(整理)一元二次方程中考考点

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武汉市翠微中学 陈浩 430050 考点一、一元二次方程的概念 【例1】（2007，武汉）如果2是一元二次方程x2＝c的一个根，那么常数c是（ ）． （A）2 （B）－2 （C）4 （D）－4 解析：将2代入方程x2＝c中，得c＝22＝4，故选C． 【例2】（2005，甘肃）关于x的一元二次方程（k＋4）x2＋3x＋k2＋3k－4＝0有一个根为0，求k的值． 解析：将x＝0代入上述方程中有k2＋3k－4＝0，解得k1＝1，k2＝－4，∵k＋4≠0，∴k＝1． 点评：当一元二次方程的二次项含有参数时，切记二次项的系数不能为0． 【中考真题演练】 1．（2007，盐城）已知x=1是一元二次方程x2－2mx＋1=0的一个解，则m的值是（ ）． （A）1 （B）0 （C）0或1 （D）0或－12007，

2．（2007，乐山）已知1x是关于x的方程2220xaxa的一个根，则a_______． 3．（2007，株洲）已知x＝1是一元二次方程2400axbx的一个解，且ab，求2222abab的值．

4．（2007，大连）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程311xx解相同． 求k的值；（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个解．

【参考答案】1．A；2．a＝1或a＝－2；3．20；4．k＝－1，x1＝2，x2＝－1． 考点二、一元二次方程的解法 （一）配方法 ................. ................. 例 2x2＋1＝3x 解析：移项，得2x2－3x＝－1，二次项系数化为1，得21232xx．配方，得222)43(21)43(23xx，161)43(2x，由此得4143x，x1＝1，x2＝21．

点评：配方法是解一元二次方程中常见方法，在今后的学习中将凸显它的重要地位，值得关注，在配方解一元二次方程的过程可以简记为：移、除、加，解四步曲，（1）移，将含有未知数的项移到方程的左边，将常数项移到方程的右边，（2）除，方程两边同时除以二次项的系数，将方程的二次项系数化为1，（3）加，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，（4）解，直接开方得解． 【中考真题演练】 1．（2007，武汉）解方程：x2＋2x－4＝0 2．（2007，重庆）方程412x的解为 ． 3．（2007，内江）用配方法解方程2420xx，下列配方正确的是（ ）． （A）2(2)2x （B）2(2)2x （C）2(2)2x （D）2(2)6x 4．（2006，贵阳）一元二次方程2230xx的两个根分别为（ ）． （A）xl=1，x2=3 （B）xl=1，x2=－3 （C）x1=－1，x2=3 （D）xI=－1，x2=－3

【参考答案】1．x1＝－1＋5，x2＝－1－5；2．x＝3或－1；3．B；4．C． （二）公式法 【例1】（2007，武汉）解方程：210xx． 解析：a＝1，b＝1，c＝－1，b2－4ac＝1－4×（－1）＝5＞0，x＝

251242aacbb，解得，x1＝251，x2＝251．

点评：利用公式法时，注意两点（1）将一元二次方程化为一般式，确定a，b，c的值；（2）牢记使用公式时b2－4ac≥0． 【中考真题演练】 （2006，武汉）解一元二次方程：x2－x－1＝0． ................. ................. 【参考答案】x1＝251，x2＝251 （三）因式分解法 例1 （2006，安徽）方程x（x＋3）=x＋3的解是（ ）． （A）x=1 （B）xl=0，x2=－3 （C）x1=1，x2=3 （D）xI=1，x2=－3 解析：移项，x（x＋3）－x＋3＝0，提取公因式，得（x－1）（x＋3）＝0，解得，xI=1，x2=－3，故选D． 点评：本例应避免方程两边同时除以（x＋3），否则方程会失根． 【中考真题演练】 1．（2007，宁波）方程x2＋2x=0的解为 ． 2．（2007，湖州）方程x2－25＝0的解是（ ）． （A）x1＝x2＝5 （B）x1＝x2＝25 （C）x1＝5，x2＝－5 （D）x1＝25，x2＝－25 3．（2006，河北）一元二次方程230xx的根是（ ）． （A）3x （B）120,3xx （C）120,3xx （D）120,3xx 4．（2007，扬州）方程042xx的解为 ． 5．（2007，内江）方程（x－2）（x－3）＝6的解为 ． 【参考答案】1．x1＝0，x2＝－2；2．C，3．D；4．x1＝0，x2＝4，5．x1＝0，x2＝5． （四）换元法 【例1】（2007，南通）用换元法解方程4112xxxx，若设yxx1， 则可得关于的整式方程_______________________．

