1 格点与面积
格点法求面积的公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。
1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。
这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。
2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。
高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
小学思维数学讲义：格点型面积-带详解
格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
四年级数学专题讲义第十讲 格点与面积
第十一讲格点与面积同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！一、正方形格点问题：正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.例1、判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有(1)是格点多边形。
例2、如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.法一：第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位)；第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位)；第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位)；第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位)；第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3＋6)×4÷2=18(面积单位).注：如果两格点之间的距离是2，你能利用刚计算的结果说出相应面积么？分析：面积数值均扩大4倍。
法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成平置的长方形来求。
格点与面积
格点与面积第四讲格点与面积【例1】图1中是用橡皮筋钉在钉板上围成的几个图形，每两个相邻点之间分析图1中每相邻点之间的距离都是1厘米，相邻四个点围成的小方格面积就是1平方厘米，相邻三个点围成的小三角形面积就是0.5平方厘米。
解进行分割（图2）。
（1）的面积是6平方厘米，（2）的面积是12平方厘米，（3）的面积是3平方厘米，（4）的面积是9平方厘米，（5）的面积是5.5平方厘米。
说明图2中的图形，都是以格点为顶点的多边形，称为格点多变形，格点多边形的面积越大（小），它所包含的格点（包括边界上的）就越多（少）。
【例2】计算图3（1）中三角形的面积。
图3分析图中三角形是斜着的，先将它扩展成长方形，如图3（2），这个长方形由4个三角形组成，分别求出：①、②、③3个三角形的面积，再用长方形面积减去这3个三角形的面积和，即可求出原三角形的面积。
解三角形①的面积：3X24-2=3三角形②的面积：2X24-2=2三角形③的面积：4X14-2=2 长方形面积：4X3=12三角形④的面积:12-3-2-2=5【例3】图4中每两个相邻点之间的距离都是1厘米，求出各个图形的面积,图4分析按照例1的分析方法，进行分裂。
解A的面积是2平方厘米，B的面积是4. 5平方厘米，C的面积是5. 5平方厘米，D的面积是7平方厘米，E的面积是2平方厘米。
填表:n c r vv-fl B } 分析 现在小方格的面积是2,即比例2扩大了两倍，可以用例2的公式，也可 以直接计算，先把图4分割，如图6,然后数一数三角形的个数。
图6解A 的面积是5平方厘米，B 的面积是10平方厘米，C 的面积是12平方厘米,寻找规律: 图形 A : 4-2+1-1=2 图形 B : 9-2+1-1=4.5 图形 C: 9-2+2-1=5.5 图形 D: 10 - 2+3-1=7 图形 E : 6-2+0-1=2 于是，图形的面积与格点数有如下关系: 图形的面积=边上点数十2+内部点数-1 【例4】 图5中每相邻三个点围成的面积是1平方厘米，求各图的面积。
格点与面积_小学奥数知道点详解
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。
格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。
皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。
本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。
例1：求下面各图形的面积。
【解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
三角形格点面积求法
三角形格点面积求法在平面直角坐标系中，我们可以用格点来表示点的位置。
一个格点就是一个整数坐标点，例如(1,2)、(3,4)等等。
而一个三角形可以由三个不同的格点组成，我们可以通过这些格点来计算三角形的面积。
我们需要知道如何计算两个格点之间的距离。
假设有两个格点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)接下来，我们可以用海龙公式来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则三角形的半周长可以用以下公式计算：s = (AB + AC + BC) / 2其中，AB、AC和BC分别为三角形的三条边的长度。
接下来，我们可以用以下公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))这个公式被称为海龙公式，它可以用来计算任意三角形的面积，不论是由格点组成的三角形还是由实数坐标点组成的三角形。
举个例子，假设有一个三角形，它的三个顶点分别为A(1,1)、B(3,2)和C(2,4)。
我们可以先计算出三条边的长度：AB = √((3-1)² + (2-1)²) = √5AC = √((2-1)² + (4-1)²) = √10BC = √((3-2)² + (2-4)²) = √5然后，我们可以计算出半周长：s = (AB + AC + BC) / 2 = (√5 + √10 + √5) / 2我们可以用海龙公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(5/2 * 3/2 * 1/2 * 3/2) = 3/4因此，这个三角形的面积为3/4平方单位。
总结一下，我们可以用格点来表示三角形的顶点，然后用勾股定理来计算三角形的边长，最后用海龙公式来计算三角形的面积。
【讲义】四年级下第04讲_格点图形面积计算
