2020版高考数学(文)刷题小卷练：30 Word版含解析
2020年高考文数真题试题(新课标Ⅲ)(Word版+答案+解析)
2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共57分）1.已知集合 A ={1，2，3，5，7，11} ， B ={x|3<x <15} ，则A∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52.若 z̅(1+i)=1−i ，则z=（ ）A. 1–iB. 1+iC. –iD. i3.设一组样本数据x 1 ， x 2 ， …，x n 的方差为0.01，则数据10x 1 ， 10x 2 ， …，10x n 的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型： I(t)=K 1+e−0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I( t ∗ )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 5.已知 sinθ+sin(θ+π3)=1 ，则 sin(θ+π6)= （ ）A. 12 B. √33C. 23 D. √226.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，则点C 的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线7.设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （ 14 ，0） B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 8.点(0，﹣1)到直线 y =k(x +1) 距离的最大值为（ ） A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+4 √2B. 4+4 √2C. 6+2 √3D. 4+2 √3 10.设a=log 32，b=log 53，c= 23 ，则（ ）A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b11.在△ABC中，cosC= 23，AC=4，BC=3，则tanB=（）A. √5B. 2 √5C. 4 √5D. 8 √512.已知函数f(x)=sinx+ 1sinx，则（）A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图像关于y轴对称C. f(x)的图像关于直线x=π对称D. f(x)的图像关于直线x=π2对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学必备30题百度文库版
43
33
3
10 m2 . 9
故存在常数 4 ，使得 PT 2 PA PB . 5
19.【抛物线】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点 为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两 点． （I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点， 证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的 两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
10【平面向量】已知非零向量 m，n 满足
4│m│=3│n│，cos<m，n>= 1 .若 n⊥ 3
（tm+n），则实数 t 的值为
（A）4
（B）–4
（C） 9 4
（D）– 9 4
【答案】B
11【离心率与渐近线】已知双曲线 的左焦点为 ，离心率
为 .若经过 和
两点的直线平行于
双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
又 S1＝b1，所以 b1＝23，b2＝2－2(b1＋b2)，则 b2＝29， 当 n≥2 时，由 bn＝2－2Sn，可得 bn－bn－1＝－ 2(Sn－Sn－1)＝－2bn. 即bbn－n1＝13，所以{bn}是以 b1＝23为首项，13为公 比的等比数列，所以 bn＝2·31n. (2)证明 数列{an}为等差数列，公差 d＝12(a7 －a5)＝3，可得 an＝3n－1， 从而 cn＝an·bn＝2(3n－1)·31n， ∴Tn＝ 2 2×13＋5×312＋8×313＋ …＋（3n－1）·31n
(
)
A.
B.
C.
D.
12 解答. 题意得
选 B.
13【命题逻辑充要条件】下列命题错误的是 () A.命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否 命题为“若 x≠1，则 x2－3x＋2≠0” B.命题 p：∃x0∈R，使得 x20＋x0＋1＜0，则┑ p：对∀x∈R，都有 x2＋x＋1≥0 C.若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题 D.“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要 条件
(第30天)——《小题训练计划》【高考真题】2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
《2021年高考最后三十天训练计划》第三十天——高考真题——找感觉卷 《小题训练计划》（三）高考真题2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．若(1)1z i i ⋅+=-，则(z = )A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i3．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，⋯，10n x 的方差为( ) A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( ) (193)ln ≈A ．60B ．63C ．66D ．695．已知sin sin()13πθθ++=，则sin()(6πθ+= )A ．12B 3C ．23D 26．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC =，则点C 的轨迹为( ) A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A ．1(4，0)B ．1(2，0) C ．(1,0)D ．(2,0)8．点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A ．1 B 2C 3D ．29．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．62+B ．442+C ．623+D ．43+10．设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan (B = ) AB．C．D．12．已知函数1()sin sin f x x x=+，则( )A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020版高考数学(文)刷题小卷练：20 Word版含解析
