湖北省黄梅一中2014届高三适应性训练(二十)数学试题 (Word版含详细答案)

数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A.2-B.2± D.22．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A.()()22211x y -+-= B.()()22121x y ++-= C.()()22211x y ++-= D.()()22121x y -++=3 ）4．任取实数a 、[]1,1b ∈-，则a 、b 满足 ）5．在数列{}n a 中，已知11a =，，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）A.1006B.1007C.1008D.10096．设集合2{|20},{|40}A x x x B x x =-≤=-≤≤，则R AB =ð（ ）A.RB. {|0}x R x ∈≠C. {|02}x x <≤D. φ7．命题“2,320x R x x ∀∈-+≥”的否定是（ ）A. 2,320x R x x ∃∈-+< B. 2,320x R x x ∃∈-+> C. 2,320x R x x ∃∈-+≤ D. 2,320x R x x ∃∈-+≥8．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =；②()cos f x x =；；④2()f x x =.则输出的函数是（ ）A. ()sin f x x =B. ()cos f x x = D. 2()f x x = 9．直线,m n 均不在平面,αβ内，给出下列命题： ①若,mn n α，则m α；②若,m βαβ，则m α；③若,m n n α⊥⊥，则m α；④若,m βαβ⊥⊥，则m α.则其中正确命题的个数是（ ）A. 1B.2C.3D.410．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）二、填空题11．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S 的值为 .12．由空间向量()1,2,3a =，()1,1,1b =-构成的向量集合{},x x a kb k Z =+∈，则向量x 的模x 的最小值为 .13．如图，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则的值为 .1415．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 .三、解答题16．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点 （1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间.17．已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足，n N *∈. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值.）18的中心为原点O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，离心，点P 是直线上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=.（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上去异于点M 、N 的点H ，满足，证明点H 恒在一条定直线上.19．三角形ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成公比小于1的等比数列，且sin sin()2sin 2B A C C +-=.（1）求内角B 的余弦值；（2，求三角形ABC ∆的面积.20．如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝2，AD ＝DC ＝1， 点E 在SD 上，且AE SD ⊥（1）证明：AE ⊥平面SDC ； （2）求三棱锥B ECD -的体积21e 为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的单调区间；（2，存在实数12,[0,1]x x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围22．某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示：（1）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？（2）现场有3名点评嘉宾A 、B 、C ，每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率．参考答案坐标为()2,1，由于两圆关于直线对称，它们的圆心关于直线对称，大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为()2,1，其半径长为1，即为()()22211x y -+-=，故选A.考点：1.两点关于直线对称；2.圆的标准方程[]1,1b ∈-所满足条件的区域是由四条直线1a =-、1a =、1b =-、1b =所围成的正方形区的区域则是正方形区域中夹在两条直线22a b -=-和22a b -=2≤所表示的区域为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线22a b -=-分别交直线1a =-与y 轴于点、()0,1F ，所，所以故阴D.H GF Ea-2b=-2a-2b=2ODCB Ab=1b=-1a=1a=-1b a考点：1.线性规划；2.几何概型 5．C 【解析】【解析】试题分析：因为{|02}A x x =≤≤，又{|4,0}R B x x x =<->ð，所以{|02}R A B x x =<≤ð.选B考点：集合的基本运算. 7．A 【解析】试题分析：全称命题：“,x A p ∀∈”的否定为“,x A p ∃∈⌝”，据此可知，选A. 考点：简单逻辑，全称命题的否定. 8．A 【解析】试题分析：对①()sin f x x =，显然满足()()0f x f x +-=，且存在零点.故选A. 考点：程序框图及函数的性质. 9．D 【解析】试题分析：注意前提条件直线,m n 均不在平面,αβ内.对①，根据线面平行的判定定理知，mα；对②，如果直线m 与平面α相交，则必与β相交，而这与αβ矛盾，故m α；【解析】试题分析： 03n =<满足条件，执行第一次循环，011n =+=，11021S -=+=；13n =<满足条件，执行第二次循环，112n =+=，21123S -=+=； 23n =<满足条件，执行第三次循环，213n =+=，31327S -=+=； 33n =<不满足条件，跳出循环体，输出S 的值为7.考点：算法与程序框图12 【解析】 试题分析：()()()1,2,31,1,11,2,3x a kb k k k k =+=+-=+-+，所以(1x k =+，由于PC 切圆O 于点，由于PD 是APC ∠的角平分线，则PCE PAD ∆，考点：1.切割线定理；2.相似三角形DCBAOE考点：空间几何体.16．（1（2）最小正周期为π，单调递增区间为【解析】试题分析：（1代入函数()f x 的解析式即可求出实数a 的值；（2）根据（1）中的结果()f x =2T πω=计算函数()f x 的最小正周期，解出x 的取值范围，即可求出函数()f x 的单调递增区间.故函数()g x 的单调递增区间为 考点：1.二倍角公式；2.