【高中数学选修2-2】2.1.2演绎推理
∴AC平分∠DCB
四、三段论的发展
“三段论”是古希腊的亚里士多德创立的，他还提出了用演 绎推理来建立各门学科体系的思想。例如，欧几里得的《原本》 就是一个典型的演绎系统，它从10条公理和公设出发，利用演绎 推理，推出所有其他命题。 像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题 （公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多 的结论的方法，称为公理化方法。 精髓：利用尽可能少的前提，推出尽可能多的结论。 公理化的方法广泛应用于自然科学、社会科学领域。例如 牛顿以牛顿三定律为公理，运用演绎推理建立了牛顿力学的一 套完整的理论体系。
练习.如图，用三段论证明：若梯形的两个腰和上底相 等，它的对角线AC平分下底上的角。
A D
B
C
练习.如图，用三段论证明：若梯形的两个腰和上底相 等，它的对角线AC平分下底上的角。
1 证明：若三角形有两边相等，则三角形是等腰三角形 ………大前题 A ∵AD＝DC …………………………………小前题
D
？思考：在演绎推理中，怎么才能保证结论是正确的.
点评：在演绎推理中，只要大前提、小前提和推理形 式正确，结论就必然正确。
在应用三段论解决问题时，首先明确什么是大前提和小前 提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略。看 下面的例子： 例2 证明函数 f
( x) x 2 2 x 在 x (,1]上是增函数。
E
C D
在ADB中，AD BC,即ADB 90
· · · · · · · · · · · · ·小前提 S 是 M 所以△ADB是直角三角形。 · · · · · · · · · · · · · · · ·结论 S 是 P
A M B
同理， △AEB 也是直角三角形。
· · · · · · · · · · · · ·大前提
∴三角形ADC是等腰三角形………………结论
2 等腰三角形的两底角相等………大前题
B
C
∵三角形ADC是等腰三角形，AD和DC是两腰………小前题 ∴∠DAC＝ ∠DCA ………………结论 两直线平行，内错角相等………大前题 3 ∵∠DAC和∠ACB是AD∥BC的内错角………小前题 ∴∠DAC＝∠ACB ……… ………结论 ∴∠DCA＝∠ACB
三段论：（1）大前提……已知的一般原理 （2）小前提……所研究的特殊情况 （3）结论……根据一般原理，对特殊情况 作出的判断 “三段论”可以表示为如下形式：
大前题：M是P 小前提：S是M 结论：S是P。
用集合的观点分析“三段论”： 若集合M中的所有元素都具有性质P，S是M的一 个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。
演绎推理
学习目标
1.了解演绎推理的含义及特点，会将
推理写成“三段论”的形式； 2.能正确地运用“三段论”准确做出简
单的推理题.
一、演绎推理的概念：
-
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理（demonstrative reasoning）. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。
M
S
P
x 因为指数函数 y a (M)是增函数(P)，···大前提
而 故
1 y ( ) x (S) 是指数函数 (M) ····· 小前提 2 1 x y ( ) (S) 是增函数 (P) ······ 结论 2
（1）上面的推理形式正确吗？ （2）推理的结论正确吗？为什么？
上述推理的形式正确，但大前提是错误的（因为指 数函数y =ax (0<a<1)是减函数），所以所得的结论是 错误的。
数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，看下面的例子：
例1 如图所示，在锐角三角形ABC中， AD BC ，BE AC,
D , E是垂足，求证：AB的中点M到 D , E 的距离相等。
证明： （1） 因为有一个内角是直角的三角形
是直角三角形， M 是 P · · · · · · · · · · · · ·大前提
小前提
证明：f ' x -2x 2
当x - ,1时，有 1- x 0
所以，f x -2x 2 21- x 0
'
于是，根据“三段论”，得 f (x) = −x2 + 2x 在（−∞， 1）内是增函数。 结论
三、对比分析 ：合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理
区 别
推理 由部分到整体、个别 由特殊到特殊的 推理。 到一般的推理。 形式 推理 结论
由一般到特殊的 推理。
结论不一定正确，有待进一步证明。
在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下，得到的 结论一定正确。
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的 方向和思路一般是通过合情推理获得的。
—
（3）结 论 —— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
问题情景 ：
观察下列推理过程，像这样的推理是合情推理么？
1.所有的金属都能导电， 铀是一种金属， 所以铀能够导电。
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
2
2.一切奇数都不能被 2整除，
100
1 是奇数，
所以 2
100
1 不能被2整除。
所以AD>BD,
C
于是∠ACD＞∠ BCD
指出上面证明过程中的错误. A 错因：偷换概念
D
B
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