刷题小卷练20 等差数列小题基础练⑳一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( ) A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．13 答案：B解析：通解 设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－9＋5＝－4，则d ＝－2，故a 7＝a 3＋4d ＝－5＋4×(－2)＝－13，选B.优解 由等差数列的性质得a 7＝2a 5－a 3＝2×(－9)－(－5)＝－13，选B.2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在等差数列{a n }中，a 3＝1，公差d ＝2，则a 8的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 答案：C解析：a 8＝a 3＋5d ＝1＋5×2＝11，故选C.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 答案：D解析：由S 3＝3a 2＝6，得a 2＝2，又a 3＝0，所以公差d ＝－2.4．[2019·南宁摸考]等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝6，则{a n }的前9项和等于( )A ．－18B ．27C ．18D ．－27 答案：B解析：解法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 7＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＝2a 1＋8d ＝6，所以a 1＋4d ＝3.于是{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×3＝27，故选B.解法二 由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝a 3＋a 7＝6，所以数列{a n }的前9项和S 9＝a 1＋a 92＝9×62＝27，故选B.5．[2019·西安八校联考(一)]设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4<S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1 答案：B解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.6．[2019·茂名模拟]我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )A ．6斤B ．9斤C ．9.5斤D ．12斤 答案：A 解析：依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a 1＝4，则a 5＝2，由等差数列的性质得a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A.7．[2019·贵州遵义模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 6是方程x 2－18x ＋p ＝0的两根，则S 9＝( )A ．9B ．81C ．5D ．45 答案：B解析：由题意，根据根与系数的关系知a 4＋a 6＝18，故S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝81.故选B. 8．[2019·江西K12联盟质量检测]已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝( )A ．27B ．18C ．9D ．3 答案：A解析：∵等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 8＝9，∴3a 1＋12d ＝9，得a 1＋4d ＝3，即a 5＝3，∴S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝27.故选A.二、非选择题9．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37＝________.答案：100 解析：∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列． ∵a 1＋b 1＝25＋75＝100，a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }的公差为0，∴a 37＋b 37＝100.10．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________.答案：20解析：解法一 设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.解法二 由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10，所以D ＝52. 所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.11．[2019·广东深圳中学月考]已知数列{a n }为等差数列，a 3＝7，a 1＋a 7＝10，S n 为其前n 项和，则使S n 取到最大值的n 等于________．答案：6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，2a 4＝10，故d ＝a 4－a 3＝－2，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7－2(n －3)＝13－2n .令a n >0，得n <6.5.所以在等差数列{a n }中，其前6项均为正，其他各项均为负，于是使S n 取到最大值的n 的值为6.12．[2019·甘肃兰州月考]已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，若坐标为(a n ，S n )的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，则数列{a n }的通项公式为________．答案：a n ＝n ，n ∈N *解析：因为以(a n ，S n )为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上，所以S n ＝12a n (a n ＋1)，即2S n ＝a 2n ＋a n,2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，两式相减得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－(a 2n ＋a n )，即(a n ＋1－a n －1)·(a n ＋1＋a n )＝0.因为a n >0，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项、公差均为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，n ∈N *.课时增分练⑳一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ra n ＋r (n ∈N *，r ∈R ，r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：当r ＝1时，a n ＋1＝a n ＋1，显然数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以充分性成立；当数列{a n }为等差数列时，设公差为d ，则a n ＋1＝a n ＋d ＝ra n ＋r ，若r ≠1，则a n ＝r －d1－r ，为常数，因此数列{a n }为常数列，则d ＝0，所以r1－r＝1，解得r ＝12，必要性不成立，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件．