第9章 因子分析
第九章因子分析
要点：因子内高相关、因子间低相关，简化解释维度
误区：因子分析就是抱弃一些变量，用最少的变量代替全体变量
因子分析是简化结构ห้องสมุดไป่ตู้以较少的变量说明原始总体的全部信息。
A2-b2=(a+b)(a-b)
因素分析
四、常用术语
1.因子载荷(factor loading)
因子载荷也叫因素负荷，是指因子分析模型中各公共因素和 独特因素的加权系数。通常称公共因素的系数为因素负荷。若 从p个观测变量提取m个公共因素，第i个变量zi在第j个公共因 素fj上的因子负荷记作aij（也可称fj在zi上的因子负荷）， i=1,2,...p,j=1,2,...,m。因素负荷aij 是变量zi与公共因素 fj
因素分析
一、基本含义
因素分析就是用最少的因素概括和解释大量的观测事实， 建立起最简洁的，基本的概念系统，以揭示事物之间，各种 复杂现象背后本质联系的一种统计分析方法。 当因素分析的重点放在从一堆观测变量中去探索/挖掘 出潜变量的时候，称为探索性因素分析。当方法的重点放在 检验假设（即事先对潜变量的维度有了假设）时候，称为验 证性因素分析。
四、常用术语
3.因子的贡献率(contributions)
每个公因子对原始数据的解释能力，可以用该因子所解释 的总方差来衡量，通常称为该因子的贡献率，记作Vp。它等于
和该因子有关的因子负载的平方和。实际中常用相对指标来表
示，相对指标体现着公因子的相对重要性。即每个公共因子所 解释的方差占所有变量总方差的比例。设k表示观测变量数， Vp/k表示第p个因子所解释的方差比例，则V/k表示所有公因子 累积解释的方差比例，它可以用来作为因子分析结束的判断指 标。
因素分析
五、数据处理过程
《基础生态学》名词解释——第三版牛翠娟
《基础生态学》（第三版）名词解释绪论1)生态学(ecology)：是研究有机体及其周围环境-包括非生物环境和生物环境相互关系的科学。
2)尺度（Scale):某一现象或过程在空间、时间上所涉及到的范围和发生频率。
3)生物圈（biosphere）：地球上的全部生物和一切适合于生物栖息的场所。
包括岩石圈的上层、全部水圈和大气圈的下层。
4)景观生态学（landscape ecology）:研究景观单元的类型组成，空间格局及其与生态学过程相互作用的科学。
(景观是由不同生态系统组成的异质性区域，生态系统在景观中形成斑块（patch))5)全球生态学（global ecology）:研究全球性的环境问题与全球变化。
其主要理论为：地球表面温度和化学组成受地球所有生物总体的生命活动所主动调节，并保持动态平衡。
第一章生物与环境6)环境（environment）：某一特定生物体或生物群体以外的空间，以及直接或间接影响该生物体或生物群体生存的一切事物的总和。
7)生境或栖息地（habitat):指特定生物体或群体所处的物理环境。
8)生态因子（ecological factor）：环境中对生物的生长、发育、生殖、行为和分布有直接或间接影响的环境要素。
9相互作用或交互作用（interaction):生物与生物之间的相互关系。
10)反作用（counteraction）：生物对环境的影响，一般称为反作用。
表现在生物的影响改变了环境因子的状况。
11)利比希最小因子定律（Liebig’s law of the minimum）:植物的生长取决于处于最小量状况的营养物质的量。
即：每一种植物都需要一定种类和数量的营养物，如果其中有一种营养物完全缺失，植物就不能生存。
如果该种营养物数量极微，就会对植物的生长产生不良影响。
12)限制因子（Limiting factor)：在众多的环境因素中，任何接近或超过某种生物的耐受性极限而阻止其生存、生长、繁殖或扩散的因素，叫限制因子。
第章主成分分析和因子分析习题答案
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详细答案：
SPSS输出的主成分分析结果如下表：
主成分的方差贡献率和累计方差贡献率
TotalVarianceExplained
Component
InitialEigenvalues
ExtractionSumsofSquaredLoadings
Total
%ofVariance
如果事先确定选择两个因子来代表习题中50名学生的六门课程成绩，试对该数据进行因子分析，得到的两个因子有没有合理的直观意义？
详细答案：