问题情景 ：
观察下列推理过程，像这样的推理是合情推理么？
1.所有的金属都能导电， 铀是一种金属， 所以铀能够导电。 2.一切奇数都不能被 2整除，
100
2
1 是奇数，
所以 2100 1 不能被2整除。 3.三角函数都是周期函数 ， tan是三角函数， 因此 tan是周期函数。
小前提：铀是一种金属
结论：铀能导电
一、演绎推理的概念：
-
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理（demonstrative reasoning）. 简言之，演” ：
（1）大前提 —— 已知的一般原理； （2）小前提 —— 所研究的特殊情况；
课堂小结：
推 理
合情推理 归纳 演绎推理
类比 三段论 (特殊到一般） （特殊到特殊）（一般到特殊）
作业： 利用演绎推理，请你换一个角度证明教材80页例6.
思考.(教材81页练习3) 如图：在△ABC中，AC>BC,CD是AB边上的高， 求证∠ACD＞∠BCD。
证明：
在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC
—
１. 所有的金属都能够导电，
铀是一种金属， 所以铀能导电。 铀能导电的演绎推理过程： 大前提：所有的金属都能够导电
小前提：铀是一种金属
结论：铀能导电
（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情况
“三段论”
（3）结论………根据一般原理，对特殊情况作出的判断 铀能导电的演绎推理过程： 大前提：所有的金属都能够导电
3.三角函数都是周期函数 ， tan是三角函数， 因此 tan是周期函数。
再看两个用“三段论”推理的例子： （1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， 天王星是太阳系的大行星，因此天王星以椭圆形轨 道绕太阳运行；
（2）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与 ∠B是两条平行直线的同旁内角，那么 ∠A+∠B=180°； 你能举出一个用“三段论”推理的例子么？
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
而 M 是R t △ADB 斜边AB的中点，DM 是斜边上的中线 ， · · · · · · · · · · · · ·小前提
1 所以D M A B .· · · · · · · · · · · · · · · ·结论 2 1 同理, EM = AB 所以 ，DM = EM 2
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4．已知lg3＝m，计算lg0.9的值．
解
5．如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD ＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
证明
第二章
推理与证明
§2.1 合情推理与演绎推理
2．1.2 演绎推理
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 1. 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的基本模式，并
能运用它们进行一些简单的推理． 2. 与差别. 通过具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的联系
课前热身 1. 演绎推理的含义． 从一般性的原理出发，推出某个________的结论的推理过 程称为________． 2. 演绎推理的一般模式． 三段论是演绎推理的一般模式．包括： 大前提：____________________， 小前提：____________________， 结论：______________________.
规律技巧 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前 提.题中2、3、4省略了大、小前提，在寻找大前提时，可 找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
二
ห้องสมุดไป่ตู้
三段论解题
【例2】 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果 k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤 立元”的集合共有________个．
三
三段论证明
【例3】 如图，在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和 BD是梯形的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠ABC.
【分析】
理清图形中的线段关系，角度关系，由△ADC
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(2)对于“三段论”应注意两点： ①“三段论”的模式包括三个判断：第一个判断是大前提，它提供 了一个一般性的原理；第二个判断叫做小前提，它指出了一种特殊 情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联 系，从而产生了第三个判断——结论． ②应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提， 但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
课堂讲练互第动十六页，编辑于活星期页一规：点范十训九分练。
证明 (1)连接BD.
