信息光学中的傅里叶变换
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信息光学之透镜的傅里叶变换特性
r0 l
1
2
1 2
e jar02
e jar02 2
c irc
r0 l
1
2
1 4
exp[
ja(x2
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y2
) ]c irc
x2 y2 l
#
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
t(
x,
y)
1 2
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]
1 4
exp[
0 R1 1
1
(
x
2
y R12
2
)
R2
1
1
(
x
2
R22
y
2
)
取近轴近似, x,y足够小, (1-)1/21-/2 成立
透镜的厚度函数
(x,
y)
0
x2
2
y2
1 R1
1 R2
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
tl (x, y) exp[ jkL(x, y)] exp( jk0 ) exp[ jk (n 1)(x, y)]
∴透镜的复振幅透过率:
tl
(x,
y)
Ul '(x, y) Ul (x, y)
exp[
j (x,
y)]
exp[
jk L( x,
y)]
#
§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n(x,y)+[0-(x,y)]=0 + (n-1)(x,y)
适合于任意形状的薄位相物体
傅里叶变换光学
傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其 它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
信息光学傅里叶变换的基本性质和有关定理
1.7.3复振幅分布的空间频谱
任意的平面波可以用空间频率表示
(x, y)面上的平面波具有如下形式
在相干光照明下g(x,y)是xy面上复振幅分布
指数基元
表示传播方向余弦（cosα＝λξ，cosβ＝λη）
的单位振幅的单色平面波。而g(x,y)可看成无数基元函数代表的平 面波叠加。
空间频谱可用方向余弦表示
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
a (P)和φ(P)是P点的振幅和初相位。
通常用指数函数表示一点的光振动
优点：可以将与位置有关的φ(P)和与时间有关的2πνt分开。 定义复振幅 为单色波场P点的复振幅。它与时间无关，仅是空间的函数。 即描述了光振动的空间分布。而时间因子exp(2πνt）对各点均相 同，可省略。
3. 4.实函数
即
由于输入余弦函数的频率是任意的，上式可写为
说明在线性不变系统中，在有实值脉冲的响应情况下，余弦函 数将产生同频率的余弦输出。但有衰减和相移。其改变程度由传递 函数的模和辐角决定。
1.7 二维光场分析
光波的数学描述。 1.7.1. 单色光波场的复振幅表示 单色光波场中某点P在时刻t的振动为
1.5.2
傅里叶变换的基本定理
1. 卷积定理 如果 则
பைடு நூலகம்
2.相关定理 （1）互相关定理 如果 则 ☆ ,
称F*(ξ,η)G(ξ,η)为函数f(x,y)和g(x,y)的互谱能量密度（互谱密度）
（2）自相关定理 设 则 ☆
（3)巴塞伐定理 设 且积分
存在,则 表示能量守恒。
1.4.4.广义巴塞伐定理 设
称ξ为沿x方向的空间频率。 y方向的周期为无穷。
同样对y方向，当cosβ≠0也可得到 ，空间频率 在z方向 空间频率
信息光学中的傅里叶变换
f exp j2 ( fx0 x f y0y) f (x, y)
f
F( fx, fy)
f
exp j2 ( f x x0 f y y0 ) F ( f x , f y )
f
F( fx, fy)
F( fx fx0, fy fy0)
f
5、对称性质
F f *( x, y) F*(- fx, fy ) F f *( x, y) F*( fx, fy )
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
1、线性性质
设 F f ( x , y ) F ( fx , f y ) F g( x, y ) G( fx , f y )
a,b为常数，则
F af ( x , y ) bg( x , y ) aF( fx , f y ) bG( fx , f y )
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
8、相关的傅里叶变换
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
f
F( fx, fy)
f
exp j2 ( f x x0 f y y0 ) F ( f x , f y )
f
F( fx, fy)
F( fx fx0, fy fy0)
f
5、对称性质
F f *( x, y) F*(- fx, fy ) F f *( x, y) F*( fx, fy )
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理
空域←→频域
傅里叶分析
➢离散周期信号 ➢连续周期信号 ➢离散非周期信号 ➢连续非周期信号
1、线性性质
设 F f ( x , y ) F ( fx , f y ) F g( x, y ) G( fx , f y )
a,b为常数，则
F af ( x , y ) bg( x , y ) aF( fx , f y ) bG( fx , f y )
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
8、相关的傅里叶变换
所以1的傅里叶变换是函数。
问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质
U0 (x0,y0,0-) x0 U0 (x0,y0,0+)
实现位相变换:
y0 t(x0,y0)
U0 (x0,y0,0+)= U0 (x0,y0,0-) t(x0,y0)
Ul '(x',
y')
Ul (x',
y') exp
jk
x'2 y'2 2f
透镜光瞳函数：P(
x',
y')
1 0
透镜孔径内 其它
2
)
P2面是会聚球面波分布:
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
(x2
y
2
)
略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率 或相位变换因子为：
t(x,
y)
Ul(x, Ul (x,
y) y)
