部编版2020学年八年级数学下册 期末知识点总结(分式)
分式
知识要点 1．分式的有关概念
设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子B
A
就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质
,M B M A B A ⨯⨯= M
B M
A B A ÷÷=
（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc
ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；;
;bc
ad
c d
b a d
c b
a bd
ac
d c b a =⋅=
÷
=⋅ .)(n n
n b a b a =
4．零指数)0(10
≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1
为正整数p a a a p
p
≠=
- 注意正整数幂的运算性质 n
n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=⋅-+)(,)(),0(,
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数．
6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
7、列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。
1. (-5)0 =_____； 2. 3-2
=________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有意义；
4. 写出等式中未知的式子：
（ ）c 2
+7c = 1
c+7
； 5. 约分：10a 2
b
4ab
2 =______________；
6. 分式：1x-1 、1
x-2 的最简公分母为：______；
7. 若方程x x-4 =2 + a
x-4
有增根，则增根为x=______；
8. 当x=______时，分式32x-1的值为1 ；9. 若x=2是方程 x-a x+1 = 1
3 的解，则a=______；
10. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米； 11. 已知公式：1R = 1R 1 + 1
R 2 ，若R 1 =10，R 2=15，则R=___________；
12. 观察下列各式：
22-4 + 66-4 =2，55-4 + 33-4 =2，77-4 + 11-4 =2，1010-4 + -2-2-4
=2，依照以上各式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式2020-4 + （ ）
（ ）-4 =2成立
13. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）
A. 3x=12
B. 1x =2
C. x+25 = 3+x
4 D.3x-2y=1
14. 下列各式中，成立的是（ ）
A. = y xy
B. m 6
m 2 = m 3
C. a 2
x bx = a 2
b D. a+
1
2a- 12
= a+1a-1
15. 要把分式方程：32（x-2） = 1
x
化为整数方程，方程两边需同时乘以（ ）
A. 2（x-2）
B.x
C. 2x-4
D. 2x （x-2） 16. -(-2)0
的运算结果为（ ）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 2
17. 化简a 2
- b
2
a 2 + ab
的结果为（ ）
A. a-b a+ab
B. a-b a
C. a+b a
D. a-b a+b
18. 若有m 人a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n ）人完成这项
工程所需的天数为（ ）
A. a + m
B. am m+n
C. a m+n
D. m+n am
19.计算：x+1x 2 -2x+1 ÷x+1x-1 ; 20.计算：x 2
+9x x 2 +3x + x 2
-9x
x 2 +6x+9
21．解方程：80x+3 = 60x -3 ; 22.解方程：7x +2 +2 = 1-3x
x+2
23.先化简，再求值：（x x -2 + x x+2 ）÷4x
x -2 ，其中x=2007.
24.已知y = x2-2x+1
x2 -1
÷
x2-x
x+1
-
1
x
+1，试说明在等号右边代数式有意义的条件下不论x为何值，y
的值不变。
25.为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自07年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25% 。
该市林老师家06年12月份的水费是18元，而07年1月份的水费是36元，且已
知林老师家07年1月份的用水量比06年12月份的用水量多6m3。
求该市去年
．．的居民用水价格。
26.已知某项工程由甲、乙两队合作12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费比乙队多150元。
⑴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天；
⑵若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程，以节约资金的角度考虑，应
选择哪个工程队？请说明理由。
八年级数学下册第十六章分式知识点总结