2．[2019·兰州市诊断考试]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＋a 7＝24，则S 9＝( )A ．36B ．72C ．144D ．288 答案：B解析：∵a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝24，∴a 5＝8，∴S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝9×8＝72.3．[2019·河南郑州七校联考]在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54 答案：C解析：对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，即a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项a 1＝－2，公差d ＝12的等差数列．所以数列{a n }的前10项和S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－2)＋45×12＝52，故选C.4．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案：B解析：设等差数列{an }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a 1＋－2×d ＝2a 1＋－2×d ＋4a 1＋－2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B.5．[2019·湖北襄阳四校模拟]在等差数列{a n }中，已知|a 7|＝|a 12|，且公差d >0，则其前n 项和S n 取得最小值时n 的值为( )A．7 B．8C．9 D．10答案：C解析：∵|a7|＝|a12|，且公差d>0，∴－a7＝a12，∴a7＋a12＝0.∴a9＋a10＝0，∴a9<0，a10>0.∴数列{a n}前n项和S n取得最小值时n的值为9.故选C.6．[2019·丹东模拟]在等差数列{a n}中，公差d≠0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，且a5＝10，则{a n}的前5项和S5＝( ) A．40 B．35C．30 D．25答案：C解析：lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，所以2lg a2＝lg a1＋lg a4⇒lg a22＝lg a1a4⇒a22＝a1a4⇒d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d，又a5＝a1＋4d＝10，所以a1＝2，d＝2，S5＝5a1＋5×42d＝30.选C.7．[2019·辽宁大连第二十四中学月考]数列{a n}满足a1＝2，a2＝1并且1a n－1＝2a n－1a n＋1(n≥2)，则数列{a n}的第100项为( )A.1100 B.150C.12100 D.1250答案：B解析：∵1a n－1＝2a n－1a n＋1(n≥2)，∴1a n＋1＋1a n－1＝2a n，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n为等差数列，首项为1a1＝12，第二项为1a2＝1，∴d＝12，∴1a100＝1a1＋99d＝50，∴a100＝150.8．[2019·天津月考]已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于( ) A．2 B．－2C．0 D．－1答案：B解析：由题意得函数f(x)在区间(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称．由数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，可得12(a50＋a51)＝－1，即a50＋a51＝－2.又数列{a n}是等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2.故选B.二、非选择题9．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.答案：114解析：因为{a n}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.10．[2019·九江模拟]已知数列{a n}为等差数列，a1＝1，a n>0，其前n项和为S n，且数列{S n}也为等差数列，设b n＝a n＋22n·a n·a n＋1，则数列{b n}的前n项和T n＝________.答案：1－1 2n n＋解析：设等差数列{a n}的公差为d(d≥0)，∵S1＝1，S2＝2＋d，S3＝3＋3d成等差数列，∴22＋d＝1＋3＋3d，得d＝2，∴a n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，S n＝n2，S n＝n，故数列{S n}为等差数列，b n＝a n＋22n·a n·a n＋1＝2n＋32n n－n＋＝12n－1n－－12n n＋，则T n＝120－121×3＋121×3－122×5＋…＋12n－1n－－12n n＋＝1－12n n＋.11．已知在等差数列{a n}中，a1＝31，S n是它的前n项的和，S10＝S22.(1)求S n；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解析：(1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即a 11＋a 222＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)解法一 由(1)知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 解法二 由(1)知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋n －－＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n－＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析03
