排出下列向量集合：
1 (1 )
2 ( 2 )
t ( t ) kt 1 ( t ). kt ( t ),
k1 1 (1 ), k2 1 ( 2 ), k1 (1 ) k2 ( 2 )
其中实线方框中的向量组正是 (4) 中的向量组, 虚线 方框中的向量组正是实线方框中各向量在τ下的原像 kt k1 所成的向量组. 最后一行中的 (1 ), , (t )
1 , 2 , , s 是 f ( )的全部不同的根. 由定理12知V 可
可分解成 的不变子空间的直和
V V1 V2 Vs
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7
其中
Vi { | ( i ) 0, V }.
ri
我们如能证明在每个Vi 上有一组基使 | Vi 在该基 下的矩阵为若尔当形矩阵, 则定理得证.
| Vi i
于是 | Vi i 在该基下的矩阵为 在该基下 的矩阵(3)与i 在该基下的矩阵i E的和,即为
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18
i 1
i
1
i i
1
l1
i
1
结束
8
引理 n维线性空间V 上线性变换 满足 k (零变换), k是某正整数, 就称 为V 上幂零线性变换. 对幂零线性变换 ,V 中必有下列形式的一组元素作 为基
1 , (1 ),
k1 1
2 , ( 2 ),
k2 1
s , ( s ), ks 1 ( s ).
其中k1 , k2 , , kt皆为正整数. 由于 1 , 2 , , t (V ), 有1 , 2 ,
kt 1 ( t ). kt ( ( t ) 0)
,t V , 使
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12
(1 ) 1 , ( 2 ) 2 , , ( t ) t
( (s ) 0)
ks
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(2)
(1 );
( 2 );
其中 ( (1 ) 0) ( (2 ) 0)
k1 k2
于是τ在这组基下的矩阵为
9
0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 1
0 2 0 0 1 1 2 0 , 0 0 1 2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0 4 1
0 0 i 0 , 0 1 i 0
0 0 0 0 0 4
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13
因 ( (1 ))
k1 k2
k1 1
(1 ) ( (1 )) ( 1 ) 0 ,
k1 k1
( ( 2 )) ( ( t ))
kt
k2 1
( 2 ) ( ( 2 )) ( 2 ) 0 ,
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3
A1
A2
As
(1)
其中 i 1 Ai 并且1 , 2 ,
i
1
i
1
i ki ki
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, s中有一些可以相等.
4
例如