分式的知识点解析与培优一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
二、判断分式的依据:例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数为（ ）A 、 2B 、 3C 、 4D 、 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .（1）275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹. （7）78x π+（8）3y y （9）234x + 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.注意：（12+x ≠0） 例1：当x 时，分式51-x 有意义； 例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。
例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系 时，分式x yx y-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ．122+x x B.12+x x C.133+x x D.25x x - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠xB ．2-≠xC ．2->xD ．2<x例8：分式)3)(1(2-+-x x x 无意义，则x 的值为（ ）A. 2B.-1或-3C. -1D.3 三、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母≠0，注意：当分子等于0时，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。
例1：当x 时，分式121+-a a的值为0. 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0.例3：如果分式22+-a a 的值为零,则a 的值为( )A. 2±B.2C.-2D..以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是 （ ）A. x=0B.x-1C.x=0 或x=1D.0=x 或1±=x 例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ）A.3或-3B.3C.-3 D 2 例6：若01=+aa,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数例9：当X= 时，分式2212x x x -+-的值为零。
初二数学下册期末分式知识点归纳总结（超详细）文档（精华版）
第十六章 分式A B叫做分式；1.分式的定义：假如 A ， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零；2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变；A B A .C B .C A B A B CC （ C 0）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算： 分式乘法法就：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母； 分式除法法就：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘； 分式乘方法就：分式乘方要把分子，分母分别乘方；na b na c ac a c d a d adbc a b n ) . ; . ( b d bd b b c 分式的加减法就：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减， a c b c a b , a cd ad bd bc bd ad bc先通分，变为同分母分式，然后再加减 c b bd混合运算 :运算次序和以前一样；能用运算率简算的可用运算率简算；10 n a a 1(a 0) ；当 5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即 n 为正整数时， na （ a 0)6.正整数指数幂运算性质也可以推广到 整数指数幂 ．(m,n 是整数 )m a mn a n . a ;m n a （ 1）同底数的幂的乘法： ；( a m )n （ 2）幂的乘方： （ 3）积的乘方： ( ab ) n （ 4）同底数的幂的除法： （ 5）商的乘方： ( a)n n na b m a ；n a m n a ( a ≠ 0) ；n a ； (b ≠ 0)b n b 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程；解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母） 为整式方程；，把分式方程转化 解分式方程时， 方程两边同乘以最简公分母时， 因此分式方程肯定要验根；最简公分母有可能为０， 这样就产生了增根， 解分式方程的步骤 (1) 能化简的先化简 ：(2) 方程两边同乘以最简公分母， 化为整式方程； (3)解整式方程； (4) 验根． 0，二是其值应是去分母后所的整式方 增根应满意两个条件：一是其值应使最简公分母为 程的根；分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，假如最简公分母的值不为 方程的解是原分式方程的解；否就，这个解不是原分式方程的解；0，就整式 列方程应用题的步骤是什么？ (1) 审； (2) 设； (3) 列； (4) 解； (5) 答．(1) 行程问题：基本公式：路程 =速应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：度×时间而行程问题中又分相遇问题，追及问题． (2) 数字问题 在数字问题中要把握十进 制数的表示法． (3) 工程问题 基本公式：工作量 =工时×工效． (4) 顺水逆水问题 v 顺水 ＝v 静水 ＋v 水， v 顺水＝v 静水 - vn 1 a 10 ， n 是整数）的记数方法叫 8.科学记数法：把一个数表示成 a 10 的形式（其中 做科学记数法．用科学记数法表示肯定值大于 用科学记数法表示肯定值小于 n 10 数字前面 10 的 n 位整数时，其中 10 的指数是 1 的正小数时 ,其中 10 的指数是第一个非 0 的个数 (包括小数点前面的一个 一，挑选题1．以下式子是分式的是（ 0)）x2 2 x xx yA ． ． C ． ．B D 22．以下各式运算正确选项（ ）2a b a b 1 1 ba b n m na ma n m n m aaA ．B ． ．, a 0 D C ． ab 3．以下各分式中，最简分式是（ ）2 22 222xy 3 x 7 x y y m n n a b A ． B ． ． ． C D 2 2 m a b ab 2 x 2y 2xy m 2 9 m 3m 4．化简 的结果是（ ）2m mm mm mmA. B. C. D. m 3 3 3 3 x y 中的 5．如把分式 x 和 y 都扩大2 倍，那么分式的值（ ）xy A ．扩大 2 倍 ．不变 ．缩小 2 倍 ．缩小 4 倍B C D 1 a a C x x 6．如分式方程 3 有增根，就 a 的值是（）x 2 ． 0 A ． 1 ．— 1 ．— 2B D a 2 4 5 b 3 c4 a b7．已知 的值是（ ），就 c 74 5430 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航行 A ． B. D. 8．一艘轮船在静水中的最大航速为 千米所用 100 时间，与以最大航速逆流航行 x 千米 / 时，就可列方程（ 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 ）100 60 30 1006030A ． ．B x 30 x x 30 x100 6030 100 x 30 6030C ． ．D 30 x x x 9．某学校同学进行急行军训练， 估计行 60 千米的路程在下午 5 时到达， 后来由于把速度加 快 20% ，结果于下午 4 时到达，求原方案行军的速度；设原方案行军的速度为 xkm/h ，，就 可列方程（ ）60 x 60 x 6020% 6060 x 6020% 601 1A ． B. x x 60 x 1 1 C. D. x （1 20%） b x （1 20%）a c k ，就直线 y kx 2k 10. 已知 肯定经过（）b c a c B. a b A. 第一，二象限 二，填空题其次，三象限 第三，四象限 D. 第一，四象限C. 2 3 b 2 (a b) 3 = 11．运算 a ．12．用科学记数法表示— ．0.000 000 0314= 2 a 2 1 ．13．运算 a 3 x 4 a 4 2的解是 14．方程 ．70 x9 16 25 36, , , 15．瑞士中学老师巴尔末胜利地从光谱数据 ,L L 中得到巴尔末公式，从5 12 21 32 而打开了光谱秘密的大门；请你尝试用含你 2n 的式子表示巴尔末公式 ．2 x 1 1 2 16．假如记 ，并且 f(1) 表示当 x=1 时 y 的值，即 ； =f(x) f(1)= y 2 2 1 x 1 1 1 ) 2 2( 1 2 1 2 1 2 1 5) 表 示 当 时 的值 ， 即 ； 那 么f( x= y f( )= 1 ) 2 21 ( 12 13 三，解答题1 n（结果用含 n 的代数式表f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+ +f(n)+f( )= 示）． 17．运算：2 2 23b bc 2a 2 x ：2 a ) b a 6a b 2 93 2 a b a 3a （1） ． ( ； （ 2） 16 a4 918．解方程求 x x 1 1 4 m x n（ 1） 1 ；（ 2） 0(m n , mn 0) ．2 x 1 x 1 19．（ 7 分）有一道题：( x 2 2 4x x 2 1) “先化简，再求值： 其中， x=— 3”．x 2 x 4 4小玲做题时把“ x=— 3”错抄成了“ x=3 ”，但她的运算结果也是正确的，请你说明这是怎么回事？20．（ 8 分）今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱；某校师生也活动 起来捐款打井抗旱， 已知第一天捐款 4800 元，其次天捐款 6000 元，其次天捐款人数比第一 天捐款人数多 50 人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参与捐款的人数是多少？21．（ 8 分）一辆汽车开往距离动身地 180 千米的目的地，动身后第一小时内按原方案的速 度匀速行驶， 一小时后以原先的 一小时的行驶速度．倍匀速行驶， 并比原方案提前 40 分钟到达目的地 . 求前 22．（9 分）某市从今年 1 月 1 日起调整居民用天燃气价格， 每立方米天燃气价格上涨 25%．小 5 月 颖家去年 12 月份的燃气费是 96 元．今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器， 份的用气量比去年 12 月份少 10m3， 5 月份的燃气费是 参考答案90 元．