第6章 储能元件 (1)
电路原理第6章
储能元件
6.1 电容元件
6.2 电感元件
电容、 6.3 电容、电感元件的串并联
6.1 电容元件
如果一个二端元件在任一时刻， 如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间 的关系由uq平面上一条曲线所确定 平面上一条曲线所确定， 的关系由 平面上一条曲线所确定 ， 则称此二端元件 为电容元件。 为电容元件。 q q 电容器 _
结 论
(1) 元件方程的形式是相似的； 元件方程的形式是相似的； (2) 若把 u-i，q-ψ ，C-L， i-u互换 可由电容元件 互换,可由电容元件 ， ， 互换 的方程得到电感元件的方程； 的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件 Ψ 、q等称为对偶元素。 称为对偶元件, 等称为对偶元素。 称为对偶元件 等称为对偶元素 * 显然，R、G也是一对对偶元素 显然， 、 也是一对对偶元素 也是一对对偶元素: U=RI ⇔ I=GU I=U/R ⇔ U=I/G
电感器
把金属导线绕在一骨架上构 成一实际电感器， 成一实际电感器，当电流通过 线圈时，将产生磁通， 线圈时，将产生磁通，是一种 储存磁能的部件
i (t)
+
u (t)
-
1）线性电感
韦安特性曲线是通过坐标原点 一条的直线的电感元件称为线性 一条的 直线的电感元件称为线性 电感元件， 电感元件 ， 否则称为非线性电感 元件。 元件。 线性时不变电感元件的特性曲线是一条通过原点不随时 间变化的直线， 间变化的直线，其数学表达式为
3）电感的储能 ） 在电压电流采用关联参考方向的情况下， 在电压电流采用关联参考方向的情况下，电感 的吸收功率为 di p (t ) = u (t )i(t ) = i(t ) L dt 当p>0时，电感吸收功率；当p<0时，电感发出功率。 时 电感吸收功率； 时 电感发出功率。 电感在从初始时刻t 到任意时刻t时间内得到的 电感在从初始时刻 0到任意时刻 时间内得到的 能量为
电路_邱关源_第六章_电容电感
第六章 储能元件§6-1 §6-2 §6-3电容元件 电感元件 电容、电感元件的串联和并联z 重点： 重点： z1. 电容元件的特性； 2. 电感元件的特性； 3. 电容、电感元件在串并联时的 等效参数。
§6-1电容器电容元件在外电源作用下，两极板上分 别带上等量异号电荷，并在介质中 建立电场而具有电场能。
撤去电 源，板上电荷仍可长久地集聚下 去，电场继续存在。
q +εq -电容器是一种能存储电荷或存储电场能量的部件。
电容元件就是反映这种物理现象的电路模型。
1. 线性电容元件(1) 电路符号 (2) 库伏特性C q + i + u -q -任何时刻，极板上的电荷q与电压u成正比。
q = CuC称为电容器的电容，是一个正实常数。
单位：F(法)，常用µF，pF等表示。
q = Cu线性电容元件的库伏特性( q～u )是过原点的直线。
库伏特性qαOu(3) 线性电容元件的电压、电流关系 电流和电压取关联参考方向C q + i + u -q -dq d (Cu ) du i= = =C dt dt dtCdu 由式 i = C 可知 dtq + i + u-q -(1) 电流与电压的大小无关，而与电压的变化率成正 比。
即电压与电流具有动态关系，电容是动态元件； (2) 当电压不随时间变化，即u为常数(直流)时，电流 为零。
电容相当于开路，电容有隔断直流作用； (3) 实际电路中通过电容的电流i为有限值，则电容 电压u必定是时间的连续函数。
Cdq 由式 i = C 得 dtt t0q + i +t t0-q u tq(t ) = ∫ idξ = ∫ idξ + ∫ idξ = q(t 0) + ∫ idξ−∞ −∞ t0上式的物理意义是：t时刻具有的电荷量等于t0时 的电荷量加以t0到t时间间隔内增加的电荷量。
指定t0为时间起点并设为零( t0=0 )，上式写为q(t ) = q(0) + ∫ idξ0tC因 u = q /C 由i +q + u或t-q t 0q(t) = q(t 0) + ∫ idξt0q(t ) = q(0) + ∫ idξ1 t u(t ) = u(0) + ∫ idξ C 0得1 t u(t) = u(t 0) + ∫ idξ C t0或可见，电容电压除与0到t的电流值有关外，还与 u(0)值有关，因此，电容是一种有“记忆”的元件。
PPT第六章-储能元件
du p ui u C dt
u与 i 取关联 参考方向
① p > 0, 电容元件吸收功率，即吸收能量 。 ② p < 0, 电容元件发出功率，即释放能量。 元件吸收的能量
在t0 ~ t 时间内，电容元件吸收的能量： u t t 1 2 du WC pdt C u dt C udu Cu t0 u t 0 dt 2
