第五章傅里叶变换光学
物理光学教程 第五章 傅里叶光学
G( fξ , fη )
(5-66) 66)
ε ( fξ , fη )
G( fξ , fη )
ex { j Φε ( fξ , fη ) Φg ( fξ , fη ) } p
[
]
3. 相干传递函数与光瞳函数的关系
相干传递函数在空间频率坐标(f ξ,fη)的值 相干传递函数在空间频率坐标 (fξ,fη) 的值 , 与光瞳函数在空间坐标 (f 的值, (ξ=-λdf η=-λdfη)处的取值相等 处的取值相等. (ξ=-λdfξ,η=-λdfη)处的取值相等.
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5.1.1 薄透镜的位相变换因子
按照波动光学的观点,透镜的作用只不过是一个位相变换器, 按照波动光学的观点,透镜的作用只不过是一个位相变换器,它通过位相延迟 位相延迟的大小正比于透镜孔径内各点的光学厚度. 改变入射光波的波前 ,位相延迟的大小正比于透镜孔径内各点的光学厚度. 透镜的位相变换因子为: 透镜的位相变换因子为:
2. 线性系统与叠加积分
对于均匀各向同性媒质的近轴光学系统,在微扰原理成立的前提下, 对于均匀各向同性媒质的近轴光学系统,在微扰原理成立的前提下, 均可看做是线性系统. 均可看做是线性系统. 线性系统的最显著特征是,它对任意复杂函数的响应, 线性系统的最显著特征是,它对任意复杂函数的响应,能够表示为对 一系列"基元"函数响应的线性叠加. 一系列"基元"函数响应的线性叠加.系统对基元函数的输入输出性 质清楚了,它对任意复杂输入的响应特性也就清楚了, 质清楚了,它对任意复杂输入的响应特性也就清楚了,这是线性系统 分析的基本方法. 分析的基本方法. 对于光学系统,无论是相干光系统还是非相干光系统, 对于光学系统,无论是相干光系统还是非相干光系统,也不论系统是 否用于成像的目的, 否用于成像的目的,最直接的方法是将输入面上的光场分布分解为一 系列点光源的线性叠加. 系列点光源的线性叠加.
傅里叶变换光学简介
余弦光栅的衍射特征：
平面波正入射， 其入射波前为：
(x,y)
F
+1
~ U1 ( x, y ) = A1
经过余弦光栅后的透射波前为：
θ+1 θ-1
0 -1
（x, y ) = ( x, y )U （ U t A1 [t0 t1 cos(2π fx + φ0 ) ] 2 1 x, y ) =+ ei ( 2π fx +φ0 ) + e − i (2π fx +φ0 ) = A1 t0 + t1 2 1 1 i (2π fx +φ0 ) = + A1t1e − i (2π fx +φ0 ) A1t0 + A1t1e 2 2 + = + U U U +1 −1 0
振幅模函数 辐角函数
（1）若ϕ (x,y) ≈常数，只有函数t(x,y)，则该衍射屏 称为振幅型。 （2）若t(x,y) ≈常数，只有函数ϕ (x,y) ，则该衍射屏 称为相位型。 （3）若有两个函数ϕ (x,y) 和t(x,y)，则该衍射屏称为 相幅型。
6
两个衍射屏相叠
(x,y) t1t2 (x’,y’)
由于衍射屏函数的作用，改变了波前， 从而改变了后场的分布，于是发生了衍射。
8
几种光学元件的衍射屏函数 （1）透镜的相位变换函数（在傍轴条件下）
把平行光变成了汇聚球面光
透镜作用 A = U →= U A2 e 1 1 2
U1 U2
x2 + y 2 − ik 2f
f
，
x2 + y 2 − ik 2f
⇒ 成像公式： = s'
傅里叶光学课件 05_06傅里叶变换全息
x+
yo − yr
λ zo
y
⎤ ⎥
⎫⎪ ⎬
⎦ ⎭⎪
5.6.10
可见，基元全息图是正余弦条纹图样，条纹的空间频率为：
u = xo − xr , v = yo − yr
λ zo
λ zo
5.6.11
不同的物点(xo, yo)在全息图上所产生条纹的空间频率不 同，或者说全息图上的空间频率与物点之间具有一一对应的 关系。这一点与FT全息图的特征类似。
=
ro
2
+
G
2
⎡ + ro exp ⎢−
⎣
jk
x2 + y2 2f
⎤ ⎥
exp [ −
⎦
j2π
bv
]iexp
⎡ ⎢
⎣
jk
x2 + y2 2f
⎤ ⎥ G(u, v) ⎦
+ ro
exp
⎡ ⎢ ⎣
jk
x2 + 2f
y2
⎤ ⎥
exp
[
⎦
j2π bv]iexp
⎡ ⎢− ⎣
jk
x2 + 2f
y2
⎤ ⎥
G∗
(
u,
−∞ −∞
u = x ,v = y ,
5.6.1
λf λf
其中：(xo,yo)是物面的空间坐标， f 是透镜焦距，(u,v)是空间 频率坐标，(x,y)是记录面（频谱面）的空间坐标。
¾参考光波由位于物面上(0,-b)的点源产生。空域表示为：
r( xo , yo ) = roδ (0, yo + b)
y1
分布的共轭。沿y轴方向的宽度Wy 。
第三、四项都是实像，关于原点对称分布.