解析：观察得知1xx与xx1互为倒数，则有2y－y1＝4，方程两边同时乘以y得，2y2－1＝4y，化为一般式为2y2－4y－1＝0． 【中考真题演练】 1．（2006，北京）用换元法解方程：xxxx2261． ................. ................. 2．（2006，福州）解方程：22(2)3(2)20xxxx．

【参考答案】1．设x2－x＝y，则y＋1＝y6，两边同时乘以y，得y2＋y＝6，解得y1＝2，y2＝－3，当y＝2时，即x2－x＝2，解得，x1＝2，x2＝－1，当y＝－3时，x2－x＝－3，此方程无解，经检验x＝2是原方程的根；2．设yxx2，则y2－3y＋2＝0，解得y1＝1，y2＝2；当y＝1时，12xx，此方程无解，当y＝2时，22xx，x＝2，经检验x＝2是原方程的根． 友情提示：在利用换元法解分式方程时，应注意将方程的根进行检验． 考点三、b2－4ac的应用 当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，当b2－4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根．

【例1】（2007，怀化）已知方程230xxk有两个相等的实数根，则k＝ ． 解析：方程230xxk有两个相等的实数根，则有(－3)2－4k＝0，求得k=49． 【中考真题演练】 1．（2006，广安）关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）． （A）k>－1 （B）k>1 （C）k≠0 （D）k>－1且k≠0

2．（2007，巴中）一元二次方程2210xx的根的情况为（ ）． （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根 3．（2007，眉山）一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是（ ）． ................. ................. （A）有两个不相等的正根 （B）有两个不相等的负根 （C）没有实数根 （D）有两个相等的实数根

4．（2007，泸州）若关于x的一元二次方程220xxm没有实数根，则实数m的取值是（ ）． （A）1m （B）1m （C）1m （D）1m 【参考答案】1．A，2．B，3．C，4．C． 考点四、根与系数的关系 当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，x1

＝aacbb242，x2＝aacbb242，故x1＋x2＝aacbb242＋

aacbb242＝abab22，x1x2＝aacbb242×aacbb242＝

22224)4()(aacbb

＝acaac244．

【例1】（2007，徐州）已知x1，x2是方程2560xx的两个根，则代数式2212xx的值是（ ）． （A）37 （B）26 （C）13 （D） 10 解析：因为b2－4ac＝25＋24＞0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝5，x1x2＝－6，2212xx

＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25＋12＝37，故选A． 【例2】（2007，广州）关于x的方程20xpxq的两根同为负数，则（ ）． （A）0p>且q>0 （B）0p>且q<0 （C）0p0 （D）0p解析：关于x的方程20xpxq的两根同为负数，则x1＋x2＜0，x1x2＞0，则x1

＋x2＝－p＜0，p＞0，x1x2＝q＞0，故选A． 【中考真题演练】 1．（2006，上海）方程x2＋3x－4=0的两个实数根为x1、x2，则x1x2=__________． ................. ................. 2．（2006，江西）已知关于x的一元二次方程012kxx． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为21xx，，且满足2121xxxx，求k的值．

3．（2006，南通）已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x＋m＋2＝0．(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；(2)若方程的两实数根之积等于m2－9m＋2，求6m的值．

4．(2007，天门）已知关于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0．(1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值．

【参考答案】1．－4；2．（1）略，（2）k＝1；3．（1）m1＝7，m2＝－1，（2）若方程的两实数根之积等于m2－9m＋2＝m+2，求得m1＝0，m2＝10，当m＝0时，原方程没有

实数根，故m＝10，6m＝4．4．（1）m＝5，（2）4．

考点五、开放创新题