傅里叶变换光学
傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
傅里叶变换光学
傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。
公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。
引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。
从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。
第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。
而且与透镜的焦距有关。
当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其 它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。
衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。
一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。
如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。
为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。
图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。
傅里叶变换 光谱仪 准直光学
傅里叶变换光谱仪准直光学
傅里叶变换光谱仪（FTS）是一种利用干涉仪与一个平移反射镜来产生干涉图样的光学仪器。
干涉图的傅里叶变换提供了光源的频谱。
由于FTS提高了测量速度、分辨率的提升和简洁的机械结构性，FTS方法通常优于单色仪。
在傅里叶变换光谱仪中，准直光学起着重要作用。
准直光学系统通常由光源、透镜和分束器等组成。
这些光学元件共同作用，使光线保持准直，并形成干涉图样。
光源发出的光束经过透镜聚焦后，分成两束。
一束光线直接穿过分束器，另一束光线被分束器反射。
两束光线在经过一定距离的传播后，重新组合并在探测器上形成干涉图样。
通过对干涉图样进行傅里叶变换，可以得到光源的频谱。
傅里叶变换光谱仪在分析不同光谱时，可以调整光源和反射镜的位置，以获得更精确的测量结果。
此外，为了提高光谱分析的准确性，还可以采用更先进的光学元件和技术，如非球面透镜、全息光栅等。
总之，傅里叶变换光谱仪结合了准直光学和傅里叶变换技术，能够快速、高效地分析不同光谱。
在实际应用中，根据需要可以选择不同的光学元件和分析方法，以实现对各种光谱的精确测量。
傅里叶光学的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 深入理解傅里叶光学的基本原理和概念。
2. 通过实验验证傅里叶变换在光学系统中的应用。
3. 掌握光学信息处理的基本方法，如空间滤波和图像重建。
4. 理解透镜的成像过程及其与傅里叶变换的关系。
二、实验原理傅里叶光学是利用傅里叶变换来描述和分析光学系统的一种方法。
根据傅里叶变换原理，任何光场都可以分解为一系列不同频率的平面波。
透镜可以将这些平面波聚焦成一个点，从而实现成像。
本实验主要涉及以下原理：1. 傅里叶变换：将空间域中的函数转换为频域中的函数。
2. 光学系统：利用透镜实现傅里叶变换。
3. 空间滤波：在频域中去除不需要的频率成分。
4. 图像重建：根据傅里叶变换的结果恢复原始图像。
三、实验仪器1. 光具座2. 氦氖激光器3. 白色像屏4. 一维、二维光栅5. 傅里叶透镜6. 小透镜四、实验内容1. 测量小透镜的焦距实验步骤：（1）打开氦氖激光器，调整光路使激光束成为平行光。
（2）将小透镜放置在光具座上，调节光屏的位置，观察光斑的会聚情况。
（3）当屏上亮斑达到最小时，即屏处于小透镜的焦点位置，测量出此时屏与小透镜的距离，即为小透镜的焦距。
2. 利用夫琅和费衍射测光栅的光栅常数实验步骤：（1）调整光路，使激光束通过光栅后形成衍射图样。
（2）测量衍射图样的间距，根据dsinθ = kλ 的关系式，计算出光栅常数 d。