求该市今年居民用气的价格．111，a 4b 6 8 一，挑选题 二，填空题 BCABC DDADB 12， 10 13， a 14，2 212( n (n 2)16， n 30 15， 2 2) 4 223a a 三，解答题 17，（1） ．；（ 2） 4c 3(2 b)m m 2 x ． 19，解：原式运算的结果等于x 1 为增根，此题无解； （ 2） x 18，（ 1） 4 ，n 所以不论 x 的值是 +3 仍是— 3 结果都为 1320，解：设第一天参与捐款的人数为 x 人，其次天参与捐款的人数为（ x+6）人，就依据题 4800 x 6000 解得：x 20 ,经检验， x 20 是所列方程的根，所以第一天参与意可得： x 5 捐款的有 20 人，其次天有 26 人，两天合计 46 人．21 ，解：设前一小时的速度为 xkm/ 小时，就一小时后的速度为 小时，由题意得： 180x 180x ) 2 ，解这个方程为 x 3 (1 182 ，经检验， x=182 是所列方程的根， 即前前一小时的速度为 182．x 元 / m3 ，就今年的价格为 (1+25%) x 元 / m3 依据题 22，解：设该市去年居民用气的价格为 96 x 90 25%) x意，得 10 解这个方程，得 x ＝ ．经检验， x ＝ 2.4 是所列方程的(1 根． 2.4 ×(1+25%)＝ 3 ( 元 ) ；所以，该市今年居民用气的价格为 3 元/ m3 ．。
八年级下册数学知识点归纳笔记
人教版八年级下册数学知识点总结第十六章分式1.分式的概念：若A、B表示两个整式，且分母B中含有字母，A称为分式。
分式有意义的条件是分母B≠0；分式值为则式子B0的条件是分子A=0且分母B≠0。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
3.分式的运算：1.乘除运算：分式乘分式，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母；分式除以分式，等于把除式的分子、分母颠倒后与被除式相乘。
2.加减运算：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再加减。
4.分式方程：1.增根：分式方程化为整式方程后，未知数取值范围扩大，可能产生使原分式方程分母为0的根，即增根。
2.验根：解分式方程必须验根，将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则是增根，原方程无解；若最简公分母不为0，则是原方程的解。
第十七章勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+。
2.勾股定理的逆定理：若三角形三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，则此三角形是直角三角形。
第十八章平行四边形1.平行四边形：1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
2.性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分。
3.判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
2.三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，平行于第三边且等于第三边的一半。
3.特殊的平行四边形：1.矩形：有一个角是直角的平行四边形，四个角都是直角，对角线相等且互相平分。
判定方法有一个角是直角的平行四边形、有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形。
2.菱形：有一组邻边相等的平行四边形，四边都相等，两条对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角。
判定方法有一组邻边相等的平行四边形、四条边相等的四边形、对角线互相垂直的平行四边形。
北师大2024八年级数学下册 5.4 第2课时 分式方程的解法 导学案
第五章分式
5.4 分式方程
第2课时分式方程的解法
学习目标：
1. 掌握解分式方程的基本思路和解法；
2. 理解分式方程可能无解的原因.
自主学习
一、复习导入
解一元一次方程
合作探究一、要点探究
知识点一：分式方程的解法
思考：你能求出上一节课列出的分式方程
的解吗？
(1)如何把它转化为熟知的整式方程呢？
(2)方程各分母最简公分母是：
追问：x = 100 是原分式方程的解吗？
【归纳总结】
【典例精析】例1 解方程：
议一议
在解方程时，小亮的解法如下：
x = 2 是原分式方程的解吗？
想一想：为什么去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？【要点归纳】
【典例精析】例2 解方程：
练一练
1.(西安校考) 解方程：.
想一想：解分式方程一般需要经过哪几个步骤
二、课堂小结
当堂检测
1. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是( )
A. 2(x- 8) + 5x = 16(x- 7)
B. 2(x- 8) + 5x = 8
C. 2(x- 8) - 5x = 16(x- 7)
D. 2(x- 8) - 5x = 8
2. 若关于x的分式方程无解，则m的值为( ) A．－1，5 B．1
C．－1.5 或2 D．－0.5 或－1.5
3. 解方程：
4. 若关于x的方程有增根，求m的值.
参考答案合作探究
知识点一：分式方程的解法
例1解方程：
例2 解方程：
练一练
2.(西安校考)解方程：.
当堂检测
1. A.
2. D.
3.
