高中数学题型解法归纳《线性目标函数和综合函数》
高考数学丨线性规划知识点汇总
高考数学丨线性规划知识点汇总一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
基础知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<03．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
高中数学 第三章 简单的线性规划问题知识汇总素材 北师大版必修5(1)
简单的线性规划问题
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证.
4. 两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：线性规划的常见目标函数
二：常见目标函数1．线性规划⑴ 在线性约束条件下，z Ax By =+是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于z Ax By =+又是关于x 、y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数． ⑵ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ⑶ 在可行域中，可行解11()x y ，和22()x y ，分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行域． 2．主要方法用“图解法”解决简单的线性规划问题的基本步骤：⑴ 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ⑵ 设0z =，画出直线0l ．⑶ 观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解． ⑷ 最后求得目标函数的最大值及最小值．考点1：一次函数型例2.（1）目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义为（ ） A ．该直线的横截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的12的相反数 D ．该直线纵截距的2倍的相反数 【解答】D（2）若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，作出可行域如图， 联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得(3,4)A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5．故选：D ．（3）设变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩„……，则目标函数3z x y =-的最大值为( ) A ．0 B ．3- C ．18 D ．21【解答】解：作出变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩„……的可行域，如图所示的阴影部分，如图： 由3z x y =-可得3y x z =-可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越大， 作直线:30L x y -=，可知把直线平移到(6,0)A 时，Z 最大， 故18max z =． 故选：C ．（4）给出平面区域如图所示，若目标函数(0)z x ay a =+…仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．103a <<B ．13a …C ．13a >D ．102a <<【解答】解：根据画出的约束条件表示的可行域为ABC ∆内部（包括边界）， 易知当0a =时，z x =的最大值不是2，不符合题意； 当0a >时，由目标函数z x ay =+得1z y x a a =-+，由题意得130AC k a -=<-<，解得13a >；当0a <时，目标函数为1zy x a a=-+在A 点处取不到最大值；综上所述，a 的取值范围是13a >． 故选：C ．（5）已知实数x ，y 满足13y x y ax ++剟?，若2y x -的最大值是3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3]B ．[1，3]C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞【解答】解：不等式13y x y ax ++剟?， 等价于13y x y y x y ax ⎧⎪+⎨⎪++⎩……„，化简得10(1)3y x y a x ⎧⎪⎨⎪-+⎩……„， 设2z y x =-，则2y x z =+；且z 的最大值是3，由图形知，12a -„， 解得3a „，所以实数a 的取值范围是(-∞，3]． 故选：A ．（6）若关于x ，y 的不等式组223000x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点0(P x ，0)y 满足00230x y --=，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1,3)- B ．(3,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则要使平面区域内存在点0(P x ，0)y ，满足0023x y -=，则只需点A 在直线23x y -=的下方即可， 由200x m y m ⎧-=⎨-=⎩，解得2(A m ，)m ，则点A 的坐标满足23x y -<， 即：223m m -<，2230m m ∴--<，解得：13m -<<，即m 的取值范围是(1,3)-， 故选：A ．考点2：斜率型例3.（1）已知x ，y 满足约束条件10220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则11x y +-的取值范围是( )A ．11[,]23-B ．[2-，3]C ．11(,][,)23-∞-+∞U D ．(-∞，2][3-U ，)+∞【解答】解：11x y +-表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的倒数，(2,2)A ；(1,0)B ；211213AD k -==-+， 011112DB k -==-+， 作出可行域，可知点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的范围 是11[,]23-，所以11x y +-的取值范围是(-∞，2][3-U ，)+∞．故选：D ．（2）已知实数x ，y 满足3,26,8x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩……„则13y x --的取值范围为( )A ．1[4，5]8B ．1[8-，1]4C ．[0，4]5D ．2[5-，4]5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图， 则13y x --的几何意义是区域内的点到定点(3,1)D 的斜率， 观察可知13BD AD y k k x --剟，由(8,5)A ，(8,1)B -， 可得214535y x ---剟，故选：D ．（3）已知变量x ，y 满足约束条件12,1,x y x +⎧⎨-⎩剟„则x y y +的取值范围是( )A ．12[,]23B ．(0，2]3C ．(1-，1]3-D ．3[,2]2【解答】解：将题中可行域表示如右图，易知yk x=在(1,3)A -处取得最小值3-， 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率1-，故31k -<-„，则113x y -<-„，故203x y y +<„．故选：B ．（4）已知x ，y 满足203010y x x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩„…„，则264x y x +--的取值范围是( )A ．17[1,]7- B ．17[1,]7C ．19[0,]7D ．