西南四省(云贵川桂)2021高三2020年12月联考数学(文科)试卷及答案
西南名校联盟2021届高考数学联考试卷(文科)(含答案解析)
西南名校联盟2021届高考数学联考试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合B={a,a2,2}，1∈B，则实数a的值为()A. 1B. −1C. ±1D. −√22.已知i是虚数单位，则3+i的虚部为()1−iA. 2B. −2C. 1D. −13.对变量X与Y的卡方统计量Χ2的值，说法正确的是()A. Χ2越大，“X与Y有关系”可信程度越小B. Χ2越小，“X与Y有关系”可信程度越小C. Χ2越接近0，“X与Y无关”程度越小D. Χ2越大，“X与Y无关”程度越大4.“m≥8”是“方程x2−mx+2m=0有两个大于2的根”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列{a n}为“L数列”()A. 若{a n}是等差数列，且首项a1=0，则数列{a n}是“L数列”B. 若{a n}是等差数列，且公差d=0，则数列{a n}是“L数列”C. 若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|<1，则数列{a n}是“L数列”D. 若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|<1−1在区间[0,π]的最小值是()6.已知函数f(x)=cosx+4cos x2A. −2B. −4C. 2D. 47.下列函数中，图象不关于原点对称的是()−1A. y=e x−e−xB. y=2e+1C. y=ln(x+√x2+1)D. y=lnsinx8.某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场()A. 不赚不亏B. 赚了80元C. 亏了80元D. 赚了160元9.按如图的程序框图运行后，输出的S 应为( )A. 7B. 15C. 26D. 4010. 设双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线的离心率为( ) A. √52B. √5+12C. √2D. √311. 已知函数f(x)=(x 2−2ax)e x ，若f(x)在[−1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,34)B. (12,34)C. [34,+∞)D. (0,12)12. 已知抛物线 y =14x 2的焦点为F ，若P 为抛物线上一点，且|PF|=4，则P 到X 轴的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=3,|a ⃗ −b ⃗ |=√7，则<a ⃗ ,b ⃗ >为______ °.14. 已知区域D ：{x +y −1≥0x −y +1≥03x −y −3≤0，直线y =kx +1等分区域D 的面积，则实数k 的值为______ ．15. 已知正四棱棱锥P −ABCD 的底面边长和高都为2，O 是底面ABCD 的中心，以O 为球心的球与四棱锥P −ABCD 的各个侧面都相切，则球O 的表面积为______ ． 16. 给出下列命题： ①存在实数，使得； ②函数的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知是锐角三角形ABC 的两个内角，则。
2021届云南、广西、贵州、四川四省名校高三上学期第二次大联考数学试题解析
绝密★启用前2021届云南、广西、贵州、四川四省名校高三上学期第二次大联考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．集合{}02020M x R x =∈<≤，{}2,N x x k k Z ==∈，则M N ⋂所含元素个数为（） A ．2020 B ．2021C ．3D ．1010答案：D根据集合交集定义运算即可.解：由于02020x <≤中有1010个偶数，{}2,N x x k k Z ==∈为偶数集， 所以M N ⋂所含元素个数为1010 故选：D2．复数z 满足()()25z i i ++=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（） A ．2- B ．2i -C ．2D ．2i答案：A利用复数的除法运算化简z a bi =+的形式，由此求得z 的虚部. 解：()()25z i i ++=2255(2)222,22i z i i i i i i i-∴=-=-=--=-+-，故z 的虚部为2-， 故选：A.3．在平行四边形ABCD 中，E 为对角线AC 上一点，且2AE EC =，则EB （）A ．1323AB AD - B ．1233AB AD -+ C ．2133AB AD + D ．2133AB AD - 答案：A根据三角形法则和平行四边形法则即可求解． 解：2212()3333EB AB AE AB AC AB AB AD AB AD =-=-=-+=-. 故选：A.4．德国汉堡大学的学生提出一个猜想：对于每个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1；如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1，如图是验证此猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为5，则输出的n 的值是（）A ．6B ．7C ．8D ．9答案：B由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算m 的值并输出相应变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得1n =，5m =， 2n =不满足条件1m =，不满足m 是偶数，35116m =⨯+=，3n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，1628m =÷=，4n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，824m =÷=，5n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，422m =÷=，6n = 不满足条件1m =，满足m 是偶数，221m =÷=，7n =此时，满足条件1m =，退出循环，输出n 的值为7． 故选：B5．如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB 为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点，再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成的图形为月牙形，在图形ABCE 内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（）A ．112+πB ．23+πC ．22+πD ．11+π答案：D用半圆D 的面积减曲线AFC 与弦AC 围城的弓形面积即可求出月牙形的面积，利用几何概型求解即可.解：记月牙形的面积为1S ，曲线AFC 与弦AC 围城的弓形面积为2S ， 设2OA =，则22AC =则221111(2)222222242AOC AOCS S S S πππ⎛⎫=-=⨯-⨯-==⨯⨯= ⎪⎝⎭12. 所以图形ABCE 的面积为2112222S S ππ=⨯+=+, 所以121221S P S ππ===++ 故选：D关键点点睛：利用圆中弓形的面积求法，可求出月牙图形的面积，利用几何概型中的面积比即可求解，属于中档题.6．“5k >”是“曲线C ：22137+=--x y k k（k ∈R ）是焦点在x 轴上的椭圆”的（）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件答案：C根据方程表示焦点在x 轴上的椭圆求出k 的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．解：因为22137+=--x y k k（k ∈R ）是焦点在x 轴上的椭圆，所以373070k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩,解得：57k <<，由57k <<可得5k >成立，反之5k >不能推出57k <<成立.所以5k >”是“曲线C ：22137+=--x y k k（k ∈R ）是焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：C ．7．已知实数x ，y 满足40220250x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则ln ln y x -的取值范围为（）A ．[]0,1B ．40,ln 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3ln ,ln 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,ln3答案：D由约束条件作出可行域，求出可行域内动点与原点连线的斜率的范围，即可求得lny lnx -的取值范围．解：解：由约束条件40220250x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，联立22040x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(2,2)A ，联立25040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()1,3B ．令yz lny lnx lnx =-=，而y x的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率， 1OA k =，3OB k =，∴yz ln x=的范围为[0，3]ln ．故选：D ．(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 8．已知函数()sin 2020cos 202036⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππx f x x 的最大值为M ，函数()f x 分别在x m =和x n =处取得最值（m n ≠），则-M m n 的最小值为（）A ．2020πB ．1010π C ．505π D ．31010π答案：B将函数解析式整理，得到()2sin 20203πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出M 和最小正周期，根据三角函数的性质，求出min m n -，进而可得出结果. 解：因为()sin 2020cos 202036⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππx f x x sin 2020sin 20202sin 20203263ππππx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()max 2M f x ==，且函数()f x 的最小正周期为220201010T ππ==， 又函数()f x 分别在x m =和x n =处取得最值（m n ≠），所以min 22020T πm n -==， 因此-M m n 的最小值为220201010ππ⨯=. 故选：B. 关键点点睛：求解本题的关键在于利用正弦型函数的性质，确定min 2Tm n -=（其中T 为函数的最小正周期），即可求解.9．