4.。
初二数学下册知识点总结分式的基本性质
初二数学下册知识点总结分式的基本性质在日复一日的学习中，看到知识点，都是先收藏再说吧！知识点就是学习的重点。
想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺整理的初二数学下册知识点总结分式的基本性质，仅供参考，欢迎大家阅读。
尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,由为您提供的八年级下册数学知识点分式的基本性质，希望给您带来启发!1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
单项式整式多项项分式AAMAM用式子表示为：B=BM=BM，其中M(M≠0)为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的`整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。
以上就是为大家整理的八年级下册数学知识点：分式的基本性质，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!【初二数学下册知识点总结分式的基本性质】。
数学八年级下册分式知识点总结2篇
数学八年级下册分式知识点总结数学八年级下册分式知识点总结精选2篇（一）数学八年级下册分式的知识点总结包括：1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的有理数表达式，分子和分母都是整数。
2. 分数的运算：加减乘除四则运算的规则同整数的运算规则。
3. 分式化简：将分子和分母的公因式约去，将分数化简为最简形式。
4. 分数的乘除法：乘法时，分子乘以分子，分母乘以分母。
除法时，乘以倒数，即分子乘以分母的倒数。
5. 分式的加减法：分式加减法也要找到分母的最小公倍数，然后分子相加减，分母不变。
6. 分式的混合运算：先进行分数的乘除法运算，再进行分数的加减法运算。
7. 分式方程的解：分式方程的解与分式的定义域有关，需要注意排除分母为零的情况。
8. 分式不等式的解：将分数不等式转化为分母为正数的不等式，根据分母正负的不同确定解的范围。
9. 分式的应用：分式在实际问题中的应用包括比例、速度、利润等方面。
数学八年级下册分式知识点总结精选2篇（二）第一章的主要知识点如下：1.数的性质：正数、负数、零，以及它们在数轴上的表示和比较大小；绝对值的概念和计算方法。
2.整数的四则运算：加法、减法、乘法和除法的进一步应用和拓展，包括负数的运算规律。
3.乘方：乘方的定义和表示方法；乘方的运算法则，如乘方的乘法法则、乘方的除法法则等。
4.科学记数法：科学记数法的概念和表示方法；科学记数法的运算、比较大小等基本操作。
5.约数和倍数：约数的概念和判断方法；最大公约数和最小公倍数的求解方法。
6.有理数的概念和表示：有理数的基本性质，如有理数的加法、减法、乘法和除法规律。
这些知识点涵盖了数轴、计算方法、运算法则和数的运算特性等方面，是数学八年级上册的基础知识点。
第5章 《分式与分式方程》 实际应用专项(二) 2020—2021学年北师大版数学八年级下期末备考
八年级下册期末备考：《分式与分式方程》实际应用专项（二）1．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？2．在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；（2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？3．在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用3000元购进甲，乙两种不同型号的口罩共1100个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的1.2倍．（1）求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？（2）若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过7000元的资金再次购进甲，乙两种口罩共2600个，求甲种口罩最多能购进多少个？4．城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？5．列方程解应用题：初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？6．我市计划对城区居民供暖管道进行改造，该工程若由甲队单独施工，则恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需要5天．（1）这项工程的规定天数是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用是6500元，乙队每天的施工费用是3500元．为了缩短工期，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作，则该工程的施工费用是多少？7．2020年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情，打破了我们宁静的生活，为了预防新型冠状病毒肺炎，人们已经习惯出门戴口罩．某口罩生产企业在若干天内加工120万个口罩（每天生产数量相同），在实际生产时，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数是原来的1.5倍，从而提前2天完成任务，问该企业原计划每天生产多少万个口罩？8．“你怎么样，中国便是怎么样；你若光明，中国便不黑暗”．2019年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的心灵，各界人士齐心协力，众志成城．针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．（1）求原来生产防护服的工人有多少人？（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？9．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．10．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？11．某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该款中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元，所购进的中性笔数量与第一次相同．（1）求第一次每支中性笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的中性笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔售价至少是多少元？12．某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．13．甲乙两名工人各承包了一段500米的道路施工工程，已知甲每天可完成的工程比乙多5米．