光学第六章 - 傅里叶变换光学简介
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第6章 傅里叶光学基础 (1)
= α F {g} + β F {h} ，即两个（或多个）函数之加权和 A． 线性定理。 F {α g + β h}
的傅里叶变换就是各自的傅里叶变换的加权和。 B．相似性定理。若 F{g ( x, y )} = G ( f X , fY ) ，则 F{g (ax, by )} = 1 f X fY , G ab a b (6-7)
5
对非周期函数也可以作傅里叶分析，只是其频率取值不再是离散的，而是连 续的。 （1） 二维傅里叶变换 非 周 期 函 数 g ( x, y ) 在 整 个 无 限 xy 平 面 上 满 足 狄 里 赫 利 条 件 ， 而 且
∫∫
∞
−∞
g ( x, y ) dxdy 存在，则有
= g ( x, y ) 其中
6
即空域 ( x, y ) 中坐标的“伸展” ，导致频域 ( f X , fY ) 中坐标的压缩，加上频域的 总体幅度的一个变化。 C．相移定理。若 F{g ( x, y )} = G ( f X , fY ) ，则 F {g ( x − = a, y − b)} G ( f X , fY ) exp[ − j 2π ( f X a + fY b)] 即原函数在空域的平移，将使其频谱在频域产生线性相移。 D． 帕塞瓦尔定理。若 F{g ( x, y )} = G ( f X , fY ) ，则 (6-8)
−bn an
图 6-1 画出了锯齿波及它的振幅频谱图形。由图看出，周期函数的频谱具有 分立的结构。
f ( x)
cn
O
x
(a )
O
f1 f 2 f 3 f 4 (b)
fn
图 6-1 锯齿波及其频谱 将一个系统的输入函数 g ( x) 展开成傅里叶级数，在频率域中分析各谐波的 变化，最后综合出系统的输出函数，这种处理方法称作频谱分析方法。频谱分析 方法在光学中的应用， 为认识复杂的光学现象及进行光信息处理提供了全新的思 路和手段。 6.1.4 傅里叶变换
傅里叶变换—_光学元件的变换
x2 + y2 x2 + y2 = exp[- jk ] ⋅ A exp[- jk ] 2f 2s x2 + y 2 = A exp[- jk ] 2s'
1 1 1 = − s' f s
30/88
第六章 光学元件的变换特性 序 一 二 三 四 五 六 棱镜与柱面镜的变换特性 透镜的变换特性 相因子与变换 透镜的傅里叶变换特性 高斯光束经透镜的变换 光学计算机
二、透镜的变换特性
k 2 2 t L ( x, y ) = exp [ jkn∆ 0 ] exp − j ( x + y ) 2f
常数位相因子 与坐标位置（ ） 与坐标位置（x,y）无关 研究具体问题可以略去 光波经过透镜后发生位相变换 附加了一个与坐标有关的二次 位相因子
k 2 2 t L ( x, y ) = exp − j ( x + y ) 2f
24/88
二、透镜的变换特性
讨论 这个结果表明，光振动通过薄透镜后，各点都发 生位相延迟 会聚透镜， 中心点位相延迟最多
kn∆ 0
k 偏离中心，位相延迟逐渐减少 (x2 + y2 ) 2f
25/88
二、透镜的变换特性
发散透镜 透镜中心，位相延迟最小 偏离中心，位相延迟增大
kn∆ 0
k 2 2 − (x + y ) 2f
U 1 ( x, y ) = A1 ( x, y) exp[ jϕ1 ( x, y )]
U 2 ( x, y ) = A2 ( x, y ) exp[ jϕ 2 ( x, y )]
18/88
二、透镜的变换特性
于是透镜的屏函数表现为
U2 A2 t ( x, y ) = = exp[ j (ϕ 2 − ϕ 1 )] U1 A1
1 1 1 = − s' f s
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第六章 光学元件的变换特性 序 一 二 三 四 五 六 棱镜与柱面镜的变换特性 透镜的变换特性 相因子与变换 透镜的傅里叶变换特性 高斯光束经透镜的变换 光学计算机
二、透镜的变换特性
k 2 2 t L ( x, y ) = exp [ jkn∆ 0 ] exp − j ( x + y ) 2f
常数位相因子 与坐标位置（ ） 与坐标位置（x,y）无关 研究具体问题可以略去 光波经过透镜后发生位相变换 附加了一个与坐标有关的二次 位相因子
k 2 2 t L ( x, y ) = exp − j ( x + y ) 2f
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二、透镜的变换特性
讨论 这个结果表明，光振动通过薄透镜后，各点都发 生位相延迟 会聚透镜， 中心点位相延迟最多
kn∆ 0
k 偏离中心，位相延迟逐渐减少 (x2 + y2 ) 2f
25/88
二、透镜的变换特性
发散透镜 透镜中心，位相延迟最小 偏离中心，位相延迟增大
kn∆ 0
k 2 2 − (x + y ) 2f
U 1 ( x, y ) = A1 ( x, y) exp[ jϕ1 ( x, y )]
U 2 ( x, y ) = A2 ( x, y ) exp[ jϕ 2 ( x, y )]
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二、透镜的变换特性
于是透镜的屏函数表现为
U2 A2 t ( x, y ) = = exp[ j (ϕ 2 − ϕ 1 )] U1 A1
光学第六章 - 傅里叶变换光学简介
(x , y )
F
+1
+1 -1
0 -1
衍射方向：
0级为正出射的平面波，衍射角为0 ；
空间频率越高， 衍射角就越大
代表向上斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 + f 1 1 代表向下斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 f 1 1
At U 0 1 0 1 A t ei (2 fx 0 ) U 1 11 2 2 i ( f ) x i0 1 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2 1 1 i (2 fx 0 ) U 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2