傅里叶变换光学
傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其 它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
光学傅里叶变换原理
光学傅里叶变换原理傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数（ 或信号）从时间 或空间）域转换到频率域。
在光学中，傅里叶变换也具有重要的应用，尤其是在描述光波传播、光学系统和图像处理等方面。
傅里叶变换原理涉及到以下重要概念和原则：1.（傅里叶级数：傅里叶级数指的是将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
它表明任何周期性函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
2.（连续傅里叶变换 Continuous（Fourier（Transform）：对于连续信号，傅里叶变换将信号从时域转换到频域。
它描述了信号在频率空间中的频谱特性，展示了信号由哪些频率分量组成。
3.（离散傅里叶变换 Discrete（Fourier（Transform）：对于离散数据集合，比如数字图像或采样信号，离散傅里叶变换用于将这些离散数据从时域转换到频域。
它在数字信号处理和图像处理中得到广泛应用，用于分析和处理频率特性。
4.（光学中的应用：在光学中，傅里叶变换可以描述光的传播和衍射现象。
例如，傅里叶光学理论表明，光学系统（如透镜、光栅等）可以看作是对光波进行空间域的傅里叶变换。
这种理论有助于理解光的传播特性，并在光学系统设计和成像技术中发挥重要作用。
5.（变换原理：傅里叶变换原理表明，任何一个信号都可以通过傅里叶变换分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。
这种变换可以帮助我们理解信号的频率成分，并对信号进行处理、滤波或合成。
总的来说，傅里叶变换原理提供了一种从时域到频域的转换方法，在光学中，它被广泛应用于光波传播、光学系统设计和图像处理等领域，为我们理解和处理光学现象提供了重要的工具。
第5章广义傅里叶变换及其光学实现
第5章广义傅里叶变换及其光学实现广义傅里叶变换（Generalized Fourier Transform）是一种在信号处理和光学领域中广泛使用的数学工具，它能够将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），或者反之。
广义傅里叶变换不仅可以用于分析信号的频谱特性，还可以用于信号的滤波、去噪、编码等方面。
广义傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的推广。
在傅里叶级数中，我们将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和，其中每个正弦和余弦函数的频率是信号频谱中的一个成分。
而在广义傅里叶变换中，我们可以处理非周期信号，将其转换为连续的频谱函数。
广义傅里叶变换的公式如下：\begin{gather*}F(k) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot e^{-2\pi j k x}dx \\f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} F(k) \cdot e^{2\pi j k x} dk \end{gather*}其中，$f(x)$是信号在时域中的函数，$F(k)$是信号在频域中的函数，$j$是虚数单位。
广义傅里叶变换通过对信号在时域和频域中的函数进行积分，将信号在两个域之间进行转换。
广义傅里叶变换在光学实现中也有广泛应用。
例如，光的干涉实验中，我们可以将光通过一个透镜汇聚到光阑上，并在光阑上形成一个干涉图样。
通过对这个干涉图样进行广义傅里叶变换可以得到光的频谱特性，进而分析光的波长、频率等参数。
另外，广义傅里叶变换还可以用于光信号的编码和解码，例如光通信领域中的光码分复用技术（Optical Code Division Multiple Access，OCDMA）。
广义傅里叶变换的光学实现通常采用光学透镜、空间光调制器等光学元件。
通过光学透镜，我们可以将光信号汇聚到光阑上，在光阑上形成干涉图样；而空间光调制器可以用于调制干涉图样中的光场，实现对干涉信号的频域处理。
傅里叶光学第五章总结
第五章 光学成像系统的频率特性传统的光学系统像质评价方法是星点法和分辨率法。
光学成像系统是信息传递的系统。
输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性。
成像系统的一般分析成像系统的普遍模型：分为三部分：从物面到入瞳的第一部分、从入瞳到出瞳的第二部分、从出瞳到像面的第三部分。
