电路第五章 正弦稳态电路分析
5.1 正弦稳态电路分析
第五章 正弦稳态电路分析5.1 正弦量及其描述5-1 正弦量及其描述正弦稳态电路：激励为正弦量，且加入激励的时间为t=-∞时的电路。
正弦量：随时间按正弦规律变化的电流或电压或功率等。
→↑u(t)t→↑i(t)tu(t)=U m sin(ωt+ϕu1)或 u(t)=U m cos(ωt+ϕu2)1、正弦量的时域表示（三要素） （1）波形表示：其中：U m 、I m −− 最大值ω −− 角频率ϕi 、ϕu −− 初相位ω=2πf=2π/T→↑u(t)t0ωt T2π→↑i(t)02πI m-I mωt U m -U mϕ =±90º 正交 ϕ =±180º反相相位差：ϕ= ϕu - ϕi∣ϕ∣ ≤ ∣π∣u(t)=U m cos(ωt+ϕu ) i(t)=I m cos(ωt+ϕi)ϕ <0 滞后ϕ >0 超前（3）相位差ϕ =0 同向有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）（4）有效值：周期信号一个周期内的方均根值。
对于正弦量：电流：电压：物理意义：在一个周期内与其产生相等热量的直流电量。
i(t)=I m cos(ωt+ϕi )u(t)=U m cos(ωt+ϕ)有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）2、正弦量的频域表示（1）正弦稳态电路特点：若所有激励为频率相同的正弦量，则线性电路响应为同频率的正弦量。
相量为一个复数，它可表示为极坐标形式，也可表示为直角坐标形式。
（2）正弦量相量表示： i(t)=I m cos(ωt+ϕi ) u(t)=U m cos(ωt+ϕu )iI I ϕ∠=∙uU U ϕ∠=∙（3）相量图：在一个复平面表示相量的图。
∙I∙U+j→↑+1cos sin iiII jI ϕϕ=+ 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）（4）相量法：以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析的方法。
第五章 正弦稳态电路分析
5.3.2 复数的概念 复数运算是正弦稳态电路分析法的数学工具，掌握复数运算和如何将正弦信号与复 数建立关系是关键。 1. 正弦信号与复数之间的关系 欧拉公式
e jx = cos x + j sin x
根据欧拉公式有
U me j(ωt+θi ) = U m cos(ωt + θi ) + jU m sin(ωt + θi )
n•
∑ ∑ I km = 0 或
Ik =0
k =1
k =1
KVL 相量形式（对于回路）
∑n • U km = 0
或
k =1
3. 电路元件的相量表示
•
•
电阻元件：U = R I
∑n • Uk =0
k =1
•
•
电感元件：U = jωL I
•
电容元件：U =
1
•
I =−j
1
•
I
jωC
ωC
4. 相量模型 所谓相量模型，就是将电路中正弦电压源和电流源用相量形式表示，电压变量和电 流变量用相量形式表示，电阻、电感和电容用阻抗形式表示。
电阻阻抗形式： Z R = R
电感阻抗形式： Z L = jωL
电容阻抗形式： ZC
=
1 jωC
=−j 1 ωC
5.3.4 电路谐振
•
•
谐振条件，对于二端口网络，端口电压U 与端口电流 I 同相位。根据这一条件
第五章 正弦稳态电路分析 •55•
可知，只有当阻抗的虚部为零才能满足这个条件。使虚部为 0 的频率为谐振频率。 谐振分为串联谐振和并联谐振。 串联谐振常用于无线接收设备中，并联谐振常用于带通滤波、选频电路等。
电路原理-正弦稳态电路的分析
对记录的数据进行分析，验证正 弦稳态电路的原理和性质。
实验结果与讨论
实验结果
通过实验观察和数据记录，可以 得出正弦稳态电路中电压和电流 的波形关系，以及元件参数对波
形的影响。
结果分析
对实验结果进行分析，验证正弦稳 态电路的基本原理，如欧姆定律、 基尔霍夫定律等。
实验讨论
讨论实验中可能存在的误差来源， 如电源稳定性、示波器的测量误差 等。同时，可以探讨如何减小误差、 提高实验精度的方法。
04 正弦稳态电路的分析实例
单相交流电路分析
总结词
分析单相交流电路时，需要计算电流、电压的有效值以及功率等参数，并考虑阻 抗、导纳和相位角等因素。
详细描述
在单相交流电路中，电压和电流都是时间的正弦函数。为了分析电路，我们需要 计算电流和电压的有效值，以及功率等参数。此外，还需要考虑阻抗、导纳和相 位角等因素，以便更准确地描述电路的性能。
实验步骤与操作
3. 观察波形
2. 连接电源
将电源连接到电路中，为电路提 供稳定的交流电压。
使用示波器观察电路中各点的电 压和电流波形，并记录数据。
4. 调整元件参数
通过调整电阻器、电容器和电感 器的参数，观察波形变化，并记 录数据。
1. 搭建正弦稳态电路
5. 分析数据
根据实验要求，使用电阻器、电 容器和电感器搭建正弦稳态电路。
相量法
1
相量法是一种分析正弦稳态电路的方法，通过引 入复数相量来表示正弦量，将时域问题转化为复 数域问题，简化计算过程。