∵三棱柱ABCA1B1C1是棱长均为a的正三棱柱， ∴A1ABB1为正方形， ∴A1B⊥AB1. ∵D是C1C的中点， ∴△A1C1D≌△BCD， ∴A1D＝BD， ∵G为A1B中点，∴A1B⊥DG， 又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D. 又∵AD⊂平面AB1D，∴A1B⊥AD.
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2．合情推理与演绎推理的关系 合情推理
归纳推理 类比推理
演绎推理
推理形式
一般→特殊
结论
类比推理和归纳推理的结 在大前提、小前提和推理
论都是不一定正确的，有 形式都正确的前提下，得
待于进一步证明
到的结论一定是正确的
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课堂讲练互第动二十二页，编辑活于星页期规一：范点训十九练分。
[规范解答] (1)∵AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面 ABC，∴AD⊥ BC，又∵AO⊥平面 BCD，AO⊥BC， ∵AD∩AO＝A，(3 分) ∴BC⊥平面 AOD，∴BC⊥DO，同理可证 CD⊥BO， ∴O 为△BCD 的垂心． (2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD ＝S2△BCD.(6 分) 证明：连结 DO 并延长交 BC 于 E，连结 AE， 由(1)知 AD⊥平面 ABC，
高中数学教案选修2-2《2.1.2 演绎推理》最新修正版
教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解演绎推理的含义，能利用演绎推理进行简单的推理．教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程：一、创设情境在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．例如，在案例3中，“铜能导电”的结论就是通过如下推理得到的：所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能导电．我们再看一个类似的推理案例．在学习整数时，有下面的推理：个位数字是0或5的正整数必是5的倍数，2375的个位数字是5，所以，2375是5的倍数．二、构建新知像这样的推理通常称为演绎推理（deductive inference）．三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：M —P（M是P）S — M （S 是M ）S — P （S 是P ）三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P ．三、数学运用例1 △ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，//DE BA ，求证：AF ED =．分析 （1）同位角相等，两直线平行， （大前提）BFD ∠与A ∠是同位角，且BFD A ∠∠＝， （小前提）所以，EA DF //．（结 论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （大前提）BA DE //，且EA DF //， （小前提）所以，四边形AFDE 为平行四边形． （结 论）（3） 平行四边形的对边相等，（大前提）ED 和AF 为平等四边形的对边， （小前提） 所以，ED AF ＝． （结 论）上面的证明通常简略地表述为：////BFD A DF EA DE BA ∠∠⇒⎫⇒⎬⎭＝四边形AFDE 是平行四边形ED AF ⇒＝． 例2 已知a ，b ，m 均为正实数，b a ＜，求证：b b m a a m＋＜＋．分析 0b a mb ma m ⎫⇒⎬⎭＜＜＞ ab mb ab ma ⇒＋＜＋ 又()()()0b a m a b m a a m ⇒⎫⎬⎭＋＜＋＋＞()()()()b a m a b m a a m a a m ⇒＋＋＜＋＋b b m a a m ⇒＋＜＋． 证明过程包含了几个三段论？例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．分析 （1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ——大前提在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90° ——小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线 ——小前提所以 DM ＝21AB ——结论 同理 EM ＝AB ，所以 DM ＝EM ．四、学生探究1．下列表述正确的是 ．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式．（1）三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数．（2）一切奇数都不能被 2 整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能被2整除．五、课堂总结1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．六、课后作业教材第72页练习3，5．。
高二数学(人教B版)选修2-2课件：2.1.2演绎推理(共18张PPT)
普通高中课程标准数学2-2(选修)
第二章 推理与证明
普 概念1.演绎推理
通 4.完全归纳推理
高
中
完全归纳推理是这样一种归纳推理：根据对某类事物
课 的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此
程 标
得出结论说：该类事物都具有某种性质。
准 例如:
直角三角形内角和是180度；
Liangxiangzhongxue
锐角三角形内角和是180度；
钝角三角形内角和是180度；
Bqr6401@
Liangxiangzhongxue
(2)必要条件假言推理
育种时，只有达到一定的温度，种子才能发芽；这次育种 没有达到一定的温度，所以，种子没有发芽。
Liangxiangzhongxue
普 通 高 中 课 程 标 准
三、概念形成
概念2.演绎推理
2.假言推理
例子2.设m为实数，求证方程x2-2mx+m-1=0有相异 两实数根。
－3是自然数. 推理形式错误
三、概念形成
普 概念2.演绎推理
通 2.假言推理
高 中 假言推理是以假言判断为前提的演绎推理。
课 程
(1)充分条件假言推理
