小学奥数盈亏问题

盈亏问题课前预习儿歌：鸟儿飞来了，落在大树梢，每树落一只，一鸟没树找，每树落2只，一树没有鸟，请问几棵树？又有几只鸟？考试要求一、在理解的基础上掌握盈亏问题的三种类型二、能灵活运用盈亏问题的基本公式解题三、理解盈亏中的“总量”和“份数”，灵活应用盈亏法解决问题知识框架一、盈亏问题的三种类型1. 直接计算型盈亏问题【举例】朝阳小学买来一批小足球分给各班：如果每班分个，就差个；如果每班分个，则正好分完，朝阳小学一共有多少个班？买来多少个足球？2. 条件转换型盈亏问题【举例】幼儿园把一袋糖果分给小朋友，如果分给大班的小朋友，每人粒就缺粒；如果分给小班的小朋友，每人粒就余粒．已知大班比小班少个小朋友，这袋糖果共有多少粒？3. 关系互换型盈亏问题【举例】小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10 千克牛肉则还差 6 元，若买12 千克猪肉则还剩 4 元．已知每千克牛肉比猪肉贵 3 元，问：小明妈妈带了多少钱？二、基本公式1. （盈＋亏）÷两次分得之差＝人数或单位数2. （盈－盈）÷两次分得之差＝人数或单位数3. （亏－亏）÷两次分得之差＝人数或单位数三、基本思想方法1. 实质分配中的余缺问题2. 三种类型的综合处理简单问题的处理：量的差别 单位差别3. 遇到陌生、复杂的盈亏问题，可以用转换的思想用假设法，把陌生问题、复杂问题转化为熟悉问题、简单问题重难点重点 ： 在理解的基础上，掌握盈亏问题的基本类型并能灵活运用公式解决问题难点 ： 盈亏问题中份数与总量的区分（这是学生能够灵活运用盈亏法解决问题的前提）例题精讲【例 1】小朋友分糖果， 若每人分 10粒则多 9 粒；若每人分 11粒则刚好 .问：有多少个小朋友分多少粒糖？【考点】 直接计算型盈亏问题 【难度】 ☆ 【题型】 填空题；应用题；结合方程的应用题 【解析】在这个例题中，主要让学生体会到分 10 粒则多 9 粒，而分 11粒则刚刚好！那么可以说 "这九粒 糖的任务 ”就是给每一位小朋友再发一个糖，那么九粒糖每人发一个？是多少个小朋友？九个 .这道题的目的在于让学生体会盈亏的思想，数量上都不用做太高要求，这是学习盈亏问题之前的预 热！【答案】（ 1） 9个小朋友 （2）99 颗糖【巩固】北京某校三年级一部分同学分小玩具，如果每人分 4个就少 9个，如果每人分 3 个正好分完 .问： 有多少位同学分多少个小玩具？【例 2】小朋友分糖果，若每人分 糖？总共有多少粒糖果？考点】 直接计算型盈亏问题 【难度】 ☆ 【题型】 填空题；应用题；结合方程的应用题 解析】与上题相比， 这题有了变化， 本来 9 粒糖就可以分了， 但是现在呢？要几粒糖？ 15粒？小朋友的 人数（份数）与糖的粒数（总数）是不变的 .比较两种分配方案，第一种方案每人分 4 粒就多 9粒，第二种方案每人分 5 粒就少 6粒，两种不同的方案一多一少相差 9＋ 6＝ 15（粒） .相差的原 因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分 4 粒，第二种方案每人分 5 粒，两次分配数之 差为 5－ 4＝ 1（粒）.每人相差 1 粒，多少人相差 15 粒呢？由此求出小朋友的人数为 15÷1＝ 1（5 人）， 糖果的粒数为： 4×15＋9＝ 69（粒） .通过上述两道例题主要是让学生体会盈亏的思想， 这对于后面公式的总结比较有帮助 .教师可以酌 情考虑，假如学生的情况比较好，那就不需要上述预热 .答案】（ 1）15 （ 2）69答案】（1）9 个小朋友2）36 个玩具10 粒则多 9粒；若每人分 11粒则差 6 粒.问：有多少个小朋友分多少粒【巩固】智康给优秀学员发奖品，假如每人领取 7 枝笔，则还剩 3 枝，假如每人领取 8 枝笔，则还差 55 枝.问：有多少优秀学员？多少支笔？【答案】（ 1）58（人） （2）409（支）【例 3】点点妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃 4个，要多出 48 个苹果；如果每 天吃 6个，则又少 8 个苹果 .那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？考点】 直接计算型盈亏问题 【难度】 ☆ ☆ 【题型】 填空题；应用题；结合方程的应用题 解 析】 题 中告诉我们每天吃 4 个，多出 48 个苹果；每天吃 6 个，少 8 个苹果．观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃 4 个变为每天吃 6 个，也就是每天多吃 2 个时，苹果从多出 48 个到少 8 个，也就是所需的苹果总数要相差 48＋ 8＝ 56（个） .从这个对应的变化中可以看出，只要求 56 里面含有多少个 2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共 有多少个苹果了． 吃的天数是 （48＋8）÷（6－ 4）＝56÷2＝28（天），苹果数是 6×28－8＝160（个） 或 4×28＋48＝ 160（个）．