3. 傅里叶变换光学系统实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在光栅后放置傅里叶透镜，将光栅的频谱图像投影到屏幕上。
（3）在傅里叶透镜后放置小透镜，将频谱图像聚焦成一个点。
（4）观察频谱图像的变化，分析透镜的成像过程。
4. 空间滤波实验实验步骤：（1）将光栅放置在光具座上，调整光路使激光束通过光栅。
（2）在傅里叶透镜后放置空间滤波器，选择不同的滤波器进行实验。
（3）观察滤波后的频谱图像，分析滤波器对图像的影响。
五、实验结果与分析1. 通过测量小透镜的焦距，验证了透镜的成像原理。
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
光学傅里叶变换原理
光学傅里叶变换原理傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数（ 或信号）从时间 或空间）域转换到频率域。
在光学中，傅里叶变换也具有重要的应用，尤其是在描述光波传播、光学系统和图像处理等方面。
傅里叶变换原理涉及到以下重要概念和原则：1.（傅里叶级数：傅里叶级数指的是将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的和的过程。
它表明任何周期性函数都可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
2.（连续傅里叶变换 Continuous（Fourier（Transform）：对于连续信号，傅里叶变换将信号从时域转换到频域。
它描述了信号在频率空间中的频谱特性，展示了信号由哪些频率分量组成。
3.（离散傅里叶变换 Discrete（Fourier（Transform）：对于离散数据集合，比如数字图像或采样信号，离散傅里叶变换用于将这些离散数据从时域转换到频域。
它在数字信号处理和图像处理中得到广泛应用，用于分析和处理频率特性。
4.（光学中的应用：在光学中，傅里叶变换可以描述光的传播和衍射现象。
例如，傅里叶光学理论表明，光学系统（如透镜、光栅等）可以看作是对光波进行空间域的傅里叶变换。
这种理论有助于理解光的传播特性，并在光学系统设计和成像技术中发挥重要作用。
5.（变换原理：傅里叶变换原理表明，任何一个信号都可以通过傅里叶变换分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。
这种变换可以帮助我们理解信号的频率成分，并对信号进行处理、滤波或合成。
总的来说，傅里叶变换原理提供了一种从时域到频域的转换方法，在光学中，它被广泛应用于光波传播、光学系统设计和图像处理等领域，为我们理解和处理光学现象提供了重要的工具。
光学4f系统的傅里叶变换原理
光学4f系统的傅里叶变换原理
光学4f系统是一种常见的光学传递系统，由两个透镜组成，分别称为前透镜和后透镜，它们之间的距离为f。
该系统可以实现对输入光场的傅里叶变换。
傅里叶变换原理是指输入光场通过光学4f系统后，可以得到输出光场的傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法，可以将一个信号分解成一系列的频率成分。
在光学4f系统中，输入光场首先经过前透镜，前透镜将输入光场进行傅里叶变换，将其分解成一系列的平面波。
这些平面波经过后透镜后，再次叠加在一起，形成输出光场。
输出光场可以通过适当选择前透镜和后透镜的焦距以及它们之间的距离f，来实现对输入光场的傅里叶变换。
具体来说，如果前透镜的焦距为f1，后透镜的焦距为f2，则前透镜和后透镜之间的距离为f=f1+f2。
根据傅里叶变换的性质，输入光场经过前透镜后，可以表示为前透镜的传递函数H1与输入光场的乘积。
同样地，输出光场可以表示为后透镜的传递函数H2与前透镜的传递函数H1与输入光场的乘积。
因此，输出光场可以表示为H2H1与输入光场的乘积。
通过选择合适的传递函数H1和H2，可以实现对输入光场的傅里叶变换。
常见
的选择是使H1和H2为透镜的传递函数，即H1和H2都为复振幅调制函数。
这样，输出光场可以表示为输入光场的傅里叶变换。
总之，光学4f系统的傅里叶变换原理是通过选择适当的透镜传递函数，使得输入光场经过前透镜和后透镜后，可以得到输出光场的傅里叶变换。
这一原理在光学信号处理和图像处理中有广泛的应用。
第五章傅里叶变换光学
