第1章 质点运动学
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大学物理质点力学第一章 质点运动学 PPT
方向：
cosa
=
x r
cosβ=
y r
cosγ=
z r
路程:质点所经路径得总长度。
三、速度
描述位置矢量随时间变化快慢得物理量
1、平均速度
在移质为点r由）A，到单B的位过时程间中内（的所平用均时位间移为称为t该，质所点发在生该的过位
程中的平均速度。
v
=
Δ Δ
r t
=
Δx Δt
i
+ΔΔ
y t
j
+
Δ Δ
0
Δx
Δ t —割线斜率（平均速度）
dx —切线斜率（瞬时速度） dt
x~t图
t tt
1
2
2、 v ~ t 图
v ~ t图
割线斜率：
Δv Δt = a
v v2
切线斜率：
dv dt
=a
v1
v ~ t 图线下得面积(位移):
0 t1
t2
x2
dt dx x2 x1 x
t1
x1
t2 t
3、 a ~ t 图
=
dθ
dt
B
Δθ A
θ
0
x
(3)、角加速度
β =ΔΔωt
β
=
lim
Δt
Δω
0Δ t
=ddωt
=ddθt2 2
(4)、匀变速率圆周运动
0
t
1 2
t2
0 t
2
2 0
2
(5)、线量与角量得关系
Δ s = rΔθ
lim Δ s
Δt 0Δ t
=
lim
Δt 0
r
Δθ
第1章 质点运动学
100t
4
t3
0
3
x x0
t
t0 vx (t)dt 0
t
(100t
4
t3 )dt
50t 2
1
t4
0
3
3
第一章 质点运动学
1-５ 曲线运动
一、匀速圆周运动
1、匀速圆周运动的加速度
A v B
vA B vB
设质△|量＝圆点 t|时vvv周处|存'刻。的在在，质半圆。v质点径周根点从为上据在PR点的加Q，运P处速处圆动，度，心到速的速为Q度定度O点为义，为有vv可v在，速；' 得t其度时在瞬中增刻t+时|，v
解：由
a
ann a
v2 R
n
dv dt
v
ds dt
20
0.6t 2 (m
/
s)
当t=1s时
an
v2 r
(20 0.6)2 200
m / s2
1.88m / s2
a
dv dt
1.2t
1.2m / s2
a a2 an2 2.23m / s2
dt
v0 v
0
v
v e(1.0s1 )t 0
由速度的定义： v
dy dt
v e(1.0s1 )t 0
y
t
dy v0 e dt (1.0s1 )t
y 10 1 e( 1.0s1 )t
0
0
由以上结果, t 时, v 0,此时y 10m。
但实际情况是：t 9.2s时, v 0,此时y 10m。
加速度分量
加速度大小 加速度余弦方向
a | a| a2x a2y a2z
第1章 质点运动学
由题可知：t = 0时，x = 10
故：c′ = 10
2 3 x = t + 10 3
h
v0
x
o
r
| ∆r |
x
θ ∆x
h
θ′
y
x
解法一
由图可知船的位矢为
r = xi + hj
而 由速度的定义有
x = r −h
2
2
dr dx dh dx v= = i+ j = i + 0 = vx i dt dt vx = r −h = 2 2 dt dt dt r −h
dr = −v0 因绳子变短故 dt
代入上式有
x +h vx = − v0 = − v0 x r 2 − h2 r
2 2
故
x2 + h2 v =− v0 i x
负号表示
v
的方向与正 x 方向相反。
由加速度定义得
2 2
位置x、位移∆x dx 速度v = dt dv = d 2 x 加速度a = dt
dθ 角速度ω = dt 角加速度β = dω
角位置θ、角位移∆θ
d 2θ =
匀速圆周运动θ = θ 0 + ωt
匀变速圆周运动 1 2 θ = θ 0 + ωt + β t 2 ω = ω0 + β t
2 2
dt
v2 an = = 0.808m / s 2 R
则a = aτ + an = 0.814m / s
2 2
2
an o θ = tg = 82 57′ aτ
−1
直线运动与圆周运动比较
直线运动
圆周运动
第1章_质点运动学
可见，Munday下落的速度增加得非常快，但他 在下落过程中是感觉不到速度在增加的，因为加速 度是恒定的，而人只对加速度的变化有感觉。当他 落到水面时，他的加速度急剧减小，Munday才会 感到有剧烈的变化。 此外，(a)、(b) 、(c)式分别表示自由落体运动 的位移、速度、时间三者的关系。
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录
第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C
第一章 质点运动学
16
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
v
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
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dx 积分得
1 v2 2x 2 bx3 c ，
2
3
∵ x 0 , v 10m/s ，
∴
c 50 m/s
，v
(4x
4
bx3
1
100) 2
(m/s)
3
例 5：一质点其速度表示式为 v=1+s 2 ，则在任一位置处其切向加速度 a 为多
7
大学物理
大学物理简明教程教案
少。
瞬时速度 v lim r dr 与瞬时速率 v lim s ds 的关系：
t0 t dt
t0 t dt
（1）、瞬时速度大小 v dr dS v ，等于瞬时速率 v ds 。
dt dt
dt
v vτ0 ， 0 为切线方向单位矢量。