两人同时开始施工，当乙还有100米没有完成时，甲已经完成全部工程．（1）求甲、乙每天各可完成多少米道路施工工程？（2）后来两人又承包了新的道路施工工程，施工速度均不变，乙承包了500米，甲比乙多承包了100米，乙想：这次我们一定能同时完工了！请通过计算说明乙的想法正确吗？若正确，求出两人的施工时间；若不正确，则应该如何调整其中一人的施工速度才能使两人同时完工，请通过计算给出调整方案．14．A、B两地相距18千米，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设1千米．（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米？15．为了加强疫情防控，某学校购进了部分N95口罩和一次性医用口罩，已知购买N95口罩共花费2000元，购买一次性医用口罩共花费1000元，购买一次性医用口罩数量是购买N95口罩数量的2.5倍，且购买一个N95口罩比购买一个一次性医用口罩多花4元．（1）求购买一个N95口罩、一个一次性医用口罩各需多少元？（2）该单位决定再次购买N95口罩和一次性医用口罩共3000个，恰逢该商场对两种口罩的售价进行调整，N95口罩售价比第一次购买时降低了20%，一次性医用口罩售价比第一次购买时降低了50%，如果此次购买N95口罩和一次性医用口罩的总费用不超过3250元，那么该单位至少可购买多少个一次性医所口罩？参考答案1．解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作＝（﹣y）天，依题意，得：7000（y+﹣y）+5000（﹣y）≤79000，解得：y≥1，∴﹣y≤﹣＝6．答：两工程队最多可以合作施工6天．2．解：（1）设乙工程队每天能完成x米的清淤任务，则甲工程队每天能完成2x米的清淤任务，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴2x＝20．答：甲工程队每天能完成20米的清淤任务，乙工程队每天能完成10米的清淤任务．（2）设应安排乙工程队清淤m天，则安排甲工程队清淤天，依题意，得：0.8m+2×≤60，解得：m≥60．答：至少应安排乙工程队清淤60天．3．解：（1）3000÷2＝1500（元）．设乙种口罩的单价为x元，则甲种口罩的单价为1.2x元，依题意，得：，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：甲种口罩的单价为3元，乙种口罩的单价为2.5元．（2）设该药店购进甲种口罩a只，则购进乙种口罩（2600﹣a）只，依题意，得：3a+2.5（2600﹣a）≤7000，解得：a≤1000．答：甲种口罩最多购进1000只．4．解：（1）设该项工程的规定时间是x天，由题意得：，解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：该项工程的规定时间是30天．（2）甲、乙队合做完成所需的天数为：．则该工程施工费用是：18×（3500+2500）＝108000（元）．答：该工程施工费用为108000元．5．解：（1）设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，根据题意得：＝++，解得：x＝40，经检验：x＝40是原方程的解，1.5x＝1.5×40＝60．答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时；（2）设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：+＝，解得：y＝30，答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．6．解：（1）设这项工程规定x天完成，15+5＝20（天），根据题意得：，解得：x＝30，经检验：x＝30是原方程的解，且符合题意，答：这项工程规定30天完成．（2）总施工费用：（元），答：该工程的施工费用是180000元．7．解：设该企业原计划每天生产x万个口罩，则在实际生产时每天生产1.5x万个口罩，由题意得：﹣＝2，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，答：该企业原计划每天生产20万个口罩．8．解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，由题意得，＝，解得：x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．答：原来生产防护服的工人有20人；（2）设还需要生产y天才能完成任务．＝5（套），即每人每小时生产5套防护服．由题意得，10×650+20×5×10y≥14500，解得y≥8．答：至少还需要生产8天才能完成任务．9．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，答：乙每小时做12个零件．10．解：（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，依题意，得：＝×，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+4＝16．答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元．（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，依题意，得：16（200﹣m）+12m≤3000，解得：m≥50．答：最少要购买50件B种纪念品．11．解：（1）设第一次每支中性笔的进价是x元，则第二次每支中性笔的进价是（x+1）元，依题意得：＝，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解且符合题意．答：第一次每支中性笔的进价是4元．（2）第一次购进中性笔的数量为600÷4＝150（支），∴第二次购进中性笔150支．设每支中性笔售价为y元，依题意得：（150+150）y﹣600﹣750≥450，解得：y≥6．答：每支中性笔售价至少是6元．12．解：设骑车学生的速度为xkm/h，由题意得，﹣＝，解得：x＝15．经检验：x＝15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/h．13．解：（1）设乙每天施工x米，则甲每天施工（x+5）米，根据题意可得：解得：x＝20，检验：当x＝20时，x（x+5）≠0，∴x＝20是原方程的解，则x+5＝25（米）答：甲、乙每天各可完成25米，20米道路施工；（2）∵甲完成600米，需要天，乙完成500米，需要天，∴甲乙不能同时完工；方案一：将甲施工速度减少a千米/天，根据题意可得：解得：a＝1，经检验：a＝1是原方程的解，方案二：将乙施工速度增加b千米/天，根据题意可得：解得：b＝，经检验：b＝是原方程的解，综上所述：将甲施工速度减少1千米/天，将乙施工速度增加千米/天，14．解：（1）甲工程队完成任务所需时间为18÷3＝6（天），乙工程队完成任务所需时间为18÷（3+1）＝4.5（天）．6﹣4.5＝1.5（天）．答：乙工程队比甲工程队提前1.5天完成．（2）设甲工程队每天铺设管道x千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，依题意得：﹣＝3，整理得：x2+x﹣6＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2，经检验，x1＝﹣3，x2＝2是原方程的解，x1＝﹣3不符合题意舍去，x2＝2符合题意，∴x+1＝3（千米）．答：甲工程队每天铺设管道2千米，乙工程队每天铺设管道3千米．15．解：（1）设购买一个一次性医用口罩需x元，则购买一个N95口罩需（x+4）元．列方程：×2.5＝，解得：x＝1．经检验x＝1是原方程的解，∴x+4＝5．答：购买一个普通口罩需1元，购买一个N95口罩需5元．（2）设购买一次性医用口罩y个．则购买N95口罩（3000﹣y）个，依题意得：1×（1﹣50%）y+5×（1﹣20%）（3000﹣y）≤3250．解得：y≥2500．∴该单位至少可购买2500个一次性医所口罩．。