不同类型的电路，分析与计算的方法也不同。
单元二：时不变线性电阻电路的分析与计算
第六章
第一章：
储能元件
理想电路元件（集总参数元件）——描述电路中某一种 电磁性质的数学模型。 电压源和电流源、4种受控源、线性电阻元件 第六章：
电容元件和电感元件——描述电路中某一种电磁性质的 数学模型。
§6-1 电容元件
常用F，pF
1 F =106pF
电荷q的单位： 库仑（库）C
§6-1 电容元件
2．线性电容元件的特性——库伏特性 元件的电荷q与端电压u之间的关系，即 库伏特性
+q
C
－q
q Cu
＋
q
u
－
库伏特性曲线 在 u - q平面上表示库伏特性的曲线。 非线性电容元件
q C u
o q u
f (u, q) 0
理论基础 注意：推广应用于其他类型的电路 要求：一定要牢固掌握。
理想电路元件（集总参数元件）有： 电阻元件 电感元件 电容元件 电压源 电流源 受控源（4种）
按照理想电路元件（集总参数元件）的性质可以分为： 时不变元件 时变元件 线性元件 非线性元件 无源元件 有源元件
由不同类型、不同性质的元件组成不同类型的电路。
0.5F
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
电容电感的VCR
+ + -
u1 u2
+
等效
i L
u
-
-
di di u u1 u2 ( L1 L2 ) L dt dt
等效电感
L L1 L2
4. 电感的并联
1 i1 L1
t
+ i i1
u (ξ )dξ
i2
L2
+
等效
i L
∞
u
L1
u
1 i2 L2
t
∞
u (ξ )dξ
-
-
1 1 t 1 t i i1 i2 u (ξ )dξ ∞u (ξ )dξ ∞ L L L 1 2
电容、电感的VCR （u、i关联）
du 电容： i C dt di 电感： u L dt
电容、电感 的特性
①直流稳定时电容相当于开路， 电感相当于短路。 ②电容和电感都是动态元件、储能 元件、记忆元件、无源元件。
6-3 电容、电感元件的串联与并联
内容
电容的串联 电容的并联
电感的串联
电感的并联
1. 电感定义
储存磁场能的两端元件。任何时刻，其特性可用 - i 平面上的一条曲线来描述。
f (,i) = 0
o
2. 线性时不变电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流 i 与其磁 通链 成正比。 - i 特性为过原点的直线。
自感系数或 电感
L i
常用毫亨 mH
o
i
L 的单位名称：亨[利] 符号：H
(t ) Li(t )
电路符号:
3.线性电感的电压电流关系（VCR）
“电路原理”第1-6章作业
第一章“电路模型和电路定律”练习题1-1说明题1-1图（a ）、（b ）中：（1）u 、i 的参考方向是否关联？（2）ui 乘积表示什么功率？（3）如果在图（a ）中u >0、i <0；图（b ）中u >0、i >0，元件实际发出还是吸收功率？（a ） （b ）题1-1图解：（1）图（a ）中电压电流的参考方向是关联的，图（b ）中电压电流的参考方向是非关联的。
（2）图（a ）中由于 电压电流的参考方向是关联的，所以ui 乘积表示元件吸收的功率。
图（b ）中电压电流的参考方向是非关联的，所以ui 乘积表示元件发出的功率。
（3）图（a ）中u ＞0、i ＜0，所以ui ＜0。
而图（a ）中电压电流参考方向是关联 的，ui 乘积表示元件吸收的功率，吸收的功率为负，所以元件实际是发出功率；图（b ）中电压电流参考方向是非关联的，ui 乘积表示元件发出的功率，发出的功率为正，所以元件实际是发出功率。
1-4 在指定的电压u 和电流i 的参考方向下，写出题1-4图所示各元件的u 和i 的约束方程（即VCR ）。
（a ） （b ） （c ）（d ） （e ） （f ）题1-4图解：（a ）电阻元件，u 、i 为关联参考方向。
由欧姆定律u=Ri=104 i （b ）电阻元件，u 、i 为非关联参考方向，由欧姆定律u = - R i = -10 i （c ）理想电压源与外部电路无关，故 u = 10V （d ）理想电压源与外部电路无关，故 u = -5V（e ）理想电流源与外部电路无关，故 i=10×10-3A=10-2A（f ）理想电流源与外部电路无关，故i=-10×10-3A=-10-2A1-5 试求题1-5图中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。
