目标规划问题的数学模型
多目标规划建模-数学建模
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400 x1 600 x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
400 x1 600 x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10 x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题 max f1 ( X ) 70 x1 120 x 2 用单纯形法求得其最优解为
x1 12.5, x 2 26.25, f1 ( x) 4025, f 2 ( x) 20750, f 3 ( x) 90
（5）线性加权和目标规划
optF ( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X )) T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
X ( x1 , x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：
绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数：
多目标规划问题的求解
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类,
一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多个 单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标
数学建模目标规划方法
30
x1
2x1
12x2 x2
d1 d2
d1 d2
2500 140
x1
d
3
d3
60
a x (,)b
ij j
i
j 1
(i 1,2, , m)
绝对约束
x 0 ( j 1,2, , n) j
d , d 0 (l 1,2, , L) ll
非负约束
K
L
min Z
pk
(kl
d
l
kl
dl
)
k 1
l 1
n
c(l) x d d g ( l 1,2, , L)
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。
这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
34
4
所以目标规划模型为：
min Z p d p (7d 12d ) p (d d )
11
2
2
3
34
4
70x 120x d d 50000
1
2
1
1
x 1
d d 200
2
2
x d d 250
生产甲、乙两种产品，
第9章目标规划
d
2
400 560
(1) (2)
2x1
2x2
d
3
d
3
120
(3)
x1
2.5x2
d
4
d
4
100
(4)
x1、x2
,
d
j 、d
j
0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点，端点的
解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择．
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别： 第一级： (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1－ x2 ≤0
∴ x1－x2+ d1－ － d1+=0
第二级：(2)充分利用设备有效台时，不加班 x1+2x2+ d2－ － d2+=10
第三级： (3充)分利利润用不设小于56元
(6)
x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2－1
满意解X＝(3,3)
问题1：最后的利润是多少？
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束： ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束； ②线性规划问题的目标函数，在给定目标
第一节 目标规划的数学模型
kl , kl 为分别赋予第l个目 式中：Pk为第k级优先因子，k=1,…,K； 标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标的预期目标值， l=1,…L。
建立目标规划数学模型的步骤
（1）按照实际问题所提出的各个目标与条件，列出目标的 优先级。 （2）写出绝对约束和目标约束 （3）给各个目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级中 各偏差变量，按不同的重要程度赋予不同的权系数。 （4）对要求恰好达到目标值的目标，则取正负偏差变量之 和，即 min(d d ) ；对要求超过目标值的，只取负偏差变量， min d 即 ；对要求不超过目标值的，只取正偏差变量， 即 min d ，构造一个极小化的关于偏差变量的目标函数。
又包含偏差变量；
6. 目标规划模型中的优先级 pi 较之 pi 1的重
要性一般为数倍至数十倍之间； 7. 目标规划模型中的目标函数按照问题的性 质要求可表示为求min或max； 8. 下列表达式能否表达目标规划模型中的 目标函数：
(1)max z p1d1 p2 d 2 (2)min z p1d1 p2 d 2 (3)min z p1d1 p2 ( d 2 d 2 )
6.1.2关于目标规划的几个概念
1.偏差变量
用d＋表示超过目标值的差值，称为正偏差变量；
d－表示未达到目标值的差值，称为负偏差变量．
第一目标:尽量完成本周期的利润指标24000元 如果实际利润是23500元,则 d 0, d 500 如果实际利润是24080元,则 d 80, d 0
min d1 300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 , x d d 100 min( d d 2 2 3 3 1 2 3 ) 2 20 x 10 x d d 1400 4 min d 1 2 4 4
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
目标规划和线性规划的区别]
![目标规划和线性规划的区别]](https://img.taocdn.com/s3/m/aa35d46ad5bbfd0a78567399.png)
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
（一）、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求 得更切合实际的解。
（二）、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为：