第一、三部分可以看作菲涅耳衍射过程，第二部分看作“黑箱”，确定其边端性质即可。
根据透镜组的边端性质不同，可分为衍射受限系统和有像差系统。
衍射受限系统：（不考虑像差，仅考虑光瞳产生的衍射限制）其边端性质为物面上发出的发散球面波投射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波。
有像差系统：物面上发出的发散球面波投射到入瞳上，通过透镜组后，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。
阿贝成像理论：两次衍射过程，由于光瞳的限制，物体的高频分量总被阻止，使像产生失真。
○1物平面到频谱面（焦平面）：傅里叶变换○2频谱面到像面：傅里叶逆变换（傅里叶变换+坐标反转）衍射受限的相干成像系统的频率响应相干传递函数CTF ：H c 空间不变的复振幅脉冲响应的傅里叶变换。
衍射受限的非相干成像系统的频率响应光学传递函数OTF ：),(y x f f H 归一化的光强脉冲响应的傅里叶变换调制传递函数MTF ：m(f x ,f y ) 描述系统对各频率分量对比度的传递特性相位传递函数PTF ：Φ(f x ,f y )描述系统对各频率分量施加的相移。
()()()y x y x y x f f j f f m f f ,ex p ,),(Φ=H光曈总面积重叠面积=),(y x f f H H 的几何解释为两个错开光瞳函数相互重叠面积占光瞳总面积的比例。
像差对成像系统传递函数的影响广义光瞳函数()()(),exp ,,P jkW P ξηξηξη=⎡⎤⎣⎦%像差对CTF 的影响：通频带内引入位相畸变，使像质变坏。
像差对OTF 的影响：使各空间频率余弦分量的调制度进一步下降，各频率分量有相对相移，使成像质量下降。
高二物理竞赛傅里叶变换光学课件
第这1、二样阿步 ，贝是在成各输像衍出理射平论班面（作上1为得87新到3年的两）次个波函源数发乘出积球的面傅次里波叶，变在换o像，(面或x1上两,y互个1相函)e叠数x加乘p，积{i形的成傅f物里(体叶x1的逆2 像变。换y（12 )在}采e用xp的{反演i 坐2标f 系(x下1）x，1 输y出1平y面1)光}d场x的1d复y振1幅分布为
费衍射，在透镜后焦面P2上形成一系列衍射斑；
从频域来看，通过乘法运算，系统改变了输入信息的空间频谱结构，这就是空间滤波或频域综合的含义；
根④成据方，系 向 因统滤此的波它光器的学，频参它谱数阻分，挡布得〔在知或X、所允Y成许轴的〕的的像特附严放定近考大方格。率向虑为上推的-到1导。频透谱是分镜量：通孔过，径可影以突响出某，些4方f向系性特统征成，检像查集过成程电路中掩膜，时透，因镜为集的成电傅路里的图叶形都变是换由一些规则的、互相垂直的矩型线段组
2
y1y
2 )}dx1dy 1
不怕路远，就怕志短。 无所求则无所获。
cFF {P(x ,y1)}F {o(x1,y1)}
志之所向，金石为开，谁能御之? 才自清明志自高。
cP
(x
2
,y
2
)O(
x2 f
,y2 f
) cP(ffx
, ffy
)O(fx
,fy
)
光
学
第五章 变换光学与全息照相
1、4f 系统 物理意义：
儿童有无抱负，这无关紧要，可成年人则不可胸无大志。
f
[(x1
x 2 )2
(y1 y 2 )2)}
dudv
虽长不满七尺，而心雄万丈。
c F 男子千年志，吾生未有涯。
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会聚 exp[ik x2 y2 ] 2z
5.1.3 相因子分析法
近轴条件下典型光波场在平面波前(x,y)上的相因子
轴上物点球面波(续)
(1 x) 1 x, (x 0) 2
x
r
(x, y)
z
Oz y
r
z2 2 z
1
2
z2
z(1
1 2
2
z2
)
x2 y2
exp[ikr] exp[ikz]exp[ik
（1）若已知衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而完全确定接收场。
（2）但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，多数情况下解析 的完全确定屏函数几乎是不可能的。
（3）因此，只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。
（4）如果知道了屏函数的相位，则能通过研究波的相位改变来确定波场 的变化。这种方法称为相因子判断法。
场或者波面产生改变的因素，它们的作用都可以应用变换的方法处理。
5.1.1 傅里叶变换光学概述
傅里叶变换光学与经典波动光学的关系（衍射）
傅里叶变换光学
傅里叶光谱仪
空间滤波与信 息处理
像质评价与传 递函数
光栅光谱仪
晶体衍射
阿贝成像 原理
点扩展 函像
衍射波前 再现
衍射应用
x
(x, y)
yOz
z
近轴条件 r0 z
r (x x0 )2 ( y y0 )2 z2
z2 x02 y02 x2 y2 2(xx0 yy0 )
r0
