22二分法及函数模型
函数模型及其应用-人教版高中数学
知识图谱-函数与方程零点的概念与二分法零点存在性判断定理函数与方程综合第02讲_函数模型及其应用错题回顾函数与方程知识精讲一．函数零点的概念1．函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．2．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3．二次函数的零点：，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．二．函数零点存在性判定定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点．即存在，使得，这个也就是方程的根．说明：这样得到方程在区间内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值．三．函数零点的基本性质从“数”的角度看：即是使的实数．从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标．若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．四．二次函数零点的分布问题1．当，在区间上的最大值，最小值，令．若，则，；若，则，；若，则，；若，则．2．二次方程的实根分布及条件．（1）二次方程的两不等实数根中一根比大，另一根比小；（2）二次方程的两不等实数根都大于（3）二次方程在区间内有两不等实数根（4）二次方程在区间内只有一根（不包括两等根），当或检验另一根若在内成立．五．二分法1．二分法定义：我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再进行比较，按需求留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求函数零点的近似值（1）确定区间，验证，给定精确度．（2）求区间的中点．（3）计算①若，则就是函数的零点；②（2）若，则令；③若，则令．（4）判断是否达到精确度，即若，则得到零点的近似值（或），否则重复第二、三、四步．三点剖析一．注意事项利用零点存在性定理判定函数的零点个数时，当函数在区间上是连续不断的曲线，且，此时可得函数在区间存在零点，但个数不能确定，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．二．方法点拨函数零点个数的判断方法1．直接求零点令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．当单调，在内有且只有一个零点．3．利用图象交点的个数画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．题模精讲题模一零点的概念与二分法例1.1、函数的零点为________．例1.2、若函数f（x）=ax+b的零点为x=2，则函数g（x）=bx2-ax的零点是x=0和x=____．例1.3、已知，函数恒有零点，求实数的取值范围．例1.4、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5例1.5、用二分法求方程的正实根的近似解(精确度)时，如果我们选取初始区间是，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．题模二零点存在性判断定理例2.1、已知函数y=f（x）的图象是连续不间断的，x，f（x）对应值表如下：则函数y=f（x）存在零点的区间有（）A、区间[1，2]和[2，3]B、区间[2，3]和[3，4]C、区间[2，3]和[3，4]和[4，5]D、区间[3，4]和[4，5]和[5，6]例2.2、若方程2ax2-1=0在（0，1）内恰有一解，则实数a的取值范围是____．题模三函数与方程综合例3.1、设函数，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A、B、C、D、例3.2、已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是_______．例3.3、已知函数f（x）=x2+（2-a）x+4，a∈R（1）若a=8，求不等式f（x）＞0的解；（2）若f（x）=0有两根，一根小于2，另一根大于3且小于4，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）=x2+（2-a）x+4在区间[1，3]内有零点，求实数a的取值范围．随堂练习随练1.1、函数f（x）=x3-3x+2的零点为（）A、1，2B、±1，-2C、1，-2D、±1，2随练1.2、函数的一个零点为1，则它的另外一个零点为________随练1.3、若，则方程的根是（）A、B、C、2D、随练1.4、设f（x）=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A、（1，1.25）B、（1.25，1.5）C、（1.5，2）D、不能确定随练1.5、用二分法求下图所示函数的零点时，不可能求出的零点是（）B、A、C、随练1.6、已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表，那么函数f（x）一定存在零点的区间是（）A、（-∞，1）B、（1，2）C、（2，3）D、（3，+∞）随练1.7、已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是__________．随练1.8、函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________随练1.9、设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A、B、[﹣1，0]（﹣，﹣2]C、（﹣∞，﹣2]D、（﹣，+∞）自我总结课后作业作业1、若求下列函数的零点：（1）；（2）作业2、二次函数中，则函数的零点个数是（）A、没有零点B、有一个零点C、有2个零点D、不能确定作业3、设f(x)=()x-x+1，用二分法求方程()x-x+1=0在（1，3）内近似解的过程中，f（1）＞0，f（1.5）＜0，f（2）＜0，f（3）＜0，则方程的根落在区间（）A、（1，1.5）B、（1.5，2）C、（2，3）D、无法确定作业4、用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该根所在的区间为____．作业5、函数f（x）=x-2-x+1的零点所在区间为（）A、（0，1）B、(1，)C、D、（2，3）(，2)作业6、已知关于x的方程为2kx2-2x-3k-2=0的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（）A、k＞0B、k＜-4C、-4＜k＜0D、k＜-4或k＞0作业7、已知f（x），g（x）均是定义在[﹣2，2]的函数，其中函数f（x）是奇函数，函数f（x）在[﹣2，0]上的图象如图1，函数g（x）在定义域上的图象如图2，则函数y=f[g（x）]的零点个数（）A、3B、4C、5D、6作业8、设函数若f（﹣3）=f（﹣1），f（﹣2）=﹣3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为个．。