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，过点F 且斜率为2的直线为l ，()4,0M -，若抛物线C 上存在一点N ，使M 、N 关于直线l 对称，则抛物线C 的方程为（） A ．22y x = B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =答案：B由抛物线的方程可得焦点的坐标，设N 的坐标，由M 、N 关于直线l 对称，可得N 的坐标与p 的关系，再由||||MF NF =可得p 的值，进而可得抛物线的方程. 解：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，:222p l y x x p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，设()00,N x y ，则2002y px =，即200,2y N y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为,M N 关于直线l 对称，(4,0)M -，所以,M N 中点在l 上，20042222y y p p-=⨯-，1l MN k k ⋅=-，0201242y y p --=--从而01625py --=00||4||,422p pMF NF x x =+==+= 从而21628,5p p --⎛⎫= ⎪⎝⎭解得132p =（舍），22p = 故选：B10．在三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2AD BC ==，1AC =，且二面角B ACD --等于3π，则三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π答案：A依题意可得AC BC ⊥，AC AD ⊥，分别过点A 、B 作AE BC ∥、BE AC 交于点E ，可知3DAH π∠=，进而求得D ABC V -，设内切球半径为r ，根据的等体积法求得r ，进而得解.解：依题意得：222AC BC AB +=，222AC AD CD +=，则AC BC ⊥，AC AD ⊥，分别过点A 、B 作AE BC ∥、BE AC 交于点E ，则AC AE ⊥，作DH AE ⊥交AE于点H ，则DH ⊥平面ACBEDAH ∴∠即为二面角B AC D --所成平面角，则3DAH π∠=112AH AD ∴==，3DH =1113123332D ABC ABCV SDH -∴=⋅=⨯⨯⨯= 连接HB,,BE AC BC AE AC AE ⊥ ∴四边形ACBE 是矩形90AEB ∴∠=︒在Rt HEB 中，1,1HE EB AC ===HB ∴=DH ⊥平面ACBE90DHB ∴∠=︒在Rt HDB 中，DH =HBBD ∴=过点D 作DF BC ⊥交BC 于点F ，2DF ∴=设内切球的半径为r ，则()13D ABC ABCACDABDBCDV r SSSS-=+++即()3ABCACDABDBCDr SSSS+++=1111121222222222r ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭r ∴=243S r ππ∴==故选：A本题涉及空间中线面间的位置关系及球的表面积求法，关键在于等体积法的运用. 11．已知0.75a =，52log 2=b ，21log 32=c ，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<答案：A根据对数的运算法则及性质比较,b c 与a 的大小，利用作商法比较,b c 的大小. 解：由30.754a ==, 因为3444(5)1254256=<=，故3454<，所以3455log 5log 4a b =<=，因为3444(2)89=<=，故342<所以3422log 2log a c =<=因为58165>，故85165>， 因为5832<，故8532<，所以8555558225222log 24log 2log 16log 511log 3log 3log 3log 22b c ===>=， 所以b c >， 故a c b <<， 故选：A关键点点睛：根据对数的运算性质将a 写成对数345log 5，342log 2，利用函数的单调性比较真数大小即可，利用作商及放缩的方法可得,b c 的大小，属于较难题目. 12．已知()f x 是R 上可导的图象不间断的偶函数，导函数为()f x '，且当0x >时，满足()()20'+>f x xf x ，则不等式()()121xef x f x -->-的解集为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()0,∞+答案：B构造函数2()()x g x e f x =，根据()()20'+>f x xf x ，结合题意可知函数()g x 是偶函数，且在()0,∞+上是增函数，由此根据结论，构造出x 的不等式即可． 解：由题意：不等式()()121xef x f x -->-可化为：21(1)()x f x f x e -->，两边同乘以2(1)x e -得：22(1)(1)()x x e f x e f x -->， 令2()()x h x e f x =，易知该函数为偶函数， 因为[]2()()2()xh x e f x xf x ''=+，()()20'+>f x xf x ，所以()0,(0)h x x '>>所以()h x 在()0,∞+上是单调增函数，又因为()h x 为偶函数， 故22(1)x x ->，解得：12x <． 故选：B ．关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()x f x F x e=， ()()F x xf x =或者()()f x F x x=等，需要结合条件或者问题出发进行构造，本题构造函数2()()x h x e f x =是解答本题的关键. 二、填空题 13．已知11(1a dx -=+⎰，则412a x x π⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的展开式中的常数项为______________. 答案：24.根据定积分运算求出a 的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项. 解：由定积分的运算性质和定积分的几何意义得：(1111111=1=2=22a dx dx π----=+++⎰⎰⎰⎰，44π11=22a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的通项公式为： 44421441C (2)(1)2C rrrr r r r r T x x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令420r -=，解得2r ，得常数项为()242221412C =24T -+=-⋅.故答案为：24.本题主要考查定积分与微积分基本定理和二项式定理，属于中等题.14．已知数列{}n a 的首项为12a =，前n 项和为n S ，且12n n a S +=+，n *∈N ，则数列{}n a 的前n 项和n S =______. 答案：122n +- 化简已知得1222n n S S ++=+，得到数列{2}n S +是一个以1+2=4S 为首项，以2为公比的等比数列，即得解. 解：由题得12n n a S +=+，所以1112,22,22(2)n n n n n n n S S S S S S S +++-=+∴=+∴+=+，所以1222n n S S ++=+，所以数列{2}n S +是一个以1+2=4S 为首项，以2为公比的等比数列，所以1112422,22n n n n n S S -+++=⨯=∴=-.故答案为：122n +-方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）猜想法；（2）公式法；（3）构造法；（4）累加法；（5）累乘法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．已知函数()1cos cos 2=-+f x x x 有以下四个结论，其中正确的有______.（填写所有你认为正确的序号） ①()f x 的周期为π；②()f x 的图象关于直线x π=对称； ③()f x 的最大值为32； ④()f x 在[],2ππ-上与直线1y =有三个交点. 答案：②③④①计算(0),()f f π,发现(0)()f f π≠，推出()f x 的周期不为π，故①错误； ②先写出(),()f x f x ππ-+，发现()()f x f x ππ-=+，所以对称轴为x π=,故②正确；③令cos t x =，则112,1122,112,122t t y t t t ⎧-<≤⎪⎪=-+=⎨⎪-≤≤⎪⎩进而可得()f x 的最大值为32,故③正确；④先写出分段函数()f x 的解析式，作出图象，再观察1y =与()f x 有3个交点,故④正确.解：①1311(0)|cos0|cos0,()|cos |cos ,2222f f πππ=-+==-+= (0)()f f π≠，所以()f x 的周期不为π，故①错误；②111()cos()cos()cos cos cos cos ,222f x x x x x x x πππ-=--+-=---=+- ()()111()cos cos cos cos cos cos ,222f x x x x x x x πππ+=+-++=---=+-，所以()()f x f x ππ-=+，所以对称轴为x π=故②正确；③令cos t x =，则112,1122,112,122tt y t t t ⎧-<≤⎪⎪=-+=⎨⎪-≤≤⎪⎩ 所以()max 13222f t =-=， 所以()f x 的最大值为32，故③正确；④()1π2cos ,2,2,2441cos cos 217,2,2,244x x k k k Z f x x x x k k k Zπππππππ⎧⎡⎫-∈-++∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=-+=⎨⎡⎤⎪∈++∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩作出()f x 的图象，当0x =时，13()(0)222f x f ==-=， 所以1y =与()f x 在[],2ππ-有3个交点.故④正确. 故答案为：②③④.关键点睛：正确运用余弦函数的性质解决余弦型函数相关性质是解答本题的关键. 16．定义域为()(),00,-∞⋃+∞的函数()f x 满足()()f x f x =-，当0x >时，()x e f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.答案：2(4,)24e e -根据()()f x f x =-，可知()f x 是偶函数，作出()f x 的图象，设()f x t =，转化为二次函数问题，然后可求解m 的范围．解：由题意()()f x f x =-，可知()f x 是偶函数，当0x >时，()xe fx x=，则2(1)()x e x f x x-'=， 当1x >时，则()0f x '>，当01x <<时，则()0f x '<， 当1x =时，()min f x e =， 作出()f x 的图象，设()f x t =，因为2()2()40f x mf x m -+=有8个不同的实数解，所以由图可得关于t 的方程2240t mt m -+=有2个不同的实数解，且都大于e所以有224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩解得224e e m e <<-，即m 的范围是2(4,)24ee -．故答案为：2(4,)24e e -．关键点睛：解答本题的关键是准确地画出函数的图象，将原问题转化为一元二次方程根的分布问题. 