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|2A x x =<，{}|320B x x =->，则（ ） A ．{}3|2B A x x =<I B ．A B =∅I C ．3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭U D ．A B =R U【答案】A2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．2D ．i 1-【答案】A3．已知命题p ：0x ∀>，()ln 10x +＞；命题q ：若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B4．已知向量(3,6)a =v ，(1,)b λ=-v，且a b r r ∥，则λ=（ ）A ．2B ．3C ．2-D ．3-【答案】C5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C6．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则下列说法错误的是（ ）A ．丙可以知道四人的成绩B ．乙、丙的成绩是一优秀一良好C ．乙可以知道自己的成绩D ．丁可以知道自己的成绩【答案】A7．已知函数()()() sin 00f x A x b A ωϕω=++＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D8．2()2f x x x =-的定义域为[1,1]a a -+，lg 0.2b =，0.22c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】D9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．43B ．23C ．83D ．2【答案】C10．已知[x ]表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．【答案】B11．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +【答案】D12．已知定义在()0,+∞上的函数()f x ，满足（1）()0f x >；（2）()()()2f x f x f x '<<（其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数），则()()23f f 的范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．311,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】设()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)g g <，即2(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f <⇒<，令2()()e x f x h x =，则2()2()()0e xf x f x h x '-'=<，()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，所以(2)(3)h h >，即242(2)(3)(2)1e e (3)e f f f f >⇒>．综上，21(2)1e (3)ef f <<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则34z x y =-的最小值为___________．【答案】1-14．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．【答案】8π15．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为255．，据此估计其身高为____________．【答案】17616．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则22110n n nS S +的最大值为_____．【答案】319【解析】因为11n n n a S S ++=-，所以有111111n n n n n nS S S S S S +++-=-⇒-=，即1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项等于1公差为1的等差数列，所以11n n n S S n=⇒=，则22221()1110110()nn n nS n S n =++2221111101010110()n n n n n n n n====++++，因为10210n n +≥（当且仅当10n =时取等号），因为n 为自然数，所以根据函数的单调性可从与10n =相邻的两个整数中求最大值，3n =，13n S =，22311019n n nS S =+，22124,,411013n n n nS n S S ===+，所以最大值为319．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列{}()123n a n =⋯，，，的项满足关系12(2)n n a a n -=≥，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{1}n a +的前n 项和．【答案】（1）()122n n a a n =Q －≥，从而212a a =，32124a a a ==，又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即13221()a a a +=＋， 所以111421)2(a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n a =． （2）设{}1n a +的前n 项和为n T ，则1122(12)()2212n n n n T a a a n n n +-=++++=+=-+-L ．18．（本小题满分12分）在ABC △中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin sin sin B A C =+．（1）求证：1cos 2B ≥；（2）设B 的最大值为0B ，当0B B =，3a =，又12AD DB =u u u r u u u r，求CD 的长． 【答案】（1）由题设及正弦定理知，2b a c =+，即2a cb +=．由余弦定理知，()()222222223232212cos 22882a c a c a c ac ac ac a cb B ac ac ac ac +⎛⎫+- ⎪+--+-⎝⎭====≥，（2）cos y x =Q 在()0,π上单调递减，B ∴的最大值03B π=，根据（1）中均值不等式，只有当a c =时才能取到03B π=，3a c ∴==，又12AD DB =u u u r u u u r ，所以1AD =，在ACD △中由余弦定理得：22213cos 3213CD π+-=⨯⨯，得7CD =．19．（本小题满分12分）某化妆品商店为促进顾客消费，在“三八”妇女节推出了“分段折扣”活动，具体规则如下表：购买商品金额 折扣 消费不超过200元的部分 9折 消费超过200元但不超过500元的部分 8折 消费超过500元但不超过1000元的部分7折 消费超过1000元的部分6折例如，某顾客购买了300元的化妆品，她实际只需付：()2000.93002000.8260⨯+-⨯=（元）．为了解顾客的消费情况，随机调查了100名顾客，得到如下统计表：购买商品金额（0，200] （200，500] （500，1000] 1000以上人数10403020（1）写出顾客实际消费金额y 与她购买商品金额x 之间的函数关系式（只写结果）； （2）估算顾客实际消费金额y 不超过180的概率； （3）估算顾客实际消费金额y 超过420的概率．【答案】（1）0.92000.8202005000.77050010000.6170100x x x x y x x x x ⎧⎪+<⎪=⎨+<⎪⎪+>⎩ ≤ ≤ ≤ ．（2）令180y ≤，得200x ≤，所以()()118020010P y P x ==≤≤．（3）令420y >，得500x >，所以()()()()3214205005001000100010102P y P x P x P x >=>=<+>=+=≤．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD ==，4PA BC ==，N ，T 分别为线段PC ，PB 的中点．（1）若PC 与面ABCD 所成角的正切值为43，求四棱锥P ABCD -的体积．