第4章 正弦稳态电路分析4.6-4.7
课件-第4章 正弦稳态电路分析--例题
第4章 正弦稳态电路分析--例题√【例4.1】已知两个同频正弦电流分别为()A 3314cos 2101π+=t i ，()A 65314cos 2222π-=t i 。
求（1）21i i +；（2）dt di 1；（3）⎰dt i 2。
【解】 （1）设()i t I i i i ψω+=+=cos 221，其相量为i I I ψ∠=∙（待求），可得：()()()()A54.170314cos 224.14A54.17014.24A 34.205.14 A1105.19A j8.665 A15022A 601021︒-=︒-∠=--=--++=︒-∠+︒∠=+=∙∙t i j j I I I（2）求dtdi 1可直接用时域形式求解，也可以用相量求解()()︒+︒+=︒+⨯-=9060314cos 23140 60314sin 3142101t t dt di用相量形式求解，设dt di 1的相量为K K ψ∠，则有 )9060(31406010314K 1K ︒+︒∠=︒∠⨯==∠∙j I j ωψ两者结果相同。
（3）⎰dt i 2的相量为︒∠=︒∠︒-∠=∙12007.0903********ωj I【例4.2】 图4-9所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表A 1的读数为5 A ，电流表A 2的读数为20 A ，电流表A 3的读数为25 A 。
求电流表A 和A 4的读数。
图4-9 例4.2图【解】 图中各交流电流表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模（有效值）。
显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令V 0︒∠=∙S S U U ，根据元件的VCR 就能很方便地确定这些并联支路中电流的相量。
它们分别为：A 25 ,A 20 ,A 05321j I j I I =-=︒∠= 根据KCL ，有：()A095A 5A 457.07A 55324321︒∠==+=︒∠=+=++=j I I I j I I I I 所求电流表的读数为：表A ：7.07 A ；表A 4：5 A【例4.3】 RLC 串联电路如图4-12所示，其中R ＝15Ω，L ＝12mH ，C ＝5μF ，端电压u ＝1002cos （5000t ）V 。
第四章--互感电路分析
4.8 含耦合电感电路的分析与计算
学习目标与要求：
(1)了解互感线圈中电压、电流的关系以及同名端的概念
点
(2)掌握互感电路的分析计算方法 (3) 掌握空心变压器、理想变压器的特点
4.8.1 互感
互感电压的产生 同名端的概念
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4.8.1 互感
1. 互感
i1 作用：
21=N2 21 11 21
克服办法：合理布置线圈相互位置减少互感作用。
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4. 同名端的定义与判别 (1)同名端的定义
(a) 当两个线圈中的电流产生的磁场相互增强时，则两个 电流的流入 ( 或流出 ) 端为一对同名端， 用※、●或△ 符号表示。
11
22
N1 N2 i2 1 1’ 2 2’ i1 1 + u1 _ 1’ i2 * L2
I
j M
（2） 异侧并联
+
* I 1
j L1
I 2
*
j L2
U （R1 jL1） I 1 j M I 2 U （R2 jL2） I 2 j M I 1
U
R1
R2
I I1 I 2
U jM I [ R1 j（L1 M） ]I 1 U jM I [ R2 j（L2 M） ]I 2
R R1 R2
L L1 L2 2 M
去耦等效电路
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i （2） 反接串联 i + + R1 L1 u1 M – + u L2 R2 + u – R
*
* u2
– –
正弦交流电电路稳态分析
(t ) (t )
1
2
1
2
（4-9）
ψ1﹥ψ2，φ﹥0，称电压u比电流i超前φ角，或i
比u滞后φ 角。
当两同频正弦量的相位差φ=00时，我们称它们 同相，当φ=1800时，称反相。图4.2中，u超前i 角度ψ1-ψ2。
注意，不同频率的两个正弦量不能进行相位比 较。
练习.判断如图4-1-1（a)（b)（c)（d）中 i1 与i2哪两个正弦量同相、超前、正交、反相?