三、解答题 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()()sin sin sin -+=-+b c A B b a A B .（1）求角A 的大小； （2）若BC 边上的中线6AD =，求b c +的最大值.答案：（1）3A π=；（2）42（1）由题意利用正弦定理、余弦定理求得cos A 的值，可得角A 的大小．（2）延长AD 到E ，使26ED AD ==，连接EB ，EC ，可得出CDE BDA ≅，在三角形ACE 中，利用余弦定理列出关系式，并利用基本不等式变形求出bc 的最大值，利用完全平方公式化简222()2b c b c bc +=++，确定出b c +的范围，即可求出最大值． 解：解：（1）在ABC 中，()sin()()(sin sin )b c A B b a A B -+=-+， 即：()sin ()(sin sin )b c C b a A B -=-+， 再利用正弦定理可得()()()c b c b a a b -=-+， 整理可得222b c a bc +-=，故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈，可得3A π=．（2）延长AD 到E ，使26ED AD ==，连接EB ，EC ，可得出CDE BDA ≅， 在三角形ACE 中，23ACE π∠=，226AE AD ==，EC AB c ==，=CA b ， 由余弦定理，得2222cos AE AC AB AC AB ACE =+-⋅∠ 22AC AB AC AB =++⋅2223b c bc bc bc bc =+++=，即2324bc AE =，2222()224832b c b c bc AE bc ∴+=++=++=，∴解得42b c +，则b c +的最大值为42．当且仅当22b c ==时等号成立．解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．某学校高三理科实验班共计40名学生，在备考复习教学中进行了8次规范性的考试，将每个学生8次考试的数学平均分、物理平均分制成茎叶图如下.数学满分150分，达到或超过120分认为是良好的；物理满分120分，成绩达到或超过96分认为是良好的.已知数学良好的学生中，恰好有4人物理不良好.（1）求数学成绩的众数、中位数；（2）请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为学生物理良好与数学良好有关？ 数学良好 数学不良好 合计 物理良好物理不良好 合计（3）在物理不良好的学生中按照数学是否良好分层抽取5位同学，再从这5位同学中抽取两位进行数学基础是否对物理学习有影响的深度访谈，求被抽到的两位同学恰好有一位数学良好的概率. 附：参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++，n a b c d =+++. P （20K k ≥） 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001答案：（1）数学成绩的众数是126，中位数是127；（2）列联表见解析，有99.5%的把握认为学生物理良好与数学良好有关；（3）被抽到的两位同学恰好有一位数学良好的概率是35． （1）由茎叶图中数据求出数学成绩的众数和中位数； （2）根据题意填写列联表，计算2K ，对着附表得出结论；（3）利用分层抽样法求出抽取的5位同学中数学良好和数学不良好的人数，再计算所求的概率值．解：（1）由茎叶图知，数学成绩的众数是126，中位数是1(126128)1272⨯+=；（2）根据题意填写列联表如下，根据列联表中数据，计算2240(26644)7848.7117.8793010301090K ⨯⨯-⨯==≈>⋅⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为学生物理良好与数学良好有关；（3）在物理不良好的学生中按照数学是否良好分层抽取5位同学， 其中数学良好抽取45210⨯=人，数学不良好抽取3人， 再从这5位同学中抽取两人，被抽到的两人恰好有1人数学良好的概率是11232535C C P C ⋅==．方法点睛：求概率常用的方法有：先定性（确定概率是古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率中的哪一种），再定量（利用对应的公式求解）.19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，===AB BD DA ，2BC CD ==.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若直线CD 与平面PBC 3PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）78. （1）连接AC ，易知AC BD ⊥，由PA ⊥平面ABCD ，推出PA BD ⊥，再根据线面垂直、面面垂直的判定定理，即可得证；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，设(0)PA a a =>，用a 表示平面PBC 的法向m →，由3|cos ,|4CD m →→<>=，求得a 的值，再求出平面PCD 的法向量n →，然后计算出cos ,m n <>的值即可. 解：（1）证明：连接AC ，23,2,AB BD DA BC CD =====ABD ∴为等边三角形，BCD △为等腰三角形，∴AC BD ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥，又AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ,BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD .（2）以A 为原点，,AD AP 为y z 、轴，在平面ABCD 内，作Ax ⊥面PAD ，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PA a a =>,AC BD ⊥,根据勾股定理可求得：6BDC π∠=,则CD AD ⊥,则(0,0,),3,0),(2,23,0),(0,23,0)P a B C D()()()2,0,0,1,3,0,2,23,.CD BC PC a =-=-=-设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则·0,·0m BC m PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即30230x x az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩令1y =，则43(3,1,)m ∴= 直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值为34, 2233cos ,·43231CD m CD m CD ma ⋅-∴===⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭解得2a =或-2（舍负）()(2,23,2,3,1,23PC m =-=同理可得，平面PCD 的法向量(0,1,3)n =，7cos ,||||831122m n m n m n ⋅∴<>===⋅++⨯，故平面PCD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值78方法点睛：求二面角最常用的方法是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.20．已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点()2,2D ，若不过坐标原点O 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于点M 、N ，且满足+=OM ON λOD ，求MON △面积最大时直线l 的方程.答案：22(1)1;(2)2126y x y x +==-±.（1）根据题意可得2222b c e a c a b ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩，解得222,,a b c ，进而可得椭圆C 的方程．（2）设直线l 的方程为1122,(0),(,),(,)y kx m m M x y N x y =+≠，联立直线l 与椭圆的方程，消掉y 得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得1212,x x x x +，由OM ON λOD →→→+=，推出12122x x y y λ+=+=，解得k ，分析点O 到直线l 的距离d ，由弦长公式得MN ，推出1||2OMN S MN d =⋅△，利用基本不等式研究max S 时应满足的条件即可求得m 值,进而得直线方程.解：（1）根据题意可得22222b c e a c a b ⎧=⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩，解得222=12=,6=,6a b c ，所以椭圆C 的方程：221126y x +=. （2）设直线l 的方程为1122,(0),(,),(,)y kx m m M x y N x y =+≠，联立得：22,1126y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222(2)2120k x kmx m +++-=*，()()()22222=2km 4212122240k m k m ∆-+-=-+>所以：2121222212,22km m x x x x k k-+=-=++， ()12122422my y k x x m k +=++=+, 因为OM ON λOD →→→+=，所以1122(,)(,)(2,2)x y x y λλ+=， 所以121222242,=2,22km mx x y y k kλλ+-=+==++即2=4km m -, 解得=2k -，代入0∆>，解得：66m -<<且，0m ≠， 所以直线l 的方程为：2y x m =-+,所以21212212,36m m x x x x -+==，点O 到直线l 的距离d =||MN =所以11||||22OMN S MN d m =⋅=△11||||22m m ==223662m m +-=≤当且仅当22=36m m -时，即m =±max S =所以直线方程为：2y x =-±.思路点睛：求解圆锥曲线中的三角形面积最值问题时，一般需要根据题中条件，利用三角形面积公式，表示出三角形的面积，再结合函数的性质或基本不等式，即可求出面积的最值.（有时需要利用导数的方法求解最值） 21．设函数()sin x x f x e=，()22xg x e ax =-. （1）求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()'≥g x f x 恒成立（()f x '是()f x 的导函数），求实数a 的取值范围.答案：（1）[0，4]2π-；（2）(-∞，2].（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；（2）问题转化为2sin cos 20xxx x e ax e-+-在[0，)+∞上恒成立，设2sin cos ()2xxx x h x e ax e-=+-，[0x ∈，)+∞，根据函数的单调性确定a 的范围即可． 