第四讲格点图形面积计算在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积．用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形．虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点．例题1图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？「分析」这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形．练习1图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米？通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积，这种方法称为“添补法”．分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质．接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积．例题2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米？「分析」前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！我们发现：如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m 倍和n 倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m n 倍．练习2下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米．那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米？要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可．当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，千万不能在数完后再乘单位面积！对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法．例如，我们要计算如下图的格点多边形的面积（假设最小的正方形面积是1）．我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手．围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个． 一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：这样，按公式计算：122116÷+-=，我们就得出图中阴影部分的面积了．例题3 如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习3如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少？类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？例题4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」尝试着用格点图形面积公式计算一下把！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢？练习4如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？例题5如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？例题6（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢？对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割．如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：（1）注意是正方形格点还是三角形格点；（2）按照顺序来数边界格点和内部格点；（3）用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数．看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．课堂内外几何的起源古埃及人聚居在尼罗河附近，以在河边的农田耕作为生．可是尼罗河每隔一段时间会泛滥，河水涌上岸，把河边的农田淹没，冲毁农田的边界．所以，每次河水泛滥后，埃及人都要重新划分农田的范围和界限．埃及人在划分土地时，发现很多不同形状的农田，都可以分割为几块较细小的三角形农田，例：1块长方形农田2块大小相同的三角形农田1块梯形农田3块三角形农田这些不同形状的农田，其实就是不同的几何图形；把农田分割为几块较细小的农田，即是把几何图形分割．原来古埃及人是研究几何图形的先锋呢！作业1. 如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是________、________．2. 下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是________、________．3. 如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是________平方厘米．4. 右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是________．5. 下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是_________．。
格点与面积
格点和面积【知识点与基本方法】这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积，先来介绍什么叫“格点”。
见右图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线相交的点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
借助小格点，我们可以很快地比较和计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形的面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
格点面积公式=中间格点数+图形一周的格点数÷2﹢1【典型例题】例1：计算下列各图的面积。
