数理统计习题与解答_习题 1

y −1
fY ( y ) =
（3）当 y − 5 ≥ −5且y − 1 ≤ 1 ，即 0 ≤
−5
∫
1 1 y+4 ⋅ dx1 = 6 4 24
y ≤ 2 时，
1 1 dx1 = 24 6 y −5
y −1
fY ( y ) =
∫
（4）当 y − 1 ≥ 1且y − 5 ≤ 1, 即2 ≤ y ≤ 6时 ，
f ( x1 , x2 ) = f1 ( x1 ) ⋅ f 2 ( x2 ) ，则 Y = X 1 + X 2 的分布函数为
FY ( y ) = P ( x1 + x2 ≤ y ) = =
（1） ）当 y < −4 时， FY ( y ) = 0 ；
y -1 x1 + x2 ≤ y
∫∫ ∫∫
f ( x1 , x2 )dx1dx2 f1 ( x1 ) f 2 ( x2 )dx1dx2
试证明 X ，Y，Z 两两独立，但不相互独立。 证明：
+∞
f ( X,Y) ( x, y ) = ∫
−∞
2π
f ( x, y, z )dz
1 8π 3 (1 − sin x sin y sin z )dz
=∫ = ⎧ 1 ⎪ 同理： f (Y , Z ) ( y, z ) = ⎨ 4π 2 ⎪ ⎩ 0
f ( x | y) =
f ( x, y ) ⎧[ (1 + λ x)(1 + λ y ) − λ ] e − x −λ xy , x > 0 ( y > 0) =⎨ fY ( y ) ⎩ 0, x ≤ 0
f ( x, y ) ⎧[ (1 + λ x)(1 + λ y ) − λ ] e − y −λ xy , y > 0 f ( y | x) = ( x > 0) =⎨ f X ( x) ⎩ 0, y ≤ 0
（2）令 F ( x, y ) = FX ( x) FY ( y ) ⇒ λ = 0 ；所以，当 λ =0 时， X 与 Y 独立；当 λ ≠ 0 时，
X 与 Y 不是相互独立的。
（3） X 的边缘密度为：
f X ( x) =
dFX ( x ) dx
⎧ e − x x > 0 =⎨ ⎩ 0 x ≤ 0
习题一
1. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为
⎧1 − e − x − e − y + e− x − y −λ xy , x > 0, y > 0 F ( x, y ) = ⎨ 其它 0, ⎩
(1) 求 ( X , Y ) 的边缘分布函数; (2) 问 X 与 Y 是否独立?为什么? (3) 求条件密度函数 f ( y | x), f ( x | y ) 。 解: （1） ( X , Y ) 的边缘分布函数 当 x ≤ 0 时， FX ( x ) = lim F ( x, y ) = 0 ；当 x > 0 时，
+∞
−∞
fY ( y ) =
1 6− y dx1 = 24 24 y −5
∫
1
（5）当 y − 5 ≥ 1, 即y ≥ 6时 ， f1 ( x1 ) = 0 ，那么 fY ( y ) = 0 。 综上所述，可得 Y = X 1 + X 2 的分布密度函数为
⎧ 0, y ≥ 6或y < −4 ⎪y+4 ⎪ , −4≤ y < 0 24 ⎪ ⎪ fY ( y ) = ⎨ 1 ⎪ 6, 0≤ y < 2 ⎪ ⎪y −6, 2 ≤ y < 6 ⎪ ⎩ 24
即
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ F (u, v) = P ⎜ ∩ { X i ≤ v} ⎟ − P ⎜ ∩ {u < X i ≤ v} ⎟ ； ⎝ 1≤i ≤ n ⎠ ⎝ 1≤i ≤ n ⎠
因为 X 1 , X 2 , … , X n 独立同分布，所以
F (u, v) = ∏ P{ X i ≤ v} − ∏ P{u < X i ≤ v}
(
) (
)
综上所述，我们有 (U , V ) 的联合分布函数为：
n n ⎧ ⎪[ F (v) ] − [ F (v) − F (u )] F (u , v) = ⎨ n [ F (v ) ] ⎪ ⎩
u<v u≥v
3．设 （X ，Y，Z）的联合密度函数为
Τ
⎧ 1 1 − sin x sin y sin z ), 0 ≤ x, y, z ≤ 2π ⎪ （ （ f x，y，z） = ⎨ 8π 3 ⎪ 0, 其它 ⎩
∫e
0
θ
Байду номын сангаас
dx]
=