（a ） （b ） （c ）题1-5图解：（a ）由欧姆定律和基尔霍夫电压定律可知各元件的电压、电流如解1-5图（a ）故 电阻功率10220WR P u i ==⨯=吸（吸收20W ）电流源功率 I 5210WP ui ==⨯=吸（吸收10W ） 电压源功率U 15230WP ui ==⨯=发（发出30W ）（b ）由基尔霍夫电压定律和电流定律可得各元件的电压电流如解1-5图（b ）故 电阻功率12345WR P =⨯=吸（吸收45W ） 电流源功率 I 15230WP =⨯=发（发出30W ） 电压源功率U 15115WP =⨯=发（发出15W ）（c ）由基尔霍夫电压定律和电流定律可得各元件的电压电流如解1-5图（c ）故 电阻功率15345WR P =⨯=吸（吸收45W ）电流源功率 I 15230WP =⨯=吸（吸收30W ） 电压源功率U 15575WP =⨯=发（发出75W ）1-16 电路如题1-16图所示，试求每个元件发出或吸收的功率。
chapter06储能元件.
t0
udξ
1 L
t
t0
udξ
i(t
)0
1 L
tt0udξ
ψ(t
)
ψ( t
)0
t
t0
udξ
讨论：
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关； (微分形式)
(2) 电感元件是一种记忆元件；(积分形式)
i 1
t
ud
1
0
ud
1
t
ud
i(0)
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶元素。
* 显然，R、G也是一对对偶元素: U=RI I=GU I=U/R U=I/G
电感和电容的串并联
电感的串联 电感的并联
n
Leq Lk k 1
1
n
1
Leq k1 Lk
电容的串联 电容的并联
1 n 1 Ceq k1 Ck
q =Cu
def q C
u
C 称为电容器的电容
电容 C 的单位：F (法) (Farad，法拉) F= C/V = A•s/V = s/
常用F，nF，pF等表示。
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 q
Ou
C= q/u tg
线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向
i
i dq C du dt dt
电容元件与电感元件的比较：
变量
电容 C 电压 u
电荷 q
电感 L 电流 i
磁链
关系式
q Cu
第6章储能元件78106-精品文档30页
(2) 当 u 为常数(直流)时，i = 0。电容相当于开路， 电容有“隔直通交”的作用；
(3) 实际电路中通过电容的电流 i为有限值，
则电容电压 u 不能跃变，必是时间的连续函数。
23.09.2019
8
伏安关系的积分形式
由
i
=
dq dt
得
t
t0
t
q(t) = i(x) dx = i(x) dx + i(x) dx
电容元件就是实际电容器的理想化模型。
线性电容元件的图形符号：
文字符号或元件参数：
C
23.09.2019
6
+
其它类型线性电容 元件的图形符号：
2. 库伏特性 若电压正极所在的极 板上储存的电荷为+q
则有： q = C u
电解电容 可变电容
+q C -q +u-
微调电容
q
即任何时刻，线性电 容元件极板上的电荷 q 与电压 u 成正比 。
等于元件在t2和t1时刻的电场能量之差。
充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|， Wc (t2)＞Wc (t1)，电容元 件吸收能量；
释放的能量≤吸收的能 量，是无源元件。
如果电容元件的库伏
放电时，|u(t2)|＜|u(t1)|， Wc (t2)＜Wc (t1)，电容元 件把存储的电场能量释
特性不是通过原点的 直线，则称为非线性 电容元件。
或
i= 1 L
单位：1 H = 103m H = 106mH
t
u dt 元件约束
-∞
储能的计算： wL(t) =
1 2
Li2(t)
其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件
PP06 储能元件
4.电容的贮能
电容是一种贮能元件（存贮电场能）。
①
a, b, c, d,
p (t ) = u (t ) i (t ) = Cu (t )
u(t ) > 0, u(t ) > 0,
u (t ) < 0,
du (t ) dt
u(t ) < 0,
p = dw dt
du(t ) p > 0, u ↑, 吸收能量， > 0 ； dt du(t ) (t p < 0； < 0, u ↓, 释放能量， dt du(t ) > 0, u ↓, 释放能量，p < 0 ； dt du(t ) p < 0, u ↑, 吸收能量， > 0 ； dt
W (t) = 1 Cu2(t) C 2
电容元件是一种储能元件，又是一种无源元件.
例1-5：电容与电压源相接，电压源电压随时间按三角波方式 变化，求电容电流。
§6-2
电感元件
电感器：存贮磁场能量的器件（导线绕成线圈，导线中 有电流时，其周围建立磁场）