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出，约束条件是必须严 格满足的等式或不等式，是绝对化的“硬约 束”，此种问题若要求太多时，很容易相互矛 盾，得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求：
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级，依次类推。
权系数ωlk ：区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别，决策者可视具体情况而定。 （优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性，它 不是运筹学本身的问题，主要是决策人自身的经验， 可用专家评定法给以量化。）
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上一页
返回
5. 2目标规划问题的求解
• 5. 2. 1图解法
• 对于两个变量的目标规划问题，可以用图解法求解，步骤如下: • 第一步，按照系统(绝对)约束画出可行域; • 第二步，先不考虑正负偏差变量，画出目标约束对应的边界线，然后
在边界线上标出正负偏差变量; • 第三步，按优先级和权重依次分析各级目标，确定满意解。
示。即在第k个目标中， Wk1 > Wk2，表明第一个子目标优先于第二 个子目标，权系数越大，重要程度越大。
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• (5)目标达成函数。 • 由于目标规划的目的是使决策值尽可能接近或达到目标值，即需要各
个偏差变量尽可能小，因此目标函数是求偏差变量之和的最小值，这 样的目标函数称为目标达成函数。 • 综上所述，目标规划问题建模的步骤为: • (1)根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值(期望值)，设定决策 变量，并列出目标约束与绝对约束; • (2)根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量， 转换为目标约束;
目标函数。
• 可见，目标规划模型与一般线性规划模型相比，有以下区别:
• ①目标不同。目标规划只求最小值;线性规划模型既可以求最小值， 又可以求最大值。
• ②约束不同。
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• 目标规划既有目标约束，又有系统约束;线性规划只有系统约束。 • ③变量不同。目标规划既有决策变量，又有偏差变量;线性规划只有
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• (3)给各级目标赋予相应的优先因子Pk，对同一优先级的各目标，按 重要程度不同赋予相应的权系数ωki，;
• (4)根据决策者的要求，各目标按三种情况取值:①恰好达到目标值，
取
;②允许超过目标值，取 ;③不允许超过目标值，取 。
然后构造一个由优先因子、权பைடு நூலகம்数与偏差变量组成的、要求最小化的
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• 5. 1. 2基本概念与模型要素
• [例5-2]某工厂计划在生产期内生产A,B两种产品。已知单位产品生产 所需资源、现有资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-2所示。
• 此外，决策者需要考虑意见:①希望B的产量不超过A的一半;②原料避 免讨量消耗;③最好能节约4个设备工时;④计划利润不少于48元。
• 第三步，基变换同线性规划的单纯形法，主元素的确定及迭代变换均 同线性规划的单纯形法。
• 第四步，从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函数值。
上一页
返回
表5-1
返回
表5-2
返回
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• (3)系统约束和目标约束。 • 系统约束是指必须严格满足的约束条件，决定了解的可行性，是硬约
束。目标约束是指用正负偏差变量表示的约束，是软约束。 • (4)优先因子和权系数。 • 优先因子和权系数均出现在目标函数中，其中，优先因子用来表示不
同目标的主次(重要程度)，用Pk表示， Pk不是具体数值。 • 权系数则表示同一个目标中各个子目标的主次(重要程度)，用Wki表
第5章目标规划
• 5.1目标规划问题的数学模型 • 5.2目标规划问题的求解
返回
5.1目标规划问题的数学模型
• 5.1.1问题的提出
• [例5-1]某工厂计划在一个周期内生产A,B两种产品。已知单位产品所 需资源数、资源可用量及每件产品可获得的利润如表5-1所示。问:① 试制订出利润最大的生产计划。②市场部负责人提出两点意见供决策 者参考:a.根据市场预测，产品A的销路不是太好，应尽可能少生产;b. 产品B的销路较好，应尽可能多生产，在考虑这些问题的基础上应如 何调整原计划?试建立以上两个问题的数学模型。
• 对于该问题，首先需要设置决策变量，令A,B两种产品的产量为x1和 x2。下面介绍目标规划问题的基本概念和模型中所含的要素。
• (1)决策值与目标值。 • 决策值也称实际值，是指决策之后产生的实际结果，即决策变量的取
值;目标值又称期望值，是指希望得到的结果。
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• 解:对于问题①，令A,B两种产品的产量为x1和x2，其数学模型为
下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• 对于问题②，只需要在问题①的基础上，增加两个目标函数，即模型 为
上一页 下一页 返回
5.1目标规划问题的数学模型
• 显然，模型(5-1)是一个多目标的线性规划模型，目标函数既求最大又 求最小，相互矛眉用线性规划方法难以求解。此时，需要构造新的模 型表达方式，用于求解目标规划问题。目标规划模型的原始一般形式:
• (2)偏差变量。 • 偏差变量用于表示决策值与目标值之间的差异，一般用d来表示，且
规定d ≥ 0。若决策值超过目标值，则出现正偏差变量(d+);若决策值 低于目标值，则出现负偏差变量(d-)。 • 对于第k个约束条件: • 若决策值超过目标值，则 • 若决策值低于目标值，则 • 若决策值等于目标值，则 • 因此，有
• 5.2.2目标规划单纯形法
• 现对目标规划单纯形法的求解步骤进行说明。 • 【例5-8]用单纯形法求解[例5-7]中的目标规划问题:
下一页 返回
5. 2目标规划问题的求解
• 解:标准化的模型为
上一页 下一页 返回
5. 2目标规划问题的求解
• 第一步，确定初始基(同线性规划单纯形法)，计算检验数。 • 第二步，最优性检验。