1二重积分的概念
二重积分的定义求极限
二重积分的定义求极限（原创实用版）目录1.二重积分的定义概述2.二重积分与定积分的相似性3.二重积分的计算方法4.二重积分的应用举例5.求极限与二重积分的关系正文一、二重积分的定义概述二重积分是一种在二维空间中的积分形式，它是对一个二元函数在空间上的积分。
与定积分类似，二重积分也是求某种特定形式的和的极限。
二重积分的定义可以概括为：设 zf(x,y) 为有界闭区域 () 上的有界函数，将区域 () 任意划分成 n 个子域 (k)，其面积记作 k(k1,2,3,,n)，在每一个子域 (k) 上，函数 zf(x,y) 被分割成 m 个矩形，每个矩形的面积为ΔxΔy，则二重积分可以表示为：∫∫zf(x,y) dm(x,y)其中，dm(x,y) 表示子域 (k) 上的面积元素。
二、二重积分与定积分的相似性二重积分与定积分在形式上存在相似性，它们都是求和的极限。
然而，二重积分是对一个二元函数在空间上的积分，而定积分是对一个一元函数在区间上的积分。
此外，在计算过程中，二重积分需要将区域划分成子域，并在每个子域上考虑函数值与面积元素的乘积，而定积分则只需对函数值进行求和。
三、二重积分的计算方法计算二重积分的方法可以概括为以下几个步骤：1.将区域划分成子域，并确定每个子域的面积；2.在每个子域上，将函数值与面积元素相乘，并求和；3.对求和结果进行极限运算，得到二重积分的值。
具体的计算方法可以根据不同的函数和区域进行调整，如利用换元法、极坐标法等。
四、二重积分的应用举例二重积分在实际应用中具有广泛的应用，例如：1.计算曲面的面积：通过二重积分可以求解曲面在某一特定区域内的面积；2.计算平面薄片的重心：通过二重积分可以求解平面薄片在某一特定区域内的重心位置；3.计算有向曲面上的曲面积分：将二重积分推广到高维空间中的有向曲面上进行积分，称为曲面积分。
五、求极限与二重积分的关系求极限是二重积分计算过程中的一个关键步骤。
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分概念
？
o
x
z z R2 x 2 y 2
R
y
例1. 设由锥面 解: 所求体积可以看成 是两个曲顶柱体的 体积之差.
和球面
所围成 , 请用二重积分表示的体积.
z 2
V 4 x y d
2 2 D
D
x y d
2 2
D
o x
y
直角坐标系下的面积元素 如果 f ( x , y ) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划 分区域D , 这时 记作： d xd y 则面积元素为： d 二重积分记作：
的点集是平ห้องสมุดไป่ตู้上的有界点集,即存在一矩形R ，使得P R .
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: (i) i 上的点都是 P 的内点;
y
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
所以也有 S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积 为零.
定理21.3 若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数
f ( x ) 的图象, 则曲线 K 的面积为零.
推论1 参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零. 推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面 图形都是可求面积的.
曲顶柱体的体积
( i ,i )
i
f ( i , i ) i . V lim 0
i 1
为各小闭区域的直径的最大者.
２．求平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 其面密 度为 计算该薄片的质量 M . (常数) 设D 的面积为 , 则M 若 非常数 , 仍可用 “大化小,常代变,近似和, o 求极限” 解决.