① 任一时刻 t , 磁链 ψ (t) 取决于同一时刻的电流 i(t);
di(t) a, i(t) > 0, > 0, dt di(t) b, i(t) > 0, dt < 0, di(t) i(t) < 0, > 0, dt d, i(t) <0, di(t) <0, dt
c,
i ↓, 释放能量，p < 0
i ↑, 吸收能量，p > 0
②
dw p= dt
w= ∫ pdt
2 WL (t ) = 1 LiL (t ) = 1 L(e−t )2 , 2 2
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（2）上式中 u(t0) 称为电容电压的初始值，它反映电 容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。
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3. 电容的功率和储能
du
功率
p ui u C
dt
u、 i 取关
联参考方向
电容的储能
WC
t
u idξ
t u C du dξ 1 Cu2 ( ) t
dξ
2
1
Cu2 (t )
0
1
i /A
1
-1
1
2 t /s
2 t /s
上页 下页
p(t) u(t)i(t)
0
2t 2t
4
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
W (t) 1 Cu2(t)
C
2
0
t0
t 2 (t
2)2
0 t 1s 1 t 2s
0
t 2s
p/W 2
吸收功率
0
1
-2
WC /J 1
2 t /s
t
(1)d
1
4 2t
uC
(t
)
u(2)
1 0.5
t
0d
2
0
上页 下页
电感器
1.定义
6.2 电感元件 (Inductor)
把金属导线绕在一 骨架上构成一实际
i (t)＋
u (t)
－
电感器，当电流通 (t)
过线圈时，将产生 (t)
磁通，是一种储存
磁场能量的部件。
(t)＝N (t)
电感元件
di Leq dt
u L di dt
i Leq ＋ u-
Leq L1 L2 Ln
上页 下页
电感的并联
i
＋
u
-
i1 i2
i i1 i2 in
in
i Leq
＋
u
-
1
i i(t0 ) L
t
ud
t0
1
i1(t0 ) L1
t t0
ud
i2(t0 )
1 L2
t t0
q2(t1 )
充电时，有u(t2 ) u(t1 )，故WC (t2 ) WC (t1 )
放电时，有u(t2 ) u(t1 )，故WC (t2 ) WC (t1 )
电容能在一段时间内吸收外部供给的能量，转化为 电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电 路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不 消耗能量。
Li2()
1
Li 2 (t )
0
2
2
2
表明
（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 电流不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电感储存的能量一定大于或等于零。
上页 下页
从t0到 t 电感储能的变化量：
WL
1 2
Li 2 (t )
1 2
Li2(t0 )
1
2L
2(t)
1
2L
2(t0 )
当电流 i(t) 增加时，WL (t) 0，元件吸收能量 当电流 i(t) 减少时，WL (t) 0，元件释放能量
1
若u( ) 0
Cu2()
1
Cu2 (t )
0
2
2
2
表 （1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容
明
电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
（2）电容储存的能量一定大于或等于零。
上页 下页
从 t1 时刻到 t2时刻电容储能的变化量：
WC
1 2
Cu2
(t
2
)
1 2
Cu2
(t1
)
1 2C
q2(t2)
1 2C
(3) 实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不
能跃变，必定是时间的连续函数。
上页 下页
i(t) 1
t
ud
1
t0 ud 1
t
ud
L
L
L t0
1
i(t0) L
t
ud
t0
电感元件VCR 的积分形式
表明
电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。
注 （1）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达