会聚 exp[ik x2 y2 ] 2z
5.1.3 相因子分析法
近轴条件下典型光波场在平面波前(x,y)上的相因子
轴上物点球面波(续)
(1 x) 1 x, (x 0) 2
x
r
(x, y)
z
Oz y
r
z2 2 z
1
2
z2
z(1
1 2
2
z2
)
x2 y2
exp[ikr] exp[ikz]exp[ik
（1）若已知衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进而完全确定接收场。
（2）但由于衍射屏的复杂性以及衍射积分求解的困难，多数情况下解析 的完全确定屏函数几乎是不可能的。
（3）因此，只能采取一定的近似方法获取衍射场的主要特征。
（4）如果知道了屏函数的相位，则能通过研究波的相位改变来确定波场 的变化。这种方法称为相因子判断法。
场或者波面产生改变的因素，它们的作用都可以应用变换的方法处理。
5.1.1 傅里叶变换光学概述
傅里叶变换光学与经典波动光学的关系（衍射）
傅里叶变换光学
傅里叶光谱仪
空间滤波与信 息处理
像质评价与传 递函数
光栅光谱仪
晶体衍射
阿贝成像 原理
点扩展 函像
衍射波前 再现
衍射应用
x
(x, y)
yOz
z
近轴条件 r0 z
r (x x0 )2 ( y y0 )2 z2
z2 x02 y02 x2 y2 2(xx0 yy0 )
r0
1 x2 y2 2(xx0 yy0 )
r02
r02
r0(1
x2 y2 2r02
xx0 yy0 r02
)
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U~1 (x)
1 2
A1t1
exp[i(2fx 0 )]
k
1 x
2
f
s
in
1 1
k x 1 k 1
2f 2
f
U~0 (x) A1t0
0级波，方向 sin0 0
U~1 (x)
1 2
A1t1
exp[i(2fx 0 )]
+1级波，方向 sin 1
f
U~1 (x)
1 2
A1t1
exp[i(2f x
n1
an
(
ei
2
fnx
ei2 2
fnx
)
n1
bn
(
ei
2
fnx
ei2 2i
fnx
)
t0
an ibn ei2 fnx n1 2
an ibn ei2 fnx n1 2
t0
an2 bn2 ei2 fnxin
n1
2
2
2
a b e n
n i 2 fnxin
n1
2
t0
2
2
t(x) t0 t%nei2 fnx
n0
t0
n0
Lt%nei2 fnx
1 L
fn
nf
n L
T%e
i2 fn x
n
1 L
T%nei
2
fn
x
f
n
t(x)
t%n
1 L
L/2 t(x)ei2 fnxdx
L/2
t(x)
x
L
0L
x
2
2
对于非周期性函数g(x)，可视作周期为∞周期性函数
t(x) cos(2
fn x)dx
2
2
bn d
d
2 d
t ( x) sin(2
f n x)dx
2
2、余弦相移展开式
t(x) t0
a
n1 n
cos 2
fnx
b
n1 n
sin 2
fnx
t0
n1
an2 bn2 (
an an2 bn2
cos 2
fnx
bn an2 bn2
sin 2
UU~~12
(x, (x,
y) y)
~t (x, y) t(x, y) exp[ it (x, y)]
t(x, y) 屏函数的模。模为常数的衍射屏称为相位型
的 ，如透镜、棱镜等。
t (x, y)
屏函数的幅角即相位。幅角为常数的衍射屏称 为振幅型的 ，如单缝、圆孔等。
相因子判断法
• 知道了衍射屏的屏函数，就可以确定衍射场，进 而完全确定接收场。
2
3
5
A1 2
2 A1
cos 2
fx
2 A1
3
cos 6
fx
2 A1
5
cos10
fx Lx
sin n
fn
n
d
z
非周期性函数的傅立叶展开
• 非周期性函数t(x)定义域为(-L/2,L/2) • 将(-L/2,L/2)间的函数复制，则成为周期函数 • 对复制后的函数，可以作傅立叶展开
t(x)
x
L
0L
cos(2f x 不0用)做积1分2 就{e有x3p项[，i(主2要f特x性就有0了)]！！exp[i(2f x 0 )]}
U~2
(x)
A1t0
1 2
A1t1exp[i(2fx
0
)]
1 2
A1t1
exp[i(2f
x
0
)]
U~2 (x) U~0 (x) U~1(x) U~1(x) 透射波实际上变为三列波