两个频率相同的正弦量的相位角之差或初 相位之差，称相位差。
同频率正弦量的相位差
u U m sin(t 1) i Im sin(t 2 )
同一正弦交流电路中，电压u和电流i 的频 率是相同的，但初相位不一定相同。如图 4.2所示，
图4.2 不同相位的电压电流信号
同频率正弦量的相位差
它们的初相位分别为ψ1和ψ2。它们的相位差为
特别地，复数 e j 的模为1，辐角为。把一个复
数乘以 e j 就相当于把此复数对应的矢量反时针方
向旋转 角。
2 正弦量的相量表示
设有一复数 A(t) Ae j(t) 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且 辐角还是时间的函数，称为复指数函数。因为
由于
A(t) Ae j(t) Ae je jt Aejt A(t) Ae j(t) A cos(t ) j A sin(t )
一般所讲的正弦电流或电压的大小，均是指有效值。例如交流电压 380V或220V都是指电压的有效值，其最大值分别为 537V、311V。交 流设备铭牌标注的电压、电流均为有效值。
3．初相位
在正弦电流4-1式及图4.1中，ωt +ψ称相位 角，简称相位。当t=0 时的相位角即ψ称为 初相角或初相位。初相位ψ值决定了计时时 刻的角度，初相位不同，正弦量的初始值 不同；当ψ=0时，初始值为零。
第4章 正弦交流电路
——元件上电压和电流的关系；元件的功率
4.4.2电阻、电感、电容串联电路
1.RLC串联电路 2. RL串联电路
4.4.3电阻、电感、电容并联电路
课后小计：
4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.2 各种加工机械，如车床、铣床、刨床、磨床及大型加工机械 （龙门铣床、龙门刨床）等，应用最多的是电机类负载。交流异步电动机 的等效电路如图4.12所示。电路中的f1侧为定子侧，f2侧为转子侧，r1、r2 和X1、X2分别为定子侧和转子侧的等效电阻和电感。从电路中可见，交流 异步电动机属于电感性负载，而且不是简单的电阻与电感相串联的负载。 因此分析电动机时就要按照它的等效电路模型，利用交流电路计算的方法 进行分析计算。
二、新授：4.2正弦量的相量表示
4.2.1复数
4.2.2复数的运算
4.2.3相量
1.相量法的定义 2. 正弦量的相量表示 3.例题分析
4.2.3电路基本定律的相量形式
1.基尔霍夫电流定律的相量形式
2.基尔霍夫电压定律的相量形式
课后小计：
4．2正弦量的相量表示
4．2．1复数
1．复数的实部、虚部和模
叫1虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。
复数与复平面上的有向线段（矢 量）对应，复数的加减与表示复数 的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应 的复数相加减来计算。
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
2．正弦量的向量表达式
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大 写字母上打“●”表示。
四章正弦稳态分析
用相量形式求u1+u2
解：UD mRGU显1m示“U 2Dm EG5”23n0dF10CP6L0X
14.55 50.1 V(计算器直接算)
5 a 30 b 2ndF →xy + 10
a
60 b 2ndF →xy =显示“9.33” b 显示“11.16” 2ndF →rθ显
复数的四则运算
设A1 =a1+jb1 = |A1|∠φ1 , A2 =a2+jb2 =|A2|∠φ2, 复数加、减 ――宜用代数形式进行或在复平面上用平行四边
形法则或多边形法则进行 A1±A2 =(a1±a2) + j(b1±b2) 复数乘、除 ――宜用极坐标形式进行：
A1·A2 = |A1|ejφ1·|A2| ejφ2 =|A1||A2| ej(φ1 +φ2 )
iu iu iu
0
φi
Ψi Ψu
iu
ωt
φui =±(π／2) 称u与i正交
与i反相
3．振幅(幅值、最大值)与有效值的关系 有效值(effective value)的定义：若一周期性电流i在一个周期T内 流过某电阻R所作的功等于大小为I的直流电流在这段时间T内 流过上述R所作的功，则I就定义为的i有效值。
若有：u U m cos( t u )
Um 2U 1.414U
则：U
1 T
U T 2
0m
cos2 ( t
u )dt
U
2 m
T 1 cos(2 t 2 u ) dt
T0
2
U
2 m
T
t 2
sin(2 t 4
2
u
第 4 节 正弦稳态电路的相量分析
第 4 节正弦稳态电路的相量分析相量分析法相量分析法是针对正弦量激励下、且电路已进入稳态时的动态电路的分析。