三角函数的周期性与单调性试题解析：（1）由于数列{}n a 是以10为首项，以2为公差的等差数列， 因此()102128n a n n =+-=+，（2）()()2222848n n b a n n n n n -=--+=--， 令20480n n b a n n -=⇒--=，解得 时，0n n b a -<，即n n a b >，因此当5n ≤且n N *∈时，{}max ,28n n n n c a b a n ===+，当6n ≥且n N *∈时，n n a b <，{}2max ,2n n n n c a b b n n ===-，当5n ≤且(1122n n n a a c a a a +++=+++=2559570S ∴=+⨯=，当6n ≥且n N *∈时，()()()()222567706267272n n S S b b b n n ⎡⎤=++++=+-⨯+-⨯++-⎣⎦()()2227067267n n =++++-⨯+++)(2n++-考点：1.等差数列的通项公式；2.利用作差法比较大小；3.分段求和 18．（1（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数a 的值；（2）设点P 的坐标为点Q 的坐标为()00,x y ，利用条件220PF QF ⋅=确定y 与0x 、0y 之间的关系，再结合点Q 在双曲线E 上这一条件，以及斜率公式来证明直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点M 、N 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，结合（2引入参数λ，转化为相应的条件PM PNMH HNλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，利用坐标运算得到点H 的坐标所满足的关系式43120x y --=，进而证明点H 恒在定直线43120x y --=上；证法二是设直线l 的方程为，将直线l 的方程与双曲线达定理化简为()354150x k x --+=，最后利用点H 在直线l 上得到而消去k 得到4312x y --0=，进而证明点H 恒在定直线43120x y --=上.试题解析：（1，由于0a >，故双曲线E 的方程为（2）设点P 的坐标为，点Q 的坐标为()00,x y ，易知点()23,0F ，则(3,0PF =，()()()200003,0,3,QF x y x y =-=--， (43PF QF ∴⋅=，因此点P 的坐标为故直线PQ 的斜直线OQ 的斜率为因此直线PQ 与直线OQ 的斜率之积为 由于点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以； （3）证法一：设点(),H x y 的直线l 与双曲线E 的右支交于不同的两点()11,M x y 、()22,N x y ，由（2，则PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即由①⨯③，②⨯④得，，即点H 恒在定直线43120x y --=上； 证法二：依题意，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=， 因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同的两点()11,M x y 、()22,N x y ，设点(),H x y，由 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=，整理得()354150x k x --+=，④因为点H 在直线l 上，所以联立④⑤消去k 得43120x y --=，所以点H 恒在定直线43120x y --=.考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理 19．【解析】试题分析：(1) 首先应考虑将sin sin()2sin 2B A C C +-=的角换掉一个，那么换掉哪一个？比较一下，可知只有换掉角B 可使式子简化.换掉角B之后用公式化简可得sin 2sin A C =.接下来又怎么办？我们的目的是求cos B ，故应将sin 2sin A C =转化为边的关系.由sin 2sin A C =得2a c =.又因为a 、b 、c 成公比小于1的等比数列，所以222b ac c ==，这样将2a c =，222b c =便可得cos B .（2）由2a c =，222b c =，ABCS = 试题解析：(1) sin sin()2sin 2B A C C +-=.sin()sin()4sin cos sin 2sin A C A C C C A C ⇒++-=⇒= . 2分2a c ⇒= 4分又因为222b ac c ==分8分 10分 ABCS= 12分 考点：1、三角变换；2、正弦定理与余弦定理；3、三角形的面积 20．（1）详见解析；（2【解析】试题分析：(1)由于侧棱⊥SA 底面ABCD ，CD SA ⊥∴又CD AD ⊥，⊥∴CD 侧面SAD 从而CD AE ⊥,又因为AE SD ⊥，所以⊥AE 平面SDC (2) CD AD CD AE CD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面ASD ， 所以CD SD ⊥，从而EDCS=又由题设可得：//AB 平面SCD ，所以点B 到平面SCD 的距离等于点A 到平面SCD 的距离AE ，所以CDESAE⋅试题解析：(Ⅰ)证明： 侧棱⊥SA 底面ABCD ，⊂CD 底面ABCD CD SA ⊥∴ 1分 又 底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB 和DC CD AD ⊥∴,又A SA AD =⊥∴CD 侧面SAD , 3分 ⊂AE 侧面SAD∴D SD CD SD AE CD AE =⊥⊥ ,,∴⊥AE 平面SDC 5分（2）CD AD CD AE CD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面EDCS=分 在Rt ASD 中 EDCS=9分 ////AB CD CD SCD AB SCD AB SCD ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面， 所以点B 到平面SCD 的距离等于点A 到平面SCD 的距离AE 11分CDE SAE ⋅ 12分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间几何体的体积；3、二面角21．（1）()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；（2）,3)(3,2e-∞--+∞【解析】试题分析：（1，根据导数的符号即可求出()f x 的单调区间（2）如果存在12,[0,1]x x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，那么min max 2[()][()]x x ϕϕ< 由题设得2)1)xx t x +-+=，求导得 由于含有参数t ，故分情况讨论，分别求出()x ϕ的最大值和最小值如何分类呢？由)(xt x e -得,1x t x ==，又由于[0,1]x ∈ 故以0、1为界分类 当1t ≥时， ()x ϕ在[0,1]上单调递减；当0t ≤时， ()x ϕ在[0,1]上单调递增以上两种情况都很容易求得t 的范围当10<<t 时，()x ϕ在[0,]t 上单调递减，()x ϕ在[,1]t 上单调递增，所以最大值为(0),(1)ϕϕ中的较大者，最小值为()t ϕ，1），所以min max 2[()][()]x x ϕϕ<无解试题解析：（12分∴当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<∴()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减 4分（2）假设存在12,[0,1]x x ∈，使得122()()x x ϕϕ<成立，则min max 2[()][()]x x ϕϕ<。