sin n a
d
n a
i 2 nx
ed
如果 d 2a 平面波入射
U%2 (x)
U%1(x)t(x)
d a A1 d
(1
n0
sin n fa ei2nfx ) n fa
A1 2
(1
n0
sin n
2
n
ei2 nfx )
2
A1 A1 (ei2 fx ei2 fx ) A1 (ei6 fx ei6 fx ) A1 (ei10 fx ei10 fx ) L
F F 1 s s
Gauss 公式
棱镜的相位变换函数（透过率函数）
• 薄的楔形棱镜，可以得到
P (x,
y)
2
(
nd )
2
(
nd0
n)
0
2
(n
1)
x d0 棱镜中心处的厚度
P (x, y) k (n 1)x
~tP (x, y) exp[ ik(n 1)(1x 2 y)] 二维情况下
d d n0 n
其中，n
n a
d
x
rk
n
z
0级波
n级波
平面波，相位 k r
2
x sin
2
fn x
n级波的方向
sin n
fn
n
d
d sinn n 光栅方程
n
n a
d
a sinn
un
a d
sin n n
a d
sin un un
U (n )
单缝衍射因子
t(x)
a d
a d
n0
e 2F
A1
eik
x2 y 2F
2
i0
汇聚到轴上F处的球面波
F
焦距 f＝F
U% A eik ( xsin1 y sin2 )
1
1
U% A eik
[
x2 y2 2F
(
x
sin1
y
sin2
)]
2
1
ik[ x2 y2 xF sin1 yF sin2 ]
A1 e 2F
F
汇聚到轴上F(sinθ1,sinθ2,1)处的
7.2 夫琅和费光栅衍射的傅里叶频谱分析
1．空间频率的概念 在空间上也可以定义周期和频率，空间
周期d的倒数就是空间频率，即有f =1/d。f 称为空间频率。 2．正弦光栅的傅立叶变换
~t (x) t0 t1 cos(2fx 0 )
平行光正入射 U~1 (x) A1 U~2 (x) U~1(x)~t (x) A1[t0 t1 cos(2fx 0 )]
2 sin( fna) fnd
a d
2sin n a
d
n a
d
t(x) t0
a
n1 n
cos 2
fnx
b
n1 n
sin
2
fnx
a a dd
n1
2sin n a
d
n a
cos
2
fn x
a d
a d
n a
2 sin
d
e e i2 fnx
i 2 fnx
n1 n a
2
d
d
a a sin n ei2 fnx
• 波在衍射屏的前后表面处的复振幅或波前函 数分别称为入射场、透射场（或反射场）， 接收屏上的复振幅为接收场。
衍射屏(x, y) 照明空间
衍射空间
接收屏(x, y)
U~1 (x, y) 入射场
z
U~2 (x, y)
透射或反射场
U%1(x, y) U%2 (x, y) 入射场 衍射场
U%(x, y) 接收场
an2 bn2 ei(2 fnxn )
n1
2
22
a b e n
n i(2 fnxn )
n1
2
t0 n0
2
2
a b e n
n i(2 fn xn )
2
t0 t%nei2 fnx
n0
t%n
cn 2
ein
an
ibn 2
一维周期性衍射屏的傅里叶展开
x
a
d
x0
t
(
x)
t
(
x
d
)
1, x0 0, x0
• 傍轴近似，入射波前、出射波前取平面
• 透镜中光波平行于光轴
1
2
d
Q
Q
r1
r2
n
d0
1 x2 y2 2
与空气比较，图中任意位置
从图上可以求得光波经透镜后的相位差
r1
d
r1
r2
L
(x,
y)
2
[1
2
nd ( x,
y)]
n
d0
r1
0
2
nd0
2
0
[1 2 n(d
2
(n
1)(1
0 1 2)
第七章 傅立叶变换光学与全息照相
衍射系统的屏函数 夫琅和费衍射的傅立叶频谱分析
阿贝成像原理 相衬显微镜 全息照相
变换光学
• 处理光的衍射和干涉问题，最基本的方法是研究 光的相干叠加。这是传统光学的一般方法。
• 可以从另外一个角度分析这类问题。入射波场， 遇到障碍物之后，波场中各种物理量重新分布。 衍射障碍物将简单的入射场变换成了复杂的衍射 场。
位相延迟
• 以原点相位为0，xoy平面上点（x，y）的位
相因子
Q (x0 , y0 )
(x, y)
x2 exp[ik (
y2
xx0
yy0
)]
2z
z
r0 o z z
• 以物点相位为0，xoy平面上点（x，y）的相