函数模型及其应用
选定初始区间 [a, b] 求区间 [a, b]的中点 x1 计算
f ( x1 )
是
f ( x1 ) 0
否
x1 是函数的零点
否
f (a) f ( x1 ) 0
是
零点x0 (a, x1 )，令b x1
零点x0 (a, x1 )，令b x1
否
| a b |
是
零点的近似值是 a或b
(2)函数y a x (0 a 1), y loga x(0 a 1), y xn (n 0)的变化趋势 总会存在一个 x0 ,当x x0时, 就有xn a x loga x
实际问题
问 题 解 决
数学化 (转化为数学问题)
数学问题
数 学 解 答
实际问题结论
函 数 的 模 型
函 数 与 方 程 函 数 模 型 及 其 应 用
函数的零点与其对应方程根的关系
用二分
解 决 具 体 问 题
用已知函数模型解决问题
建立实际问题的函数模型
方程f ( x) 0的实数根 函数y f ( x)的零点 函数y f ( x)的图象与x轴的交点的横坐标
符合实际 (回到实际问题)
数学问题结论
收集数据
画散点图 选择函数模型
不 符 合 实 际
求函数模型
检 验
符合实际
用函数模型解释实际问题
函数零点判断的方法
如果函数y f ( x)在区间 [a, b]上的图象是连续不断的 一条曲线，
f (a) f (b) 0
函数y f ( x)在区间(a, b)内有零点 即存在c (a, b), 使得f (c) 0 c也就是方程 f ( x) 0的实数根
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
高中数学课本内容分布
高中数学课本内容分布文科必修一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用文科必修1一、集合1、集合含义和表示2、集合间基础关系3、集合基础运算二、函数及其表示1、函数概念2、函数表示法3、函数单调性4、函数最值5、函数奇偶性三、初等函数1、指数和指数幂函数2、指数函数性质3、对数及其运算4、对数函数及其性质四、函数和方程1、方程根和函数零点2、二分法求近似解3、函数模型及其应用必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修2一、空间几何体1、空间几何体结构2、空间几何体三视图和直观图3、空间几何体表面积和体积二、点线面之间位置关系1、点线面位置关系2、直线和平面平行判定和性质3、直线和平面垂直判定和性质三、直线和方程1、直线倾斜角和斜率2、直线和方程3、直线交点及距离公式四、圆和方程1、圆方程2、直线和圆位置关系3、空间直角坐标系必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、算法案例二、统计1、随机抽样2、用样本估量总体3、变量间相关关系三、概率1、随机事件概率2、古典概型3、几何概型必修3一、算法初步1、算法和程序框图2、基础算法语句3、几何概型。
函数的零点复习
知识点二、二分法求方程的近似解
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过 不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)＜0，给定精确度 ε； ②求区间(a，b)的中点 c； ③计算 f(c)； (ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (ⅱ)若 f(a)· f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (ⅲ)若 f(c)· f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度 ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤 ②③④.
9．某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜ 240，x∈N*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成 本)的最低产量是 A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 ( )
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10
)
7．若方程 a x x a 0 有两个解，则实数 a 的取值范围是 A． (1, ) B． (0,1) C． (0, )
8．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB，直线 l 截这个三角形所 得的位于直线右方的图形面积为 y，点 A 到直线 l 的距离为 x，则 y=f（x）的图象大致 为 ( )
D．(3,4)
有关二次函数的零点问题
关于高中数学教材中“函数应用”内容的教学建议
关于高中数学教材中“函数应用”内容的教学建议作者：武恒彬来源：《考试周刊》2013年第90期摘要：“函数应用”这部分内容体现了新课程强调发展学生数学应用意识和创新意识的思想。
在教学过程中教师要明确教学目标，准确把握基本要求；实现信息技术与“函数应用”学习的有效整合；引导学生领悟函数与方程的密切联系，体会函数思想。
关键词：高中数学教学函数应用教学策略信息技术高中数学《必修1》中的“函数应用”这一章包括两部分内容，一是函数与方程，二是函数模型及其应用。
函数应用的第一个重点是二分法及用二分法求方程近似解，第二个重点是函数模型的应用实例。
这部分内容在课程标准中首次独立成章，充分体现了新课程强调发展学生数学应用意识和创新意识的思想。
增加这部分内容，一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，用函数的观点看待某些方程，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是二分法这部分内容较好地体现了算法的思想，其有效、快速、规范的求解过程，可以为后面学习算法内容做好必要的准备。
因此，在教学过程中教师一定要强调对概念、结论的产生的背景和应用蕴涵的数学思想的理解，让学生领会什么是真正的应用。
一、明确教学目标，准确把握基本要求函数与方程（函数的零点与方程根的关系和用二分法求方程的近似解），函数模型及其应用（几类不同增长的函数模型和函数模型的应用实例）是本章学习的主要内容。
针对这些内容，课本提出了四个学习目标：①结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；②根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法；③利用计算工具，比较指数函数，对数函数，以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
12函数与方程
练习一：求以下函数的零点 1. f x e 2;
x
2. f x 1 ln x.