A1e
发散球面波
2 ( n 1) s ik
x2 y 2 ik ik ( n 1) x 2s
2s
e
2 x ( n 1) s y 2 ik
2s
发散中心，即像点的位置为：((n-1)s, 0, -s)
（3）窗函数
光学元件孔径有限 窗函数(window function) tw
变换相因子
（1）透镜（在傍轴条件下，忽略吸收）
L ( x, y ) e t
x2 y 2 ik 2f
二次相因子
（2）棱镜（小角）
（1x +2 y ) P ( x, y) eik (n1) t
线性相因子
试运用相因子分析法 分析 余弦型环状波带片的衍射场
4、 余弦光栅的衍射场 余弦光栅的制备：
x2 y 2 ik 2f
A1e
x2 y 2 ik 2s
ik
A1e
x2 y 2 fs 2 f s
物理光学-6傅里叶光学
在X方向上单位长度内重复的次数， 即在x方向上的空间频率： 1 cos u dx
y方向上
v 1 0 dy
( x) A exp i2 ux E
u
cos
为锐角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为正值
上的位相值沿x正向增加
这一强度分布具有空间周期性， 在x方向和y方向的空间周期分别为： dx
cos 2 cos 1
,
dy
cos 2 cos 1
空间频率为 cos 2 cos 1 u ,
v
cos 2 cos 1
3. 衍射光波的空间频率 (Spatial frequency of diffraction Lightwave )
为钝角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为负值
上的位相值沿x正向减小
空间频率的正负，仅表示平 面波的传播方向不同
2.平面波传播方向余弦为cos ,cos 的情况
( x, y ) A exp i 2 z cos exp i 2 x cos y cos E 0 2 A exp i x cos y cos
x
2
y
cos
2
1 u dx 1 dy
cos sin y
sin x
平面波矢量在xz平面内时，
u
sin x
0
空间周期的物理意义：（在z=0平面内讨论） 1）平面波沿k方向的空间周期；平面波沿任意方向 r 的空间周期。
y方向上
v 1 0 dy
( x) A exp i2 ux E
u
cos
为锐角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为正值
上的位相值沿x正向增加
这一强度分布具有空间周期性， 在x方向和y方向的空间周期分别为： dx
cos 2 cos 1
,
dy
cos 2 cos 1
空间频率为 cos 2 cos 1 u ,
v
cos 2 cos 1
3. 衍射光波的空间频率 (Spatial frequency of diffraction Lightwave )
为钝角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为负值
上的位相值沿x正向减小
空间频率的正负，仅表示平 面波的传播方向不同
2.平面波传播方向余弦为cos ,cos 的情况
( x, y ) A exp i 2 z cos exp i 2 x cos y cos E 0 2 A exp i x cos y cos
x
2
y
cos
2
1 u dx 1 dy
cos sin y
sin x
平面波矢量在xz平面内时，
u
sin x
0
空间周期的物理意义：（在z=0平面内讨论） 1）平面波沿k方向的空间周期；平面波沿任意方向 r 的空间周期。
光学经典理论傅里叶变换
光学经典理论｜傅里叶光学基础2018-02-24 17:00今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。
光学人们可以看看！在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。
在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。
两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
包含内容60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论和应用领域均得到了迅速发展。
傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统理论对广泛的光学现象作了新的诠释。
其主要内容包括标量衍射理论、透镜成像规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。
推导演示一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。
从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。
这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。
当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。
而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。
光学_郭永康_第六章1傅里叶变换
注意：频谱取一系列分立的值。
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开
严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅
一 周期性 T (x d) T (x)
正弦光栅 黑白光栅
维 衍 射
尺寸D 有限
x
D , or
N
D
其他屏函数
1
2
d
屏
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数
(1) 正弦余弦式
x a
)
1 0
x x
a 2
a
2
傅 二维矩形函数
里 叶
rect(
x a
)rect(
y b
)
1 0
xa,y b 22
其它各处
变
圆函数 circ(