（2）试探究：线段AD 上是否存在点M ，使得AT ∥平面CMN ？若存在，请确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．【答案】（1）连AC ，由PA ⊥底面ABCD 可知PCA ∠为PC 与面ABCD 所成的角，4PA =Q ，4tan 3PCA ∠=，3AC ∴=， 取线段BC 的中点E ，由3AB AC ==得AE BC ⊥，225AE AB BE =-=．()1753452ABCDS ∴=+⨯=，17514543P ABCD V -∴=⨯⨯=．（2）取线段AD 的三等分点M ，使得223AM AD ==．连接AT ，TN ， 由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==． 又AD BC ∥，故TN AM ∥且TN AM =．四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊄面CMN ，MN ⊂面CMN ，所以AT ∥平面CMN ，AD ∴上存在点M ，满足2AM =，就能使AT ∥平面CMN ．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x mx =--． （1）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（2）函数()f x 与x 轴交于两点1(,0)A x ，2(,0)B x 且120x x <<，证明：1212121()()333f x x x x '+<-．【答案】（1）当0m =时，()22ln f x x x =-，求导得()()()211x x f x x+-'=，根据定义域，容易得到在1x =处取得最大值，得到函数的最大值为1-．（2）根据条件得到21112ln 0x x mx --=，22222ln 0x x mx --=，两式相减得 221212122(ln ln )()()x x x x m x x ---=-，得221212121212122(ln ln )()2(ln ln )()x x x x x x m x x x x x x ----==-+--，因为2()2f x x m x'=-- 得1212121212122(ln ln )12212()2()()12333333x x f x x x x x x x x x x -'+=-+-++-+121212122(ln ln )21()12333x x x x x x x x -=-+--+ 因为120x x <<，要证1212121()()333f x x x x '+<-，即证1212122(ln ln )201233x x x x x x --<-+，即证1212122()2(ln ln )01233x x x x x x --->+，即证2112212(1)2ln 01233x x x x x x -->+， 设12x t x =(01)t <<，原式即证12(1)2ln 012133t t t -->+⋅，即证6(1)2ln 02t t t -->+ 构造18()62ln 2g t t t =--+，22(1)(4)()0(2)t t g t t t ---'=<+，()g t 单调递减， 所以()(1)0g t g >=得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围； （2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB+的取值范围． 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U ．（2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==，又由cos 12α<≤，所以4cos 4333α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为43⎤⎥⎝⎦． 23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】 已知函数()3f x x x =+-．（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小．【答案】（1）32,0()|||3|3,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=⎨⎪->⎩≤≤从而得0325x x x <⎧⎨-+⎩≥或0335x x ⎧⎨+⎩≤≤≥或3235x x x >⎧⎨-+⎩≥，解之得23x -≤或 x ∈∅或8x ≥，所以不等式的解集为2(,][8,)3-∞-+∞U ． （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3m ≥，3n ≥， 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--且3m ≥，3n ≥，所以20m ->，20n -<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．。
2020版高考数学(文)刷题小卷练：32 Word版含解析
刷题小卷练32抛物线的定义、标准方程及性质小题基础练○32一、选择题1．[2019·哈尔滨模拟]过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y答案：D解析：由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y.故选D.2．抛物线x＝4y2的准线方程为()A．y＝12B．y＝－1C．x＝－116D．x＝18答案：C解析：将x＝4y2化为标准形式为y2＝14x，所以2p＝14，p＝18，开口向右，所以抛物线的准线方程为x＝－116.故选C.3．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y答案：D解析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故选D.4．[2019·广东广州天河区实验中学月考]抛物线x2＝4y上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为( )A ．2 2B ．1C ．2D ．3 答案：A解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1.根据抛物线定义，得yP ＋1＝3，解得yP ＝2，代入抛物线方程求得x P ＝±22，∴点P 到y 轴的距离为2 2.故选A.5．已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案：B解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线y ＝±2x 与抛物线y 2＝2px的准线x ＝－p2的交点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p ，则|AB |＝2p ，△AOB 的面积为12×2p ×p2＝1，p >0，解得p ＝ 2.故选B. 6．[2019·山东第三中学月考]已知点Q (0,22)及抛物线y 2＝4x 上一动点P (x ，y )，则x ＋|PQ |的最小值为( )A ．4B ．2C ．6 D. 2 答案：B解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则由抛物线的定义得其准线方程为x ＝－1.设d 为点P (x ，y )到准线的距离．∴x ＋|PQ |＝d －1＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1， ∴x ＋|PQ |的最小值是|QF |－1. ∵点Q (0,22)，∴|QF |＝3.