考向二：函数零点所在区间的判断
例 2. 函数 f(x)＝log3x＋x－3 的零点一定在区间( C ) A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)
练习：1.函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( B ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
考向三：函数零点个数的判断
例3.若定义在 R上的偶函数 f(x)满足f(x＋2) ＝f(x),且当
x∈[0, 1] 时， f(x) ＝ x, 则函数 y ＝ f(x) － log3|x| 的零点个
数是
4 .
B．有且仅有一个根
练习：1.方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内( C ) A．没有根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根 (2)函数 f(x)＝log3x－x＋2 的零点的个数是( C )
A． 0 C． 2 B．1 D． 3
考向四：二次函数的零点
例 4： 已知函数 f(x)＝x2-2ax-1+3a.如果函数 y＝f(x) 有两个正零点，求实数 a 的取值范围．
练习.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一 根在区间(1,2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围．
第四步，判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零 点近似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步.
考向一：解函数零点
2 x 2, x [1, ) 1 y f ( x ) 例1.设函数 f ( x ) 2 ,则函数 4 x 2 x , x ( ,1) 9, 2 5 的零点是___________. 8 2
高中数学二分法
高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。
2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。
3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。
4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。
5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。
6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。
综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。
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邹平双语学校2014—2015 高一年级数学课时学习目标流程 编号：22 使用时间： 编制人：孙晓迪 审核人： 领导签字： 班级： 小组： 姓名： 科代表： 教师评价：
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二分法及函数模型
【使用准备与要求】
一、所有学生仔细阅读各目标中的知识点，在学习过程中准备红蓝双色笔用红笔标出有疑问的地方，并自查工具书。
二、A 层学生完成全部题目，B 层学生完成B 、C 层题目，C 层学生完成C 层题目。
三、自主学习课完成目标一至目标三
【目标一】理解二分法的概念
二分法：对于在区间[a,b]上 连续不断 且 f(a)*f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点 逐步逼近零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
激情探究：
1.下列函数中不能用二分法求零点的是 （ ）
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x 3
C.f(x)=|x|
D.f(x)=lnx
2.为了求函数f(x)=2x -x 2
的的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量和函数值f(x)的部分对应值[f(x)的值精确到0.01]如下表所示：
A.(0.6，1.0)
B.(1.4，1.8)
C.(1.8，2.2)
D.(2.6，3.0)
【目标二】掌握二分法的步骤
给定精确度e ，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[a,b]，验证 f(a)*f(b)<0 ,给定精度e 。
（2）求区间（a,b ）的中点 c 。
（3）计算f(c).
①若f(c)=0，则c 就是函数的零点；
②若f(a)*f(b)<0,则令 b =c(此时零点x 0∈(a,c)); ③若f(c)*f(b)<0,则令 a =c(此时零点x 0∈(c,b)).
(4)判断是否达到精确度e ：即若 |a-b|<e ,则得到零点近似值a(或b);否则重复（2）-（4）
激情探究：
（A 层）求函数f(x)=x2-5的负零点（精确度为0.1）。
【规范解答】由于f(-2)=-1<0, f(-3)=4>0,
故取区间（-3，-2）作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算，列表如下：
所以函数的一个近似零点可取-2.25.
【目标三】了解几种不同增长的函数模型
激情探究：
1.当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 （ ） A.y=2x B.y=log 2x
C.y=x 2
D.y=2
x
2.下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是 ( )
A.y=e x
B.y=100lnx
B.C.y=x 100 D.y=100*2x
（B 层）3.三个变量y 1,y 2,y 3随着变量x 的变化情况如下表：
A. y 1,y 2,y 3
B.y 2,y 1,y 3
C. y 3,y 2,y 1
D.y 3,y 1,y 2。