242函数的凹凸与图形的描绘-精选文档
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《函数曲线的凹凸性》课件
《函数曲线的凹凸性》 ppt课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数曲线的凹凸性与作图
（2）y
8
x3
5
x 3，y
8
5
x3
5
2
x 3，y
40 x
10
.
33
93 x
（3）令y 0，得x 1，又当x 0时，y不存在，故有表3 - 5所示的区间. 4
表3-5
函数曲线的凹凸性与作图
综上所述，判定曲线y f x的凹凸及拐点的步骤归纳如：
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的一阶导数f x和二阶导数f x； （3）求出f x 0和f x不存在的点； （4）对步骤（3）求出的每一个点，检查其左、右邻近的f x的符号，如果异号，则该点为曲
（1）确定函数的定义域和值域； （2）确定曲线关于坐标轴的对称性； （3）求出曲线和坐标轴的交点； （4）判断函数的单调区间并求出极值； （5）判断函数的凹凸区间和拐点； （6）求出曲线的渐近线； （7）列表讨论并描绘函数的图像.
函数曲线的凹凸性与作图
例5
解
（1）定义无对称性.
0
曲线y f x的垂直渐近线(垂直于x轴).
（2）水平渐近线.对于曲线 y f x，若 lim f x A或 lim f x A,则直线y A是曲
x
x
线y f x的水平渐近线（平行于x轴）.
（3）斜渐近线 . 对于曲线y f x，若 lim f x a，lim[ f x ax] b，则直线 y ax b
定义2
若曲线C上的动点P沿曲线无限地远离原点时，动点P到某一固定直线L的距 离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线.
函数曲线的凹凸性与作图
曲线的渐近线有垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线三种.
（1）垂直渐近线.对于曲线y
f
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的凹凸性与函数的作图共33页
函数的凹凸性与函数的作图
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪3Βιβλιοθήκη 、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
33
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪3Βιβλιοθήκη 、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
33
函数的凹凸性,拐点与图形描绘
0
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
11
第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
8
4 是否有拐点？ 例4. 问曲线 y = x 是否有拐点？
解
定义域： 定义域：(− ∞ ,+∞ ),
y' = 4 x 3 ,
y" = 12 x 2 .
显然当 x = 0时， y ′′ = 0,
但当 x ≠ 0 时，总有 y" > 0. 因此，（ ，0）不是这曲线的拐点。 因此，（0， ）不是这曲线的拐点。 ，（
2 2
用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
11
第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
8
4 是否有拐点？ 例4. 问曲线 y = x 是否有拐点？
解
定义域： 定义域：(− ∞ ,+∞ ),
y' = 4 x 3 ,
y" = 12 x 2 .
显然当 x = 0时， y ′′ = 0,
但当 x ≠ 0 时，总有 y" > 0. 因此，（ ，0）不是这曲线的拐点。 因此，（0， ）不是这曲线的拐点。 ，（
2 2
用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .
《函数凹凸性》课件
几何意义
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
凹凸性与函数图形描绘
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x 3
b
lim [
x
f
(
x)
x]
lim
x
2x x2
2 3x 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
拐点是平面上的一个点，坐标为(x0, f (x0))
(2)求法： f (x)在 x0点二阶可导，
若点(x0, f (x0 ))为拐点，
(3)拐点的求法
问题:如何找拐点? 拐点只可能出现在f ( x) 0 或f ( x)不存在的点.
具体求法: (1) 定义域;
(2) 找出 f ( x) 0 及f ( x)不存在的点; (3) 用这些点将定义区间分成若干小区间,列表;
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差”
CM
P
y kxb
例如, 双曲线
LN
有渐近线 但抛物线
x y0 ab
无渐近线 .
oy
x
ox
(1). 水平与垂直渐近线
若
则曲线
x
1)
e
x2 2
.
2
得驻点 x 0,
令 ( x) 0,
得 x 1, x 1.
高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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结束
备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
机动
x1x x1 x1x2x2x2 xx x2 x 1 2 2
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定义2 . 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称f(x)图形是凹的; (2) 若曲线弧位于其上每一点处切线的下方， y y 则称f(x)图形是凸的 . y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3
( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27
函数的凹凸性与函数的作图
f (x) 0
f (x)
(0,1) 1 (1,2) 2 (2,)
0
0
f (x)
极小值
f(0) 0
拐点 (1,2)
极大值 f(2) 4
例7 描绘函数 y4(x1)2 的图象． x2
解 (1)定义域：(, 0) (0,) ．
(2)函数不具有奇偶性，因此曲线无对称 性.
4.4 函数的凹凸性与函数的作
图
4.4.1 曲线的凹凸性与拐点
4.4.2 曲线的渐近线 4.4.3 函数的作图
y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
C B
A
o
x
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A oa
bx
A oa
bx
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
4.4.1 曲线的凹凸性与拐点
定义4.2 如果在某区间内，曲线弧位于
-3时，y 由负变正，又 f (3) 28 ，所以
(3,28) 是曲线的拐点.