z z 1 −θ 因此， f z ( z ) = e (1 + ),θ > 0, z ∈ (−∞, +∞) 4θ θ
且分别服从 （-5， 1） 与 （1， 5） 内的均匀分布， 求 Y = X1 + X 2 5． 设随机变量 X 1 与 X 2 独立， 的分布密度。 解法一：根据题设可知 X 1 与 X 2 的分布密度函数分别为：
y →+∞
y →+∞
lim F ( x, y ) = lim (1 − e − x − e − y + e − x − y −λ xy ) = 1 − e− x
y →+∞
⎧1 − e − x x > 0 ⇒ FX ( x ) = ⎨ x≤0 ⎩0
同理可得
⎧1 − e − y y > 0 FY ( y ) = ⎨ ⎩0 y ≤ 0
F (u, v) = P min { X i } ≤ u, max { X i } ≤ v
1≤i ≤ n 1≤i ≤ n
(
)
（1）
（1）式等价于 F (u , v ) = P ⎜ ⎜ 当 u < v 时，
⎛⎛ ⎝
∩ {X ⎝
1≤i ≤ n
i
⎞ ⎛ ⎞⎞ ≤ v} ⎟ − ⎜ ∩ {u < X i ≤ v} ⎟ ⎟ ⎠ ⎝ 1≤i ≤ n ⎠⎠
而
0
1 4π 2
(0 < x, y < 2π ) ⎧ 1 ⎪ ， f ( X , Z ) ( x, z ) = ⎨ 4π 2 ⎪ ⎩ 0 0 < x, z < 2π
其它
0 < y, z < 2π
其它
f X ( x) =
= = ⎧ 1 ⎪ 同理： fY ( y ) = ⎨ 2π ⎪ ⎩ 0
所以
∫ ∫
+∞ −∞
+∞
fY ( y ) =
−∞
∫
f1 ( x1 ) ⋅ f 2 ( y − x1 )dx1
⎧1 ⎪ , y − 5 < x1 < y − 1 由于 f 2 ( y − x1 ) = ⎨ 4 ，将 y 当作参数讨论如下: ⎪ ⎩0, 其它
（1） 当 y − 1 ≤ −5, 即y ≤ -4 时， f1 ( x1 ) = 0 ，那么 fY ( y ) = 0 （2） 当 y − 1 ≤ 1且y − 1 ≥ −5 ，即 −4 ≤ y ≤ 0 时，有
（3）当 2 ≤ y < 6 时， F （ ） = Y y
y -5
∫
dx1
1 1 2 dx2 = （y - 6） ； 24 48 y −1
∫
（4）当 6 ≤ y 时， F （ = 1； Y y） 综上所述，可得 Y = X 1 + X 2 的分布密度函数为
⎧ 0, y ≥ 6或y < −4 ⎪y+4 ⎪ ,−4≤ y <0 24 ⎪ ⎪ fY ( y ) = FY′ ( y ) = ⎨ 1 ⎪ 6, 0≤ y < 2 ⎪ ⎪y−6, 2≤ y < 6 ⎪ ⎩ 24
⎧1 ⎪ , −5 < x1 < 1 f1 ( x1 ) = ⎨ 6 ⎪ ⎩0, 其它
⎧1 ⎪ ,1 < x < 5 f 2 ( x2 ) = ⎨ 4 ⎪ ⎩0, 其它
设随机向量 ( X 1 , X 2 ) 的联合分布密度为 f ( x1 , x2 ) ，由于 X 1 , X 2 相互独立，故 Y = X 1 + X 2 的分布密度函数为:
2π 0
dy ∫ dy ∫
+∞ −∞
2π
f ( x , y , z )dz
1 8π 3 (1 − sin x sin y sin z ) dz
0
1 (0 < x < 2π ) 2π ⎧ 1 ⎪ ， f Z ( z ) = ⎨ 2π ⎪ ⎩ 0 0 < z < 2θ
其它
0 < y < 2θ
其它
f ( X ,Y ) ( x, y ) = f X ( x) fY ( y ) f (Y , Z ) ( y , z ) = fY ( y ) f Z ( z ) f ( X , Z ) ( x, z ) = f X ( x ) f Z ( z )
2．设 X 1 , X 2 , … , X n 是独立的随机变量，有同样的分布函数，令
U = max X i , V = min X i
1≤i ≤ n 1≤i ≤ n
试求 (U , V ) 的联合分布函数。 解：设 X i 的分布函数为 F ( x) ， (U , V ) 的联合分布函数为 F (u , v) ，则
1≤i ≤ n 1≤ i ≤ n
= [ F (v)]n − [ F (v) − F (u )]n
（1）式等价 当 u ≥ v 时，
F (u, v) = P min X i ≤ u, max X i ≤ v = P max X i ≤ v = [ F (v)]n
1≤i ≤ n 1≤i ≤ n 1≤i ≤ n