小学奥数知识讲解 格点与面积
小学数学五年级思维奥数寒假讲义-第2讲 格点与面积(教师版)
第2讲 格点与面积【知识梳理】一. 正方形格点面积公式（1）定义：在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
（2）公式：右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．下面就看一下其面积的计算。
用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理。
二、三角形格点问题（1）定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
（2）公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2。
【典例精讲】【例1】图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？【答案】4平方厘米；4平方厘米；12平方厘米【解析】左起第一个阴影图形可以分割成4个小正方形，面积为4平方厘米；左起第二个阴影图形可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积为2×2÷2=2平方厘米，下面三角形的面积是2×2÷2=2平方厘米，则阴影部分的面积为2+2=4平方厘米；左起第三个阴影部分图形可以分割成上面一个三角形、下面一个梯形，上面三角形的面积为5×2÷2=5平方厘米，下面梯形的面积为（2+5）×2÷2=7平方厘米，则阴影部分的面积为5+7=12平方厘米。
【训练1】图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别为多少平方厘米？【答案】8平方厘米；8平方厘米【解析】左起第一个阴影部分可以分割成8个小正方形，面积为8平方厘米；左起第二个阴影部分可以分割成上、下两个三角形，上面三角形的面积是4×2÷2=4平方厘米，下面三角形的面积为4×2÷2=4平方厘米，则阴影部分的面积为4+4=8平方厘米。
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。
(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
奥数格点与面积
.. .......... 名师点拨 --- -------- --- 学科:学科：奥数** 教学内容：第六讲格点与面积开始学习生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位，所以它的面积为6。
(2)将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3X2=6。
(3)将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位,所以它的面积为2。
(4)图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半,则三角形面积为3。
(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长,补出一个和原来梯形方向颠倒,但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为2+4）X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。
格点与面积_小学奥数知道点详解
如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。
这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。
其中数格子的方法比较原始，很少用。
任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。
格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。
皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。
本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。
例1：求下面各图形的面积。
【解析】：图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。
奥数培优 五年级 第3讲 格点与面积
第三讲格点与面积例1、下面是一个格点图，图中有长方形，三角形，平行四边形和梯形各一个，请你利用方格网计算出他们的面积是多少（如图所示阴影部分的校正方形的面积是1平方厘米）.例2、图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？（单位：厘米）例3、观察下面四个多边形，计算下列各多边形的面积，并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。
比克定理：任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界的格点数除以2的和。
例4、下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米，求图中阴影部分的面积。
例5、下面是一个正三角形格点图，共有21个点，其中每相邻的3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1平方厘米的等边三角形，请你计算图中三角形的面积。
思考与练习1、求下面个图形的面积（相邻格点距离1厘米）2、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）3、求下图中各图形的面积（相邻格点距离1厘米）4、下面是一个5×5的方格图，每个小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点为格点。
请你在图中选择7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用线段顺次连接后所围城的面积尽可能大，那么，所围图形的面积是多少平方厘米？5、下图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。
6、下面是一个5×5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）.7、在下面5×10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积都是1平方厘米）.8、如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
M是AB的中点，N是CD的中点，P是EF的中点，问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？。
三年级升四年级数学暑假奥数班第15讲 格点与面积
第十二站 格点与面积月 日 姓 名【知识要点】 1．格点的意义 如下图所示，是一张方格纸，这种方格纸是由水平线和垂直线相交而组成的。
图中水平 线和垂直线的交点称为格点。
E A D B D C D D2．面积单位的意义 面积相等的每个小正方形称为面积单位， 例如上图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
3．利用格点求面积 通常用到“扩展法”或“割补法” 。
“扩展法”通常是根据图形将其扩展为规则图形，利 用规则图形面积减去所求图形以外面积，从而得到图形的面积。
“割补法”通常是把图形通过 割补的方式变为规则图形，从而求得解。
同学们，下面是一道全国希望杯竞赛试题，看起来是不是很难？让我们一起来想想如何 解决它吧！ 请将图中所示的三角形 ABC 分成面积相等的六个部分，请给出三种不同的分法。
A A ABCBCBC有点难度是不是？不用怕，认真听讲、多动脑，学完本节课这道题就是小 Case 啦！【典型例题】 例 1 在下列格点里面分别连出一个正方形，一个长方形，一个三角形，一个平行四边形和 一个梯形，并且这些图形的所有顶点都要在格点上。