9
9
(6)因为 lx i m (4(xx 21)2)2，所以
y2是曲线的水平渐近线.
又因为 x0是函数的间断点，且
lx i0m (4(xx 21)2)，所以 x0是曲线的 铅垂渐近线．
其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这
个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线
弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲
线在这个区间内是下凹的(上凹简称凹,下凹
简称凸)．
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A oa
bx
A oa
曲线的凹向及函数图形描绘
x1
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
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y y
o
x0
x
o
x0
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
用定理2求极值的步骤:
( 1 ) 求导数 f ( x );
( 2 ) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 ;
(4) 求极值 .
( 3 ) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正 , 判断极 ;
第四节 导数的应用
(二)
一、函数的极值
y
yf( x )
x a
1
ox
2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x )在区间( a , b )内有定义 , x0是
( a , b )内的一个点 , 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外 , f ( x ) f ( x0 )均成立 , 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值 ; 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外 , f ( x ) f ( x0 )均成立 , 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值 .
f ( x )在 x0 处取得极大值. ' ' x x , x x , (2) 如果 0 有 f ( x ) 0; 而 0 有 f ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x x0 , 及 x x0 , 时, f ' ( x )符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
f ( x ) 0 . 当 x2 时，
M
f( 2 ) 1 为 f( x ) 的极大值 .
归纳：求极值的步骤
1.求出一阶导数等于零的点(驻点)及不 可导点,由第一判别法进行判断; 2.求二阶导函数,由第二判别法进行判断 注意:极值是函数局部性形态特征, 极大值不一定比极小值大, 极小值也不一定比极大值小
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
定理1(必要条件) 设 f ( x ) x 在 点 处 具 有 导 数 , 且 0 ' f ( x ) 0 x 在 处 取 得 极 值 , 那 末 必 定 . 0 0
定义 使导数为零的点 ( 即方程 f ( x ) 0 的实根 ) 叫 做函数 f ( x ) 的驻点 .
最 小 值 .
2 解 :f() x 3 x 1 2 x 93 ( x 1 ) ( x 3 )
令 f () x 0 得 驻 点 为 : x 1 及 x 3 f( 0 ) 5 ,f( 1 ) 9 ,f( 3 ) 5 ,f( 5 ) 2 5 , f ( x ) 在 [ 0 , 5 ] 上 的 最 大 值 为 2 5 , 最 小 值 为 5 .
3 2 例2 求出函数 f ( x ) x 3 x 24 x 20 的极 .
解
2 3 ( x 4 )( x 2 ) f ( x ) 3 x 6 x 24
得驻点 x 4 ,x 2 . 令 f (x ) 0 ， 1 2
f ( x ) 6 x 6 ,
二 、 函 数 的 最 值
最 小 值 = m i n 所 有 极 值 ， 端 点 值 .
y y y
最 大 值 = m a x 所 有 极 值 ， 端 点 值 ；
oa
bx
o a
b x
o a
b x
3 2 例 4 . 求 fx ( ) x 6 x 950 x在 , 5 上 的 最 大 值 ,
f (x)
( 1 ,3)
3
(3 , )
0
极 大 值
0
极 小 值
f ( x)
极大值 f( 1 )10 ,
极小值 f(3 ) 22 .
3 2 f ( x ) x 3 x 9 x 5 图形如下
M
m
定理2-1 (第二判别法)
设 f ( x ) 在 x 0 处 具 有 二 阶 导 数 , 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值 (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值.
注意: 可导函数 f(x )的极值点必定是它 点 ,
但函数的驻点却不一定 是极值点 .
x 0 , 但 x0 不是极值点 . 例如, y x3 , y 0
定理2 (第一判别法)
' f 设函数 f ( x )在点 x0 的领域内可导，且 ( x ) 0 (1) 如果 x x0 , 有 f ' ( x ) 0; 而 x x0 , 有 f ' ( x ) 0 ，则
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例3 解
求出函数 f ( x ) 1 ( x 2 )的极值 .
2 f ( x ) ( x 2 )3 ( x 2 ) 3 1
2 3
f(x ) 在该点连续 . 当 x 2 时 ,f ( x ) 不存在 . 但函数
f ( x ) 0 ; 当 x2 时，
3 2 例1 求出函数 f ( x ) x 3 x 9 x 5 的极 .
解
2 3 ( x 1 )( x 3 ) f ( x ) 3 x 6 x 9
得驻点 x 1 , x 3 . 列表讨论 令 f (x ) 0 ， 1 2
x ( , 1 ) 1
18 0 , f ( 4 )
故极大值 f( 4 )60 ,
故极小值 f (2 ) 48 .