SPSS输出的因子分析结果如下表：
旋转后的因子载荷矩阵
RotatedComponentMatrix(a)
Component
1
2
数学
.821
物理
.895
化学
.737
语文
.893
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SAS统计之第十章-因子分析
正交旋转
正交旋转是一种比较简单的方法， 它将因子矩阵进行正交变换，使 得每个因子只与一个原始变量的 相关性较高，与其他变量的相关 性较低。
斜交旋转
斜交旋转是一种更复杂的方法， 它可以使得一个因子与多个原始 变量的相关性较高，但与其他变 量的相关性较低。
因子的解释
因子的解释
因子的解释是根据实际背景和专业知 识，对每个因子的含义进行解释。解 释时需要综合考虑原始变量的含义和 因子的相关性。
03
解释性。
实例分析
01
为了更好地理解PROC Factor过程，我们将通过一个实例来演示其应 用。
02
假设我们有一个包含多个变量的数据集，并且我们想要提取两个公因 子来解释这些变量之间的相关性。
03
我们将使用PROC Factor过程进行因子分析，并选择适当的选项来提 取两个公因子。
04
分析结果将包括因子载荷表、因子图和轮廓图等输出，以帮助我们理 解公因子和变量之间的关系。
04 因子分析的注意事项
因子分析的前提假设
因子分析的前提假设是数据应具有相关 性。在进行因子分析之前，需要检查变 量之间的相关性，以确保分析的有效性。
因子分析的前提假设是变量应具有共同因子。 共同因子是指多个变量之间存在的共同因素， 这些因素反映了变量之间的共同变化趋势。
因子分析的前提假设是变量应具有 可解释性。在进行因子分析之前， 需要对变量进行解释性分析，以确 定变量之间的潜在关系和共同因素。
因子命名
根据解释结果，可以对每个因子进行 命名，使其更加符合实际背景和专业 知识。命名时需要简洁明了，能够准 确地反映因子的含义。
03 因子分析的SAS实现
Байду номын сангаас
对应分析
第九章 对应分析§9.1 什么是对应分析及基本思想对应分析又称为相应分析，于1970年由法国统计学家J.P.Beozecri 提出来的。
它是在R 型和Q 型因子分析基础上发展起来的一种多元统计方法。
由前一章我们知道应用因子分析的方法，可以用较少的几个公共因子去提取研究对象的绝大部分信息，即可减少因子的数目，又把握住了研究对象之间的相互关系。
但是因子分析根据研究对象的不同又分为R 型因子分析和Q 型因子分析，即对指标（变量）作因子分析和对样品作因子分析是分开进行的，这样做往往会漏掉一些指标与样品之间有关的一些信息，另外在处理实际问题中，样品的个数远远地大于变量个数。
比如有100个样品，每个样品测10项指标，要作Q 型因子分析，就要计算（100×100）阶相似系数阵的特征根和特征向量，这对于一般小型计算机的容量和速度都是难以胜任的。
对应分析是将R 型因子分析与Q 型分子分析结合起来进行统计分析，它是从R 型因子分析出发，而直接获得Q 型因子分析的结果。
克服了由样品容量大，作Q 型分析所带来的计算上的困难。
另外根据R 型和Q 型分析的内在联系，可将指标（变量）和样品同时反映到相同坐标轴（因子轴）的一张图形上，便于对问题的分析。
比如在图形上邻近的一些样品则表示它们的关系密切归为一类，同样邻近的一些变量点则表示它们的关系密切归为一类，而且属地同一类型的样品点，可用邻近的变量点来表征。
因此，对应分析，概括起来可提供如下三方面的信息即指标之间的关系，样品之间的关系，以及指标与样品之间的关系。
基本思想：由于R 型因子分析和Q 型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，因此它们之间一定存在内在的联系。
对应分析就是通过一个过渡矩阵Z 将二者有机地结合起来，具体地说，首先给出变量点的协差阵Z Z A '=和样品点的协差阵Z Z B '=，由于Z Z '和Z Z '有相同的非零特征根记为),m i n(0,21n p m m ≤<≥≥≥λλλ ，如果A 的特征根i λ对应的特征向量为i U ，则B 的特征根i λ对应的特征向量就是i i V ZU ∆，根据这个结论（后面有证明）就可以很方便的借助R 型因子分析而得到Q 型因子分析的结果。
第九章 因子分析
(9-4)
可以证明，上式系数的平方和满足： 可以证明，上式系数的平方和满足：
4