[2-，0]【解答】解：由于2611244x y y z x x +--==+⨯--， 由x ，y 满足203010y x x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩„…„，所确定的可行域如图所示，考虑到14y x --，可看成是可行域内的点与(4,1)构成的直线的斜率， 结合图形可得，当(Q x ，)(3y A =，2)时，z 有最小值2112134-+⨯=--， 当(Q x ，)(3y B =-，4)-时，z 有最大值411712347--+⨯=--， 所以11711247y x --+⨯-剟．故选：A ．（5）已知实数x ，y 满足430401x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩„„…，若x y z y x =+，则z 的最大值为( )A ．447B ．4613C ．103D ．43【解答】解：实数x ，y 满足430401x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩„„…的可行域如图：13(5B ，7)5，(1,3)A ，y x 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率，可知713BO k =，3AO k =，7[,3]13y x ∈，x y z y x =+，当1y x =时z 取得最小值；最大值在端点处取得：3y x =时．103z =；713y x =时，713101373z =+<． 故选：C ．考点3：距离型例4.（1）已知x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…，则22x y +的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…作出可行域如图，22x y +的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方， 由图可知，A 到原点O 的距离最小，由3531x y x y -=-⎧⎨-=⎩解得(1,2)A ，则22x y +的最小值为：5． 故选：D ．（2）设点(,)P x y 在不等式组02030x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„表示的平面区域上，则22(1)z x y =-+的最小值为( )A ．1B ．55C ．2D ．255【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，22(1)z x y =-+则z 的几何意义是区域内的点到点(1,0)D 的距离，由图象知D 到直线20x y -=的距离最小，此时22|20|2255521d -===+， 故选：D ．（3）若实数x ，y 满足1200y x x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…，则|24|5x y z --=的最大值是( )A ．455B ．5C ．755D ．855【解答】解：实数x ，y 满足1200y x x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„„…对应的平面区域如图：三角形ABO 的三边及其内部部分：(1,0)A -，(1,2)B ，(0,0)O |24|5x y z --=的几何意义是可行域内的点与直线240x y --=的距离，由图数形结合可知，点(1,0)A -到直线的距离最大， |24|5x y z --∴=的最大值是5，故选：B ．课后作业：1.不等式组24020x y x y -+⎧⎨-+<⎩…表示的平面区域是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：240x y -+…表示在直线240x y -+=的下方及直线上， 20x y -+<，表示在直线20x y -+=的上方，则对应的区域为B ，故选：B ．2.不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩„„…所表示的平面区域的面积等于14，则k = ． 【解答】解：Q 不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩„„…所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点(2,0)，1y kx =-Q ，与x 轴的交点为1(k，0)， 1y kx =-与2y x =-+的交点为3(1k +，21)1k k -+， 三角形的面积为：11211(2)214k k k --⨯=+， 解得：1k =．故答案为：1．3.若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，则3z x y =+的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩……„，作出可行域如图， 联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得(3,4)A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+， 由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为5．故选：D ．4.已知x ，y 满足约束条件10220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„…，则11x y +-的取值范围是( )A ．11[,]23- B ．[2-，3]C ．11(,][,)23-∞-+∞U D ．(-∞，2][3-U ，)+∞【解答】解：11x y +-表示可行域内的点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的倒数，(2,2)A ；(1,0)B ；211213AD k -==-+，011112DB k -==-+，作出可行域，可知点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的范围 是11[,]23-， 所以11x y +-的取值范围是(-∞，2][3-U ，)+∞．故选：D ．5.已知x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…，则22x y +的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩„„…作出可行域如图，22x y +的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，A 到原点O 的距离最小，由3531x y x y -=-⎧⎨-=⎩解得(1,2)A ，则22x y +的最小值为：5．故选：D ．。
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结
高中数学解线性规划问题的方法与思路总结一、引言线性规划是高中数学中的重要内容，也是数学建模和实际问题求解中常用的方法之一。
本文将总结解线性规划问题的方法与思路，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用线性规划。
二、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最优值的问题。
其中，线性约束条件可以用一组线性不等式或等式表示，线性目标函数是一次函数。
三、线性规划问题的解题步骤1. 建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件，并将其转化为数学表达式。
2. 确定可行域：根据约束条件，确定决策变量的取值范围，即可行域。
3. 确定最优解：通过图像、代数或单纯形表等方法，确定最优解的存在性和唯一性。
4. 求解最优解：利用图像、代数或单纯形表等方法，求解最优解，并进行验证。
5. 分析最优解：对最优解进行解释和分析，得出结论。