例 2 个。
下面的格点间距都是 1 厘米，请分别画出面积为 36 平方厘米的正方形、长方形各一例3用割补法求出下图中各个图形的面积。
（单位面积为 1）例4用扩展法求下列图中多边形的面积。
（单位面积为 1）随堂小测姓 名 成 绩1．用“割补”或“扩展”法求下图中各图形的面积。
（单位面积为 1）①②2．下图中四个图形的面积各是多少？（单位面积为 1）3．如图，每个小方格为 1 个单位，则阴影部分的三角形面积为单位面积。
课后作业姓 名 成 绩1．求下图中各图形的面积； （单位面积为 1）2．请在下面的格点中分别画出面积为 8 个单位、12 个单位的两个图形。
（单位面积为 1）3．求下图中各图形的面积。
（单位面积为 1）①②③。
小学奥林匹克数学辅导格点与面积
小学奥林匹克数学辅导————格点与面积请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，图（a）的多边形的所有顶点都在方格纸上的横、纵两组平行线垂直相交的交点上.图（b）中的多边形的顶点至少有一个顶点不在方格纸上那些横、纵两组平行线垂直相交的交点上.（比如A点）像图（a）这样的多边形，我们称它为格点多边形.什么是格点？平常我们用的方格纸的方格（每个小方格都是一个小正方形）都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的，其中相邻两条平行线的距离都是相等的（通常规定是1个单位），在这样的方格纸上，横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.像图（b）这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形.显然易见，格点多边形面积的大小，与格点数目（包括边界上的）的多少有着密切的关系.一般看来，格点多边形的面积越大（小），它所包含格点数目（包括边界上的）就越多（少）.是否存在这两者之间关系的精确的计算公式？通过它只计数格点数目（包括边界上的）的多少就能准确地计算出格点多边形面积的大小？下面让我们共同探索这个规律.例1 如下图，计算下列各个格点多边形的面积.例2 如下图（a），计算这个格点多边形的面积.例3 如右图（b），计算这个格点多边形的面积. 例4 如下页图，计算图（A）与图（B）的面积.例5 如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.例6 如下图，将图中有关数据填入下表：以后，在我们求格点多边形面积时，可以直接应用公式：S=N+L/2-1这个公式表示：格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.上述这个计算格点多边形的面积公式，是通过几个实例分析，归纳出来的，作为数学公式还须进行严格的证明.但限于同学们的知识水平，这个证明不在此进行了.例7 本讲开始提到的多边形如右图面积是多少？用上述公式很快就可以求出了.例8 如下页图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.例9 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.例10 如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形，计算四边形ABCD的面积.习题1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.。
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点
小升初奥数几何问题之格点与面积知识点【篇一】知识点：(一)正方形格点图面积在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定为1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。
多边形的所有顶点都在格点上，在方格网中，像图(a)这样的多边形，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
多边形的顶点至少有一个顶点格点上，比如A点，像图(b)这样的多边形虽然除A点之外所有顶点都是格点，但我们还不能把它称为格点多边形。
(二)三角形格点图的面积三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∴”或“∵”，形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
【篇二】常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可!【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第(1)图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位)。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点!（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
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0第六讲格点与面积
在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
典型例题
例［1］下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？
(1)
题中所给的几个图形都是规则图形，它们的面
积可以运用公式求得。
而要运用公式，首先要结合点子图计算出有关的边长和高。
解图（1）是正方形，边长是2，它的面积是2 X2=4。
图（2）是长方形，长是4,宽是2，它的面积是4 X2=8。
图（3）是平行四边形，从平行四边形的左边移动一个直角
三角形到右边，使得平行四边形变成一个长方形，所求的面积是 3X
2=6。
图（4）是三角形，将三角形扩展成一个长方形。
三角形ABC
的面积是长方形 AFBC 面积的一半，三角形 ACD 的面积是长方形 ACDE 面积的一半，所以三角形ABD 的面积是
（3X2）^2
=6吃
=3
(2)
图形来计算。
由上图可以看出，图（1）可以分成两块：一块是长方 形，另一块是一个三角形。
可以利用例［1］
所介绍的方法来计算这个三我们可以把一个不熟悉的图形，转化为学过的
角形的面积。
或者将这个图形转化成一个大的长方形，如图（2）。
所求的图形面积就等于大长方形面积的一半。
解法一如图（1），左边长方形的面积是4X3=12，右边三角形
的面积是（4X3）吃=6，整个图形的面积是12 + 6=18。
解法二如图（2）,大长方形的面积是（8 + 4）X3=36，所求图
形的面积是：36吃=18。
例［3］求下列左图的面积
分析和例［2］的思考方法一样，先要将所给图形切分成我们已经学会计算面积的图形，这样就可以计算出所给图形的面积。
解将图形ABCD分成三角形ABD和三角形BCD （上右图）, 又三角形ABD的面积等于长方形BDFE的面积的一半，所以三角形ABD的面积为（4 X3）£=6，则图形ABCD的面积为6X2=12。
例［4］求下图中图形的面积
A
分析看到这样不规则的图形，我们首先想到的是将它分割成几个我们学习过的基本图形。
这样，上图可以分割成一个三角
形、一个正方形和一个长方形，可以别计算它们的面积。
解图中三角形ABK的面积是（2X3）吃=3，正方形BCHK的面积是
2>2=4，长方形DEFG的面积是4X=4，则所求组合图形的面积是 3 + 4+ 4=11。
小、结在行间距都相等的格点图中，可以连结
若干
个小正方形面积单位，利用这些面积单位可以计算出很多图形的面积。
如果是一个规则图形，可以运用公式直接计算面积。
当所给图形是一个组合图形或不规则的图形时，需要开动脑筋，将它分割成我们熟悉的基本图形。
在计算每一个部分面积时，要充分利用格点图的特点，准确地找出所需数据。