x2 y2 1 )
x2 y2 a
a
0 其它各处
换 对
1cos(2f0 x ) g( x )
x L 2 L
0
x 2
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum）
简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
阿贝成像原理 Abbe imaging principle
空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
二. 任意光栅的屏函数及其傅里叶级数展开
严格空间周期性函数的衍射屏 (透射式或反射式) 光栅
一 周期性 T (x d) T (x)
正弦光栅 黑白光栅
维 衍 射
尺寸D 有限
x
D , or
N
D
其他屏函数
1
2
d
屏
在一定的较大范围内的周期函数—准周期函数
(1) 正弦余弦式
x a
)
1 0
x x
a 2
a
2
傅 二维矩形函数
里 叶
rect(
x a
)rect(
y b
)
1 0
xa,y b 22
其它各处
变
圆函数 circ(
x2 y2 1 )
x2 y2 a
a
0 其它各处
换 对
1cos(2f0 x ) g( x )
x L 2 L
0
x 2
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种 分布的特征可用空间频率表明。把图象看作是由各种 方向、各种间距的线条组成。
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum）
简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。
阿贝成像原理 Abbe imaging principle
空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
CH 6-1
光学_郭永康_第六章1.傅里叶变换
2. 空间频谱（spatial frequency spectrum） 简谐振动是最简单的周期性运动，几个简谐运动可合 成一个较复杂的周期性运动。 傅里叶分析：已知一周期性运动，求组成它的各个简 谐运动频率及相应振幅的方法。 所得的频率及相应振幅的集合为该周期性运动的频谱。 注意：频谱取一系列分立的值。
原函数
缝函数
x rect ( ) a 0
1
频谱函数
a 2 a x 2 x
asinc ( af )
absinc (af x )sinc (bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数 1 x y rect( )rect( ) a b 0
1 2
1 2
g ( x) exp (ax )
(x)
1
1
2f 2 exp( ) a a
函数
常数
( f )
函数 定义：
( x) 0
x0 x0
( x) dx 1
单缝函数在缝宽趋于零时的极限
函数---点光源
T ( x)
{0
1
md x (2m 1)d / 2, m 0,1,2
其他
展开为傅里叶级数
1 2 2 2 T ( x) sin( 0 x) sin( 3 0 x) sin( 5 0 x) 2 3 5 v0 0 / 2 1 / d 0 2 / d
Contents
chapter 6
傅里叶变换 Fourier transformation 衍射理论中的傅里叶方法 the method of Fourier in diffraction theory 理想薄透镜的傅里叶变换作用 Fourier transform in the thin lens 阿贝成像原理 Abbe imaging principle 空间频谱滤波 spatial frequency filtering 光全息术 holography
光学第六篇傅里叶变换光学简介
平面波和典型球面波的波前相因子
复杂波场： 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性 波前相因子
波前相因子
方向角的余角
线性相因子
系数（cosx，cosy）或 （sin1，sin2）与平面 波的传播方向一一对应。
U2 U1
ik x2 y2
e 2fBiblioteka 凹透镜和凸透镜的情况相同，
只是焦距一个为负，一个为正。
相位型
例题：求薄透镜傍轴成像公式：
在傍轴条件下：U1 ( x,
y)
ik x2 y2
A1e 2s
ik x2 y2
透镜函数：tL (x, y) e 2 f
s
s’
ik x2 y2
ik x2 y2
U2 (x, y) tL (x, y)U1(x, y) e 2 f
二维 tP ( x, y) eik (n1（) 1x+2 y)
例题：推导棱镜傍轴成像公式：
傍轴条件：
ik x2 y2
s
U1(x, y) A1e 2s
ik x2 y2 ik (n1) x
U2 (x, y) tP (x, y) U1(x, y) A1e 2s
(n1)s 2 x(n1)s 2 y2
第六章 傅里叶变换光学简介
第六章 傅里叶变换光学简介
1、衍射系统 波前变换 2、相位衍射元件 3、波前相因子分析法 4、余弦光栅的衍射场 5、傅里叶变换 6、超精细结构的衍射 隐失波 7、阿贝成像原理与空间滤波 8、光学信息处理列举 9、泽尼克的相衬法
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射
菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二维波前 决定 三维波场
二维波前 决定 三维波场
Double-helix Point Spread Function (DH-PSF) DH-PSF transfer function obtained from the iterative obtimization procedure, and its GL modal plane decomposition, which forms a cloud around the GL modal plane line. The DH-PSF transfer function does not have any amplitude component, and consequently is not absorptive.