标 如果一个图形是正方形，那么它的四边相等；这个图形四
准 边不相等，所以，它不是正方形。
如果要发展科学技术，就必须尊重知识，尊重人才；我们 要发展科学技术，所以，我们必须尊重知识，尊重人才。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《演绎推理》知识梳理
数学人教B选修2-2第二章2．1.2 演绎推理1．掌握演绎推理的基本模式，特别是三段论模式，并学会运用这些推理模式进行推理．2．了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别．1．演绎推理根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做________．它的特征是：当前提为____时，结论______为真．演绎推理的特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它的创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【做一做1】演绎推理是()．A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理2．演绎推理的四种推理规则(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果p q，p真，则q真”．假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“M是P，S是M，所以______”．(3)传递性关系推理：用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则______”，其中“R”表示具有传递性的关系。
(4)完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．三段论推理是演绎推理的一般模式，在数学证明中，以上四种演绎推理规则是经常用到的，一道证明题，往往要综合应用这些推理规则．如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．【做一做2－1】下面几种推理过程是演绎推理的是()．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式【做一做2－2】“因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因为b∥c，所以a∥c.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是()．A．第一步遵循假言推理，第二步遵循传递性关系推理B．第一步遵循三段论推理，第二步遵循假言推理C．第一步遵循三段论推理，第二步遵循传递性关系推理D．第一步遵循传递性关系推理，第二步遵循三段论推理合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．在数学中，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．题型一假言推理【例题1】设数列{a n}为等差数列，求证：以b n＝a1＋a2＋…＋a nn为通项的数列{b n}为等差数列．分析：由{a n}为等差数列，推证{b n}为等差数列，只要证得b n＋1－b n＝d为常数即可．反思：假言推理的规则为“如果p q，p真，则q为真”．题型二三段论推理【例题2】已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证MN∥平面ACD.分析：应用线面平行的判定定理证明．反思：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．题型三传递性关系推理【例题3】设a，b，c为正实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＞a＋b＋c.分析：应用均值不等式找出a2＋b2与a＋b，b2＋c2与b＋c，a2＋c2与a＋c的关系，再应用同向不等式相加法则可证明．反思：传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递．题型四完全归纳推理【例题4】已知函数f(x)＝(12x－1＋12)·x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)＞0.反思：完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅证明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，而前者则把所有情况都作了证明．题型五易错辨析易错点：在应用三段论推理证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提．在推理的过程中，大前提、小前提和推理形式之一错误，都可能导致结论错误．【例题5】如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.错证：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD.1如图，因为AB ∥CD ，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为( )．A ．三段论推理、假言推理B ．三段论推理、传递性关系推理C ．三段论推理、完全归纳推理D ．三段论推理、三段论推理2“因指数函数y ＝a x 是减函数(大前提)，且y ＝3x 是指数函数(小前提)，所以y ＝3x 是减函数(结论)．”上面推理的错误是( )．A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3下面的推理是传递性关系推理的是( )．A ．在同一三角形中若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC 中，AB ＝AC ，所以在△ABC 中，∠B ＝∠CB ．因为2是偶数，所以2是素数C ．因为a ∥b ，b ∥c ，所以a ∥cD ．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数4因为当a ＞0时，|a |＞0；当a ＝0时，|a |＝0；当a ＜0时，|a |＞0，所以当a 为实数时，|a |≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的__________推理．