2 aki = 1 (i = 1,2,L, m) ∑ k =1
m
在此条件下， 在此条件下，由原始变量经线性组合而得到的新 主因子或 变量f 叫做主因子 综合变量。 变量 i叫做主因子或综合变量。 组合成新变量有什么用途呢？ 组合成新变量有什么用途呢？ m个原始变量表示为 个主因子的线性组合， 个原始变量表示为p个主因子的线性组合 把m个原始变量表示为p个主因子的线性组合， 小于m， 当p小于 ，特别是 p=2时，可以在二维空间对变 小于 时 量作图，进而对变量的相关性及成因联系进行研 量作图， 究。
xi = ai1 f1 + ai 2 f2 +L+ aim fm (i = 1,2,L, m)
a11 a12 a 21 a22 其中 A = L L am1 am2 L L L L
(9-5)
a1m a 2m 因子载荷矩阵。 称因子载荷矩阵。 L amm
7
在进行综合地质研究时，如果用前 在进行综合地质研究时，如果用前p(p << m)个主 个主 因子就能解释原始数据80～ 以上的信息， 因子就能解释原始数据 ～90%以上的信息，那么 以上的信息 可改写为： 式(9-5)可改写为： 可改写为
那么可以证明前p个主因子载荷矩阵为 那么可以证明前 个主因子载荷矩阵为: 个主因子载荷矩阵为
A1 = [ a ij ] m× p = [u ij λ j ] m× p
相应的R型因子分析模型为： 型因子分析模型为：
xi = ai1 f1 + ai 2 f 2 + L+ aip f p + αi ei
因子分析与主成分分析
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基本原理
01
主成分分析
02
因子分析
03
本章小结
04
提 纲
主成分分析（Primary Component Analysis）主要是通过降维过程，将多个相关联的数值指标转化为少数几个互不相关的综合指标的统计方法，即用较少的指标来代替和综合反映原来较多的信息，这些综合后的指标就是原来多指标的主要成分。
进行分析，按一定标准确定提取的因子数目；
如果进行的是主成分分析，则将主成分存在的新变量用于继续分析，步骤到此结束；
如果进行的是因子分析，则考察因子的可解释性，并在必要时进行因子旋转，以寻求最佳解释方式；
如有必要，可计算出因子得分等中间指标供进一步分析使用。
因子分析
因子分析是多元统计分析的一个重要分支。其主要目的是运用对诸多变量的相关性研究，即可以用假设的少数几个变量来表示原来变量的主要信息，以便浓缩数据（Data Reduction）。
基本原理
因子分析（Factor Analysis）是主成分分析的推广和发展，也是利用降维方法进行统计分析的一种多元统计方法。因子分析研究相关矩阵或协方差的内部依赖关系，由于它将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，故得到了广泛的应用。
因子分析一般要求提取出的公因子有实际含义，如果分析中各因子难以找到合适的意义，则可以运用适当的旋转，以改变信息量在不同因子上的分析，最终方便对结果的解释。
因子分析
在理论分析和具体SPSS操作方面，因子分析过程需经过如下几个重要步骤。 因子提取。 因子旋转。 计算因子得分。
因子分析
依次单击菜单“分析→降维→因子分析”命令，打开 “因子分析”主对话框
医学统计学第3版课程设计
医学统计学第3版课程设计1. 课程概述本课程是医学统计学第3版课程设计，是为了帮助医学生掌握医学统计学的基本概念、方法和技能，以及其在临床、流行病学和健康科研中的应用。
该课程通过课堂讲授、案例分析和实践练习等方式，授予学生医学统计学的知识和技能，是医学生必修课程之一。
2. 课程目标•掌握医学统计学的基本知识和方法；•学会应用医学统计学进行数据分析和推断；•了解医学统计学在临床、流行病学和健康科研中的应用；•能够运用医学统计学方法分析和评估临床研究和公共卫生问题；•能够熟练运用SPSS等统计软件进行数据管理和分析。
3. 课程内容和教学方法3.1 课程内容本课程内容包括基本概念、计量方法、推断方法、回归分析、实验设计、临床试验、流行病学和生存分析等方面的内容。
具体包括以下章节：•第一章：绪论•第二章：描述性统计学•第三章：概率理论和分布•第四章：参数估计•第五章：假设检验•第六章：回归分析•第七章：方差分析•第八章：因子分析•第九章：生存分析•第十章：实验设计•第十一章：临床试验•第十二章：流行病学3.2 教学方法本课程采用面授讲解、案例分析和实践练习相结合的方式，教师将采用多媒体辅助教学和互动式教学方法，引导学生积极思考和参与，培养学生的分析思维和解决实际问题的能力。