答案】（1）160 （ 2）28巩固】 “六一 ”国际儿童节联欢会上，买来一包糖，如果每人分 15 块，则还剩 42 块，如果每人分 17 块，则少 16 块.问：这包糖有几块？一共有几个学生？难度】 ☆ ☆ 【考点】 直接计算型盈亏问题 【题型】 填空题；应用题；结合方程的应用题 解析】题中告诉我们买 2 米还余 1.80 元，如果买 4 米则差 2.40 元，那么买两米布需要多少钱？通过上 述两种方案我们可以知道本来买 2 米剩 1.80 元，而再买两米就还要差 2.40 元，所以我们可以知 道两相对比钱数的变化是 3.2 元.而钱发生变化是因为我们又买了 2 米，也就是说 2 米 3.2元，所 以很自然就可以知道一米 1.6 元，算式： 1.6 ×2＋1.8=4（元） .答案】 4 元巩固】某校同学排队上操 .如果每行站 9 人，则多 69人；如果每行站 12人，则多 15人.一共有多少学生？ 答案】（1）10 人 （2）72答案】（1）29 2)477 【例 4】妈妈带小敏去商店买布，妈妈带的钱如果买着多少钱？ 2 米还余 1.80 元，如果买 4 米则差 2.40 元，问妈妈带【例 5】 一家旅店，若每个房间住 6 人，则 16人没有床位；若每个房间住 8人，则有一间房间是空出来 的.这家旅店有多少个房间？要住宿的人数有多少？【考点】 条件转化型盈亏问题 【难度】 ☆ ☆ ☆ 【题型】 填空题；应用题；结合方程的应用题 【解析】这道题式较之前的题发生变化的是在第二个分配方案里并没直接告述我们少多少 （即亏是多少） ，在这种说法中学生可能会错误计算 .实际上，在第二种方案中，只要换一个说法：若每个房间住 8人，还需要 8 个人才能住满。

这就跟之前的盈亏没有区别，同样是方案一：有一批人（总数） ，住进房间（份数）第一次分配 6 人住一间（一间房间分给它 6 个人），还多余 8 个人；第二次分 配是 8 人住一间（一间房间分给它 6 个人），再来 8 个人才能让所有房间有人 .也就是所需的人的 总数要相差 16＋ 8＝ 24（人），从这个对应的变化中可以看出，只要求 24 里面含有多少个 2，就是所求的房间数；有了房间数，就不难求出有多少人了 . 16＋8＝24（人）；24÷2=12（间）人数是12×8－8＝88（人）或 6×12＋16＝ 88（人）．【答案】 12 个房间； 88 人【例 6】 某班同学去划船．他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好 每条船坐 9 人．问：这个班共有多少同学？【考点】 条件转化型盈亏问题 【难度】 ☆ ☆ ☆ 【题型】 填空题；应用题；结合方程的应用题【解 析】这道题中，总量 :人的数量 份数：计划中船的数量 .但是在两种分配方案中都没有统一的份数， 一个是比计划的船数少一， 一个是比船数多一 .我们不妨用假设法 （这是在盈亏问题中常用的思想 方法）假设在方案一中，不增加船数那么就有六个人没座（即剩六人） ，假设在方案一中，不减 少船数那么就有 9 个座没人（即差 9 个人来坐这位置） .原式 9＋6＝ 15（人）；15÷3=5（条）人 数是5×9－ 9＝36（个）或 5×6＋6＝ 36（个）．【答案】 36 个人答案】 25 辆车； 1560 个人【巩固】某合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐 长椅 .问：合唱队有多少人？有多少个长椅？ 【答案】 48 人；13 个长椅3 人则多出 9 人，若每条长椅上坐4 人则多一个【巩固】某实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐 恰好多出一辆车 .问一共有几辆车，多少个60人，则还需要加派一辆车；如果每辆车多坐 5 人，【例7】少先队员去植树，如果每人挖 5 个树坑，还有 3 个树坑没人挖；如果其中两人各挖 4 个树坑，其余每人挖 6 个树坑，就恰好挖完所有的树坑.请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆ ☆ ☆ 【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题【解析】题中告诉我们每人挖5个，还有 3 个树坑没人挖（即是多出3个树坑）；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑.也许有同学会有一个想法，假如第二个方案中所有人都挖6个树坑那就好了！那我们有什么办法把第二种方案中所有人都变成挖 6 个树坑呢？假设法! 这里我们自己提供了一种方案：每人都挖 6 个树坑，则还差四个树坑（2×2=4 ，较原来的基础上多挖了，多挖的是别人的树坑不是少先队员的树坑，所以是差四而不是多四）少先队员：（3+4）÷（5－4）＝7（人），树坑数是7×6－4＝38 （个）或5×7＋3＝38（个）【答案】7 个人；38 个树坑【巩固】兔子妈妈分白菜：如果其中 2 只小兔子每只分4棵，其余每只分 2 棵，则多4棵白菜；如果其中一只小兔子分 6 棵，其余每只分 4 棵，则差12 棵白菜.