二重积分的几何意义上下限
二重积分的几何意义上下限摘要：一、二重积分的概念1.二重积分的定义2.二重积分的性质二、二重积分的几何意义1.坐标系中的二重积分2.极坐标系中的二重积分3.柱面坐标系中的二重积分4.球面坐标系中的二重积分三、二重积分的上下限1.上下限的确定2.上下限对结果的影响正文：二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解多元函数的定积分。
在二重积分中，我们需要对一个二元函数在某个区域内的值进行积分。
为了更好地理解二重积分，我们首先需要了解它的几何意义以及上下限的概念。
一、二重积分的概念1.二重积分的定义：给定一个二元函数f(x, y)，在定义域D = {(x, y) | 约束条件}内，求解以下积分：∫∫_D f(x, y) dx dy2.二重积分的性质：二重积分满足交换律、结合律、分配律等性质，与一元积分类似。
二、二重积分的几何意义1.坐标系中的二重积分：在直角坐标系中，二重积分表示区域D内的函数f(x, y)与x轴、y轴所围成的曲面的有向面积。
2.极坐标系中的二重积分：在极坐标系中，二重积分表示以极径r和极角θ为变量，区域D在极坐标系中的有向面积。
3.柱面坐标系中的二重积分：在柱面坐标系中，二重积分表示以柱面半径r 和柱面角θ为变量，区域D在柱面坐标系中的有向面积。
4.球面坐标系中的二重积分：在球面坐标系中，二重积分表示以球面半径r 和球面角θ为变量，区域D在球面坐标系中的有向面积。
三、二重积分的上下限1.上下限的确定：在求解二重积分时，我们需要确定积分区域的上下限。
通常情况下，我们可以根据区域的边界来确定上下限。
例如，在直角坐标系中，我们可以根据x轴和y轴的截距来确定上下限。
2.上下限对结果的影响：二重积分的上下限对积分结果有直接影响。
当上下限发生变化时，积分结果也会相应地发生变化。
因此，在求解二重积分时，我们需要仔细确定上下限，以保证结果的准确性。
总之，二重积分是一种重要的积分方法，它具有丰富的几何意义。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分与累次积分
二重积分与累次积分在微积分中，二重积分与累次积分是重要的概念和计算工具。
它们在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍二重积分与累次积分的概念和计算方法，并探讨它们之间的关系。
一、二重积分的概念和计算方法1. 二重积分的概念二重积分是对二元函数在某个区域上的积分。
设二元函数为f(x, y)，被积区域为D，那么在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x, y)dA其中dA表示面积元素。
2. 二重积分的计算方法计算二重积分时，可根据积分区域的不同选择适合的计算方法，如直角坐标系下的矩形坐标系法和极坐标系法，或者采用参数方程表示等。
计算时，需要将被积区域D划分成小区域，然后求和逼近。
二、累次积分的概念和计算方法1. 累次积分的概念累次积分是一种通过多次积分来求解多元函数的方法。
对于二元函数f(x, y)，首先对其中一个变量进行积分，然后再将结果作为另一个变量的函数进行积分。
2. 累次积分的计算方法计算累次积分时，需要按照一定次序进行积分。
对于二元函数f(x, y)，首先对其中一个变量进行积分得到一个函数，再对该函数另一个变量进行积分。
计算时可利用基本微积分知识和积分换元法、分部积分法等方法。
三、二重积分与累次积分的关系二重积分与累次积分是密切相关的。
在一些情况下，二重积分可以通过累次积分来计算，而累次积分也可以通过二重积分来计算。
1. 二重积分通过累次积分计算当被积函数在积分区域上具有一定的连续性条件时，可以通过累次积分来计算二重积分。
即先对其中一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
2. 累次积分通过二重积分计算当累次积分无法直接计算时，可以通过二重积分来计算。
先将累次积分转化为二重积分形式，然后利用二重积分的计算方法进行求解。
四、应用举例二重积分和累次积分在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明。
1. 计算曲线与坐标轴围成的面积通过累次积分计算曲线与坐标轴围成的面积时，可以将其转化为二重积分，然后利用二重积分的计算方法来求解。
被积函数为1的二重积分的几何意义
被积函数为1的二重积分的几何意义
二重积分是数学中的一个重要概念，它是对二元函数在一个有限区域
上的积分。
在实际应用中，我们经常会遇到被积函数为1的二重积分，那么这种情况下的二重积分有什么几何意义呢？
首先，我们需要了解一下什么是被积函数为1的二重积分。
当被积函
数为1时，二重积分可以表示为：
∬D 1 dxdy
其中D表示定义域。
接下来，我们来看一下被积函数为1的二重积分的几何意义。
首先，我们可以将被积区域D看作是平面上的一个有限区域。
此时，
被积函数为1表示每个小面元dxdy所代表的面积都是1。
因此，整个被积区域D所代表的面积就等于二重积分∬D 1 dxdy。
其次，在物理学中，被积函数为1的二重积分可以表示某个平面区域
内质量均匀分布的物体总质量。
这是因为每个小面元dxdy所代表的质量都相等，并且等于单位质量。
此外，在统计学中，被积函数为1的二重积分也有着重要的应用。
例如，我们可以将被积区域D看作是某个随机变量的取值范围，在这个范围内，被积函数为1表示每个小面元dxdy所代表的概率密度都是相等的。
因此，整个被积区域D所代表的概率就等于二重积分∬D 1 dxdy。
最后，在计算机图形学中，被积函数为1的二重积分可以表示某个平面区域内像素点的总数。
这是因为每个小面元dxdy所代表的像素点数都相等，并且等于单位像素点数。
综上所述，被积函数为1的二重积分有着广泛而重要的几何意义。
它可以表示被积区域D的面积、物体总质量、概率和像素点总数等。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的几何意义来理解和应用二重积分。
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
