1 格点与面积

1 格点与面积

学习目标：

1、通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；

2、让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；

3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法，渗透“从特殊到一般”的数学思想。

教学重点:

掌握格点数与图形面积之间的关系，即皮克定理。

教学难点：

引导学生学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题（找规律）的方法，领悟“从特殊到一般”的数学思想。

教学过程：

一、情景体验

准备道具：三片树叶，其中两片用肉眼分不清大小，另一片明显比前两片更小。一张透明的网格塑料片。

师：同学们看，老师手上拿的是什么东西啊？（展示能比较出大小的两片树叶）生：树叶。

师：你们能判断哪片树叶大吗？

生：左手拿的树叶大。（或者右手，具体看老师实际操作）

师：很容易判断对不对，那如果是这两片树叶呢？（展示用肉眼分不清大小的两片树叶）

生：（猜测回答，并不确定。）

师：今天呀，我们的小伙伴朋朋和优优也碰到同样的情况（展示PPT，参考教材讲述故事）

师：同学们，你们也想知道吗？今天我们就一起来学习格点与面积吧！（板书课题：格点与面积）

二、思维探索（建立知识模型）

师：让我们先来认识下面的几幅图吧！（展示PPT）

师：图（1）是我们常见的方格图，画着横竖两组平行线，相邻平行线之间的距离是相等的。两组直线的交点，我们称它为格点。（板书：格点）

比如说这个点（老师可以具体指出几个点，让学生直观认识什么叫做格点）。师：如果老师将这些平行线都隐去，结果会怎样呢？

生：只留下格点了。

师：是的，就变成图（2）了。

师：现在我在图（1）图（2）上画了一些多边形，如图（3）（4），大家观察一下这些多边形的顶点与格点之间有什么关系呢？

生：多边形的顶点都在格点上。

师：这位同学观察得非常细致！像这样，如果一个多边形它所有的顶点都在格点上，这样的多边形就叫做格点多边形或格点图形。（板书：格点图形）

（让学生自己在下面画出一个格点图形，加深理解）

展示例1

例1：观察下列几个格点多边形，图中横行和竖列相邻两点间的距离是相等的，都是1厘米，你能求出下列各图的面积吗？

师：你能用哪些方法求出各图的面积？

生1：数方格，1个方格就是1平方厘米。

生2：前面三个图可以利用面积公式计算，图④要先分割，再公式计算。

师：回答得都非常正确！除了这些学过的方法，还有其他方法吗？（学生思考）师引导：这些图形的面积与格点之间有什么关系呢？

生：从图形上看，图形所包含的格点越多，面积就越大。

师：图形所包含的格点是不是就是指图形一周的格点数呢？

生：是的。

师：要想知道它们之间具体的关系，我们可以设计一张表格，研究探讨图形面积与格点之间有什么规律。

师：图①是正方形，它一周的格点数是多少？面积是多少？

生：一周格点数是4，面积是1平方厘米。

师：图②呢？

生：一周格点数是6，面积是2平方厘米。

师：（出示表格）你能继续填完表格吗？

（学生自己先尝试填写图③图④的一周格点数和面积，老师再讲解。）

师：你发现格点数与面积之间有什么关系？

（引导学生通过表格上的数据进行分析，总结规律。）

板书小结：面积=一周格点数÷2－1

三、思维拓展（知识模型的运用）

展示例2

例2：朋朋和优优好像找到了数点求格点多边形面积的新方法，但是他们用“面积=一周格点数÷2-1”计算下列四个图形面积时出了问题。第三个图形的面积是4平方厘米，而用格点求面积的方法求出是3平方厘米；第四个图形面积是5平方厘米，怎么用格点求面积的方法求出是4平方厘米？你知道其中的原因吗？

师：读完题目，大家是否也有同样的疑惑呢？

生：是的。

师：大家仔细观察比较例2和例1所围的格点图形，有区别吗？

生：哦，我发现例1的图形中间没有格点，而例2的图形中间都有1个格点。师：非常正确。刚才例1我们是用什么方法找到规律的呢？

生：列表、分析数据、总结规律。

师：现在我们能不能用同样的方法找出例2的规律呢？大家动手试一试

（学生尝试填完表格并找出规律，老师适当引导后总结）

师：大家发现，格点图形的面积不仅跟它一周格点数有关，还跟它中间有没有点有关，对不对，所以在求面积时一定要先看图形的中间有没有点，有几个点。板书小结：（中间有1个点）图形面积=一周格点数÷2

同时在例1的板书“面积”前添上（中间没有点）

四、融会贯通（知识模型的拓展）

展示例3

例3：验证：

（1）中间有2个点的图形，用数格点求面积方法是：面积=一周格点数÷2＋1。（2）中间有3个点的图形，用数格点求面积方法是：面积=一周格点数÷2＋2。

师：可以怎么验证呢？

生1：直接算出图形面积来验证。

生2：用同样的方法，列表分析找规律。

（学生动手填完表格并找出规律，老师总结）

板书小结：（中间有2个点）图形面积=一周格点数÷2+1

（中间有3个点）图形面积=一周格点数÷2+2

展示例4

例4：猜想中间有4个点的格点图形面积怎样计算？5个点呢？你能用一个完整的公式表示中间有任意个点（n个点）的格点多边形的面积吗？

师：题目没有给出格点图形，我们可以在前面的格点图上先画出来。

（学生动手，各画出一个格点图形）

师：先画完的同学试着按照前面例题所学的方法，看看应该怎么计算。

板书小结：（中间有4个点）图形面积=一周格点数÷2+3