1 x2 y2 2(xx0 yy0 )
r02
r02
r0(1
x2 y2 2r02
xx0 yy0 r02
)
r0
x2 y2 2z
xx0
z
yy0
exp[ikr]
exp[ikr0]
exp[ik
(
x
2
2z
屏函数及其作用
衍射屏的作用是使入射场转换为透射场（或反射场） 。用函数表 示，就是衍射屏的透过率或反射率函数，统称屏函数。
衍射屏函数
~t (
x,
y)
UU~~12
(x, (x,
y) y)
~t (x, y) t(x, y) exp[it (x, y)]
衍射屏(x, y) 照明空间
衍射空间
接收屏(x, y)
实现途径
物理器件、物理效应、和物理装置。
用变换的观点看成像和光谱
• 光的衍射和干涉最基本的方法: 光的相干叠加。 • 另外一个角度: 入射波场，遇到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布，相
当于“波前(函数)重构”。衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射场。 • 可以从障碍物对波场的（数学）变换作用，来分析衍射。 • 从更广义的角度，不仅仅是相干波场的障碍物，非相干系统中的一切使波
（5）分析条件：一般在傍轴近似下进行判断。
（6）出发点：平面波与球面波的波动方程的表达形式。
（7）认为透镜和棱镜对光的吸收处处相等或无吸收，可忽略振幅的变化， 认为是相位型衍射屏。
相因子分析法，简单的说，就是根据波前函数的相因子来判断 波场的特性，分析衍射场的主要特征。
5.1.3 相因子分析法
近轴条件下典型光波场在平面波前(x,y)上的相因子
菲涅耳衍射
夫琅禾费衍射
光波衍射 惠更斯—菲涅耳原理
摘自钟锡华《光波衍射与变换光 学》，高等教育出版社，1985
5.1.2 衍射系统及其屏函数
衍射屏、照明空间和场
前场：照明空间 后场：衍射空间
衍射屏
能使波前的复振幅（波前函数）
发生改变的物，统称为衍射屏。
照明空间 衍射屏将波的空间分为前场和
U1(x, y)
第五章 傅里叶变换光学
第一节 衍射系统的屏函数和相因子判断法
5.1 衍射系统的屏函数和相因子判断法
5.1.1 傅里叶变换光学概述 5.1.2 衍射系统及其屏函数 5.1.3 相因子分析法 5.1.4 相位衍射元件的位相变换函数及分析
5.1.1 傅里叶变换光学概述
现代光学的三件大事
• 全息术—1948年 • 像质评价的传递函数—1955年 • 激光器—1960年
x 平面波 exp[ik(sin1x sin2 y)]
2
1
(x, y)
k
z
特殊情况1—传播方向平行于X-Z平面(θ2=0)
exp(ik sin1x)
y
特殊情况2—传播方向平行于X-Z平面(θ1=θ2=0)
1
(x, y) 轴上物点球面波
z 发散 exp[ik x2 y2 ] 2z
(x, y)
z z
Joseph Fourier （1768-1830）
法国科学家 研究领域：数学、物
理、历史
傅里叶变换光学的基本思想
引入变换的概念，将数学上周期信号的傅里叶级数展开应用于光学， 对应于将复杂的图像分解为一系列单频信息的合成。
主要内容
（1）光场的空间频谱—时间频谱的变换（傅里叶光谱仪） （2）成像系统中存在的变换关系—物像关系（光学空间滤波、 光学信息处理、光学传递函数、波前再现和全息术）
]
2z
（1）若取z＝0处相位为0，即以原点为相位零点， 则xoy平面上点（x，y）的相位因子为
(x, y)
x2 y2
exp[ik
]
2z
Q
z
oz
（2）以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相
位因子为
exp[ikz ik x2 y2 ] 2z
5.1.3 相因子分析法
近轴条件下典型光波场在平面波前(x,y)上的相因子
轴外物点球面波
(x0, y0 ) z
(x, y) z
发散球面波
x2 exp[ik (
y2
xx0
yy0
)]
2z
z
(x, y)
会聚球面波
exp[ik( x2 y2 xx0 yy0 )]
2z
z
5.1.3 相因子分析法
近轴条件下典型光波场在平面波前(x,y)上的相因子
轴外物点波面相因子的计算
(x0, y0 ) r r0
z
屏函数的模。
屏函数的幅角，即相位。
U1(x, y) U2 (x, y) 入射场 衍射场
U (x, y) 接收场
模为常数的衍射屏称为相位型的 ，如透镜、棱镜等。 幅角为常数的衍射屏称为振幅型的 ，如单缝、圆孔等。
思考：黑白光栅和正弦光栅是什么类型的衍射屏？二者有何区别?
5.1.3 相因子分析法
相因子分析法的基本思路
U2(x, y) U (x, y)
衍射屏
后场两部分。前场为照明空间， 后场为衍射空间。
入射场、透射场与接收场
照明光波前—入射场 衍射光波前—透射场或反射场 接收场
波在衍射屏的前后表面处的复振幅或波前函数分别称为入射
场、透射场（或反射场），接收屏上的复振幅为接收场。
衍射系统贯穿波前变换
5.1.2 衍射系统及其屏函数