∴x ＋|PQ |的最小值是|QF |－1＝3－1＝2.故选B.7．直线x －y ＋1＝0与抛物线y 2＝2px 的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：由题意可得，直线x －y ＋1＝0与抛物线y 2＝2px 的对称轴及准线交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，代入x －y ＋1＝0，得－p2＋1＝0，即p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x .将y 2＝4x 与直线方程x －y ＋1＝0联立可得交点的坐标为(1,2)．故选B.8．[2019·广东中山一中第一次统测]过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6, 那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10 答案：B解析：由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1. ∵ 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又∵x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B. 二、非选择题9．[2019·广西贺州桂梧高中月考]抛物线x 2＝－2py (p >0)的焦点到直线y ＝2的距离为5，则p ＝________.答案：6解析：由题意得2＋p2＝5，∴p ＝6. 10．[2019·湖南益阳、湘潭联考]已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点．若|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为________．答案：y 2＝325x解析：由题意得圆C 1与抛物线C 2的其中一个交点B 为原点，设A (x ，y )，圆C 1的圆心为C (0,2)．∵|AB |＝855，∴sin 12∠BCA ＝|AB |2|BC |＝255，cos 12∠BCA ＝55.∴y ＝|AB |sin 12∠BCA ＝855×255＝165，x ＝|AB |·cos 12∠BCA＝855×55＝85，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165.∵点A 在抛物线C 2上，∴2p ×85＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1652，解得p ＝165， ∴抛物线C 2的方程为y 2＝325x .11．[2019·厦门模拟]已知焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上一点A (m ，22)，若以A 为圆心，|AF |为半径的圆A 被y 轴截得的弦长为25，则m ＝________.答案：2 解析：因为圆A 被y 轴截得的弦长为25，所以m 2＋5＝|AF |＝m ＋p2 ①，又A (m,22)在抛物线上，故8＝2pm ② 由①与②可得p ＝2，m ＝2.12．[2019·浙江五校联考]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是________．答案：22解析：根据抛物线的定义，可求得|PF |＝x ＋1，又|P A |＝(x ＋1)2＋y 2，所以|PF ||P A |＝x ＋1(x ＋1)2＋y2①.因为y 2＝4x ，令2x ＋1＝t ，则①式可化简为1－t 2＋2t ＋1，其中t ∈(0,2]，即可求得1－t 2＋2t ＋1的最小值为22，所以|PF ||P A |的最小值为22.课时增分练○32一、选择题 1．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 答案：C解析：因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 2．[2019·重庆酉阳一中月考]已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，点P (x ，y )在抛物线C 上，且x ＝1，则|PF |＝( )A.98B.32C.178D.52 答案：C解析：由y ＝2x 2，得x 2＝y 2，则p ＝14.由x ＝1得y ＝2.由抛物线的性质，得|PF |＝2＋p 2＝2＋18＝178.故选C.3．[2019·南昌模拟]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：A解析：通解 由抛物线y 2＝4x ，知p 2＝1，则焦点F (1,0)．设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则由|PF |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204－12＋y 20＝5，解得y 0＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y 0|＝12×2×4＝4，故选A.优解 由题意知抛物线的准线方程为x ＝－1.过点P 作P A ⊥l于点A ，由抛物线的定义知|PF |＝x p ＋p2＝x p ＋1＝5，所以x p ＝4，代入抛物线y 2＝4x ，得y p ＝±4，所以S △PKF ＝12×p ×|y p |＝12×2×4＝4，故选A.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A ．±33B ．±34C ．±1D ．±3 答案：D解析：设M (x ，y )，由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义，可知x ＋p 2＝2p ，故x ＝3p 2，由y 2＝2p ×3p 2，知y ＝±3p .当M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p 时，k MF ＝3p －03p 2－p 2＝3，当M 3p2，－3p 时，k MF ＝－3p －03p 2－p 2＝－3，故k MF ＝±3.故选D.5．[2018·全国卷Ⅰ]设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN→＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案：D解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)， 联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D.6．[2019·辽宁省五校联考]抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A.22 B. 2 C.322 D ．3 2 答案：C解析：如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥准线x ＝－1，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0,22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322，故选C.7．[2019·河南中原名校联考]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2,3)，M在抛物线C上．