5关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )是增函数；当x ＜0时，f (x )为减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是__________．答案：基础知识·梳理1．演绎推理 真 必然【做一做1】C2．(2)S 是P (3)aRc【做一做2－1】A 选项D 是归纳推理，选项C 是类比推理，选项B 既不是合情推理也不是演绎推理．【做一做2－2】C典型例题·领悟【例题1】证明：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为b n －b n －1＝n (a 1＋a n )2·1n －(n －1)(a 1＋a n －1)2·1n －1＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12 ＝d 2(n ≥2)，而d 2是个常数，所以数列{b n }为等差数列． 【例题2】证明：如图，连结BM ，BN ，并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连结PQ .因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点，又因为BM MP ＝2＝BN NQ，所以MN ∥PQ .又因为MN ⃘平面ADC ，PQ ⊆平面ADC ，所以MN ∥平面ACD .【例题3】证明：因为a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ，c 为正实数，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.所以a 2＋b 2≥(a ＋b )22.所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )．同理a 2＋c 2≥22(a ＋c ).b 2＋c 2≥22(b ＋c )，所以有a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c )＝2(a ＋b ＋c )．即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．又2(a ＋b ＋c )＞a ＋b ＋c ，所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2＞a ＋b ＋c .【例题4】(1)解：函数f (x )的定义域为2x －1≠0，即{x |x ≠0}，f (－x )－f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12(－x )3－⎝⎛⎭⎫12x －1＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12(－x )3－⎝⎛⎭⎫12x －1＋12x 3＝2x2x －1·x 3－12x 3－12x －1x 3－12x 3 ＝x 3－x 3＝0.所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )是偶函数．(2)证明：因为x ≠0，所以当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，x 3＞0，所以f (x )＞0；当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＞0，所以f (x )＞0.【例题5】错因分析：错证中由AD ＞BD 得出∠ACD ＞∠BCD 是错误的，因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论成立．正确证法：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，所以∠ACD ＋∠A ＝∠BCD ＋∠B ＝90°.又AC ＞BC ，所以∠B ＞∠A ，于是∠ACD ＞∠BCD .随堂练习·巩固1．B 本题前面证∠1＝∠2用的是三段论推理，后半部分证∠1＝∠3用的是传递性关系推理．2．A y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性与a 有关，若a ＞1，则为增函数；若0＜a ＜1，则为减函数．3．C4．完全归纳5．①③④ 显然f (－x )＝f (x )，∴其图象关于y 轴对称．当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1x＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x . ∵φ(x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝lg 2.∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．。
人教a版数学【选修2-2】2.1.2《演绎推理》ppt课件
重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． 难点：演绎推理的应用．
演绎推理 思维导航 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
新知导学 1．演绎推理 从________________出发，推出__________情况下的结论， 一般性的原理 某个特殊 我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 _____________的推理． 一般到特殊
6．判断下列推理是否正确？为什么？ “因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B 、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个 平面(结论)．” [解析] 不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前 提中的“三点”的基本形式——三段论
3．三段论 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的__________； 一般原理 ②小前提——所研究的__________； 特殊情况 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________． 判断 其一般推理形式为 大前提：M是P. 小前提：S是M. 结 论：__________.