问：一共有多少只小兔子？一共有多少棵白菜？【答案】9 只兔子；26 棵白菜例8】有若干个苹果和梨，如果按 1 个苹果配 3 个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩 2 个梨；如果按1个苹果配4个梨分一堆.那么梨分完时，还剩1个苹果.问梨有多少个？考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆ ☆ ☆ ☆【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题解析】在这道题中，我们主要是把苹果看作为份数（即我们分糖果中的人头），有了这个想法这道题就不难解决了！就变成了我们盈亏中的基本题型了！方案一：三个梨一个苹果（一个小朋友），剩两个梨.方案二：四个梨一个苹果（一个小朋友），剩一个苹果.方案三：四个梨一个苹果（一个小朋友），剩一个苹果即差两个梨.方案三是建立在方案二的基础上的，方案三是隐形的方案.由方案一和方案三就可以通过基本盈亏问题来解决.2+2=4 苹果数：4÷1=4 梨数：4×4－2＝14（个）或3×4＋2＝14（个）答案】14 个梨【巩固】肯德基搞买汉堡赠玩具活动（玩具是有限的，送完即止），如果按照三个汉堡换赠一个玩具，那么玩具送完了，汉堡还剩10 个，假如按照四个汉堡送一个玩具，那么汉堡卖完了，玩具还剩 4 个？问这一天肯德基准备了多少汉堡？多少玩具？假如你是肯德基的负责人你会怎么计划呀？【答案】88 个汉堡；26个玩具；以玩具刚好送完为原则（答案不唯一）【例9】王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500 米，上课就要迟到 3 分钟；如果每分钟骑车600 米，就可以比上课时间提前 2 分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题解析】对于学生来说，这道题的盈与亏好像都不容易直接看出来，假如前面的学习中对份数和总量都有所要求，那么在后面的讲解中也会容易许多.这道题我们主要是把时间看作为份数（即我们分糖果中的人头），而路程是总数.方案一：500 米一分钟，迟到三分钟500 米一分钟，剩1500 米（假设迟到的三分钟停止不动）⋯⋯①方案二：600 米一分钟，提前两分钟600 米一分钟，少1200 米（假设早到的二分钟也在骑车）⋯⋯②由①与② 可以得出以下算式：1500+1200=2700 米原计划时间：2700 ÷100=27 分钟路程：600×27－1200＝15000（个）或500×27＋1500＝15000（米）答案】15000 米【巩固】（☆ ☆☆ ☆ ☆ ）学校规定上午8 时到校，小明去上学，如果每分种走如果每分钟走50米，要迟到2分钟到校.由家到学校的路程是多少？【答案】1500 米【例10】李阿姨给小朋友分糖果．若每人分8 块，还剩10 块；若每人分9 块，最后一人分不到9 块，但至少可分到一块．那么糖果最多有多少块？【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 【题型】填空题；应用题；结合方程的应用题【解析】方法一：假设法我们可以假设最后这人分8 块，分7 块让后去分别进行计算.分7 块时：还差 3 块，10+3=13 ÷1=13 人糖果数：13×8＋10＝114分8 块时：还差 2 块，10+2=12 ÷1=12 人糖果数：12×8＋10＝106 通过上述两个算式我们可以看到差的越多在计算糖果数时会越大，所以差9 块（分一块）时糖果数是最多的.19 ×8＋10＝162方法二：当（盈+亏）越大，糖果数越多，所以亏=9 时，糖果数最大.（10+9）×8＋10＝162答案】16260 米，可提早 3 分钟到校；【巩固】（☆☆☆☆☆）有 48个香蕉分给两个笼子的小猩猩， 已知第二个笼子比第一个笼子多 5只猩猩．如 果把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩，那么每只猩猩 4 个，有剩余；每只猩猩 5个，香蕉不够．如果把香 蕉全分给第二个笼子里面的猩猩，那么每只猩猩 3个，有剩余；每只猩猩 4 个，香蕉不够．问第二个笼子 有多少只猩猩？【答案】第一组： 10 只猩猩 第二组： 15 只猩猩总结复习一、假设法常使用 （当问题与基本盈亏问题有差异时， 我们可以通过一些假设创造出符合我们要求的方案 ）二、公式要活学： （盈 +亏）÷两次分得之差 =份数（人数）三、“总数”、份数要分清（需要多变式练习）教学分析一、教学目标本讲主要学习第一种类型的盈亏问题：1.理解掌握并运用直接计算解决盈亏问题（盈与亏型） 2.通过例题练习，让学生总结盈亏公式 3. 能够运用假设法解决复杂的盈亏问题二、教学建议本堂课作为盈亏问题 （直接计算型）的第一课时， 是基础章节 .但是在这一堂课中必须要学生充分理解 盈亏问题的涵义，这样才能游刃有余。