函数基本性质
1.3.1
单调性与最大(小)值 ——函数的单调性
函数基本性质
新课导入
一、情景问题 如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动 气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时 气温相同为32C），观察这张气温变化图：
问：该图形是否为函数 图象？定义域是什么？ 问：如何用数学语言来 刻画温度随时间变化而 变化的趋势呢？
请你仿造函数最大值的定义，给出是函数y=f(x)
的最小值的定义.
函数基本性质
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； （2）存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).
函数基本性质
请你仿照刚才的描述，说明函数f(x)=x2在区间
(-∞,0)上是减函数.
函数基本性质
新课
一、函数的单调性
1.增函数的定义
设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个 区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是增函数 （increasing function）.
函数最低点 (0,0)
函数基本性质
观察f(x)=-x2的图象
有一个最高点 (0,0)
y O
x
函数基本性质
观察函数f(x)=x的图象
发现，没有最低点，也没有最高点.
函数基本性质
新课
函数的最大（小）值 1．函数的最大（小）值的定义
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值(maximum value)。
生产效率
O
工人数
函数基本性质
3. 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一 单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 7 6 5 4 3 2 1 -1 O 1 2 3 4 5 x
函数基本性质
课堂小结
（1）增减函数的图象有什么特点？增函数的图象从 左自右是上升的，减函数的图象从左自右是下降的.
（2）用定义证明函数的单调性，需要抓住要点“在 给定区间任意取两个自变量”去比较它们的函数值的 大小.
课堂例题
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高
度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，
归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的 变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数 性质的反映.
函数基本性质
思考：
1．如何用函数解析式f(x)=x2描述“随着x的 增大，相应的f(x)随着减小”，“随着x的增大， 相应的f(x)也随着增大”？
y
y f(x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
-2
函数基本性质
课堂练习
1.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻 明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升 高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能 的图象（示意图）.
函数基本性质
2. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生 产线上工人数量间的关系.
这一区间D叫做f(x)的单调区间.
说明：
(1)函数的单调区间D是其定义域I的子集；
(2)判断函数的单调性的方法： 比较法（要注意变形的程度）
(3)证明函数的单调性的步骤：
函数基本性质
课堂例题
例1.图1.34是定义在[区 5,5]上 间的函 y数 f(x), 根据图象说出调 函区 数,以 间 的及 单在每一单,调 它是增函数还?是减函数
（3）如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调 性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
函数基本性质
1.3.1
单调性与最大(小)值 —函数的最大(小)值
函数基本性质
上节课 1.图 例 1.34是定义在[区 5,5]间 上的函y数f(x),
函数基本性质
请同学们画出函数f(x)=x和f(x)=x2的图象，
并观察图象的变化特征，说说自己的看法.
函数基本性质
可观察到的图象特征：
（1）函数f(x)=x的图象由左至右是上升的； （2）函数f(x)=x2的图象在y轴左侧是下降的，在 y轴右侧是上升的；也就是图象在区间(-∞,0]上， 随x着的增大，相应的f(x) 随着减小，在区间 (0,+∞)上，随着x的增大，相应的f(x)也随着增大.
函数基本性质
3．对定义要点分析 1） 函数是增函数还是减函数，是对定义域内 某个区间而言的; 2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要 任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或 减函数）.
函数基本性质
3．对定义要点分析
3）如果函数y=f(x)在某一区间D上是增(减)函 数，就说f(x)在这个区间D上具有单调函数，
根据图象说出函 调数 区,的 以 间单 及在每一单调
它是增函数还是 ? 减函y 数
y f(x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
-2
函数基本性质
y
y f(x)
3
2
-2 1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 -1
5x
-2
发现，函数图象在x=-2时，其函数值最小， 而在x=1时，其函数值最大.
请你仿照增函数的定义给出函数f(x)在区间D上是
减函数的定义.
函数基本性质
2.减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个 区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数 （decreasing function）.
2.在区间(0,+∞)上任取x1,x2，函数值的大小
变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学 符号语言来描述这种关系呢？
函数基本性质
对于函数f(x)=x2 ，
在区间(0,+∞)上，任取两个x1,x2，当x1 x2时， 有f(x1) f(x2).这时，我们就说函数f(x)=x2在区
间(0,+∞)上是增函数.