2
相量法的核心思想是将正弦电压和电流表示为复 数形式的相量，并利用相量图进行电路分析。
3
相量法的优点在于能够直观地表示正弦量的相位 关系和幅度关系，简化计算过程，提高分析效率。
第5章 正弦稳态电路的分析ppt课件
（5-7） （5-8）
（4）指数形式
根据欧拉公式可知
ejcosjsin
于是，复数的三角函数形式可转变为指数形式，即
（5）极坐标形式
A rej
复数的指数形式还可改写为极坐标形式，即
（5-9）
A r
复数的五种表示形式可以相互转换。
（5-10）
整理版课件
12
2．复数的运算
设有两个复数
Aa1jb1r1ej1 r11 Ba2jb2 r2ej2 r22
1．电阻元件
如图5-9a所示为电阻元件的时域模型，u R 和 i R 取关联参考方向。假 设通过电阻的正弦电流为 iR(t)Imcos(ti)
根据欧姆定律，电阻两端的电压
u R ( t ) R i R ( t ) R I m c o s (t i ) U m c o s (t u )
由式（5-15）可知，电阻上的电压uR与电流iR是同频率、同相位的正 弦信号。它们的振幅和相位具有以下关系：
流电线路上？
【解】我国220 V交流电的电压有效值是220 V，根据式（5-5）得 电压最大值为
U m 2 U 2 2 2 0V ≈ 3 1 1V
由于220 V交流电的电压最大值是311 V，大于该电器所能承受的 电压最大值300 V，因此直接连接后可能会烧坏电器。
整理版课件
10
5.1.4 复数的相关知识 （5-6） 1．复数的表示形式
CUmcos(tu 2)Imcos(ti) 由式（5-23）可知，在正弦稳态电路中，电容元件的电流 i C ( t ) 与电压 u C ( t )
是同频率的正弦信号，且电流超前于电压90°。它们的振幅和相位具有以下
关系：
I
m
正弦稳态电路分析
正弦稳态电路分析一、正弦量及其三要素？1. 初相位：时间t=0时所对应的相位；2. 一般取正弦量的正最大值到正弦量计时零点（t=0）所对应的角度为该正弦量的初相位3. 正弦量的正最大值到向右的初相位为正。
即φi>0;向左即为负；4. 各种表示法（1） F=a+jb;a=Ucos ab=Usin a（2）F=a+jb=|F|（cos a+jsin a ） =|F|e ja =|F| a （4）计算器使用pol(-4.07,3.07)=5.09 RCL tan二、电路元件的伏安关系及相量表示形式？X L =wL,X C =1/wCjX L =jwL,jX C =j*1/wC=1/(-jwC)三、阻抗、导纳及其串并联？ 阻抗与导纳互为倒数关系1. 复阻抗：不含独立电源的一端口网络的端电压相量与端电流相量的比值2. 的比值；3. 电压三角形 OZ4. 阻抗三角形四、正弦量的相量表示法？1.有向相量的长度（复数的模）代表正弦量的幅值（有效值）；2.复数的幅角代表正向量的初相位；3.向量形式用大写字母表示并在字母上方加点； 五、阻抗和导纳的性质？电感角大于电容角就呈感性，小于呈容性，等于呈阻性； 六、正弦稳态电路的分析？（1）画出电路的相量模型（电压、电流、各种阻抗） （2）选择适当方法（KVL 、KCL ）列方程（3）求出未知量Q（4）写出电压电流的瞬时值 七、正弦稳态电路的功率？1.有功功率：电阻所消耗；P=UIcosa2.无功功率:电感、电容负载与电源进行能量交换的功率；Q=UIsina3.视在功率：电源输出的功率；S=UI=上述两者平方和的算术平方根4.复功率：S=P+jQ 八、功率因素的提高？在电感两端并联电容的操作，使两者夹角减小1)C=P/wU 2(tan a1-tan a2); 2)Q C =-P(tan a1-tan a2)九、最大功率传输？ 当Z L =R eq -jX eq =Zeq *时，P MAX =U OC2/4R eq十、解题步骤？1.设。
第五章正弦稳态电路的分析
正弦电流电路
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数。
②正弦信号容易产生、传送和使用。
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j
F | F | e | F |
j
极坐标式
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几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b |F|
F
O
| F | a b b 或 θ arctan( ) a
2 2
a
Re
a | F | cos b | F | sin
O
F Re
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特殊旋转因子
jF
Im
F
Re
jF
π jπ π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
O
F
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