exp
j
k 2
(x2
y2 )
11 1 qp f
f 为透镜的像方焦距。
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]circ
x2 y2 l
设a>0, 分别考察圆括号中的三项:
exp[
ja(x2
y2)]
exp
jk
x2
y2
2
k 2a
exp[ ja(x2 y2 )] exp jk
x2 y2
2
k 2a
代表正透镜
焦距f = k/2a = p/al
解:
t(x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质
r circ l
x2 y2 1 1 1 2 2 2 2 exp[ ja ( x y )] exp[ ja ( x y )] circ 4 l 2 4
2 2 x y 1 1 1 t ( x, y) exp[ ja( x 2 y 2 )] exp[ ja( x 2 y 2 )]circ 4 l 2 4
利用物像共轭关系1/p + 1/q = 1/f，将位相因子进一步化简;
先不考虑透镜有限孔径的影响，对∑p积分可扩展到无穷； 利用概率积分公式
e
ax2
dx
p
a
完成积分
结果
输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场分布的一般公式:
( f d 0 )(x y ) U ( x, y ) c exp jk t ( x0 , y0 ) 2[q( f d 0 ) fd 0 ] f ( x0 x y0 y ) exp jk dx0 dy0 q( f d 0 ) fd 0
U0 (x0,y0,0-)
x0 U (x ,y ,0+) 0 0 0
实现位相变换:
x '2 y '2 U l ' ( x' , y ' ) U l ( x' , y ' ) exp jk 2 f
1 P( x' , y ' ) 透镜光瞳函数： 0 透镜孔径内 其它
从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：
A U ( x , y ) 0 jld 0 0
2 2 x0 y0 ( x x0 ) 2 ( y ' y 0 ) 2 t ( x0 , y 0 ) exp[ jk ] exp[ jk ]dx0 dy0 2( p d 0 ) 2d 0
信息光学课件 信息光学理论1B-德尔塔函数与傅里叶变换
思考题
• 傅里叶光学的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 空间频率与空间频谱
13
思考题
• 傅里叶光学的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 空间频率与空间频谱
20
• 傅里叶光学的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 空间频率与空间频谱
13
思考题
• 傅里叶光学的基本思想 • 通讯系统与光学系统的联系 • 傅里叶光学与经典光学的比较 • 光学中常用的几种函数及其光学上的意义 • δ函数及其主要性质 • Comb函数与抽样 • 傅里叶变换的数学和物理意义 • 空间频率与空间频谱
20
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1
( f x , f y ) e
dxdy
2. 傅里叶变换的基本性质和有关定理
1、线性性质 设
F
f ( x , y ) F ( f x , f y )
F
g( x , y ) G( f x , f y )
a,b为常数，则
F
) bG( f x , f y ) af ( x , y ) bg( x , y ) aF( f x , f y
则有
m n f ( x, y) m n F m n (j2 f ) (j2 f ) F( fx , f y ) x y x y
m n F ( x, y ) m n F ( j 2x) ( j 2y) f ( x, y) m f x n f y
m n F ( f x , f y ) m n exp j 2 ( f x x f y y) df x df y x y
F ( f x , f y )( j 2f x ) m ( j 2f y ) n exp j 2 ( f x x f y y) df x df y
2
2
F ( fx, f y )
称为信号f(x,y)的能谱密度
9、帕斯瓦尔（能量）定理
f ( x, y)g (x,y)dx dy F ( f
f ( x, y ) dx dy
2
F ( f x , f y ) dfx df y
, f ) G ( f x , f y )dfx df y x y
m n f ( x, y) m n F m n (j2 f ) (j2 f ) F( fx , f y ) x y x y
F -1 F ( f x , f y )( j 2f x )m ( j 2f y )n
F( fx , f y )
即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变 换的相应组合。
2、二重傅里叶变换性质
F
F f ( x , y )
f ( x , y )
对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折 3、缩放性质
F
f ( x, y) F ( f x , f y )
fx f y 1 F f (ax, by) F( , ) ab a b
（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即
f ( x , y ) dxdy
（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部 连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。 （3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。
上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。
f ( x, y )
F( fx , f y )
f
f ( x x0 , y y0 )
f
exp j 2 ( f x x0 f y y0 )F ( f x , f y )
f
exp j 2 ( f x0 x f y 0 y) f ( x, y)
f
F( fx , f y )
F ( f x f x0 , f y f y 0 )
谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进
了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光 学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。