八年级下册数学知识点分式
八年级下册数学知识点分式八年级下册数学知识点——分式一、定义分式是指由分子和分母以及分割符号（如：横线或斜线等）组成的算式，通常表示为a/b的形式，其中a、b均为整数，b不为0。
二、基本概念1. 真分数：分子小于分母的分式称为真分数，如1/2、2/3等。
2. 假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数，如5/3、9/4等。
3. 通分：对于分母不同的分式，将它们的分母约分至相同，即将它们化为相同分母的分式，这个过程称为通分。
4. 约分：对于分子分母有公共因数的分式，可以将它们约分成最简分式，即分子分母同时除以它们的公共因数，得到的分式称为最简分式。
三、分式的四则运算1. 加减法分式的加减法其实就是先通分，再将分子按照加减法的规则相加减，然后将结果约分为最简分式。
例如：7/10 + 5/6 = 21/30 + 25/30 = 46/30 = 23/152. 乘法分式的乘法就是将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分为最简分数。
例如：2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/23. 除法分式的除法相当于将分式的乘数乘上被除数的倒数，即将分子与被除数的分母相乘，分母与被除数的分子相乘，得到的结果再约分为最简分数。
例如：3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用分式在比例问题中的应用非常广泛，例如在解题时需要求出比例中某一部分的值，在这种情况下，就可以通过分式的运算来求解。
例如：若三个数的比例为a : b : c，且a = 3/4，b = 1/2，求c的值。
根据比例的定义，可得a : b = 3/4 : 1/2 = 3/2，那么c : a = 3/2 : 1，即c = (3/2) ÷ 1 × a = (3/2) × (3/4) = 9/8。
因此c = 9/8。
2. 分式在解方程中的应用在解方程中，有时需要将方程变形成分式的形式，然后进行分式的运算，最后再将分式恢复为方程，从而得到方程的解。
期末备考 第5章《分式方程》 实际应用解答专项(二)2020-2021学年 北师大版八年级数学下册
八年级数学北师大版下册期末备考：第5章《分式方程》实际应用解答专项（二）1．小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？2．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少．3．某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？（2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？4．列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？5．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A 型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．A，B两种型号车的进货和销售价格表：A型车B型车进货价格（元/辆）1100 1400销售价格（元/辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？6．列方程或方程组解应用题：某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是多少元∕张？7．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？8．为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？9．新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控工作，某市为了尽快完成100万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成．已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的1.5倍，并且在独立完成60万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用5天．问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？10．仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）11．现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．（1）求A、B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？12．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？13．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？14．某商家预测某种粽子能够畅销，就用6000元购进了一批这种粽子，上市后销售非常好，商家又用14000元购进第二批这种粽子，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每袋进价多了5元．（1）该商家两批共购进这种粽子多少袋？（2）由于储存不当，第二批购进的粽子中有10%腐坏，不能售卖．该商家将两批粽子按同一价格全部销售完毕后获利不低于8000元，求每袋粽子的售价至少是多少元？15．某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳．面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？（2）若两次购进手机壳按同一价格销售，全部售完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？参考答案1．解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，依题意，得：＝，解得：x＝0.5，经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x+0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m≤．