函数的基本性质
函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。
⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
函数五大性质
函数五大性质函数的五大性质是指函数的基本性质，它们是：平稳性、单调性、有界性、可导性和连续性。
掌握了这五大性质，将有助于我们更好地理解和研究函数，以及求解方程等。
平稳性是指在函数域上，如果一个函数的值有限，那么它的极限为零。
这意味着函数的值不会随着变量的变化而发生显著变化。
例如，在函数 x2 + 2x 上，当 x化时，该函数的值变化不大。
单调性是指在函数域上，如果一个函数的值是递增的（或者函数的值是递减的），那么该函数就是单调的。
这样的函数不会随着变量的变化而发生明显的变化；例如，函数 f (x) = x2 + 2x x限增大时，该函数的值会逐渐增加，因此该函数是单调的。
有界性是指在函数域上，如果函数的值是有限的，那么该函数就是有界的。
例如，函数 f (x) = x2 + 2x有有界性，因为它的值介于 0 ~ 10 之间，不能变得无限大。
可导性是指在函数域上，函数的导数不为零，那么该函数就是可导的。
例如，函数 f (x) = x2 + 2x有可导性，因为它的导数不为零，且为 f x) = 2x + 2。
连续性是指在函数域上，如果函数在相邻的点上具有定义，那么该函数就是连续的。
例如，函数 f (x) = x2 + 2x有连续性，因为它在每个数值处都具有定义。
在数学中，函数具有五大性质。
这些性质有助于我们更好地理解和研究函数，以及求解方程等。
函数的五大性质是平稳性、单调性、有界性、可导性和连续性，在函数域上，如果某种函数具备这五种性质，那么它就是一个理想的定义函数。
五大性质是数学中最重要的几个素材之一，即使在初等数学中也有应用。
比如，运用有界性可以快速解决定积分的问题，而运用连续性可以检验初等函数的连续性。
深入学习函数的五大性质，可以让我们对函数有更深刻的理解，从而更加熟练地操作和使用函数。
因此，了解函数的五大性质，对我们学习数学具有极大的帮助，这些性质可以作为解决各种数学问题的一个重要参考，为我们的学习和研究提供了很大的帮助。
函数的基本性质
例1. 如图是定义在区间[-5, 5]上的函数 y=f(x), 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间 上, 它是增函数还是减函数? y
解: 函数的单调区
间有 [-5, -2), [-2, 1). [1, 3), [3, 5].
例题(补充). 如图是函数 y=f(x) 的图象, 其定义域 为[-p, p], x0 为何值时, 有f(x)≥f(x0), 或 f(x)≤f(x0)? 函数的最大值是多少? 最小值是多少? 解: (1) 当 x0 = - p 时, f(x)≥f(x0),
2
-p y
-p 2
1
这时函数取得最小值
o
-1
[解析] 任取 x1、x2，使得－1<x1<x2<1， 则 Δx＝x2－x1>0. ax1x2＋1x1－x2 Δy＝f(x2)－f(x1)＝ ， 2 x2 － 1 x － 1 1 2
∵－1<x1<x2<1，
2 ∴x1x2＋1>0，x2 1－1<0，x2－1<0，
Байду номын сангаас
x1x2＋1x1－x2 ∴ 2 <0， x1－1x2 － 1 2 ∴当 a>0 时，f(x2)－f(x1)<0， 故此时函数 f(x)在(－1,1)上是减函数， 当 a<0 时，f(x2)－f(x1)>0， 故此时 f(x)在(－1,1)上是增函数． 综上所述，当 a>0 时，f(x)在(－1,1)上为减函数， 当 a<0 时，f(x)在(－1,1)上为增函数．
• 3．函数单调性在图象上的反映：若f(x)是区间A上的单调增 函数，则图象在A上的部分从左向右是逐渐________ 的，若 上升 f(x)是单调减函数，则图象在相应区间上从左向右是逐渐 下降 的． ________ 取值 作差 ， • 4．用定义证明单调性的步骤：__________ ，________ 变形 ，________ 定号 ，________. 结论 ________
函数的基本性质
第四讲 函数的基本性质.函数的单调性概念（1）增函数和减函数的概念如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；3.常见函数的单调性：（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0<k 时，在区间),(+∞-∞上是减函数；（2）反比例函数xky =，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0<k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数（3）二次函数c bx ax y ++=2，当0>a 时，在区间)2,(ab--∞是减函数，在区间),2(+∞-a b 是增函数，当0<a 时，在区间)2,(a b --∞是增函数，在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法，利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。
2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。
函数的基本性质
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增；如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
2、判断增函数、减函数的方法：①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义： ⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数；如果函数()x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
函数的基本性质及常用结论
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
函数的基本性质有
函数是数学中一种重要的概念，它具有一些重要的性质。
常见的函数性质包括：
1.单调性：函数在定义域内单调递增或递减。
2.可导性：函数在定义域内可导。
3.可积性：函数在定义域内可积。
4.可逆性：函数在定义域内可逆。
5.可微性：函数在定义域内可微。
6.可解析性：函数在定义域内可解析。
7.持久性：函数在定义域内持久，即函数的值在定义域内不会突然变化。
8. 函数的值域：函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
9. 函数的导函数：函数在定义域内可导，那么它就有导函数，并且导函数是唯一的。
10. 函数的导数：函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。
不同的函数具有不同的性质，因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。