图的着色问题
图的着色问题--C++实现(含详细注释)
图的着色问题一、题目简述(1) 图的m-着色判定问题给定一个无向连通图 G 和 m 种不同的颜色。
用这些颜色为图 G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色？(2) 图的m-着色优化问题若一个图最少需要 m 种颜色才能使图中任意相邻的两个顶点着不同颜色，则称这个数 m 为该图的色数。
求一个图的最小色数 m 的问题称为m-着色优化问题。
二、算法思想1. m-着色判定问题总体思想：通过回溯的方法，不断为每一个节点着色，每个点的颜色由一个数字代表，初始值为1。
在对前面 step - 1 个节点都合法的着色之后，开始对第 step 个节点进行着色。
如果 n 个点均合法，且颜色数没有达到 m 种，则代表存在一种着色法使 G中任意相邻的两个顶点着不同颜色。
具体步骤：1. 对每个点 step ，有 m 种着色可能性，初始颜色值为1。
2. 检查第 step 个节点颜色的可行性，若与某个已着色的点相连且颜色相同，则不选择这种着色方案，并让颜色值加1，继续检查该点下一种颜色的可行性。
3. 如果第 step 点颜色值小于等于 m ，且未到达最后一个点，则进行对第 step + 1 点的判断。
4. 如果第 step 点颜色值大于 m ，代表该点找不到合适的分配方法。
此时算法进行回溯，首先令第 step 节点的颜色值为0，并对第 step - 1 个点的颜色值+1后重新判断。
5. 如果找到一种颜色使得第 step 个节点能够着色，说明 m 种颜色的方案是可行的。
6. 重复步骤2至5，如果最终 step 为0则代表无解。
2. m-着色优化问题基于问题1，对于一个无向图 G ，从1开始枚举染色数，上限为顶点数，第一个满足条件的颜色数即为所求解。
三、实现过程（附代码）1. m-着色判定问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n和着色数m"<<endl;cin>>n>>m;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向邻接矩阵存储边cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}if (Solve(m)) {cout<<"有解";} else {cout<<"无解";}return0;}2. m-着色优化问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n"<<endl;cin>>n;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向图邻接矩阵存储边 cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}for (m=1; m<=n; m++) { // 从小到大枚举着色数mif (Solve(m)) { // 如果有解，输出答案并跳出循环cout<<"最小色数m为 "<<m;break;}}return0;}四、结果及分析问题1测试用例：问题2测试用例：经检验，最少着色数的范围为2-4，意味着使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色最多需要4种颜色。
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
离散数学图着色问题算法描述
离散数学图着色问题算法描述离散数学图着色问题，简单来说是指给定一个无向图，如何为每个节点上色，使得相邻节点的颜色不相同。
这个问题可以用图着色算法来解决，下面将对图着色问题的算法描述进行详细介绍。
1. 算法背景介绍在离散数学中，图着色问题是一种经典的组合优化问题，它有广泛的应用领域，如地图着色、时间表排课等。
该问题的关键在于找到一种最少的颜色分配方案，使得相邻节点的颜色不相同。
2. 算法步骤描述（1）初始化：给定一个无向图G，节点数为n，边数为m。
初始时，给每个节点分配一个未被使用的颜色。
（2）排序节点：按照节点的度数降序进行排序，从度数最大的节点开始着色。
（3）节点着色：依次对每个节点进行着色。
对于当前节点v，遍历它的所有相邻节点w，如果w已经被染色，则从可用的颜色集合中去除w的颜色。
最后，将v染色为可用的最小颜色。
（4）重复步骤3，直到所有节点都被染色。
3. 算法实例演示假设有以下无向图G:```A/ \B C/ \ / \D -E - F```首先，对节点进行排序，按照度数降序排序为：E（度数为4），A （度数为3），D（度数为2），B和C（度数为1），F（度数为0）。
接下来，按照排序后的顺序对每个节点进行着色。
首先着色E，将其染色为第一个可用的颜色。
然后是A，由于E已经被染色为第一个颜色，A只能选择剩下的颜色。
接着是D，由于D与已经着色的节点E邻接，所以D需要选择未被使用的颜色。
然后是B和C，它们的邻居节点E和A已经被着色，所以它们只能选择未被使用的颜色。
最后是F，由于F没有邻居节点，可以选择任意颜色。
经过上述步骤，图G的每个节点都被着色，且相邻节点的颜色不相同。
4. 算法分析该算法在最坏情况下需要对节点进行O(n^2)次比较，其中n为节点数。
因此，算法的时间复杂度为O(n^2)。
同时，该算法具有较好的可行性和实用性，对于大部分图着色问题能够给出近似最优的解。
综上所述，离散数学图着色问题的算法描述如上所述。
