【精品】2017-2018年山东省青岛二中高三上学期数学期末试卷(理科)及答案

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1．（5分）已知为复数z的共轭复数，（1﹣i）z=2i，则=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．（5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A．B．C．D．3．（5分）“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若实数x，y满足|x|﹣ln =0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．5．（5分）已知（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为70，则实数a 的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣26．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．14πB．28πC．D．7．（5分）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．118．（5分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=，则cosA=（）A．B．C．D．09．（5分）已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．10．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1B．|ab|≥1C．|a+b|≥1D．|a﹣b|≥211．（5分）如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n项和为S n，则S16等于（）A．128B．144C．155D．16412．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2+x．正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，则下述结论中正确的一项是（）A．x1+x2≥B．x1+x2＜C．x1+x2≥D．x1+x2＜二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共60分．把答案填在题中横线上）13．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为．14．（5分）已知||=4，||=3，=0，=sin2+cos2θ，当||取最小值时，sin（）=．15．（5分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为．16．（5分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在一次“K12联盟”联考中，我校高三有理科学生500名，已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120，400），数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀，则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人，现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况，若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生，求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ≤x ≤μ+2σ）=0.96，p（μ﹣3σ≤x≤μ+3σ）=0.9918．（12分）如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，AD=DC=BC，∠ADC=120°，四边形ACFE为正方形，且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对任意正整数n，都有a n+1=3S n+2，数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：20．（12分）如图，曲线C由下半椭圆和部分抛物线连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1，C2分别交于点P，Q，（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过B点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x，，（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x），若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号[选修4─4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．[选修4─5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x﹣3|﹣m）（Ⅰ）当m=8时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．）1．（5分）已知为复数z的共轭复数，（1﹣i）z=2i，则=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得，∴，故选：A．2．（5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到，即，故选：D．3．（5分）“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当“（m﹣1）（a﹣1）＞0”时，则或，此时log a m可能无意义，故“log a m＞0”不一定成立，而当“log a m＞0”时，则或，“（m﹣1）（a﹣1）＞0”成立，故“（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“log a m＞0”的一个必要不充分条件，故选：B．4．（5分）若实数x，y满足|x|﹣ln =0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln =0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选：B．5．（5分）已知（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为70，则实数a 的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r=•（﹣2x）r，+1∴（2+ax）（1﹣2x）5的展开式中，含x2项的系数为，解得a=1．故选：A．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是（）A．14πB．28πC．D．【解答】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD，是长方体的一部分，三度为：2，1，3，棱锥的外接球就是长方体的外接球，球的直径为：=，∴外接球半径R=．∴外接球的体积V==．故选：C．7．（5分）数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．11【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵b n=a n+1﹣a n，∴b1+b2+…+b n=a n+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选：B．8．（5分）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=，则cosA=（）A．B．C．D．0【解答】解：设BD=x，则AD=3x，AC=2﹣3x，BC=2﹣x，易知：cos∠ADC=﹣cos∠BDC，由余弦定理可得：=﹣，解得：x=，故：AD=1，AC=1，∴cosA==0．故选：D．9．（5分）已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【解答】解：=2×x2=1，函数的图象知，A=2，=﹣=，∴T==π，解得ω=2；又2×+φ=，解得φ=；∴f（x）=2sin（2x+），∴f（x﹣）+a=2sin（2x﹣）+1；令2x﹣=kπ，k∈Z，则x=+，k∈Z，当k=1时，x=，∴f（x﹣）+a的一个对称中心为（，1）．故选：C．10．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1B．|ab|≥1C．|a+b|≥1D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．11．（5分）如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n项和为S n，则S16等于（）A．128B．144C．155D．164【解答】解：解：根据图中锯齿形数列的排列，发现a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，...，a15=1+2+3+ (8)而a2=3，a4=4，a6=5，…，a16=10，∴前16项的和S16=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+8）]+（3+4+5+…+10）=（1×8+2×7+3×6+…+7×2+8×1）+=164故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=lnx+x2+x．正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，则下述结论中正确的一项是（）A．x1+x2≥B．x1+x2＜C．x1+x2≥D．x1+x2＜【解答】由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=，可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，∴h（t）≥h（1）=1，∴（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，又x1+x2＞0，因此x1+x2≥成立．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共60分．把答案填在题中横线上）13．（5分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．【解答】解：作出实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（3，4）处取最大值为z=2×3+4=10．故答案为：10．14．（5分）已知||=4，||=3，=0，=sin2+cos2θ，当||取最小值时，sin（）=．