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．2．解：设港珠澳大桥的设计时速是x千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x﹣40）千米/时．依题意，得．解方程，得x＝100．经检验：x＝100是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．3．解：（1）设第一批购进书包的单价为x元．依题意，得，整理，得20（x+4）＝21x，解得x＝80．检验：当x＝80时，x（x+4）≠0，∴x＝80是原分式方程的解．答：第一批购进书包的单价为80元，（2）＝300+1050＝1350答：商店共盈利1350元．4．解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，由题意得，解得x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，答：2017年每小时客运量24万人．5．解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据题意得＝，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是方程的解．x＝1600时，x+400═2000．答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，根据题意得50﹣m≤2m，解得：m≥16，∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，∴y随m的增大而减小，∴当m＝17时，可以获得最大利润．答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．6．解：设用于练习的宣纸的单价是x元∕张．由题意，得，解得x＝0.2．经检验，x＝0.2是所列方程的解，且符合题意．答：用于练习的宣纸的单价是0.2元∕张．7．解：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步，根据题意，得＝，解得x＝30．经检验：x＝30是原方程的解．答：小红每消耗1千卡能量需要行走30步．8．解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，依题意得：+＝1，解得x＝20，检验，当x＝20时，3x≠0，所以原方程的解为x＝20．所以3x＝3×20＝60（天）．答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y（+）＝1，解得y＝15．需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．∵510＞500，∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．9．解：设乙厂每天能生产口罩x万只，则甲厂每天能生产口罩1.5x万只，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝6．再设应安排两个工厂工作y天才能完成任务，依题意，得：（6+4）y≥100，解得：y≥10．答：至少应安排两个工厂工作10天才能完成任务．10．解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，解得x＝180．经检验，x＝180是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．可得×0.1y﹣3700≥440，解得y≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．11．解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，根据题意，得：，经检验：x＝20是原方程的解，所以A商品每件20元，则B商品每件50元．（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，解得：4≤a≤6.7，a取整数：4，5，6．有三种方案：①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，所以方案③费用最低．12．解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作＝（﹣y）天，依题意，得：7000（y+﹣y）+5000（﹣y）≤79000，解得：y≥1，∴﹣y≤﹣＝6．答：两工程队最多可以合作施工6天．13．解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．14．解：（1）设该商家第一次购进这种粽子x袋，则第二次购进2x袋，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝200，经检验，x＝200是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+2x＝600．答：该商家两批共购进这种粽子600袋．（2）设每袋粽子的售价是y元，依题意，得：[200+200×2×（1﹣10%）]y﹣6000﹣14000≥8000，解得：y≥50．答：每袋粽子的售价至少是50元．15．解：（1）设第一批手机壳进货单价为x元，根据题意得：3•＝，解得：x＝8，经检验，x＝8是分式方程的解．答：第一批手机壳的进货单价是8元．（2）设销售单价为m元，根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥2000，解得：m≥12．答：销售单价至少为12元．。
人教版八年级数学第十六章分式知识点总结
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子BA 叫做分式。
二、在分式中，如果________,则分式AB 有意义；如果________,则分式A B无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <； 例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134x x +-的值为负数 例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
当x_________时，分式2361x x -+的值为负数。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。
约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。
最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。
（注意约分一定要彻底）五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。