解：（1）sin ()x x f x e =，则cos sin ()x x x f x e '-=，令()0f x '>，解得：4x π<，令()0f x '<，解得：4x π>，故()f x 在[0，)4π递增，在(4π，]3π递减，故max4()()42f x f e ππ-==，min ()(0)f x f =或()3f π，而3(0)0()3f f ππ-=<=，故函数()f x 在[0,]3x π∈上的值域是[04]π-；（2）2()2xg x eax =-，cos sin ()xx xf x e'-=， 当[0x ∈，)+∞时，不等式()()g x f x '恒成立，即2cos sin 2xxx xeaxe --恒成立，即2sin cos 20xxx x e ax e-+-在[0，)+∞上恒成立， 设2sin cos ()2xxx x h x e ax e -=+-，[0x ∈，)+∞， 则22cos ()22x xxh x e a e'=+-， 设()()x h x ϕ'=，则34)4()x xe x x e πϕ-+'=， 当[0x ∈，)+∞时，344x e >，)224x π+，()0x ϕ'∴>，()x ϕ∴即()h x '在[0，)+∞上单调递增，则()(0)42h x h a ''=-，若2a ，则()(0)420h x h a ''=-， 故()h x 在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =恒成立，符合题意，若2a >，则(0)420h a '=-<，必存在正实数0x ， 满足当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 此时，()(0)0h x h <=，符合题意， 综上：a 的取值范围是(-∞，2]．方法点睛：在求解函数的单调性时，需用导数的符号来判断，对于导函数是不常见的函数时，要结合其单调性和函数值来判断其符号.22．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程是122122t x tt y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的交点的极坐标；（2）求以曲线1C ，2C 的交点为顶点的四边形的各边的极坐标方程.答案：（1）5711,,,6666ππππ⎫⎫⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎭；（2）cos cos sin sin ρθρθρθρθ==== （1）直接利用参数方程、极坐标方程和普通方程之间转换求出结果； （2）把直角坐标方程转换为极坐标方程． 解：（1）曲线1C的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为普通方程为2213x y +=． 曲线2C 的参数方程是122122t x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），转换为普通方程为221x y -=，2222131x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：622xy ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，交点坐标为62626262,,,,,,,,2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭转换为极坐标方程为57112,,2,,2,,2,6666ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）四边形的四条边的方程为6622,,,.x x y y ==-==- 转换为极坐标方程为6622cos ,cos ,sin sin .ρθρθρθρθ==-==-, 23．已知函数()211f x x x =--+.（1）在答题卡所给出的网格坐标系中作出函数()f x 的图象（不要求写作法），并直接写出函数()f x 的最小值；（2）已知函数()2=+--g x x a x a ，若存在1x ，2x R ∈使()()125+=f x g x ，求实数a 的取值范围.答案：（1）图象见解析；函数()f x 的最小值为-2；（2）32a ≤-或32a ≥. （1）直接分段去绝对值，描点作图，再看图得到最小值即可；（2）先看图得到()f x 的值域，再分类讨论研究函数()g x 的值域，根据值域特征，结合题意列不等式，解不等式即得结果. 解：（1）依题意作函数()f x 的图象如下：函数()f x 的最小值为-2；（2）由（1）可知，()f x 的值域为[)2-+∞，，故()5f x +的值域为[)3+∞，， 函数()2=+--g x x a x a 中，若0a =，则()(]2,0g x x a x a x =+--=-∈-∞，不符合题意；若0a >，则()3,23,3,a x x ag x x a x a x a a x a x a x a ->⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，函数()g x 在(),a -∞-和[],a a -上递增，在(),a +∞上递减，且在x a =-和x a =处时连续的，故x a =处取得最大值，()2g a a =，故()g x 的值域为(],2a -∞，若存在1x ，2x R ∈使()()125+=f x g x ，则23a ≥，故32a ≥； 若0a <，则()3,23,3,a x x a g x x a x a a x a x a x a x a ->-⎧⎪=+--=-≤≤-⎨⎪-<⎩，函数()g x 在(),a -∞上递增，在[],a a -和(),a -+∞上递减，且在x a =和x a =-处时连续的，故x a =处取得最大值，()2g a a =-，故()g x 的值域为(],2a -∞-，若存在1x ，2x R ∈使()()125+=f x g x ，则23a -≥，故32a ≤-；综上，实数a 的取值范围32a ≤-或32a ≥.方法点睛：绝对值函数()f x ax b cx d =-±-，研究值域的常用方法：（1）零点讨论法：根据零点进行分段讨论，去绝对值变成分段函数，依次求解各段值域，取并集即得函数值域，或者利用分段函数单调性求值域，或者利用分段函数画图，结合图象得到值域；（2）绝对值三角不等式：当系数a c =时，可以直接利用绝对值三角不等式x y x y x y -≤±≤+来求解值域.。
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷(文科)(附答案详解)
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.Z(M)max表示集合M中整数元素的最大值.已知集合A={x|(2x+1)(3x−13)≤0}，则Z(A)max=()D. 4A. 0B. 5C. 1332.若z(2+i)=4−3i，则z的实部为()A. 2B. −2C. 1D. −13.已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，则()A. 甲组数据变量间的线性相关程度最强B. 乙组数据变量间的线性相关程度最弱C. 丙组数据变量间的线性相关程度最强D. 丁组数据变量间的线性相关程度最强4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为底面ABCD内一点，则“F为棱BC的中点”是“EF//平面ABC1D1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有()A. 10层B. 11层C. 12层D. 13层6. 函数f(x)=1−3sin2x 在(π2,11π12)上的值域为( )A. (1,52)B. (1,4]C. (1,2)D. (52,4]7. 已知函数f(x)为偶函数，且f(x)在R 上有3个零点，则f(x)的解析式可以为( )A. f(x)=x 2(2x +2−x −4)B. f(x)=x 2(2x −4x 2)C. f(x)=x 3(2x +2−x −4)D. f(x)=x(2x −2−x )8. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y =e ax+b (a,b 为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( )A. 9℃B. 12℃C. 18℃D. 20℃9. 执行如图所示的程序框图，若输入的k =3，则输出的S =( )A. √32B. −√32C. 12 D. 010. 设双曲线C ：x 2a 2−y 224a 2=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为C 右支上的一点，且PF 1⊥PF 2，则tan∠PF 2F 1=( )A. 43B. 74C. 2D. 12511. 已知函数f(x)=(x −32)e x ，则( )A. f(log 279)>f(log 85)>f(79) B. f(79)>f(log 85)>f(log 279) C. f(log 85)>f(79)>f(log 279)D. f(79)>f(log 279)>f(log 85)12. 已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l 0，过F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，过点A 作AP ⊥l 0，垂足为P ，点G 为∠PAB 的角平分线与l 0的交点，则|FG|=( )A. 4B. 2√3C. 3√2D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为120°，|a⃗|=2，|b⃗ |=1，若(a⃗+3b⃗⃗⃗⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )，则λ=______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−6≤02x+y−4≥0x−2y+4≤0，则z=x+2y的最大值为______ ．15.如图，已知面积为4的正方形ABCD的四个顶点均在球O的球面上，⊙O1为正方形ABCD的外接圆，△AO1O为等腰直角三角形，则球O的体积为______ ．16.设{a n+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，现有如下四个命题：①a1，a2，a3成等差数列；②a9不是质数；③{a n+n2}的前n项和为2n+1−2；④数列{a n}存在相同的项．其中所有真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(√3−cosA)c=acosC．(1)求cb；(2)若cosA=c2b ，且△ABC的面积为9√114，求a．18.针对偏远地区因交通不便、消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如表：(1)估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；(2)根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．19.如图，四棱锥P−ABCD的侧棱PD垂直底面，AB//CD，AB=PD=1，BC=CD=2，∠BCD=60°，M为线段BC上一点．(1)当BC=2CM时，证明：平面PBC⊥平面PDM；(2)若四棱锥P−ABMD与三棱锥C−PDM的体积相等，求三棱锥C−PDM的侧面积．20.以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长为方程x2−8x+12=0的两个实数根．(1)求C的方程与离心率；(2)若点N在C上，点M在直线y=2上，|GN|=2|GM|，且GN⊥GM，求点N的坐标．21.已知函数f(x)=x3−3x2+2．