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进 行一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别 ．
牛刀小试 1 ． (2014· 微山一中高二期中 )关于下面推理结论的错误： “因为对数函数 y＝logax 是增函数(大前提)，又 y＝log1 x 是对
高中数学人教A版选修2-2课件：2-1-2 演绎推理
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
证明:(1)连接A1D,DG,BD, ∵三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC, ∴四边形A1ABB1为正方形. ∴A1B⊥AB1. ∵点D是C1C的中点, ∴△A1C1D≌△BCD. ∴A1D=BD. ∵点G为A1B与AB1的交点, ∴G为A1B的中点. ∴A1B⊥DG. 又DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D. 又AD⊂平面AB1D,∴A1B⊥AD.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)因为在一个标准大气压下,水的沸点是100 ℃,大前提 在一个标准大气压下把水加热到100 ℃,小前提 所以水会沸腾.结论 (2)因为一切偶数都能被2整除,大前提 256是偶数,小前提 所以256能被2整除.结论 (3)因为一次函数的图象是一条直线,大前提 y=x+5是一次函数,小前提 所以y=x+5的图象是一条直线.结论
栏目 导引
重难聚焦
第一章
三角函数
两者紧密联系,互为依赖,互为补充. (1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体 的经验中概括出来.从这个意义上可以说,没有归纳推理就没有 演绎推理. 联 (2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目的、任务和方 系 向都必须借助于理论思维,依靠人们先前积累的一般性理论知 识作指导.这本身就是一种演绎活动,并且合情推理得到的结论 正确与否,必须借助于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演 绎推理也就没有合情推理
导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
反思在用三段论写推理过程时,关键是明确大前提、小前提.三段 论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情 况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有 时可省略小前提,有时甚至大前提与小前提都省略.在寻找大前提 时,可找一个使结论成立的充分条件.
高中数学选修2-2课件：2.1 2.1.2 演绎推理
(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有 关．( )
课 时 分 层 作 业
[ 答案]
(1)×(2)×(3)× (4)√
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自 主 预 习 • 探 新 知
2．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该 推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等 B．矩形的对角线相等 C．等腰梯形的对角线相等 D．矩形的对边平行且相等
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[规律方法]
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
1用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前 提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起 来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系
当 堂 达 标 • 固 双 基
A [ 要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和
合 作 探 究 • 攻 重 难
结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理 正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前 提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
制造潜艇．
[ 解析] [ 答案] ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理． ①
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[合 作 探 究· 攻 重 难]
演绎推理与三段论
例
(1)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.2演绎推理(含答案)
选修2-2第二章 2.1 2.1.2
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是()
A．①B．②
C．③D．①②
[答案] B
[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________．
[答案]log2x－2≥0
[解析]由三段论方法知应为log2x－2≥0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c
[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
4．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m为实数，求证：方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
[解析]已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根；
小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判别式Δ<0；
结论：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0没有实数根．
解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．。
人教A版高中数学选修2-2课件2.1.2演绎推理
跟踪训练
1．(2013·中山高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数
是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( )
A．小前提错
B．结论错
C．正确D．大前提错
解析：选C.9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理
过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．
题型二 利用“三段论”证明几何问题 例2 在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD(如图)，
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高中数学课件
第二章 推理与证明
2．1.2 演绎推理
学习导航
学习目标
实例
―理―解→
演绎推理 的重要性
―掌―握→
演绎推理的基 本模式及方法
―了―解→
合情推理与演绎推理 之间的区别和联系
重点难点 重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论” 进行简单的推理． 难点：用“三段论”进行简单的推理．
若 d＝0，则{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn} 是首项为正数，公比为 1 的等比数列．
若 d＝a1≠0，则 a2n＝a1＋(2n－1)·d＝2n·d， bn＝a12n＝1d·21n. 这时{bn}是首项为 b1＝21d，公比为12的等比数列．
综上知{bn}为等比数列．
方法感悟
【名师点评】 一般地，代数推理问题大部分也都是演
绎推理，只不过是形式简化了的三段论，推理过程中使
用的大前提一般都是省略的．如本题(1)中的大前提是:函
数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中若Δ＝b2－4ac＜0，则y≠0恒成
立;(2)中的大前提是：对于函数f(x)，若在区间I上f′(x)
＜0,则f(x)在区间I上单调递减．
跟踪训练 3．用三段论证明：已知{an}是各项均为正数的等差数列， lg a1，lg a2，lg a4 成等差数列，又 bn＝a12n，n＝1,2,3….