（2）、 v 在直角坐标系中的表示式 v dx i dy j dz k = vx i + v y j + vz k 。
1
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三、坐标系
为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。 常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。
四、物理模型——质点
实际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的 大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状， 而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。
二、相对速度，牵连速度，相对速度
v绝 v牵 v相 ，
例 6：一人骑自行车向东行。在速度为10m s-1时，觉得有南风；速度增至 15m s-1 时，觉得有东南风。求：风的速度。
解 画出速度矢量图如下：
v 人地 = 15
45
v 风人
v 人地 = 10 v 风人= 5
= 27 v 风地
Y v
y
例 1: 如质点作圆周运动时，有
x = rcos t ，y = r sin t
消去时间 t，就得轨道方程
x2 y2 r2。
\r
t
Y0
x
X例 1-1 图
2、位移和路程
位移 r
2
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(1)定义: r r2 r1 ，
A
B
注意：
（1）增量的模 r 与模的增量 r 不是同一个量；
dt dt dt
3
大学物理
大学物理简明教程教案
4、加速度
平均加速度 a v 与瞬时加速度 t
a
lim
t 0
v Δt
dv dt
d 2r dt 2
，
加速度在直角坐标系中的表示
a d2x i + d2y j + d2z k ，
dt2
dt2
dt2
=ax i+ay j+az k。
速度的增量
v v0ekx
例 4：一质点沿 x 轴运动，其中加速度与位置的关系式为 a 2 bx2 ，设质点
在 x=0 处，v=10m s-1，试求质点在任何坐标处的速度值。
解 ∵ a dv dv dx dv v ，由 a 2 bx2 得
dt dx dt dx
dv v 2 bx2 ， vdv (2 bx2 )dx 。
v0
；
由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即
v车
dx dt
dl dt
。
又由图可以看出有 l2＝s2+h2，两边对 t 求导得
2l dl 2s ds 。 dt dt
或
v车
v人 s l
v人
s s2 h2
v0s ； s2 h2
同理可得小车的加速度大小为
还是减速的。（x 单位为 m，t 单位为 s）
5. 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为
但是，在描述物体的运动时，人们会发现同一个物体的运动，相对不同的参 考物体，可以得出完全不同的结论。如：在匀速运动的车厢内自由落体的质点， 在地面观察则做抛物线运动。
v
v
车厢
地
不同参考系中运动的描述不同
二、参考系
在描述物体的运动时，被选作参考的物体或物体系称为参考系。 在地面及地面附近运动，通常取地球为参考系； 行星、天体运动通常取太阳为参考系。
x
t
dx
v0
dt ，
0
0 1 v0kt
可得
x
1 k
ln( v0 k t
1) 。
② 根据 dv dv dx v dv kv2 ，可得 dt dx dt dx
dv kdx ， v
代入初始条件，进行积分
v dv x kdx，
v0 v
0
可得 ln v kx v0
6
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解：① 因为
dv kv2 ，则有 dt
dv v2
k
dt
；
积分得
1 kt c 。 v
代入 x=0，v= v0 后，有 c=-1/v 0 。从而，可得
1 1 kt ， v v0
也就是， v v0 ； 1 v0kt
再根据 v dx ，则 dx vdt ，代入初始条件，进行积分 dt
速度
v
ds dt
0
v 0
；
加速度 a
a
an
dv dt
τ0
v2 ρ
n0
。
(2)
匀速圆周运动：
a
0 ， an
v2
R
常数。
v2
0
v 1Rn0
圆周运动的角量描述
匀速圆周运动
（1）角位置，角位移； 角速度 d ； dt
（2）角加速度
d dt
d 2 dt 2
教学内容
备注
一、力学基础
力学的研究对象──机械运动
第 1 章 质点运动学
§1.1 参考系、坐标系、物理模型
运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系，即如何表示一个 物体的运动轨迹，运动的快慢，运动变化的情况等。
一、运动的绝对性和相对性
我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界，即使是最简单的机械运动， 从物体的位置变动来看，运动是绝对的，而“静止”只有相对的意义。
a dv车 dt
v02h2
3
s2 h2 2
。
4
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大学物理简明教程教案
§1.3 曲线运动的描述
一、一般的平面曲线运动的描述
1、一般平面曲线运动 加速度的切向分量和法向分量
切向加速度与法向加速度
由上面两图可看出， t 0 时， v 0 、 vn n0 ，