(1)设a∈R，讨论f(x)在(a,+∞)上的单调性；(2)证明：f(x)+4lnx>1x −1x4−x24对x∈[1,+∞)恒成立．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−4+tcosαy=−3+tsinα(t为参数，−π4<α<π2).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ=0．(1)求曲线C与直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C有公共点，求tanα的取值范围．23.设x，y，z均为正实数，且x+2y+z=4．(1)证明：x2+2y2+z2≥4．(2)求√x+√y+√z的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法的定义，一元二次不等式的运算，理解Z(A)最大值的定义是解题的关键．解一元二次不等式求出x的范围，得到集合A，然后列举出集合A的元素，找出最大值，从而得出Z(A)的最大值．【解答】解：由(2x+1)(3x−13)≤0得−12≤x≤133，∴A={x|−12≤x≤133}，∴A中的整数有0，1，2，3，4 ∴Z(A)的最大值为4，故选D．2.【答案】C【解析】解：由z(2+i)=4−3i，得z=4−3i2+i =(4−3i)(2−i)5=5−10i5=1−2i，所以z的实部为1．故选：C．先利用复数的运算求出z的代数形式，然后由复数z的定义即可得到答案．本题考查复数的四则运算与实部，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.46，0.79，−0.92，0.85，所以丙组数据的线性相关性最强．故选：C．根据题意，由线性相关系数的定义，判断个选项可得答案．本题考查线性相关系数的定义，解题的关键是理解线性相关系数的统计意义，是基础题．4.【答案】A【解析】解：取AD的中点G，连接EG、FG，如图所示：当F为棱BC的中点时，FG//AB，EF//BC1，且EF∩FG=F，则平面EFG//平面ABC1D1，又EF⊂平面EFG，所以EF//平面ABC1D1，充分性成立，显然，GF上的点都满足EF//平面ABC1D1，即必要性不成立，所以“F为棱BC的中点”是“EF//平面ABC1D1”的充分不必要条件．故选：A．取AD的中点G，连接EG、FG，判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了线面平行的判定与充要条件应用问题，也考查了直观想象与逻辑推理的核心素养．5.【答案】C【解析】解：根据题意，设该数列为{a n}，塔群共有n层，即数列有n项，数列{a n}为1，3，3，5，5，7，…，则S4=1+3+3+5=12，该数列从第5项开始成等差数列，而a5=5，a6=7，则其公差d=2，=n(n−4)，则有S n−S4=a5+a6+⋯…+a n=5×(n−4)+(n−4)(n−5)×22又由S n=108，则有12+n(n−4)=108，即n(n−4)=96，解可得n=12或−8(舍)，则n=12．故选：C．根据题意，设该数列为{a n}，塔群共有n层，即数列有n项，求出S4以及S n−S4表达式，又由S n的值可得关于n的方程，计算可得答案．本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及数列的求和，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵x∈(π2,11π12)∴2x∈(π,11π6)∴sin2x∈[−1,0)∴−3sin2x∈(0,3]∴1−3sin2x∈(1,4]即f(x)的值域为(1,4]．故选：B．找到角的取值范围，利用正弦函数求值域得出答案．本题考查了三角函数求值域，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=x2(2x+2−x−4)，其定义域为R，f(−x)=x2(2x+2−x−4)=f(x)，是偶函数，对于方程2x+2−x−4=0，设t=2x，则有t+1t−4=0，变形可得t2−4t+1=0，方程有2个正根，则2x+2−x−4=0有两解，则函数f(x)=x2(2x+2−x−4)有3个零点，A正确，对于B，f(x)=x2(2x−4x2)，其定义域为R，有f(−x)=x2(2−x−4x2)≠f(x)，不是偶函数，不符合题意，对于C，f(x)=x3(2x+2−x−4)，其定义域为R，有f(−x)=−x3(2x+2−x−4)=−f(x)，是奇函数，不符合题意，对于D，f(x)=x(2x−2−x)，其定义域为{x|x≠0}，有f(x)=(−x)(2−x−2x)=f(x)，是偶函数，对于方程2x−2−x=0，设t=2x，则有t−1t=0，解可得t=±1，只有1个正根，则方程2x−2−x=0有1解，即x=0，则函数f(x)=x(2x−2−x)有1个零点，不符合题意，故选：A．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和零点的个数，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，以及函数零点的定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当x=6时，e6a+b=216；当x=24时，e24a+b=8，则e6a+be24a+b =2168=27，整理可得e6a=13．则72=13×216=e6a×e6a+b=e12a+b，所以该果蔬所需物流时间为3天，故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12℃．故选：B．利用题中的条件，列出等式，根据函数的性质，即可解出结果．本题考查函数模型与指数的运算，考查数学建模与数学运算的核心素养．9.【答案】B【解析】解：设第n次循环后输出，k=3+4n≥2021，解得n≥504.5，可知第505次循环后结束循环，此时k=3+4×505=2023，S=cos2023π6=cos7π6=−cosπ6=−√32．故选：B．根据程序框图的运行过程，得出第n次循环后输出k=3+4n≥2021，求出n的最小正整数，再计算k和S的值．本题考查了程序框图与等差数列的应用问题，也考查了逻辑推理与数学运算的核心素养．10.【答案】A【解析】解：易知c2=25a2，则c=5a，|F1F2|=2c=10a．因为P为C右支上的一点，所以|PF1|−|PF2|=2a．因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则(|PF2|+2a)2+|PF2|2=100a2，解得|PF1|=8a，所以|PF2|=6a，故tan∠PF2F1=|PF1||PF2|=43．故选：A ．利用已知条件，求出a ，c 关系，利用双曲线的定义，勾股定理，转化求解三角形，推出结果即可．本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想，是中档题．11.【答案】B【解析】解：函数f(x)=(x −32)e x ，则f′(x)=(x −12)e x ， 令f′(x)>0，可得x >12，令f′(x)<0，可得x <12， 所以f(x)在(−∞,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增， 因为log 279=23log 33=23>12，log 85=13log 25>13log 24=23，79=733log 22=log 8(273)，又因为273=22×213，(54)3=12564<2，所以213>54，所以273>5，所以log 8(273)>log 85，所以79>log 85>log 279>12，因为f(x)在(12,+∞)上单调递增， 所以f(79)>f(log 85)>f(log 279)． 故选：B ．对f(x)求导，利用导数可求得f(x)的单调性，由对数的运算性质比较log 279，log 85，79的大小，再利用单调性即可比较函数值的大小．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数值大小的比较，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由抛物线的性质可得|AF|=|AP|，又∠FAG =∠PAG ，AG 公用， 所以△PAG≌△FAG ，因为AP ⊥PG ，所以GF ⊥AF ， 因为k AB =1，所以k GF =−1，而F(32,0)，所以直线FG 的方程为：y =−(x −32)， 联立{y =−(x −32)x =−32可得y =3，所以G(−32,3)， 所以|FG|=√(−32−32)2+32=3√2．故选：C ．由抛物线的性质可得|AP|=|AF|，再由角平分线可得三角形全等，可得GF ⊥AF ，由F 的坐标求出直线FG 的方程，与准线方程联立求出G 的坐标，进而求出|FG|的值． 本题考查抛物线的性质及角平分线的性质，属于中档题．13.【答案】−12【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为120°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2×1×cos120°=−1， ∵(a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ )⊥(a ⃗ +λb⃗ )， ∴(a ⃗ +3b ⃗⃗⃗⃗ )⋅(a ⃗ +λb ⃗ )=a ⃗ 2+(λ+3)a ⃗ ⋅b ⃗ +3λb ⃗ 2=4+(λ+3)×(−1)+3λ=0，则λ=−12，故答案为：−12．由题意利用两个平面向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得λ的值． 本题考查两个平面向量的数量积，两个向量垂直的性质，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】14【解析】解：作出可行域如图所示，将目标函数化为y =−12x +z2， 由图可知，当直线y =−12x +z2经过点A(−2,8)时， 目标函数取得最大值，且最大值为：−2+16=14．故答案为：14．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，是基础题．15.【答案】32π3【解析】解：设⊙O1的半径为r，球O的半径为R，易知O1为AC的中点，由正方形ABCD的面积为4，可知正方形的边长为2，因此r=|AO1|=12|AC|=√22|AB|=√2，R=√2r=2，故球O的体积v=4πR33=32π3．故答案为：32π3．设出圆的半径，球的半径，转化求解球的半径，然后求解球的体积即可．本题考查球面的性质与体积，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．16.【答案】①③④【解析】解：{a n+n2}为等比数列，且a1=1，a2=0，令b n=a n+n2，所以b1=a1+1=2，b2=a2+4=4，由于数列{b n}为等比数列，设公比为q，则q=b2b1=2，则b n=b1q n−1=2n，则a n=b n−n2=2n−n2，所以对于①，a1=2−1=1，a2=22−4=0，a3=23−9=−1，所以2a2=a1+a3，故a1，a2，a3成等差数列，故①正确；对于②，a 9=29−92=431，除了1和本身没有别的约数，故431为质数，故②错误； 对于③，由于b n =a n −n 2=2n ，所以数列{b n }的前n 项和为S n =21+22+⋯+2n =2×(2n −1)2−1=2n+1−2，故③正确；对于④，由于a 2=22−22=0，a 4=24−42=0，故a 2=a 4=0，故④正确． 故答案为：①③④．