因为电路在正弦量的激励下，各处的响应都是同频率的正弦量，因此，将电路的激励和响应都用相量来表示，把电阻、电感、电容元件用复数阻抗或复数导纳表示，将电路定律用相量形式表示，把时域电路转换成相量电路之后，描述动态电路的方程就由时域中的微分方程转换为频域中的复数代数方程，求解复数代数方程，求得各响应的相量，然后再将这些响应的相量转换成时域的正弦函数表达式。
相量分析法的步骤正弦量用相量表示，电阻、电感、电容元件用阻抗或导纳表示，画出相量电路；2 、相量电路中，用电阻电路的分析方法求解各响应的相量；3 、将求得的响应相量转换成时域的正弦函数表达式。
例 7.4-1 电路如图 7.4-1 （ a ）所示，已知，求 uS ， iL 和 ic 。
解：电流 iR 的相量为感抗容抗所以，得到相量电路如图 7.4-1 （ b ）所示。
图 7.4-1 （ b ）中，有则由 KCL 得由 KVL 得将相量再转换成正弦函数表达式，得例 7.4-2 电路如图 7.4-2 所示，已知，，电压源的角频率，求电流 i1 和 i2 。
解：用节点电压法求解，设节点 a 、 b 的节点电压分别是和，列写节点电压方程，节点 a ：节点 b ：代入参数并整理，得则，所以，因此，，例 7.4-3 电路如图 7.4-3 所示，已知电压源，求电流。
解：这是一个含有受控源的单回路电路，用相量法分析时，也可将受控源当独立源处理。
由 KVL 得，代入参数，得则一、有功功率无源二端网络 N 中含有线性电阻、电容、电感、受控源等元件，阻抗为。
其端电压和端电流分别为。
二端网络 N 吸收的瞬时功率为平均功率（ average power ）是指在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，用 P 表示，即有功功率在一个周期内吸收的瞬时功率的平均值，称为平均功率，又称有功功率（ active power ），单位为瓦（ W ）。
第四章 正弦稳态相量分析(1)
以下讨论中假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。 电流电压的瞬时值及其相量分别设为
i(t) I m cos( t i )
u(t) U m cos( t u )
I Ii
U Uu
21
1.电阻元件
设 i(t) Im cos(t i )
对于线性电阻 u(t) Ri(t)
u
L di dt
LIm
L
d dt
[I
m
c
os(
cos(t i
t i
)
2
)]
LI m sin( t i )
U m LI m
u i 90
(2)相量VAR关系
Um
jL
I
m
(
Le
j
2
I
me
ji
)
Uu i LI2
Umu
RIm
i
IR
U
即在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位
写出相量形式为 U R I
U RI
u i
U
I
u= i
u i ωt
22
2．电感元件 (1)瞬时VAR关系 u(t) L di
dt
。 。 i(t) L
u (t )
在正弦稳态下，将u(t)和 i(t)表达式代入上式
Ik 0
KCL的相量形式。
k 1
反之，若对应的相量 I k 满足相量KCL，则有
ik (t) 0
KVL 同理可知，KVL瞬时表示及其对应的相量形式为
第4章 (20)教材配套课件
第 4 章 正弦稳态电路分析
因为 u 和 i 的初相位不同，所以它们的变化步调不一致， 即不是同时到达正的最大值或零值。那么它们在相位上的关 系有常见的以下四种，如图 4.1.4 所示。
(1 ) 0°< φ <180° :如图 4. 1. 4 ( a )所示，说明 θ u > θ i ， 也就是电压比电流先到达最大值，这种情况称电压在相位上 超前电流一个角度 φ 。
是电压和电流同时到达最大过零点，同正同负，这种情况称 电压和电流同相。
(4 ) φ =180° :如图 4. 1. 4 ( d )所示，说明明 θ u - θ i =180° ，也就是电压与电流相位差 180° ，符号正好相反， 这种情况称电压与电流反相。
超前、滞后、同相、反相常用来描述两个同频率正弦量 的相位关系。值，同时
第 4 章 正弦稳态电路分析
第 4 章 正弦稳态电路分析
4. 1 正弦交流电的基本概念 4. 2 正弦交流电的相量表示法 4. 3 基尔霍夫定律的相量形式和基 本元件伏安关系的相量形式 4. 4 阻抗和导纳 4. 5 正弦稳态电路相量法分析 4. 6 正弦稳态电路的功率 4. 7 正弦稳态电路中的功率传输 4. 8 三相电路 习题4
角频率 ω :每秒内完成的弧度数，单位为弧度每秒( rad / s )。
第 4 章 正弦稳态电路分析
因为一个周期内经历的弧度是 2π ，所以角频率与周期、 频率的关系为
在我国和大多数国家都采用 50Hz 作为电力标准频率， 有些国家(如美国、日本等)采用 60Hz 。这种频率在工业上 应用广泛，习惯上也称为工频。除工频外，某些领域还需要 采用其它的频率，如无线电通信的频率为 30kHz~3×10 4MHz ，有线通信的频率为 300~5000Hz 等。