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1
授课章节
第 1 章 质点运动学
教学目的
1. 了解描述物体的运动的三个必要条件：参考系（坐标系），物理模型（质 点等），初始条件；
2. 熟悉掌握用适量描述物体运动的方法；即掌握四个物理量：位置矢量、 位移、速度、加速度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系中的表示 式；
教学重点、难点
风的速度不变，
例 1-5 图
v风人 v人地 v风地 ，
v风人 v人地 v风地
。
由图中不难得出：
v风地 102 52 11.2m s-1 。
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风向与正东方向夹角 arctg 5 27 、即东偏北 27 。 10
复习与思考
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
4. 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。
给出这个匀变速直线运动在 t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的
所以有：
（1）
切向加速度：
a
dv dt
dv dt
0
d 2s dt2
0
。
（2） 法向加速度：
an
dvn dt
v dθ dt
n0
v dθ ds
ds dt
n0
v2
dθ ds
n0 。
∵
ds
d
∴
an
v2 ρ
n0
。
2、抛体运动 地面上物体以某一初速被抛出后，在竖直平面内的运动叫做抛体运动。不计 阻力时，抛体的加速度就是重力加速度，所以这是一种匀加速度运动。用直角坐 标系最方便。
r 的方向余弦是
cos x ， r
cos y ， r
cos z 。 r
在平面极坐标系中
r = rr0， 在自然坐标系中 r = r(s)。
运动方程
描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为
x = x(t)，y = y(t)，z = z(t) r = r(t)， s = s(t)。
应用质点模型的条件为： （1）当物体运动的空间范围 r 远大于物体自身线度 l 时； （2）物体只作平动时。
§1.2 位置矢量 位移 速度 加速度
一、描述质点运动的物理量
1、位置矢量 由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用 r 表示。 在直角坐标系中为
1 v2 2x 2 bx3 c ，
2
3
∵ x 0 , v 10m/s ，
∴
c 50 m/s
，v
(4x
4
bx3
1
100) 2
(m/s)
3
例 5：一质点其速度表示式为 v=1+s 2 ，则在任一位置处其切向加速度 a 为多
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少。
瞬时速度 v lim r dr 与瞬时速率 v lim s ds 的关系：
t0 t dt
t0 t dt
（1）、瞬时速度大小 v dr dS v ，等于瞬时速率 v ds 。
dt dt
dt
v vτ0 ， 0 为切线方向单位矢量。
（2）、 v 在直角坐标系中的表示式 v dx i dy j dz k = vx i + v y j + vz k 。
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三、坐标系
为了定量描述物体的运动，还需要在参考系上建立适当的几何框架即坐标系。 常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球坐标系等。
四、物理模型——质点
实际物体都有大小和形状，一般说来，运动情况很复杂，但是，如果物体的 大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小，就可以忽略其大小和形状， 而把它抽象为一个只有质量的几何点—质点。
二、相对速度，牵连速度，相对速度
v绝 v牵 v相 ，
例 6：一人骑自行车向东行。在速度为10m s-1时，觉得有南风；速度增至 15m s-1 时，觉得有东南风。求：风的速度。
解 画出速度矢量图如下：
v 人地 = 15
45
v 风人
v 人地 = 10 v 风人= 5
= 27 v 风地
Y v
y
例 1: 如质点作圆周运动时，有
x = rcos t ，y = r sin t
消去时间 t，就得轨道方程
x2 y2 r2。
\r
t
Y0
x
X例 1-1 图
2、位移和路程
位移 r
2
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(1)定义: r r2 r1 ，
A
B
注意：
（1）增量的模 r 与模的增量 r 不是同一个量；
dt dt dt
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4、加速度
平均加速度 a v 与瞬时加速度 t
a
lim
t 0
v Δt
dv dt
d 2r dt 2
，
加速度在直角坐标系中的表示
a d2x i + d2y j + d2z k ，
dt2
dt2
dt2
=ax i+ay j+az k。
速度的增量
v v0ekx
例 4：一质点沿 x 轴运动，其中加速度与位置的关系式为 a 2 bx2 ，设质点
在 x=0 处，v=10m s-1，试求质点在任何坐标处的速度值。
解 ∵ a dv dv dx dv v ，由 a 2 bx2 得
dt dx dt dx
dv v 2 bx2 ， vdv (2 bx2 )dx 。