信号频域分布特性的分析与处理 系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理 空域←→频域 傅里叶分析
离散周期信号 连续周期信号 离散非周期信号 连续非周期信号
信息光学中的傅里叶变换
表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux
1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代
光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用 线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成
像等问题。
它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频
这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存
在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。 但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用 理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函 数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例 如阶跃函数， 函数等就不满足存在条件。 因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图 形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。
f
f
5、对称性质
* F (- f x , f y ) F f ( x, y )
*
F
f
*
( x, y) F ( f x , f y )
*
若f(x,y)为实函数，显然有
F ( f x , f y ) F (- f x , f y )
*
称
F ( f x , f y ) 具有厄米对称性
若f(x,y)为虚函数，显然有
F ( f x , f y ) F * (- f x , f y )
称
F ( f x , f y ) 具有反厄米对称性
6、卷积的傅里叶变换
F
f ( x , y ) F ( f x , f y ) F g( x , y ) G( f x , f y ) F f ( x , y ) g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
在此定义中， 变换 F ( f x , f y )本身也是两个自变量 f x和f y 的函数。 F(fx , fy )称为f(x, y)的傅里叶谱或空间 频谱,fx , fy分别称
为X和Y方向的空间频 率.
F( fx , f y ) 用模和幅角表示如下
F ( f x , f y ) F ( f x , f y ) exp j ( f x , f y )
8、相关的傅里叶变换 （1）互相关定理
F
f ( x , y ) ★g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
互谱能量密度
F ( f x , f y ) G( f x , f y )
（2）自相关定理
F
f ( x , y ) ★f ( x , y ) F ( f x , f y )
j
m
f ( x, y) exp j 2 ( f
x
x f y y) dxdy
m n ( ) ( ) f ( x, y ) exp j 2 ( f x x f y y ) dxdy m n 2 2 f x f y
7、乘积的傅里叶变换
F
f ( x , y ) F ( f x , f y ) F g( x , y ) G( f x , f y ) F f ( x , y )g( x , y ) F ( f x , f y ) G( f x , f y )
说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重 要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用 卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而 且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相 乘，再对乘积作逆变换。
sin f x a sin f x a a a sin c( f x a) f x af x
F {rect(y)} a sin c( f y f ( x , y ) } lim sin c(afx ) sin c(afy ) ( f x , f y ) a
证明： f ( x, y) F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y
m n f ( x, y ) m x n y
m n m n F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y x y
1. 二维傅里叶变换
1、二维傅里叶变换的定义 含有两个变量x,y的函数 f (x,y)，其二维傅里叶变换定义为
F( fx , f y )
f ( x, y) exp j 2 ( f
x
x f y y) dxdy
F( fx , f y ) F { f ( x, y ) }
所以1的傅里叶变换是函数。 问题： 函数的逆傅里叶变换等于1吗？ 请同学业们动手推导
F -1 ( f x )
( f x )e j 2f x x df x
物理图像
0 ( f ) e x df x
( f x ) df x
j 2 ( f x x f y y )
2
在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表
明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能
量的总和是相等的。
10、积分性质(一维情况)
F f ( x) F ( f x ) F
x
1 1 F ( f x ) F (0) ( f x ) f ( )d j 2f x 2
F( fx, fy )
振幅谱 相位谱
2
( fx , f y )
F( fx, f y )
功率谱
类似地，函数f (x,y)也可以用其频谱函数表示，即：
f ( x, y) F ( f x , f y ) exp j 2 ( f x x f y y) df x df y =