1 un (t0 ) (C1
1 C2
1 )
Cn
t
id
t0
u(t0
)
1 C eq
t
id
t0
1 11
1
Ceq C1 C2
Cn
上页 下页
电容的并联
i
＋
u
i1
i2
in
- C1 C2
Cn
i Ceq
＋u -
i i1 i2 in
du du
du
C1 dt C2 dt Cn dt
电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能 量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电 感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。
上页 下页
电容元件与电感元件的比较
变量 关系式
电容 C
电感 L
电压 u 电荷 q
q Cu
i C du dt
WC
1 Cu2 2
1 2C
q2
电流 i
ud
in(t0 )
1 Ln
t
ud
t0
i1(t0 ) i2(t0 )
1 in (t0 ) ( L1
1 L2
1 )
Ln
t
ud
t0
i(t0)
1 Leq
t
ud
t0
1 11
1
Leq L1 L2
Ln
上页
(3) 实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压u
必定是时间的连续函数。
上页 下页
u(t) 1
t id 1
t0 id 1
t
id
C
C
C t0
1
u(t0 ) C
t
id
t0
电容元件VCR 的积分形式
表明: 电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
注 （1）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表达
上页 下页
例 求电流i、功率P (t)和储能W (t)
解 uS (t)的函数表示式为:
0
us
(t
)
2t 2t
4
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
＋
i
us (t) C
0.5F
－
u/V 2
电源波形
解得电流
0
i(t)
C
dus dt
1 1
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
上页 下页
线性电容的电压、电流关系 + q C －q
电容元件VCR 的微分形式
＋
表明:
u
－
u、i 取关联
参考方向
i dq C du dt dt
(1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大小无关， 电容 是动态元件；
(2) 当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电容 有隔断直流作用；
(C1
C2
C
n
)
du dt
Ceq
du dt
i C du dt
Ceq C1 C2 Cn
上页 下页
电感的串联
i L1
L2
＋ u1 - ＋ u2 -
Ln
＋ un -
＋
u
-
u u1 u2 un
di di
di
L1 dt L2 dt Ln dt
di (L1 L2 Ln ) dt
储存磁能的元件。其特
性可用～i 平面上的一
条曲线来描述。
i
f ( , i) 0
上页 下页
2. 线性电感元件
任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链 成正比。
~ i 特性是过原点的直线。
(t) Li(t) or L tan
i
电路符号
iL
+ u (t) －
Oi
单位
L 称为电感器的自感系数, L的单位：H (亨)
一条曲线来描述
f (u,q) 0
u q
上页 下页
2. 线性电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比，q
~ u 特性是过原点的直线。
q
q Cu or C q tan
u
电路符号
+ q C －q
Ou
＋
u
－
单位
C 称为电容器的电容, 单位：F (法)
(Farad，法拉), 常用 F、p F、n F等表示。
电容的串联
i C1 C2
＋ ＋u1-＋u2- u
Cn
＋un-
i Ceq
- ＋u -
u u1 u2 un
1
u u(t0 ) C
t
id
t0
1
u1(t0 ) C1
t t0
id
u2 (t0
)
1 C2
t
id
t0
un (t0 )
1 Cn
t0 )
释放功率
0
1
2 t /s
上页 下页
若已知电流求电容电压，有
0
i(t
)
1
1
0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i /A 1
-1
1
2 t /s