8(1)二重积分的概念
根据二重积分的几何意义,确定积分值 根据二重积分的几何意义 确定积分值
( b x 2 + y 2 )dσ , 其中 D为x 2 + y 2 ≤ a 2 ∫∫
2 3 = πa b πa 3
2
D
b>a >0
19
二重积分的概念
性质2 将区域D分为两个子域 性质 将区域 分为两个子域 D1 , D2 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ D D
1
D2
对积分区域的可加性质. 对积分区域的可加性质 性质3 性质 若σ 为D的面积 的面积
y
D1 D
D2
σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ
D D
o x D1与D2除分界线 外无公共点. 外无公共点
则
性质5(估值性质) 设m ≤ f ( x , y ) ≤ M , 性质5(估值性质) 5(估值性质 σ为D的面积 则 的面积, 为 的面积
∫∫ f ( x , y )dσ D
≤
∫∫ g( x , y )dσ D
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
设f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D , 则曲顶柱体 为高和以M为高的两个 为高和以 的体积介于以D为底 为底, 的体积介于以 为底 以m为高和以 为高的两个 平顶柱体体积之间. 平顶柱体体积之间以D为底 既可看成是以 为底, 以1为高的 为底 为高的
柱体体积. 又可看成是D的面积 的面积. 柱体体积 又可看成是 的面积
20
二重积分的概念
若f ( x , y )在有界闭区域 1上可积 且 D1 D2 , 在有界闭区域D 上可积,且
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因 此 ln x (y)d [lx n y) (2d ].
D
D
小结
二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义
（曲顶柱体的体积代数和） 二重积分的性质
（线性、区域可加性、估值不等式）
则面积元素为 ddxdy
o
故二重积分在直角坐标系中可 写为
dy D
x
dx
f(x,y)df(x,y)dxdy
D
D
积分变量
四、二重积分可积的条件
什么样的函数可积? 类似于定积分
1 必要条件
定理21.2.5 设函f(数 x,y)在有界可求 D上 闭可 区 , 积 域
则f(x,y)在D上有. 界
设函 f(x,数 y)在有界可 D上 求有 闭 ,T为 界 区 D的域
侧面是柱面，
D
该柱面以D为准线，
母线平行于z轴。
还有其他类型的柱面。
采用类似于求曲边梯形面积方法
步骤如下：
z
先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域，
zf(x,y)
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲
x
顶柱体的体积，
o
D
•
i
y
(i ,i )
(1) 分割
z
任意 D :i( 分 i 1 ,2 , 割 ,n )
一、平面图形的面积
为了研究定义在平面点集上二元函数的积分，
首先讨论平面有界图形的面积。y
设平面图形D有界,
i
则存在一个矩形R,使得
DR
D
为了考察D的面积，先用
一组平行于坐标轴的直线
网T分割D ，如图
T的网眼（小矩形）i可
o
x
以分为三类：(1) i上的点均是D内的点；
(2) i上的点均是D的外点；即 i D
定理21.1.6
f( x ,y ) 在 D 上 可 liS ( m T ) 积 lis ( T m )
T 0
T 0
定理21.1.7 f(x,y)在 D上可 积
0 , D 的一 T ,使 个 S (T 得 ) 分 s(T ) 割
2 可积的充分条件
定理21.1.8 有界D 闭 上区 的域 连 f(x,y 续 )在 D 上 函可 .数
例2 估 计 IDx2y2d 2x y1的 6值 ，
其 中 D：0x1, 0y2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
则有 f (x ,y )d g (x ,y )d .
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
性质6 设M,m是f(x,y)在闭区 D上 域的最大值,、
是D的面,则 积
m f(x ,y)d M D
（二重积分估值不等式）
性质7 设函 f(x,y数 )在闭 D 上 区连 ,域 是 D 续 的面 , 则D 在 上至少 (,存 )使 , 在 得 一点
(3)
x
由确界原理可知：
对于平面图形D的所有直线网的分割T，
数 {sD 集 (T )有 } 上 ,{S D (T 确 )有 } 界 下 . 确界
记为
IDsu{spD(T)} T
IDiT n{S fD(T)}
于是有
0IDID
通I 常 D 为 D 的 称内 ,ID 为 D 面 的积 外 . 面积
定义1 若平D 面 的图 内 ID 形 等 面于 积其 ID , 外 则称D为可求面积，并将 IDIDID 值称 D 的为 .面 定理21.1.1 平面有界 D为 图可 形求 面积
被面 分
积积 表元 达素 式
划 细 度
积 分 和
定义2 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域D上的 函数,J为一个常数,若>0,总>0,使得对于D的任意分 割T,当他的分割细度||T||<,属于T的所有积分和均有
n f(i,i)i J
i1
则称函数f (x, y)在D上可积,数J称为f (x, y)在D上的二重
(x,y)处的面密度为 (x,y) ，假定 (x,y)在D上连续，平
面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块， y
取典型小块，将其近似
•
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
o
近似等于薄片总质量
n
Mlim0 i1(i,i)i.