复杂波场： 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性 波前相因子
波前相因子
方向角的余角
线性相因子
系数（cosx，cosy）或 （sin1，sin2）与平面 波的传播方向一一对应。
U2 U1
ik x2 y2
e 2fBiblioteka 凹透镜和凸透镜的情况相同，
只是焦距一个为负，一个为正。
相位型
例题：求薄透镜傍轴成像公式：
在傍轴条件下：U1 ( x,
y)
ik x2 y2
A1e 2s
ik x2 y2
透镜函数：tL (x, y) e 2 f
s
s’
ik x2 y2
ik x2 y2
U2 (x, y) tL (x, y)U1(x, y) e 2 f
二维 tP ( x, y) eik (n1（) 1x+2 y)
例题：推导棱镜傍轴成像公式：
傍轴条件：
ik x2 y2
s
U1(x, y) A1e 2s
ik x2 y2 ik (n1) x
U2 (x, y) tP (x, y) U1(x, y) A1e 2s
(n1)s 2 x(n1)s 2 y2
第六章 傅里叶变换光学简介
第六章 傅里叶变换光学简介
1、衍射系统 波前变换 2、相位衍射元件 3、波前相因子分析法 4、余弦光栅的衍射场 5、傅里叶变换 6、超精细结构的衍射 隐失波 7、阿贝成像原理与空间滤波 8、光学信息处理列举 9、泽尼克的相衬法
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射
菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二维波前 决定 三维波场
二维波前 决定 三维波场
Double-helix Point Spread Function (DH-PSF) DH-PSF transfer function obtained from the iterative obtimization procedure, and its GL modal plane decomposition, which forms a cloud around the GL modal plane line. The DH-PSF transfer function does not have any amplitude component, and consequently is not absorptive.
《傅里叶光学》课件
傅里叶光学在图像处理领域的应用，如图像滤波 、增强、识别等。
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
透镜傅里叶变换
透镜傅里叶变换透镜傅立叶变换一、定义透镜傅立叶变换（Lens Fourier Transformation），是一种基于蒙特卡罗法（而不是傅立叶变换）的非线性变换，它利用光学镜头将光线聚集在非正弦函数中，从而将其转换为波形，生成新的函数，其中会出现极大的变化，有时被称为“大波形变换”。
二、原理透镜傅立叶变换是一种基于蒙特卡罗法的变换，它利用光学镜头将光线聚焦在一族非正弦函数中，从而转换成波形，看上去它们细微不同。
非正弦函数以一种分布变化的形式，把函数变成一种局部性。
透镜傅立叶变换是一种非线性变换，通过对数据进行非线性变换，可以把数据从某种特定的形式变换为另一种特定的形式。
它可以使数据和信号以新的方式展示出来，使得原本不能描述的特性可观察到，从而创造出新的信息。
三、应用1. 图像处理：利用透镜傅立叶变换，可以从图像中提取出特征和细节，这在图像压缩、模式识别、图像复原等方面具有重要的作用；2. 声音处理：透镜傅立叶变换可以精确定位和检测声音中的特定频率，从而实现音频处理；3. 量子计算：透镜傅立叶变换可以模拟量子里的特殊事件，从而帮助实现量子计算；4. 高斯投影：透镜傅立叶变换可以将几何图形映射到平行的高精度平面图上，从而实现高斯正变化；5. 光学成像：透镜傅立叶变换可以用来分析和估计光场的分布，以推导出小型微片、大型成像系统的行为。
四、优点1. 精确可控：透镜傅立叶变换对所处理数据的可控性非常强，变换的分布可以实时调节；2. 高效率：比起傅立叶变换，透镜傅立叶变换更加简单高效，一般来说比傅立叶变换快得多；3. 全面直观：透镜傅立叶变换可以更好地揭示数据背后潜在的一致性，能够全面直观地展示所传输的信息。