•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法，显然第一、三、五图可以直接数出包含多少个面积单位，而二、四、六显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形的面积来求这些图形的面积。
解：(1)图中长方形的面积包括了3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6个面积单位。
(2)将图中的平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形的面积，所以平行四边形的面积是3×2=6（个）面积单位。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含1个单位面积和2个单位面积的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积是2个面积单位。
（4）图中三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3个面积单位。
（5）将图中梯形用虚线分成3块，它包含了有5个单位面积和2个单位面积的一半。
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1 格点与面积
学习目标：
1、通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；
2、让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；
3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法，渗透“从特殊到一般”的数学思想。
教学重点:
掌握格点数与图形面积之间的关系，即皮克定理。
教学难点：
引导学生学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题（找规律）的方法，领悟“从特殊到一般”的数学思想。
教学过程：
一、情景体验
准备道具：三片树叶，其中两片用肉眼分不清大小，另一片明显比前两片更小。
一张透明的网格塑料片。
师：同学们看，老师手上拿的是什么东西啊？（展示能比较出大小的两片树叶）生：树叶。
师：你们能判断哪片树叶大吗？
生：左手拿的树叶大。
（或者右手，具体看老师实际操作）
师：很容易判断对不对，那如果是这两片树叶呢？（展示用肉眼分不清大小的两片树叶）
生：（猜测回答，并不确定。
）
师：今天呀，我们的小伙伴朋朋和优优也碰到同样的情况（展示PPT，参考教材讲述故事）
师：同学们，你们也想知道吗？今天我们就一起来学习格点与面积吧！（板书课题：格点与面积）
二、思维探索（建立知识模型）
师：让我们先来认识下面的几幅图吧！（展示PPT）
师：图（1）是我们常见的方格图，画着横竖两组平行线，相邻平行线之间的距离是相等的。
两组直线的交点，我们称它为格点。
（板书：格点）
比如说这个点（老师可以具体指出几个点，让学生直观认识什么叫做格点）。
师：如果老师将这些平行线都隐去，结果会怎样呢？
生：只留下格点了。
师：是的，就变成图（2）了。
师：现在我在图（1）图（2）上画了一些多边形，如图（3）（4），大家观察一下这些多边形的顶点与格点之间有什么关系呢？
生：多边形的顶点都在格点上。
师：这位同学观察得非常细致！像这样，如果一个多边形它所有的顶点都在格点上，这样的多边形就叫做格点多边形或格点图形。
（板书：格点图形）
（让学生自己在下面画出一个格点图形，加深理解）
展示例1
例1：观察下列几个格点多边形，图中横行和竖列相邻两点间的距离是相等的，都是1厘米，你能求出下列各图的面积吗？
师：你能用哪些方法求出各图的面积？
生1：数方格，1个方格就是1平方厘米。
生2：前面三个图可以利用面积公式计算，图④要先分割，再公式计算。
师：回答得都非常正确！除了这些学过的方法，还有其他方法吗？（学生思考）师引导：这些图形的面积与格点之间有什么关系呢？
生：从图形上看，图形所包含的格点越多，面积就越大。
师：图形所包含的格点是不是就是指图形一周的格点数呢？
生：是的。
师：要想知道它们之间具体的关系，我们可以设计一张表格，研究探讨图形面积与格点之间有什么规律。
师：图①是正方形，它一周的格点数是多少？面积是多少？
生：一周格点数是4，面积是1平方厘米。
师：图②呢？
生：一周格点数是6，面积是2平方厘米。
师：（出示表格）你能继续填完表格吗？
（学生自己先尝试填写图③图④的一周格点数和面积，老师再讲解。
）
师：你发现格点数与面积之间有什么关系？
（引导学生通过表格上的数据进行分析，总结规律。
）
板书小结：面积=一周格点数÷2－1
三、思维拓展（知识模型的运用）
展示例2
例2：朋朋和优优好像找到了数点求格点多边形面积的新方法，但是他们用“面积=一周格点数÷2-1”计算下列四个图形面积时出了问题。
第三个图形的面积是4平方厘米，而用格点求面积的方法求出是3平方厘米；第四个图形面积是5平方厘米，怎么用格点求面积的方法求出是4平方厘米？你知道其中的原因吗？
师：读完题目，大家是否也有同样的疑惑呢？
生：是的。
师：大家仔细观察比较例2和例1所围的格点图形，有区别吗？
生：哦，我发现例1的图形中间没有格点，而例2的图形中间都有1个格点。
师：非常正确。
刚才例1我们是用什么方法找到规律的呢？
生：列表、分析数据、总结规律。
师：现在我们能不能用同样的方法找出例2的规律呢？大家动手试一试
（学生尝试填完表格并找出规律，老师适当引导后总结）
师：大家发现，格点图形的面积不仅跟它一周格点数有关，还跟它中间有没有点有关，对不对，所以在求面积时一定要先看图形的中间有没有点，有几个点。
板书小结：（中间有1个点）图形面积=一周格点数÷2
同时在例1的板书“面积”前添上（中间没有点）
四、融会贯通（知识模型的拓展）
展示例3
例3：验证：
（1）中间有2个点的图形，用数格点求面积方法是：面积=一周格点数÷2＋1。
（2）中间有3个点的图形，用数格点求面积方法是：面积=一周格点数÷2＋2。
师：可以怎么验证呢？
生1：直接算出图形面积来验证。
生2：用同样的方法，列表分析找规律。
（学生动手填完表格并找出规律，老师总结）
板书小结：（中间有2个点）图形面积=一周格点数÷2+1
（中间有3个点）图形面积=一周格点数÷2+2
展示例4
例4：猜想中间有4个点的格点图形面积怎样计算？5个点呢？你能用一个完整的公式表示中间有任意个点（n个点）的格点多边形的面积吗？
师：题目没有给出格点图形，我们可以在前面的格点图上先画出来。
（学生动手，各画出一个格点图形）
师：先画完的同学试着按照前面例题所学的方法，看看应该怎么计算。
板书小结：（中间有4个点）图形面积=一周格点数÷2+3
（中间有5个点）图形面积=一周格点数÷2+4
师引导学生观察比较所有的板书（板书设计整齐此时很重要！！），总结规律，即（中间有n个点）图形面积=一周格点数÷2+n－1
师：同学们可以看到“数学万花筒”里讲的皮克公式，这个名叫皮克的奥地利数学家最早发现格点与面积之间的规律，因此我们把这个规律称为“皮克定理”或“皮克公式”。
五、小结
通过这节课学习，你有哪些收获？。