π , e
w 2π f 2π T (3) 初相位
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
=0
一般规定：| |< 。
O
=/2
wt
=－/2
返 回
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正弦稳态电路分析和功率计算要点
其中： R — 电阻分量( )； X — 电抗分量()
1 — 容抗 XL = L — 感抗； X C C
U U (3) Z u i I I
Z R X
2
2
= R + jX = |Z| Z
第 九 章
正弦稳态电路的分析
9-1Байду номын сангаас
阻抗和导纳
一、阻抗 1. 元件的阻抗 元件在正弦稳态下，电压相量与电流相量（关联
U 参考方向）之比为元件的阻抗，记为 Z。即 Z 。 I
单位：欧姆（）. 电阻
IR
电感 R
U R I L jL U L
电容
IC
1 j C
1 记为 Y。 即 Y I 。单位：西门子（S）. Z U Y I YU I
元件
U
—— 欧姆定律的相量形式
一端口
+ U
I
N0
1 I U Y Z Z U I —— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I YU
称阻抗 Z 呈容性；
iii) X = 0 , Z = 0 , u – i = 0 , 电压与电流同相，
称阻抗 Z 呈阻性；
(5) 阻抗三角形
Z R X
2 2
|Z|
|Z|
|X| R
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 为 120 2 cos 500 t V与 120 2 cos 3000 t V 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
正弦稳态电路
5.1.1 正弦量的三要素 设正弦交流电流：
i
Im
O
T
t
i I m cos t
初相角：决定正弦量起始位置 角频率：决定正弦量变化快慢 振幅：决定正弦量的大小
振幅、角频率、初相角成为正弦量的三要素。
Im I 0.707 I m 或I m 2 I 2
说明：(1)
2 的关系只适用于正弦量，对别的周期量
不适用。 (2) 正弦量的有效值与频率和初相位无关。 (3) 交流电压、电流表测量数据，交流设备铭牌标 注的额定电压、电流均为有效值。
5.2 正弦量的相量表示法 5.2.1 复数的表示形式及运算 +j 一、复数的表示形式 b 设F为复数: |F| (1) 代数式 F =a + jb 0 a ReF 取复数的实部
U 2
U 2 45 20
O
U 1
+1
超前 落后 U 1 ？
例2: 已知相量 U
8 45A I 100 60V ，
频率 =314rad/s，写出相应的函数式。
解：相应的函数式为：
u 100 2 cos(314t 60)V
i 8 2 cos(314t 45)A
说明： 由正弦量可直接写出与之对应的相量；反之， 从相量也可直接写出相应的正弦量，但必须给出正 弦量的角频率。
三、同频率正弦量的运算 1、同频率正弦量的代数和
设： i1 2I1cos( t 1 ), i2 2I 2cos( t 2 )
I ~I 1 1 1
I ~I 2 2 2
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§ 5-1 正弦量
5.1.1 最大值与有效值 综上所述，可得
T
0
i 2 Rdt I 2 RT
由此可得出周期电流 i 的有效值
1 T 2 I i dt 0 T
Im 1 2T I Im 0.707I m 或 T 2 2
同理
Im 2I 1.414I
U m 2U Em 2 E
I m I me ji I mi
Im 就表示正弦电流的最大值相量，上面加的小圆点代表相量，用来区 别普通复数。
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.3 正弦量的相量表示法
在正弦交流电路分析中，经常使用的是正弦量的有效值，因此可把最
大值相量换为有效值相量，即
I Ie ji I i
§ 5-1 正弦量
5.1.2 频率与周期 正弦量变化一次所需的时间称为周期 T (period)，单位为秒(s)。每秒内正 弦量变化的次数称为频率 f (frequency)，单位为赫兹(Hz)，简称赫。
在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家(如美国、
日本等)采用60Hz。Hz这种频率在工业上应用广泛，习惯上也称为工频。 高频炉的频率是200～300 kHz；中频炉的频率是500～8000Hz；高速电动 机的频率是150～2000Hz；无线电工程上用的频率则高达 104～30×1010Hz。