直接利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的和，再利用赋值法的应用求出数列中的相同项，最后确定①②③④的结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法和应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)因为(√3−cosA)c =acosC ，所以由正弦定理可得√3sinC −cosAsinC =sinAcosC ， 即√3sinC =sinCcosA +sinAcosC =sin(A +C)， 而sin(A +C)=sinB ， 所以√3c =b ， 故cb=√33．(2)由(1)知cosA =√36，则sinA =√336，又△ABC 的面积为12bcsinA =√114c 2=9√114，则c =3，b =3√3．由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =27，解得a =3√3．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式即可求解．(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin A 的值，利用三角形的面积公式进而可求c ，b 的值，利用余弦定理可求得a 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为1−5+3+2100=0.9，本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为5+3+2100×7500+3+21+34100×12500+2+6+24100×17500=13600(元)．(2)列联表如下：人均可支配年收入≤10000元人均可支配年收入>10000元电商扶贫年度总投入不超过1000万832电商扶贫年度总投入超过1000万258因为K2=100×(8×58−2×32)210×90×40×60=20027≈7.407>6.635，所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．【解析】(1)先求出该年度内贫困地区人均可支配年收入不过万的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出结果；利用区间中点值乘以该组的频率，依次相加，即可求出平均值的估计值．(2)根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了频数分布表的实际应用，考查了估计平均值，同时考查了独立性检验的的应用，是基础题．19.【答案】解：(1)连接BD，因为BC=CD=2且∠BCD=60°，所以△BCD是等边三角形，因为BC=2CM，则M为BC的中点，所以BC⊥DM，因为PD⊥平面ABCD且BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，又PD∩DM=D且PD、DM⊂平面PDM，所以BC⊥平面PDM，又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDM；(2)因为AB//CD且△BCD是边长为2的等边三角形，所以∠ABD=60°，DM=√3，由余弦定理可得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD =3， 得AD 2+AB 2=BD 2，即AD ⊥AB ，所以AD ⊥CD ， 因为四棱锥P −ABMD 与三棱锥C −PDM 体积相等， 所以S ABMD =S △CDM ，设BM 1=x ，那么CM 1=2−x ，所以S △ABD +S △BDM 1=S △CDM 1，得√32+√32x =√32(2−x)，解得x =12，且PM =√DM 2+PD 2=2，M 1C =1+12=32， 所以S △CDM 1=12CM 1⋅DM =12×32×√3=3√34， S △PCM 1=12CM 1⋅PM =12×32×2=32， S △PCD =12PD ⋅CD =12×1×2=1，所以三棱锥C −PDM 的侧面积为S △CDM 1+S △PCM 1+S △PCD =3√34+32+1=52+3√34．【解析】(1)连接BD ，先利用线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明结论即可；(2)根据四棱锥P −ABMD 与三棱锥C −PDM 体积相等，得到S ABMD =S △CDM ，求出BM 1的长，而三棱锥C −PDM 的侧面积为S △CDM 1+S △PCM 1+S △PCD ，从而可求出所求． 本题主要考查了线面垂直面面垂直的判定定理，以及棱锥侧面积的求法，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可设C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1，(a >b >0, 因为x 2−8x +12=0的两根为x 1=2，x 2=6， 所以2a =6，2b =2 则a =3，b =1， 则C 的方程为x 29+y 2=1， 离心率e =ca=2√23；(2)易知G(0,1)．设M(x M ,2)，N(x N ,y N )，则k GM =2−1x M=1x M，由GN ⊥GM ，得k GN =−1kGN=−x M ．由|GN|=2|GM|，得√1+x M 2|x N −0|=2√x M 2+1，因此|x N |=2． 由x N29+y N 2=1，得|y N |=√53， 故点N 的坐标为(2,√53)或(2,−√53) 或(−2,√53)或(−2,−√53).【解析】(1)由方程解出方程的解，由题意可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的离心率；(2)设M ，N 的坐标，由|GN|=2|GM|，可得M ，N 的坐标的关系，再由GN ⊥GM ，可得斜率之积为−1，求出M ，N 的坐标的关系，两式联立求出N 的坐标． 本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质，两条直线垂直的性质，属于中档题．21.【答案】(1)解：函数f(x)=x 3−3x 2+2，则f′(x)=3x 2−6x =3x(x −2)，令f′(x)=0，解得x =0或x =2，所以f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，①当a <0时，则f(x)在(a,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增； ②当0≤a <2时，f(x)在(a,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增； ③当a ≥2时，f(x)在(a,+∞)上单调递增．(2)证明：先证明f(x)+4lnx ≥0，令g(x)=f(x)+4lnx =x 3−3x 2+2+4lnx ， 则g′(x)=3x 2−6x +4x =1x (3x 3−6x 2+4)=3x (x 3−2x 2+43)， 令ℎ(x)=x 3−2x 2+43，则ℎ′(x)=3x 2−4x =x(3x −4)， 当x ∈(0,43)时，ℎ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减， 当x ∈(43,+∞)时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增， 所以当x =43时，ℎ(x)取得最小值为ℎ(43)=427>0，所以g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即g(x)在[1,+∞)上单调递增， 又g(1)=0，所以g(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，即x 3−3x 2+2+4lnx ≥0在[1,+∞)上恒成立， 下证1x −1x4−x 24≤0在[1,+∞)上恒成立，即证x 3−x 64−1≤0[1,+∞)上恒成立，令H(x)=x 3−x 64−1，则H′(x)=3x 2−3x x 5=3x 2(1−12x 3)，当x ∈(1,√23)时，H′(x)>0，则H(x)单调递增，当x ∈(√23,+∞)时，H′(x)<0，则H(x)单调递减，所以当x =√23时，H(x)取得最大值为H(√23)=0，所以H(x)≤0，即1x−1x4−x 24≤0在[1,+∞)上恒成立．因为x 3−3x 2+2+4lnx ≥0中取等号的条件是x =1，而1x −1x 4−x 24≤0中取等号的条件是x =√23， 又g(1)>H(1)=−14， 所以g(x)>H(x)， 故f(x)+4lnx >1x −1x4−x 24对x ∈[1,+∞)恒成立．【解析】(1)求出f′(x)，求出f(x)在R 上的单调区间，然后分a <0，0≤a <2，a ≥2分别求解f(x)在(a,+∞)上的单调性即可；(2)分别利用导数证明f(x)+4lnx ≥0在(0,+∞)上恒成立和H(x)=x 3−x 64−1≤0在(0,+∞)上恒成立，分析取等号的条件即可证明原不等式．本题考查了函数与不等式的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断、不等式的证明等问题，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于较难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ+6sinθ=0，整理得ρ2+6ρsinθ=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为x 2+(y +3)2=9．直线l 的参数方程为{x =−4+tcosαy =−3+tsinα(t 为参数，−π4<α<π2)，转换为直角坐标方程为y+3x+4=tanα，整理得xtanα−y +4tanα−3=0．(2)由(1)知，曲线C 表示圆心为(0,−3)，半径为3的圆，直线l 与曲线C 有公共点，所以圆心到直线l 的距离d =√1+tan 2α≤3， 解得tan 2α≤97， 解得−3√77≤tanα≤3√77， 又−π4<α<π2， 所以−1<tanα≤3√77，故tanα的取值范围是(−1,3√77].【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：∵x2+1≥2x，2(y2+1)≥4y，z2+1≥2z，∴x2+2y2+z2+4≥2(x+2y+z)=8，即x2+2y2+z2≥4，当且仅当x=y=z=1时，等号成立，∴x2+2y2+z2≥4．(2)由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)≥(2√x+2√y+2√z)2，当且仅当x4=2y2=z4，即x=z=85，y=25时，等号成立．∵x+2y+z=4，∴(√x+√y+√z)2≤10，则√x+√y+√z≤√10，故√x+√y+√z的最大值为√10．【解析】(1)利用基本不等式可得x2+2y2+z2+4≥2(x+2y+z)，从而证明x2+2y2+z2≥4成立；(2)由柯西不等式，得(x+2y+z)(4+2+4)≥(2√x+2√y+2√z)2，进一步得到(√x+√y+√z)2≤10，再求出√x+√y+√z的最大值．本题考查了利用柯西不等式求最值，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。
高三数学12月联考答案页
2020—2021学年度上学期高三12月份联考
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班级：
第Ⅰ卷选择题（60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1 2 3 44