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
实验四 回溯法(图着色问题)
01 234 001 1 01 1 1 01 01 21 1 01 0 3001 01 41 1 01 0
class MGraph { public:
MGraph(int v,int s); void mColoring(int m,int *x); //一维数组x，存放1~n个顶点的颜色 ~MGraph(); private: void NextValue(int k,int m,int *x); void mColoring (int k,int m,int *x); int **a; //二维数组a，存储图的邻接矩阵 int n,e; //n表示图的顶点数，e表示边数 };
无向图G
【实验内容与要求】
图的着色问题：设G=(V,E)是一连通无向图，有3 种颜色，用这些颜色为G的各顶点着色，每个顶点着 一种颜色，且相邻顶点颜色不同。试用回溯法设计一 个算法，找出所有可能满足上述条件的着色法。
无向图G
无向图G
对应这个无向图的状态空间树应该是怎样的？
是一个完全3叉树，共6层
实验四 回溯法 — 图的着色问题
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一
个区域图抽象为一个平面图。
地图（map）中地区的相邻关系，在图（graph ）中用边表示。
//若(i, j)是图的边，且相邻结点k和j颜色相同 //发生冲突，选下一种颜色
if (j==k) return; //成功选择一种颜色返回 }while (1); //循环尝试颜色 }
运行结果：
图论讲义第6章-图的着色问题
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2
vk
… v3 v2
i4 i3 i2
u
… H2
ik i0
…
im ik
i1
vm
v1
v
但是，因 vk 在 H 1 中的度为 2（恰与一条 i0 色边和一条 ik 色边相关联） ，故它在 H 2 中的 。这与 H 2 是奇圈矛盾。 （注意 vk 必在分支 H 2 中，因它与 度为 1（仅与一条 i0 色边相关联） 。由此可知反证法假设不能成立。证毕。 vk－1 有 i0、ik 交错路（ H 1 的一段）相连） 对于有重边的图 G，设 μ (G ) 表示 G 中边的最大重数，Vizing 实际上证明了一个更一般 的结论： Δ (G ) ≤
（其中 v0 点的关联边有可能是同一种色） 。按这 样可得 G*的一个边 2-染色 c = ( E1 , E 2 ) ， 种办法给 G*的边染色后，去掉 v0 及其关联的边，便得到 G 的一个边 2-染色。对于 G 中偶 度点，它关联的边及其颜色与 G*中相同；对 G 的任何奇度点 v，在 G 中比在 G*中少关联一 条边，但只要 d G ( v ) > 1 , 便有 d G ( v ) ≥ 3 , 故由染色的方法知，与 v 点关联的边中两种颜色 的都有。这说明 G 的边 2-染色 c = ( E1 ∩ E (G ), E 2 ∩ E (G )) 即为所求的边 2-染色。证毕。
… H1 vk-1
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
图着色问题的整数规划模型
图着色问题的整数规划模型图着色问题是指给定一个图，如何用有限的颜色对图中的每个顶点进行染色，同时要求相邻的顶点不能具有相同的颜色。
该问题在图论和离散优化领域中具有重要的研究价值和应用意义。
在本文中，我们将介绍一种用整数规划模型来解决图着色问题的方法。
一、问题描述给定一个无向图G=(V,E)，其中V是顶点的集合，E是边的集合。
现在需要为图中的每个顶点分配一种颜色，并且要求相邻的顶点之间不能分配相同的颜色。
也就是说，如果两个顶点在图中存在一条边相连，则它们不能分配相同的颜色。
二、整数规划模型为了描述图着色问题的整数规划模型，我们首先定义一组决策变量。
设顶点v属于集合V，颜色c属于集合C，那么决策变量x_vc表示顶点v是否被分配颜色c，取1表示被分配，取0表示未被分配。
接下来，我们可以定义以下约束条件：1. 每个顶点只能被分配一种颜色：对于每个顶点v，有∑(c∈C) x_vc = 1，其中∑表示求和。
2. 相邻的顶点不能分配相同的颜色：对于任意的边(u,v)∈E，有∑(c∈C) x_uc ≠ ∑(c∈C) x_vc。
3. 决策变量的取值范围：x_vc只能取0或1。
4. 目标函数：为了最小化所需的颜色数量，我们可以定义目标函数为最大化∑(v∈V) x_vc。
三、求解方法将图着色问题转化为整数规划模型后，可以使用相应的求解方法来找到最优解。
常用的求解方法包括线性规划、整数规划和混合整数规划等。
对于线性规划，我们忽略决策变量的整数限制，将约束条件和目标函数设计成线性的形式。
然后使用线性规划求解器求解可以得到一个最优解。
但需要注意的是，线性规划得到的解可能不是整数解，需要进一步进行舍入处理。
对于整数规划，我们将决策变量的整数约束加入模型中。
这样可以确保得到的解是整数解。
但整数规划问题通常是NP难问题，求解难度较大。
对于混合整数规划，我们可以采用分支定界、割平面等方法来进行求解。
这些方法可以在规模较大的问题中得到较好的解。
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? 布尔恒等式
aa=a
?