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i ~ U ( x' , y ' )
~ U ~ 2 ( x, y ) 衍射屏函数的定义： t ( x, y) ~ U1 ( x, y)
(cos 0 cos ) ~ eikr U 2 ( x, y) dxdy ( 0 ) 2 r
衍射屏函数(screen function)的三种类型
第六章 傅里叶变换光学简介
第六章 傅里叶变换光学简介
1、衍射系统 波前变换 2、相位衍射元件 3、波前相因子分析法 4、余弦光栅的衍射场 5、傅里叶变换 6、超精细结构的衍射 隐失波 7、阿贝成像原理与空间滤波 8、光学信息处理列举 9、泽尼克的相衬法
惠更斯-菲涅耳原理 光波衍射 菲涅耳衍射 衍 射 分 析 结 构 夫琅禾费衍射 衍射应用 衍 射 分 光 光栅 光谱仪 衍 射 成 像 阿贝 成像原理 衍 射 再 现 波 前
最重要的特点： 1级衍射斑的方位角与余弦光栅的空间频率一一对应。
例题：
3
2
( x, y ) A ， U 1 1 ( x, y ) A eik sin2 x， U
2 2
( x, y ) A eik sin3 x U 3 3
( x, y ) U ( x, y ) U ( x, y ) U ( x, y ) U ( x, y ) U ( x, y ) I ( x, y ) U 1 2 3 1 2 3
I ( x, y) A12 A22 A22 2 A1 A2 cos 2 f12 x 2 A1 A3 cos 2 f13 x 2 A2 A3 cos 2 f23 x
用干板记录，通过显影和定影，干板透过率函数 t ( x, y) I ( x, y)
空间周期：
x12 x13 x23 2 ， k sin 2 sin 2 2 ， k sin 3 sin 3 2 k (sin 2 sin 3 ) sin 2 sin 3
空间频率：
f12 f13 f 23 sin 2 1 ， x12 sin 3 1 ， x13 sin 2 sin 3 1 x23
I=0, t=, 雾底。 >0,正片；<0，负片。
余弦光栅的衍射特征：
平面波正入射， 其入射波前为：
(x,y)
F
+1
~ U1 ( x, y) A1
经过余弦光栅后的透射波前为：
+1 -1
0
-1
（x, y ) t ( x, y )U U （ 2 1 x, y ) A 1 t0 t1 cos(2 fx 0 ) ei ( 2 fx 0 ) ei (2 fx 0 ) A1 t0 t1 2 1 1 i (2 fx 0 ) A1t0 A1t1e A1t1ei (2 fx 0 ) 2 2 U U U 0 1 1
平面波和典型球面波的波前相因子
复杂波场： 分解为一系列平面波或球面波成分
波的类型和特性
波前相因子
波前相因子
线性相因子
方向角的余角
系数（cosx，cosy）或 （sin1，sin2）与平面 波的传播方向一一对应。
二次相因子 : 发散/会聚
二次相因子 + 交叉线性相因子 : 发散/会聚
1 2 ik sin 2 x
A A e
*
A3eik sin 3 x A1 A2 e ik sin 2 x A3e ik sin 3 x
A12 A2 2 A2 2 2 A1 A2 cos k sin 2 x 2 A1 A3 cos k sin 3 x 2 A2 A3 cos k (sin 2 sin 3 ) x
晶体衍射 图分析
傅里叶 光谱仪
空间滤波和 信息处理
全息术原理
傅里叶变换光学
1、 衍射系统 波前变换
一、波前变换和相因子分析
(x , y ) (x’,y’)
U1 U2
U
~ ~ ~ 衍射屏的作用 波的传播行为 入射场U1 ( x, y) 出射场U2 ( x, y) 衍射场U ( x' , y' )
(x , y )
F
+1
+1 -1
0 -1
衍射方向：
0级为正出射的平面波，衍射角为0 ；
空间频率越高， 衍射角就越大
代表向上斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 + f 1 1 代表向下斜出射的平面光，衍射角 满足： 1级U sin 1 f 1 1
x
d z
光经过棱镜比光在真空中自由传播时的光程差：
L n(d x) (d x) (n 1)(d x)