(i,i )
i
x
三、二重积分的概念 简单的说
定义1 设f (x, y)在有界闭域D上有界，若对于D的任
(3) i上的点含有D的边界点。
y 将属于直线网T的第(1)类 小矩形的面积作和，记为
sD(T)
将属于直线网T的第(1)类 与第(3)类小矩形的面积作 和，记为 SD(T)
则有 s D (T ) S D (T ) R o
(3) (3) (1)
(1)
(1) (1) D
(1)
(3)
(2) (2)
(2)
D
D
的 大 小 , 其 中 D是 三 角 形 闭 区 域 , 三 顶 点
各 为 (1,0),(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
D
故 ln x ( y ) 1 ,
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
意分割和在i上任意取 (i , i) ，作积、作和，
记T 的 分T 细 割 m i d i度 ,a d i为 xi的.直径
若极限
n
lTi m 0i 1f(ξi,ηi)Δ i
存在，则称其为f (x, y)在D上的二重积分，记为
f(x,
D
y)d
lTi m 0i n1f(i,i)i
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
D
D
性质2 [f(x,y)g(x,y)d ] f (x ,y )d g (x ,y )d
D
D
D
性质3 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d f ( x ,y ) d .
D
D 1
D 2
性质4 若为D的面积, 1 dd.
D
D
性质5 若在D上 f(x ,y )g (x ,y ),
例3 判 断lnx2(y2)dx的 d符 y 号 .
rxy1
解 当 r x y 1 时 , 0 x 2 y 2 (x y )2 1 ,
故 ln x 2 ( y 2 ) 0 ;
又 当 xy 1 时 , lnx2(y2)0,
于 是 ln x 2 (y 2 )dx 0 .dy
r x y 1
例4 比 较 积 分 lnx(y)d与 [ln x(y)2]d
定理21.1.4 由参数方 xy程 ((tt))所表示的光滑曲线
按段光滑,曲 其线 面积一定. 为零
二、问题的提出
1. 曲顶柱体的体积
柱体体积=底面积× 高 特点：平顶
zf(x,y)
D
柱体体积=？ 特点：曲顶
曲顶柱体
曲顶柱体： 以平面有界区域D为底，
zf(x,y)
以曲面∑：z=f(x,y)为顶， 一般z=f(x,y)在D上连续。
二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和。
曲顶柱体体积 Vf(x,y)d D
平面薄片的质量 Mf(x,y)d D
(3) 与定积分相似,若函数f (x, y)在D上可积,可采用特殊 的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 积分值.
二重积分的具体形式
在直角坐标系下用平行 y 于坐标轴的直线网来划分区 域D，
任一,将 分 D分 割n 成 个可求面积 1,的 ,n,令 小
M i sup f(x,y),
(x,y)i
mi (xi,yn )iff(x,y), (i1,,n)
n
n
S (T属于分割T的上和
属于分割T的下和
上和、下和的性质类似于定积分
于是有
2 可积的充要条件
0,直线网T分 , 使 割 S D ( T ) 得 s D ( T )
证明过程完全类似于定积分.
推论 平面有 D 面界 ID 积 0 图 ID 形 0
定理21.1.2 平面有界 D为 图可 形求 面积
D的边D 界 的面积. 为零
定理21.1.3 若曲 K是 线定[a义 ,b]上 在的
连续f函 (x)的 数图 ,则 象 曲 K的 线面积 . 为
积分.
f
D
(x,
y)d
lTi m 0i n1f(i,i)i
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 分
积积 表元 达素 式
划 细 度
积 分 和
对二重积分定义的说明：
(1) 二重积分的定义中，对闭区域的划分和介点选取 是任意的。
(2) 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积 的负值. 若位于xoy面上方柱体的体积为正值； 位于xoy面下方柱体的体积为负值，
(2) 作近似 任 (i,取 i) i
Vi f(i,i)i
(i1, 2, ， n)
z =f (x, y)
•
(3) 求和 V n f(ξi,ηi)Δi i1
(4) 取极限
令 m 1ina x i直径 x
n
Vl i0m i 1f(ξi,ηi)Δi
y
D
i