Im称为正弦电流 i 的振幅(amplitude)，它是正弦电流所能达到的最大值， Im 、Um 及Em 分别表示电流、电压及电源电动势的最大值。 有效值是以电流的热效应来规定的。变化的电流还是直流，只要它们在 相等的时间内通过同一电阻而两者的热效应相等，就把它们的安培值看作是
相等的。这个周期性变化的电流的有效值在数值上就等于这个直流。
最大值、频率和初相位称为正弦量的三要素。 相位间的差别称为相位差(phase difference)
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
电压u的相位超前(leading)电流 的相位一个角度φ，说明电压u比电流i先达 到正的最大值(或零值)。反过来说明电流i滞后(lagging)电压u一个角度φ 。
指数形式(exponential form)
e j cos j sin
A A e j
A A φ
极坐标形式(polar form)
复数的相加或相减，应使用复数的代数形式来进行，同时也可以在复 平面上应用平行四边形法则进行。
复数的乘和除的运算，用指数形式或极坐标形式来进行较为方便，相
目录
§ 5-1 正弦量
§ 5-2 § 5-3
§ 5-4 § 5-5
正弦量的相量表示法 电阻、电感和电容元件的交流电路
复阻抗、复导纳及其等效变换 正弦稳定电路的功率
§ 5-6 § 5-7
§ 5-8
正弦稳态电路的计算 功率因数的提高
串联电路的谐振
§ 5-1 正弦量
u，i
按正弦规律变化的电流、电压、电 动势统称为正弦交流电，在电路分析中
0
常简称为正弦量(sinusoid)。正弦电流和 电压的波形(wave form)如图5-2所示。
图5-2 正弦交流电
t
正弦量的三要素 Im、ω、φi三个常数称为正弦量的三要素，三要素 是决定正弦量的三个基本参数，有了这三个要素就能唯一确定一个正弦 量(sinusoid)。
§ 5-1 正弦量
5.1.1 最大值与有效值
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差 相位差为零，则称为同相位(简称同相)，这时两个正弦量同时到达正的最 大值，也同时通过零值，如果它们之间的相位差为π/ 2 (或90°)，则称它们为 相位正交，相位差为π (或 180°)，则称它们为反相位。
u,i u i 0 ?t 0 ?t i ?t u,i u i u,i u
2 2 f T
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差 正弦量随时间变化的核心部分是ωt +φi ，它反映了正弦量的变化进程，称 为正弦量的相角或相位(argument)。 t=0时的相位称为初相位或初相(initial phase)，即
(t i )
t 0
i
初相位的单位可以用弧度或度来表示。通常在|φi|≤π的主值范围内取值。 初相角的大小和正负与计时起点的选择有关。对任一正弦量，初相允许任意指 定，但对于一个电路中的多个相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时 起点确定各自的相位。
j 1 称为虚单位(imaginary unit ) (它在数学中用i代表，而在电工中，
i已用来表示电流，故改用j代表)。 三角函数形式
A A cos j A sin A (cos j sin )
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.1 复数的表示方法及其四则运算
欧拉公式(ELeabharlann ler’s identities)
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差
如果最近的一个从负到正的零点，则φi=0；A点位于0点的左侧，A点位于 0点右侧，则-π<φi<0 。
A
A 0
ωt
A
0
ωt
0
ωt
φ
(a) φ = 0 i
i
( b) φ i > 0
φ
i
(c) φ i < 0
图5-4 初相角
§ 5-1 正弦量
5.1.3 初相位和相位差
乘时，模相乘，辐角相加；相除时，模相除，辐角相减。
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.2 旋转因子
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.3 正弦量的相量表示法 可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时间函数与一个复数范 围的复指数函数一一对应起来，而其复常数部分则把正弦量的最大值和初
相结合成一个复数表示出来。
其模就是给定正弦量的有效值 I ，其辐角 就是该正弦量的初相φi。相量也可以在复 平面上用向量来表示。这种表示相量的图
(a)
(a)
(b) 同相；(b) 正交； (c)反相
(c)
图5-6 电压、电流的相位关系
§5-2 正弦量的相量表示法
5.2.1 复数的表示方法及其四则运算 一个复数 (complex number) A可以用几种形式来表示。用代数形式 (rectangular form) 时，有
A a1 ja2