0 , f ( 2 )18
3 2 f ( x ) x 3 x 24 x 20 图形如下
M
m
注意: f (x ) 0 时 , f(x ) 在点 x 处不一定取 , 0 0 仍用定理 2 .
o
x0
x
o
x0
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
用定理2求极值的步骤:
( 1 ) 求导数 f ( x );
( 2 ) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 ;
(4) 求极值 .
( 3 ) 检查 f ( x ) 在驻点左右的正 , 判断极 ;
第四节 导数的应用
(二)
一、函数的极值
y
yf( x )
x a
1
ox
2
x3
x4
x5
x6
b
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x )在区间( a , b )内有定义 , x0是
( a , b )内的一个点 , 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外 , f ( x ) f ( x0 )均成立 , 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极大值 ; 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外 , f ( x ) f ( x0 )均成立 , 就称 f ( x0 )是函数 f ( x )的一个极小值 .
f ( x )在 x0 处取得极大值. ' ' x x , x x , (2) 如果 0 有 f ( x ) 0; 而 0 有 f ( x ) 0 ，则 f ( x )在 x0 处取得极小值. (3)如果当 x x0 , 及 x x0 , 时, f ' ( x )符号相同,则 f ( x ) 在 x0 处无极值.
f ( x ) 0 . 当 x2 时，
M
f( 2 ) 1 为 f( x ) 的极大值 .
归纳：求极值的步骤
1.求出一阶导数等于零的点(驻点)及不 可导点,由第一判别法进行判断; 2.求二阶导函数,由第二判别法进行判断 注意:极值是函数局部性形态特征, 极大值不一定比极小值大, 极小值也不一定比极大值小
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
定理1(必要条件) 设 f ( x ) x 在 点 处 具 有 导 数 , 且 0 ' f ( x ) 0 x 在 处 取 得 极 值 , 那 末 必 定 . 0 0
定义 使导数为零的点 ( 即方程 f ( x ) 0 的实根 ) 叫 做函数 f ( x ) 的驻点 .
最 小 值 .
2 解 :f() x 3 x 1 2 x 93 ( x 1 ) ( x 3 )
令 f () x 0 得 驻 点 为 : x 1 及 x 3 f( 0 ) 5 ,f( 1 ) 9 ,f( 3 ) 5 ,f( 5 ) 2 5 , f ( x ) 在 [ 0 , 5 ] 上 的 最 大 值 为 2 5 , 最 小 值 为 5 .
3 2 例2 求出函数 f ( x ) x 3 x 24 x 20 的极 .
解
2 3 ( x 4 )( x 2 ) f ( x ) 3 x 6 x 24
得驻点 x 4 ,x 2 . 令 f (x ) 0 ， 1 2
f ( x ) 6 x 6 ,
二 、 函 数 的 最 值
最 小 值 = m i n 所 有 极 值 ， 端 点 值 .
y y y
最 大 值 = m a x 所 有 极 值 ， 端 点 值 ；
oa
bx
o a
b x
o a
b x
3 2 例 4 . 求 fx ( ) x 6 x 950 x在 , 5 上 的 最 大 值 ,
f (x)
( 1 ,3)
3
(3 , )
0
极 大 值
0
极 小 值
f ( x)
极大值 f( 1 )10 ,
极小值 f(3 ) 22 .
3 2 f ( x ) x 3 x 9 x 5 图形如下
M
m
定理2-1 (第二判别法)
设 f ( x ) 在 x 0 处 具 有 二 阶 导 数 , 且 f ' ( x0 ) 0 , f '' ( x0 ) 0 , 那末 (1)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值 (2)当 f '' ( x0 ) 0 时, 函数 f ( x )在 x0 处取得极小值.
注意: 可导函数 f(x )的极值点必定是它 点 ,
但函数的驻点却不一定 是极值点 .
x 0 , 但 x0 不是极值点 . 例如, y x3 , y 0
定理2 (第一判别法)
' f 设函数 f ( x )在点 x0 的领域内可导，且 ( x ) 0 (1) 如果 x x0 , 有 f ' ( x ) 0; 而 x x0 , 有 f ' ( x ) 0 ，则
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例3 解
求出函数 f ( x ) 1 ( x 2 )的极值 .
2 f ( x ) ( x 2 )3 ( x 2 ) 3 1
2 3
f(x ) 在该点连续 . 当 x 2 时 ,f ( x ) 不存在 . 但函数
f ( x ) 0 ; 当 x2 时，
3 2 例1 求出函数 f ( x ) x 3 x 9 x 5 的极 .
解
2 3 ( x 1 )( x 3 ) f ( x ) 3 x 6 x 9
得驻点 x 1 , x 3 . 列表讨论 令 f (x ) 0 ， 1 2
x ( , 1 ) 1
18 0 , f ( 4 )
故极大值 f( 4 )60 ,
故极小值 f (2 ) 48 .
0 , f ( 2 )18
3 2 f ( x ) x 3 x 24 x 20 图形如下
M
m
注意: f (x ) 0 时 , f(x ) 在点 x 处不一定取 , 0 0 仍用定理 2 .