四、线性规划问题的解题技巧1. 图像法：将线性规划问题转化为几何问题，在平面直角坐标系中绘制可行域和目标函数的图像，通过观察图像找到最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 3x + 4y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6 的可行域中的最大值。
通过绘制可行域和目标函数的图像，可以观察到最优解在可行域的顶点处取得。
2. 代数法：通过代数计算，利用不等式关系和线性目标函数的性质，求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y) = 2x + 3y 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 的可行域中的最大值。
通过列出不等式组成的方程组，利用代数方法求解方程组，得到最优解。
3. 单纯形表法：适用于多个决策变量和多个约束条件的线性规划问题。
通过构建单纯形表，利用迭代计算的方法求解最优解。
例如，解决如下问题：求函数 f(x, y, z) = 5x + 4y + 3z 在约束条件x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z = 6 的可行域中的最大值。
高考数学线性函数知识点梳理
高考数学线性函数知识点梳理线性函数是高中数学中的重要内容，也是高考中经常涉及的一种题型。
掌握线性函数的基本概念和相关知识点，对于解题和分析问题具有很大的帮助。
本文将对高考数学中线性函数的知识点进行梳理，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、线性函数的定义和基本特征线性函数是指函数的定义域上的函数，其表示形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的基本特征有以下几点：1. 线性函数的图像是一条直线，且直线必定经过平面直角坐标系中的一个点。
2. k被称为线性函数的斜率，它表示直线的倾斜程度。
当k>0时，直线是上升的；当k<0时，直线是下降的；当k=0时，直线是水平的。
3. b被称为线性函数的截距，它表示直线与y轴的交点在y轴上的坐标值。
二、线性函数的图像和性质线性函数的图像是一条直线，它具有以下几个重要的性质：1. 平行或重合直线的斜率相等；垂直直线的斜率的乘积为-1。
2. 线性函数图像上的任意两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，斜率k可以通过计算(k = Δy / Δx)得到。
其中Δy = y₂ - y₁，Δx = x₂ - x₁。
3. 线性函数在某一点的值即为该点的纵坐标，也就是f(x)。
三、函数与线性函数的关系函数与线性函数之间存在一定的关系，特别是在函数的求值和函数之间的运算中：1. 当函数f(x)为线性函数时，对于任意给定的x，可以直接通过f(x) = kx + b来求得函数的值。
2. 两个线性函数相加（或相减）的结果仍然是一个线性函数，其斜率是两个函数斜率之和（或差），截距是两个函数截距之和（或差）。
3. 线性函数乘以一个常数后，得到的结果仍然是一个线性函数，其斜率是原函数斜率乘以常数，截距是原函数截距乘以常数。
四、线性函数在实际问题中的应用线性函数在实际问题中有着广泛的应用，特别是在描述和分析变化趋势、确定关系等方面：1. 质点的位移和速度问题：设质点在时间t的位移为s(t)，则s(t)是一个关于时间的线性函数，其斜率表示质点的速度。
线性规划常见题型及解法
线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上12方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是（ ）A 、（-3,6）B 、（0,6）C 、（0,3）D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选 C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。
2018年高考数学常见题型解法归纳训练 第12讲函数(线性目标函数和综合函数)模型及其应用 Word版 含答案
第12讲 函数（线性目标函数和综合函数）模型及其应用【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．三、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.四、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义.（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =（注意确定函数的定义域）；（3）求函数的导数)(/x f ，解方程0)(/=x f ；（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使0)(/=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；如果函数的定义域不是闭区间，0)(/=x f 又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明. 五、解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：六、解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．【方法讲评】、、、四种不同的【例1】某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A B C D设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？【解析】设计划期内生产甲x 件，生产乙y 件，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+≤+00124164821222y x y x y x y x 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+≤+0034826y x y x y x y x【点评】 （1）线性规划的问题要严格按照基础知识里的步骤解答，列线性约束条件，要全面不要遗漏.（2）线性规划问题的求解过程，实质是数形结合的应用过程，所以解答时要解释清楚.【反馈检测1】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(420v ≤≤)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x y 、小时.(1)作图表示满足上述条件x y 、的范围；(2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+- (元)，那么v w 、分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()(010),35kC x x x =≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式.（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（2）理解函数()f x 的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.【反馈检测2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313812800080y x x =-+(0120)x <≤已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？。
高中数学线性函数解题技巧
高中数学线性函数解题技巧高中数学中，线性函数是一个非常重要的概念。
在解题过程中，我们经常会遇到与线性函数相关的各种问题。
本文将介绍一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对线性函数题型。
一、线性函数的定义和特点首先，我们来回顾一下线性函数的定义和特点。
线性函数是指函数的图像是一条直线的函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b分别为常数。