5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分
9 10
11 12
第Ⅱ卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. . 14. .
15. . 16. ， .
四、解答题：本题共6小题，共70分.
17.（本题10分）
我选择的序号是： .
A B C D
贴条形码区
考生禁填：
缺考标记违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔涂写
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
18.（本题12分）
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效请在各题目的答题区域作答，超出限定区域的答案无效
19.（本题12分）
A B C D A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D A B C D
A B C D A B C D
A B C D A B C D。
2021届云贵川桂四省高三上学期12月联合考试文科数学试卷(解析版)
（2）求通项： 和 是等差数列的两个基本元素；
（3）求特定项：利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解；
（4）求前 项和：利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解.
8.如图，某柱桩的底座由一个正六棱柱中间挖掉一个圆柱构成.已知该正六棱柱每个侧面是边长为 的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为 .为了延长底座的使用时长，需将底座地面之上的部分（除与地面直接接触的底面之外的表面）涂上防氧化层，则涂层的总面积为（）
（2）求解形如 的函数的对称轴方程的思路：令 ，由此求解出关于 的方程即为对称轴方程.
11.某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之向相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 与传染源感染后至隔离前时长 (单位：天)的模型： .已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关的确诊病例人数约为（）
底面ABCD为矩形， 侧棱PC为球O的直径，
设球O的半径为R，则 ，即 ，
又 ，解得 .
过A作 于G，取棱PA的中点F，连接EF.
易证 平面APD，则 ，
， ， ， 平面PCD， 平面PCD，
平面PCD.
，即 ，
可得 ，
则F到平面PCD的距离为 ，
， ， ，
则E到平面PCD的距离等于F到平面PCD的距离，
合计
合计
【答案】（1） ；（2）中位数约为4357；（3）列联表见解析，有 的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.
四省八校高三2020届高三上学期数学文科第二次教学质量检测试卷附答案解析
A． 6 C． 4
B． 5 D． 3
6．已知 a
log 1
3
1 4
， 5b
1 4
，c
1
63
，则（
）
A． a b c
C． c a b
7．已知 sin( ) 4 ，则 sin 2 （
4
5
A． 7 25
C． 1 5
B． a c b D． b c a
对任意
x
(0,1)
恒成立，则实数
a
的取值范围为（
）
x
A． (0, e 1)
B． (0, e 1]
C． (, e 1)
D． (, e 1]
二、填空题
13．已知数列an 是公比 q
1 3
的等比数列，且 a3
a1
a2
，则
a10
______.
2
14．若 a1 ，a2 ，…，a2020 的平均数、方差分别是 2 和 1，则 bi 3ai 2i 1, 2,, 2020
）
B． 1 5
D． 7 25
1
8．已知
a
(1,
x)
，
r b
( y,1)
(x
0,
y
0)
，若
a
/
/b
，则
xy x y
的最大值为（
）
A． 1 2
B．1
C． 2
D． 2
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 50
B． 50 2
2020-2021学年云南省高三下学期高考文科数学试卷及答案解析
云南省高三下学期文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={x| y=lg （x ﹣1）}，集合2{|2}B y y x ==-+，则A ∩B 等于A ．（1，2）B ．（1，2]C ．[1，2）D ．[1，2]2. 复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则AM MB ⋅u u u u r u u u r的值为A. 2B.152-C. 152D.2- 4. 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．通过计算得相关指数R 2的值如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的R 2为0.98B ．模型2的R 2为0.80C ．模型3的R 2为0.50D ．模型4的R 2为0.255. 已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98± 6. 函数ln 1()x f x e x=+的大致图象为7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a 、b 分别为5、2，则输出 的n =A.2B.3C.4D.58. 已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有2343n n S n T n -=-，则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．715 B ．1737 C ． 2041 D ． 19419. 长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ） A.314 B. 4 C. 310D. 3 10. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．223π B.423π C. 22π D. 42π11. 设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（ ） A ．92B ．322C ．32 D ．5412. 已知2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为( ) A ．),(+∞e B ．(0,)e C ．1(0,)(1,)e e U D ．),1(e e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ．14. 已知函数322()7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极小值10，则ba的值为 ．15. 珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝，甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷，根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是______． 16. 已知圆22:9O x y +=，点()2,0A ，点P 为动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，则动点P 的轨迹方程是______．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ．（I ）求角A 的大小； （II ）若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．18. （本小题满分12分）某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：（Ⅰ）请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程$y bx a =+$；若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠? （Ⅱ）从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.（参考公式：回归直线的方程是$ˆy bx a =+$，其中1221ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅=-∑∑$，$ay bx =-）19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，DCAAB1AC1CD 1B(第19题图)ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是11A C 中点.（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点)0,1(F 的距离与它到直线2=x 的距离之比为22. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线)0(≠+=m m kx y 与曲线E 交于B A 、两点，与x 轴、y 轴分别交于D C 、两点（且D C 、在B A 、之间或同时在B A 、之外）. 问：是否存在定值k ，对于满足条件的任意实数m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 2,f x x ax a R =-∈.（1）若函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，求实数a 的取值范围； （2）已知1a >设21()()2g x f x x =+，若()g x 有极大值点1x ，求证：2111ln 10x x ax -+>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333πρθ+=OM ：3π=θ与C 分别交于点O ，P ，与l 交于点Q ，求PQ 的长．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数122)(--+=x x x f ．（Ⅰ）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；（Ⅱ）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．文科数学试卷答案及评分标准一、选择题BBAA ACCD BBBD 二、填空题13.8; 14. 12-; 15. 甲; 16.15922=+y x 三、解答题17. 