a+a=a
? ? 如：
(ab ? bc)(a ? bd) ? aba ? abbd ? abc+a ?abbcb=da
? ab ? abd ? bcd ? bca ? bcd
? ab ? bcd
求极小覆盖法－布尔代数法
? 例1：求图12-2G的顶色数 解： ? Step1：求极大独立集
（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个正常
k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 ? G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G
是k色的。 ? 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G）
就转为求满足下列条件的最少子集数k： （1）两两子集中的顶点不同； （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1；
问题来源
图的着色
? 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
? 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。
? 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中
的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色 ，并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这 个问题称为图的顶着色问题。
穷举法－Welch Powell着色法
? I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列 (
? 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。 V的子集K是G的极小覆盖当且仅当：对于每个顶 点v或者v属于K，或者v的所有邻点属于 K（但两 者不同时成立） 。
顶点着色－基本概念
? K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色 是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成k个
但上述子集的颜色数都不是 X（G），正确的应 该是 X（G）=3，该子集为：给 {b,d,f} 中的 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的c涂颜色3。
由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集 ，对于大图，因为图计算量过大而成为实际上 难以凑效的算法，所以不是一个好算法，一般 我们采用贪心法等近似算法来求解 。
（ii）若G为偶图，则X（G）=2 （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值）
顶点着色－ 求顶色数的算法设计
我们由“每个同色顶点集合中的两两顶点不相邻”可以看出，同色顶 点集实际上是一个独立集，当我们用第1种颜色上色时，为了尽可 能扩大颜色1的顶点个数，逼近所用颜色数最少的目的，事实上就 是找出图G的一个极大独立集并给它涂上颜色1。用第2种颜色上色 时，同样选择另一个极大独立集涂色，...，当所有顶点涂色完毕 ，所用的颜色数即为所选的极大独立集的个数。
顶点着色－基本概念
? 独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，若 中任意两个顶点在 G中均不相邻，则称 S为G的一 个独立集。
? 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集 S'，则称S为G的最大独立集。
? 极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于 V-K 的任一顶点 v，K+v都不是G的独立集，则称 K是G 的一个极大覆盖。
求极小覆盖法－布尔代数法
求极小覆盖的方法 -布尔代数法：
对于每个顶点 v，选择v或者选择 v的所有邻点 。首先把“选择顶点 v”这个指令记为符号 v，然后 对给定的指令 x和y，指令“ x或y”和“x与y”分别 记为x+y （逻辑和）和 x.y（逻辑积）。
? 例如，指令“选择 a与 b，或者选择 b 与 c”记为 ab+bc 。从形式上看，逻辑和与逻辑积类似与集 合的∪和∩，而且关于∪和 ∩成立的代数法则对于 这两个运算也成立。
显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选 用3种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为{b,d,f}中
的b、d、f涂颜色1，为{a,f}中的a涂颜色2，为{a,c,g} 中
的c和g涂颜色3，为{a，e，g}中的e涂颜色4。
求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X（G）
当然，上述颜色数未必就是X（G），而且其和能够含所有顶点的极大 独立集个数未必唯一。于是我们必须从一切若干极大独立集的和含 所有顶点的子集中，挑选所用极大独立集个数最小者，其个数即为：求G图的所有极大独立集； Step2：求出一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集； Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小值，即为X（G）。
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用 m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个区域 着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把 相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一个区 域图抽象为一个平面图。
例如，图12-1（a）所示的区域图可抽象为 12-1（b ）所表示的平面图。 19世纪50年代，英国学者提 出了任何地图都可以 4中颜色来着色的4色猜想问 题。过了100多年，这个问题才由美国学者在计 算机上予以证明，这就是著名的四色定理。例如 ，在图12-1中，区域用城市名表示，颜色用数字 表示，则图中表示了不同区域的不同着色问题 。
先求图G的极小覆盖，
化简得
(a ? bd )(b ? aceg )(c ? bdef )(d ? aceg )(e ? bcdf )( f ? ceg )(g ? bdf )
aceg ? bc deg ? bdef ? bdef ? bcdf
故G的极小覆盖为 {a, c, e, g},{b, c, d , e, g},{b, d ,e, f },{b, c, d , f } 取? 其St补ep集2，：得求到出一G的切所若有干极极大大独独立立集集和：所有{b顶, d,点f }的,{子a, 集f },{a, c, g},{a, e, g}