线性函数的图像是一条直线，其特点是斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与y轴的交点。
二、线性函数的图像与斜率的关系线性函数的斜率对于确定直线的倾斜程度非常重要。
当斜率为正时，直线向右上方倾斜；当斜率为负时，直线向右下方倾斜；当斜率为零时，直线与x轴平行，是一条水平直线；当斜率不存在时，直线与y轴平行，是一条垂直直线。
举例说明：假设有一道题目如下：已知线性函数y = 2x - 3，求该函数的斜率和截距。
解析：根据题目给出的函数表达式y = 2x - 3，我们可以得知斜率k = 2，截距b = -3。
因此，该线性函数的图像是一条向右上方倾斜的直线，与y轴交于点(-3, 0)。
三、线性函数的图像与截距的关系线性函数的截距决定了直线与y轴的交点。
当截距为正时，直线与y轴的交点在y轴的上方；当截距为负时，直线与y轴的交点在y轴的下方；当截距为零时，直线与y轴交于原点。
举例说明：假设有一道题目如下：已知线性函数y = -0.5x + 2，求该函数的斜率和截距。
解析：根据题目给出的函数表达式y = -0.5x + 2，我们可以得知斜率k = -0.5，截距b = 2。
因此，该线性函数的图像是一条向右下方倾斜的直线，与y轴交于点(0, 2)。
四、线性函数的应用举例线性函数在实际问题中有着广泛的应用。
下面通过一些例题来说明线性函数的解题技巧。
例题一：小明从家到学校的距离是10公里，他以每小时8公里的速度骑自行车上学。
设t表示他骑车的时间（小时），写出小明骑车的距离和时间的线性函数关系式。
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【知识要点】
一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．
数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．
数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．
二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．
三、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
四、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：
（1）读题和审题，主要是读懂那些字母和数字的含义.
（2）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系)(x f y =（注意确定函数的定义域）；
（3）求函数的导数)(/
x f ，解方程0)(/
=x f ；
（4）如果函数的定义域是闭区间，可以比较函数在区间端点和使0)(/
=x f 的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；
如果函数的定义域不是闭区间，0)(/
=x f 又只有一个解，则该函数就在此点取得函数的最大（小）值，但是要进行必要的单调性说明.
五、解决实际问题的解题过程
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
六、解应用题的一般程序
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．
【方法讲评】
、、、四种不同的【例1】某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A B C D
设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出．已知各设备在计划
期内有效台时数分别是12，8，16，12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3
元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？
【解析】设计划期内生产甲x 件，生产乙y 件，
则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+≤+00124164821222y x y x y x y x 即 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+≤+0
034826
y x y x y x y x
【点评】 （1）线性规划的问题要严格按照基础知识里的步骤解答，列线性约束条件，要全面不要遗漏.（2）
线性规划问题的求解过程，实质是数形结合的应用过程，所以解答时要解释清楚.
【反馈检测1】某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(420v ≤≤)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x y 、小时.(1)作图表示满足上述条件x y 、的范围；(2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+- (元)，那么v w 、分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
【例2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系： ()(010),35
k
C x x x =
≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式.
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.
（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-
+，令'()0f x =，即2
2400
6(35)
x =+.
【点评】（1）本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.（2）理解函数()f x 的含义并求出函数的表达式是此题的关键点.
【反馈检测2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：313
812800080
y x x =
-+
(0120)x <≤已知甲、乙两地相距100千米.
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第12讲： 函数（线性目标函数和综合函数）模型及其应用参考答案
【反馈检测1答案】（1）见下图；（2）10x =,12.5v =,30w =,p 的最小值为93元. 【反馈检测1详细解析】(1) 由题意得：50v y =
,300
w x
=,420v ≤≤,30≤w ≤100, ∴310x ≤≤,5252
2
y ≤≤.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x y +应在9至14小时之间，即9≤x y
+≤14,②
因此满足①②的点(,)x y 的存在范围是图中阴影部分(包括边界).
【反馈检测2答案】（1）从甲地到乙地要耗油17.5升；（2）当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.
【反馈检测2详细解析】（1）若40x =千米/小时，每小时耗油量为7y =升/小时. 共耗油100
717.540
⨯=升.所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.
（2）设当汽车以x 千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，()0120x <≤，耗油量为S 升. 则
3
2100131800158128000801280
4S x x x x x ⎛⎫=
-+=+- ⎪⎝⎭， 2
1800'640S x x =-， 令'0S =，解得，80x =. 列表：
所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.。