解:（I ）由2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，根据正弦定理 得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，整理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc ………………2分由余弦定理 得 cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22 ………………4分又A ∈(0，π) ，所以A ＝π4………………5分（II ）由cos B ＝255，可得sin B ＝1－cos 2B ＝55∴cos C ＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B＝22×55－22×255＝－1010………………………………7分 又a ＝10，由正弦定理，可得b ＝asin Bsin A＝10×55 22＝2∴CD ＝12AC ＝1 ………………9分在△BCD 中，由余弦定理 得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CDcosC＝(10)2＋12－2×10×1×(－1010)＝13 ………………………………11分所以BD ＝13. ………………………………12分18. 解:（Ⅰ） 1(111312)123x =++=，1(253026)273y =++=，3972x y =.31112513*********i ii X Y ==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434ii X==++=∑，23432x =.由公式，求得122197797254344322ni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅-===--∑∑$，$5271232a y bx =-=-⨯=-． 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-．………………………………5分 当x=10时，5ˆ103222y=⨯-=，|22－23|＜2；当x=8时，5ˆ83172y =⨯-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．………………………………7分（II ）m,n 的所有取值有：（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），（25,30），（25,26），(25,16)，(30,26),(30,16)， (26,16), 即基本事件总数为10.设 “m ，n 均不小于25” 为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（25,30），（25,26），（30,26）. 所以3()10P A =,故事件A 的概率为310………………………………12分19. 解：（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11A C 中点，∴1DO A B ∥，而DO ⊂平面1B CD ，1A B ⊄平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分 （Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h ，则1111123==33C B CD B C D V S h h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分 由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ⊂平面111A B C ，∴11CC B D ⊥，∵ABC △是等边三角形，D 是11A C 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C I ，1CC ⊂平面11AA C C ，11AC ⊂平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥，由计算得：1=23,25B D CD =，所以1=215B CD S ∆， ……………9分设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --得：1231454=335B CD S h h ''⨯⇒=△， 所以B 到平面1B CD 的距离是45.5……………12分 20. 解：(1)设()M x,y ，则2222(1)21222x y x y x -+=⇒+=- ∴动点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=．……………４分（２）将y kx m =+代入2212x y +=整理得222(12)4220k x mkx m +++-=22222(4)4(12)(22)>021mk k m m k =-+-⇒<+V ，设1122()()A x ,y ,B x ,y ，则122412kmx x k +=-+由题意，不妨设)0,(kmC -，),0(m D OAC ∆的面积与OBD ∆的面积总相等||||BD AC =⇔恒成立⇔线段AB 的中点与线段CD 的中点重合. ∴km k mk -=+-2214，解得22±=k ，由2221m k <+得2||<m ； 即存在定值22±=k ，对于满足条件0≠m ，且2||<m ，都有OAC ∆的面积与OBD ∆的面积相等. ……………………………………12分 21. 解：（1）因为1()2,0f x a x x'=->…………………………………………………1分 因为函数()y f x =存在与直线20x y -=平行的切线，所以()2f x '=在(0,)+∞上有解……………………………………………………………2分即122a x -=在(0,)+∞上有解，也即122a x +=在(0,)+∞上有解， 所以220a +>，得1a >-，故所求实数a 的取值范围是(1,)-+∞………………………………………………………4分（2）因为2211()()ln 222g x f x x x x ax =+=+-因为2121()2x ax g x x a x x-+'=+-=……………………………………………………5分令()0g x '=，设2210x ax -+=的两根为1x 和2x ，则12121,2x x x x a =+=因为1x 为函数()g x 的极大值点，1a >，所以120x x <<，101x <<………………6分所以2111()210g x x ax '=-+=，则21112x a x +=…………………………………………7分因为332111111111111ln 1ln 1ln 1222x x x x x ax x x x x x +-+=-+=--++，101x <<…8分 令31()ln 122x h x x x x =--++，(0,1)x ∈，所以231()+ln 22x h x x '=-+……………………………………………………………9分 记231()+ln 22x p x x =-+，(0,1)x ∈，则2113()3x p x x x x-=-+=当03x <<时，()0p x '>，当13x <<时，()0p x '<…………………………10分所以max ()(1ln 033p x p ==-+<，所以()0h x '<……………………………11分 所以()h x 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0h x h >=，原题得证……………………12分22. 解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为，令代入的普通方程，得的极坐标方程为，即．……………5分（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以．在的极坐标方程中令，得，所以．所以．……………10分23.解：（Ⅰ），当时，，即，所以；当时，，即，所以；当时，，即，所以；综上，不等式的解集为．……………5分（Ⅱ）令，当直线经过点时，，所以当即时成立；当即时，令，得，所以，即，综上或．…………10分解法二：（Ⅰ）同解法一．5分（Ⅱ）设因为对任意，都有成立，所以．当时，，所以所以，符合．当时，，所以所以，符合．综上，实数的取值范围是．……………10分。
2020届高三联考试卷及答案(数学文科)
2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第I 卷（选择题、填空题）和第n 卷解答题两部分， 满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1 .答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上；2 .第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上 .答在第I 卷上 不得分；3 .考试结束，考生只需将第n 卷（含答卷）交回 ^ 参考公式：1 一一 一锥体的体积公式 V -Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.3第I 卷（选择题、填空题共70分）一、选择题（共10小题，每小题 5分，？茜分50分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1 .设全集 U R, A xx （x 3）分表示的集合为（）A. X X 0B.C. X 3 X1D.2.已知正方形ABCD 的边长为1,则0 ,B XX 1 ,则下图中阴影部 x 3 x 0X x 1 uur uuur uur AB BC AC =()塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与灯塔B 的距离为（A. 0B. 2C. 2D. 2.23.两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于 a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20o ,灯 )kmA. aB..2aC.2aD..3a4 .曲线f (x)xln x 在点x 1处的切线方程为（A . y2x B . y2x 2 C . yD.5 .设函数f(x)2XA. 2 l°g 2X(,2] x (2,C. 2 或16）,则满足 f （x ） 4的x 的值是（6.设向量3r (sin x,一)，b4 ,11、D. 2 或 16r且a//b ,则锐角x 为（A.一6A. 已知等差数B.—4{a n }中，a 3,C.一3 a 15是方程x 26x D.勺121 0的两根，则a7 %a 9 a 10 a 11A. 18B.18C.15D.12一是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是( 3值范围是13 .如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图 块木块堆成.14 .对于函数f(x) sin x cosx ,给出下列四个命题：4①存在(0,一)，使 f()-;238. 已知函数 y Asin( x ) m 的最大值是4,最小值是 0,最小正周期是 —,直线29. A . yC . y 若函数 4sin(4x —) 2sin(4 x -) 23B . y D . y2sin(2x -) 2 2sin(4 x -) 26 f (1 x)的图象大致为10.已知a 0且 a 1, f(x) 当 x ( 1,1) 时均有f(x)则实数 a 的取M * r $ iA.2,B.1 ,1 1,441 C. 1,12,2D.4,二、填空题(共 4小题，每小题 5分，满分20分)11.函数 f (x)x 4 ,、------ 的定义域为|x| 512.若 f (n)为 f(14) 17 .n 21的各位数字之和 (n N ),如：因为142 1 197,17 ,所以记 f 1 (n) f(n)f2008(8)= --------------f 2(n) f(f 1(n)) f k 1(n) f (f k (n))),则y f(x)的图象如右下图所示,则函数y则此几何体共由俯视图侧视图②存在（。