附加的相位差：
k (n 1)(d x) k (n 1)d k (n 1) x
ik ( n1) d k ( n1) x i eik (n1)d eik (n1) x 相位变换函数：tP ( x) e e
y
广义“波前” (wavefront)指波场中 任一曲面，更多地指 一个平面，如记录介 质、感光底片、接收 屏幕等所在的平面的 复振幅分布U(x,y)。 波前函数
波的类型和特性 波前的描述和识别 波前的变换和分析
波前的叠加和干涉 波前的记录和再现
二维波前 决定 三维波场
二维波前 决定 三维波场
Double-helix Point Spread Function (DH-PSF)
A1e
发散球面波
2 ( n 1) s ik
x2 y 2 ik ik ( n 1) x 2s
2s
e
2 x ( n 1) s y 2 ik
2s
发散中心，即像点的位置为：((n-1)s, 0, -s)
（3）窗函数
光学元件孔径有限 窗函数(window function) tw
At U 0 1 0 1 A t ei (2 fx 0 ) U 1 11 2 2 i ( f ) x i0 1 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2 1 1 i (2 fx 0 ) U 1 A1t1e A1t1eik sin1 x i0 2 2
~ U 2 ( x, y) ~ t ( x, y) ~ t ( x, y)ei ( x, y ) U1 ( x, y)
振幅模函数
辐角函数
（1）若 (x,y) 常数，只有函数t(x,y)，则该衍射屏 称为振幅型。 （2）若t(x,y) 常数，只有函数 (x,y) ，则该衍射屏 称为相位型。 （3）若函数 (x,y) 和t(x,y)都不是常数，则该衍射屏 称为相幅型。
Replication of the structured focus by two-photon polymerization with femtosecond laser pulses
波的类型和特性
波前函数
波前相因子
“相因子分析法”： 根据波前函数的相因子来分析波场 的性质，分析波场的主要特征。
变换相因子
（1）透镜（在傍轴条件下，忽略吸收）
L ( x, y ) e t
x2 y 2 ik 2f
二次相因子
（2）棱镜（小角）
（1x +2 y ) P ( x, y) eik (n1) t
线性相因子
试运用相因子分析法 分析 余弦型环状波带片的衍射场
4、 余弦光栅的衍射场 余弦光栅的制备：
2、 相位衍射元件—透镜和棱镜 （1）透镜的相位变换函数（在傍轴条件下） 光程差 相位差 tL(x,y)
f
把平行光变成了汇聚球面光
透镜作用 A Ae U U 1 1 2 2 x2 y 2 ik 2f
，
x2 y 2 ik 2f
U L ( x, y ) 2 e 忽略透镜吸收，A1 A2， t U 1
或 二维
tP ( x) eik (n1) x
（1x +2 y ) P ( x, y) eik (n1) t
例题：推导棱镜傍轴成像公式： 傍轴条件：
( x, y) A e U 1 1
x2 y 2 ik 2s
s
( x, y) t ( x, y) Ae U ( x , y ) U 2 P 1 1
的大小和正负！
2 1
条纹越密(细节）， 空间频率就越高
I ( x, y ) I 0 1 cos(2 fx 0 ) ；f
sin 1 sin 2
用干板记录，通过显影和定影，形成余弦光栅。 透过率函数为： t ( x, y ) I ( x, y)
t ( x, y) I ( x, y) t0 t1 cos(2 fx 0 )
t ( x, y) I ( x, y) t0 t12 cos 2 f12 x t13 cos 2 f13 x t23 cos 2 f 23 x
x2 y 2 ik 2f
A1e
x2 y 2 ik 2s
ik
A1e
x2 y : s ' f s fs 1 1 1 成像公式： s ' f s s s' f
光源的像点
（2）棱镜的相位变换函数 忽略棱镜对光的吸收， 把棱镜近似看成相位型衍 射屏。
两个衍射屏相叠
(x , y ) t1t2 (x’,y’)
U1 U2U3
U
t ，U ' U ，U t ' U U U 2 1 1 2 2 3 2 2