【解答】解：∵||=4，||=3，=0，=sin2+cos2θ，∴||2=|sin2θ•+cos2θ•|2=sin4θ||2+cos4θ||2+2sin2θcos2θ•，=16sin4θ+9cos4θ，=16sin4θ+9（1﹣sin2θ）2=25sin4θ﹣18sin2θ+9=25（sin2θ﹣）2+，∴当sin2θ=时，||取得最小值，∴sin（）=cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为：15．（5分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为．【解答】解：如图，由题意可知，平面SAB⊥平面ABCD，当SC=时，过S作SO⊥AB，垂足为O，连接AC，OC，设OA=x，在△OAC中，由余弦定理可得，在Rt△SOA中，有OS2=SA2﹣x2=4﹣x2，在Rt△SOC中，有OS2+OC2=SC2，即4﹣x2+x2﹣4x+8=8，求得x=1．∴．此时；当SC=4时，可得∠BAS为钝角，同理求得．此时；∴当SA⊥平面ABCD时，．∴四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为：．故答案为：．16．（5分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=•，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，）max==4．∴（S△PAC故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在一次“K12联盟”联考中，我校高三有理科学生500名，已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120，400），数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀，则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人，现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况，若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生，求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ≤x ≤μ+2σ）=0.96，p（μ﹣3σ≤x≤μ+3σ）=0.99【解答】解：（Ⅰ）英语成绩服从正态分布N（120，400），则μ=120，σ=20，则英语成绩特别优秀的概率为P（X≥140）=[1﹣P（120﹣20≤X≤120+20）]=．∴英语成绩特别优秀的人数为500×0.16=80人；数学成绩特别优秀的概率为P（X≥140）=0.008×．∴数学成绩特别优秀的人数为500×0.08=40人；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人，则单科优秀的有60人．X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==．X的分布列为：X0123P数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1．18．（12分）如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，AD=DC=BC，∠ADC=120°，四边形ACFE为正方形，且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，由∠ADC=120°，得∠ABC=60°，∵AB∥CD，设AD=DC=CB=1，∴AB=2，则AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3，∴AB2=AC2+BC2，得BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤），则A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，），E（），D（）．=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，），=（），．设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，取x=1，得=（1，，），设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），由，取b=，得，设平面MAB与平面ADE所成锐二面角为θ（0°＜θ＜90°），则cosθ===．∵λ∈[0，]，∴cosθ∈[]．即平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围为[]．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对任意正整数n，都有a n+1=3S n+2，数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，且对任意正整数n，=3S n+2，都有a n+1则：当n≥2时，a n=3S n﹣1+2整理得：a n﹣a n=3a n，+1即：（常数），所以：．由于数列{b n}满足b n=log2a n，所以b n=2n﹣1．证明：（Ⅱ）由于b n=2n﹣1，所以：=，则：==1+=．故：．20．（12分）如图，曲线C由下半椭圆和部分抛物线连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1，C2分别交于点P，Q，（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过B点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）在C1，C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是下半椭圆C1的左右顶点，设C1的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2，可得a=2，所以a=2，b=1；（Ⅱ）由（Ⅰ），下半椭圆C1的方程为+x2=1（y≤0），由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x+1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2+2k2x+k2﹣4=0，设点P的坐标为（x P，y P），因为直线l过点A，所以x=﹣1是方程的一个根，由求根公式，得x P=，y P=，所以点P的坐标为（，），同理，由，得点Q的坐标为（k+1，k2+2k），所以=（﹣，），=（k，k2+2k），假设存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过B点，可知BP⊥BQ，所以•=0，即（﹣）•k+•（k2+2k）=0，即﹣2k3+8k3+16k2=0，因为k≠0，解得k=﹣，经检验，k=﹣符合题意，故存在，且直线l的方程为y=﹣（x+1）．21．（12分）已知函数f（x）=e x，，（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x），若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【解答】解：（1）因为g′（x）=﹣ax﹣1，所以h（x）=e x﹣ax﹣1，由h（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即h（x）min≥0，由h′（x）=e x﹣a，（i）当a≤0时，h′（x）=e x﹣a＞0，h（x）的单调递增区间为R，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x）＜h（0）=0，所以不满足题意．（ii）当a＞0时，由h′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，x∈（﹣∞，lna）时，h′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，h′（x）＞0，所以h（x）在区间（﹣∞，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增，所以h（x）的最小值为h（lna）=a﹣alna﹣1．设φ（a）=a﹣alna﹣1，所以φ（a）≥0，①因为φ′（a）=﹣lna，令φ′（a）=﹣lna=0，得a=1，所以φ（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，所以φ（a）≤φ（1）=0，②由①②得φ（a）=0，则a=1．（2）由（1）知e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x，令x=﹣（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则0＜1﹣≤，所以≤=﹣e﹣k，所以=++…++≤e﹣（n﹣1）+e﹣（n﹣2）+…+e﹣2+e﹣1+1=＜=1+＜2，所以＜2，又++＞1，所以m的最小值为2．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号[选修4─4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数）．转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C 2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为：x 2+y 2﹣10x ﹣6y +25=0， 整理得：（x ﹣5）2+（y ﹣3）2=9，该曲线表示以（5，3）为圆心，3为半径的圆． （Ⅱ）由于该圆是以（5，3）为圆心，3为半径， 所以与射线x ﹣2y ﹣4=0．（x ≥2）有两个交点． 圆心到射线的距离d=，所以弦长l=2=4．[选修4─5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=ln （|x +2|+|x ﹣3|﹣m ） （Ⅰ）当m=8时，求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≥2的解集是R ，求m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：当m=8时：|x +2|+|x ﹣3|＞8， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣7）∪（9，+∞）； （2）不等式f （x ）≥2即|x +2|+|x ﹣3|≥m +e 2，∵x ∈R 时，恒有|x +2|+|x ﹣3|≥|（x +2）﹣（x ﹣3）|=5， ∴不等式|x +2|+|x ﹣3|≥m +e 2解集是R ，等价于m +e 2≤5， ∴m 的取值范围是（﹣∞，5﹣e 2]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义 函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =yxa y =y定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。