v0
；
由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即
v车
dx dt
dl dt
。
又由图可以看出有 l2＝s2+h2，两边对 t 求导得
2l dl 2s ds 。 dt dt
或
v车
v人 s l
v人
s s2 h2
v0s ； s2 h2
同理可得小车的加速度大小为
还是减速的。（x 单位为 m，t 单位为 s）
5. 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为
但是，在描述物体的运动时，人们会发现同一个物体的运动，相对不同的参 考物体，可以得出完全不同的结论。如：在匀速运动的车厢内自由落体的质点， 在地面观察则做抛物线运动。
v
v
车厢
地
不同参考系中运动的描述不同
二、参考系
在描述物体的运动时，被选作参考的物体或物体系称为参考系。 在地面及地面附近运动，通常取地球为参考系； 行星、天体运动通常取太阳为参考系。
x
t
dx
v0
dt ，
0
0 1 v0kt
可得
x
1 k
ln( v0 k t
1) 。
② 根据 dv dv dx v dv kv2 ，可得 dt dx dt dx
dv kdx ， v
代入初始条件，进行积分
v dv x kdx，
v0 v
0
可得 ln v kx v0
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解：① 因为
dv kv2 ，则有 dt
dv v2
k
dt
；
积分得
1 kt c 。 v
代入 x=0，v= v0 后，有 c=-1/v 0 。从而，可得
1 1 kt ， v v0
也就是， v v0 ； 1 v0kt
再根据 v dx ，则 dx vdt ，代入初始条件，进行积分 dt
速度
v
ds dt
0
v 0
；
加速度 a
a
an
dv dt
τ0
v2 ρ
n0
。
(2)
匀速圆周运动：
a
0 ， an
v2
R
常数。
v2
0
v 1Rn0
圆周运动的角量描述
匀速圆周运动
（1）角位置，角位移； 角速度 d ； dt
（2）角加速度
d dt
d 2 dt 2
教学内容
备注
一、力学基础
力学的研究对象──机械运动
第 1 章 质点运动学
§1.1 参考系、坐标系、物理模型
运动学是研究如何描述物体的空间位置随时间变化的关系，即如何表示一个 物体的运动轨迹，运动的快慢，运动变化的情况等。
一、运动的绝对性和相对性
我们生活的世界是一个永恒运动着的物质世界，即使是最简单的机械运动， 从物体的位置变动来看，运动是绝对的，而“静止”只有相对的意义。
a dv车 dt
v02h2
3
s2 h2 2
。
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§1.3 曲线运动的描述
一、一般的平面曲线运动的描述
1、一般平面曲线运动 加速度的切向分量和法向分量
切向加速度与法向加速度
由上面两图可看出， t 0 时， v 0 、 vn n0 ，
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授课章节
第 1 章 质点运动学
教学目的
1. 了解描述物体的运动的三个必要条件：参考系（坐标系），物理模型（质 点等），初始条件；
2. 熟悉掌握用适量描述物体运动的方法；即掌握四个物理量：位置矢量、 位移、速度、加速度的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系中的表示 式；
教学重点、难点
风的速度不变，
例 1-5 图
v风人 v人地 v风地 ，
v风人 v人地 v风地
。
由图中不难得出：
v风地 102 52 11.2m s-1 。
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风向与正东方向夹角 arctg 5 27 、即东偏北 27 。 10
复习与思考
(1) 物体的大小和形状；
(2) 物体的内部结构；
(3) 所研究问题的性质。
4. 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？ （1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。
给出这个匀变速直线运动在 t=3s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的
所以有：
（1）
切向加速度：
a
dv dt
dv dt
0
d 2s dt2
0
。
（2） 法向加速度：
an
dvn dt
v dθ dt
n0
v dθ ds
ds dt
n0
v2
dθ ds
n0 。
∵
ds
d
∴
an
v2 ρ
n0
。
2、抛体运动 地面上物体以某一初速被抛出后，在竖直平面内的运动叫做抛体运动。不计 阻力时，抛体的加速度就是重力加速度，所以这是一种匀加速度运动。用直角坐 标系最方便。
r 的方向余弦是
cos x ， r
cos y ， r
cos z 。 r
在平面极坐标系中
r = rr0， 在自然坐标系中 r = r(s)。
运动方程
描写质点的位置随时间变化的函数关系式称为运动方程。记为
x = x(t)，y = y(t)，z = z(t) r = r(t)， s = s(t)。
应用质点模型的条件为： （1）当物体运动的空间范围 r 远大于物体自身线度 l 时； （2）物体只作平动时。
§1.2 位置矢量 位移 速度 加速度
一、描述质点运动的物理量
1、位置矢量 由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢，用 r 表示。 在直角坐标系中为