具体教学方法包括：•面授讲解•小组案例分析•课堂讨论•实践练习•课程作业4. 评估方法本课程评估分为平时成绩和期末考试两部分。
平时成绩包括：•课堂出席率•作业完成情况•小组案例分析报告期末考试为闭卷考试，考试题型包括选择题、计算题和应用题。
5. 参考教材本课程参考教材为《医学统计学》第3版，作者为雷公达、叶志明、王立平。
此外，教师还会补充相关的学术论文和国际标准等资料。
6. 总结医学统计学是医学生必修课程之一，是医学生进行临床医学和公共卫生研究的重要工具。
本课程将通过多种教学方法，为学生提供全面的医学统计学知识和技能，为学生未来的学习和研究奠定坚实基础。
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第9章 因子分析及R使用
Ø了解因子分析的目的和实际意义
Ø熟悉因子分析建模的条件和因子的实际意义
Ø掌握因子载荷的推导步骤，以及性质
Ø能用R语言解决实际因子分析问题，给出分析报告
Ø因子分析模型的基本思想，与主成分分析的区别Ø因子分析的数学模型，假定，因子载荷估计方法Ø因子旋转和因子得分的实际意义和数学表达式ØR语言计算程序中有关因子分析的算法基础
Ø主成分分析通过线性组合将原变量综合成几个主成分Ø因子分析通过构筑若干意义较为明确的公因子
Ø主成分分析是“变异数”导向的方法，
Ø因子分析是“共变异数”导向的方法。
因子分析是主成分分析的推广
ü因子变量数远少于原变量数
ü因子变量是一种新的综合
ü因子变量之间没有相关关系
ü因子变量具有明确的解释性
ü减少分析变量个数；
ü通过对变量间关系探测，将原变量进行分类。
ü将相关性较高的分在同一类中，每一类代表了一个基本结构，即公因子。
ü用少数不可测的公共因子的线性函数来描述原观测的每一分量。
ü样品间的因子分析称为Q型因子分析，
ü变量间的因子分析称为R型因子分析。
R型因子模型
X = AF + ε
A = (a ij)为因子载荷阵，F为公因子，ε为特殊因子
【例9.1】水泥行业上市公司经营业绩因子模型实证分析
【例9.1】水泥行业上市公司经营业绩因子模型实证分析
极大似然估计因子估计方法
主因子估计
9.3.1 极大似然估计法
9.3.1 极大似然估计法
因子载荷loadings
是x i 与F j 的相关系数
表示x i 依赖F j 的程度
9.3.2 主因子估计法
9.3.2 主因子估计法
9.3.2 主因子估计法
9.3.3 因子载荷的意义
方差贡献
共同度
因子载荷a ij表示x i依赖F j的程度，
其值越大，依赖程度越大。
9.3.3 方差贡献及共同度
ü寻找每个主因子的实际意义
ü如果各主因子的典型代表变量不突出，就需要进行旋转ü使因子载荷矩阵中载荷的绝对值向0和1两个方向分化
9.3.2 主因子估计法
正交旋转斜交旋转Varimax（最大方差正交旋转法）Promax
因子旋转方法
如何进行旋转
求B 的载荷系数方差达到最大的θ即可获得正交矩阵Γ
回归估计法
Bartlett 估计法因子得分
计算方法
X =AF + ε
Var (ε)=σ2I Var (ε)=Ω
回归法因子得分
因子得分信息图
综合得分及排名
【例9.4】 (续例3.1、例7.2和例8.2) 对我国居民消费数据进行因子分析
因子分析的核心问题
一是如何构造因子变量二是如何解释因子变量
一、确认数据是否适合作因子分析
二、构造因子变量
三、旋转因子使其更具可解释性
四、计算因子得分并做因子图一般运用KMO 与Bartlett's 进行验证> 0.9非常适合0.8~0.9适合0.7~0.8一般0.6~0.7不太适合0.5~0.6不适合< 0.5极不适合
R语言因子分析过程
一、因子计算
（1）是否适合做因子分析：KMO
（2）计算因子分析的对象：factanal, msa.fa （3）按方差贡献定因子数：>80%
（4）获得因子载荷并解释：$loadings
（5）是否需进行因子旋转：'varimax'二、因子评价
（6）因子得分：$scores （7）因子信息图：biplot （8）综合得分：加权得分（9）得分排序：$ranks
1
问题的定义2因子分析的适应性3确定因子数目4
因子旋转5
因子解释6
因子得分7因子分析的意义
一个完整的因子分析过程应当包含如下方面：。