若点N(1,2)，则|MN|＋|MF|的最小值为()A．2 B．3C．4 D．5答案：B解析：由题意得l：x＝－2，抛物线C：y2＝8x.过点M作MM′⊥l，垂足为点M′，过点N作NN′⊥l，垂足为点N′.由抛物线的几何性质，得|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3.∴当点M为直线NN′与抛物线C的交点时，|MN|＋|MF|取得最小值3.故选B.8．[2019·湘潭调研]如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5 B．6C.163 D.203答案：C解析：解法一如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l 交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.解法二 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.解法三 如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.二、非选择题9．[2019·宁夏模拟]已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为________．答案：±4 解析：由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由定义知P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4，即p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝－8y ，代入点P 的坐标得m ＝±4.10．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．答案：43解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是43.11．[2019·云南大理州模拟]已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，且满足OA →·OB →＝－34.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若点M 在抛物线C 的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[－1,1]，且MA →·MB→＝9，点N 是以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线的一个公共点，求点N 的纵坐标的取值范围．解析：(1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为x ＝ty ＋p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋p 2消去x 得：y 2－2pty －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pt ，y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ×y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.因为OA →·OB→＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3p 24＝－34，解得p ＝1，所以所求抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，m ，－1≤m ≤1，由(1)知，x 1x 2＝14，y 1y 2＝－1，y 1＋y 2＝2t ，所以x 1＋x 2＝2t 2＋1，因为MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋(y 1－m )(y 2－m )＝(t －m )2，所以(t －m )2＝9得t ＝m ＋3或t ＝m －3，因为－1≤m ≤1，∴2≤t ≤4或－4≤t ≤－2，由抛物线定义可知，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，所以点N的纵坐标为y 1＋y 22＝t ，所以点N 的纵坐标的取值范围是[－4，－2]∪[2,4]．。
2020届山东省高考数学(文)模拟试题(word版,有答案)
普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B U ð= （A ）{2,6} （B ）{3,6}（C ）{1,3,4,5}（D ）{1,2,4,6}（2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1+i（B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A ）56（B ）60（C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）12+π33（B ）12+π33 （C ）123（D ）2（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离（8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6(9)已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020 年高考文科数学必刷卷解析版
【点睛】
本题主要考查了几何概型及其概率的求解，对于几何概型及其概率的计算中，注意几何度量，可以
是线段的长度、面积、体积等，而这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关,着重考查 了分析问题和解答问题的能力. 6．某正三棱柱的三视图如图所示，正三棱柱表面上的点 M、N 分别对应正视图上的点 A，B，若在 此正三棱柱侧面上，M 经过三个侧面到达 N 的最短距离为 6，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值 时，它的高为（ ）
a2 4
b2 36
1．
∴1 a2 b2 2 a2 b2 ab ，
4 36
4 36 6
即 ab≤6，当且仅当 a2 b2 1 ，即 b 3 2 时， 4 36 2
三棱柱侧面积有最大值 S＝3ab＝18． 故选：C． 【点睛】 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查多面体表面距离最小值的求 法，是中档题．
A． 2
B．2
C．3 2
D．4
【答案】C 【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体正三棱柱，设正三棱柱底面边长为 a，高为 b，由已知求得 a2 b2 1．再 4 36
由基本不等式求最值得答案．
【详解】
解：由三视图还原原几何体正三棱柱如图，
设正三棱柱底面边长为 a，高为 b，
则
9a2
b2
6 ，即
7．已知定义在 R 上的函数 f x 满足：(1) f x 1 2 f x , (2)当 x 0, 2, f x x 2 x 1 ，
则有
A．
f
3 2
f
1
f
1
B．
f
1
f
3 2
f
2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷3文科数学试题解析(word版)
C.
D.
，
，
即
，
时，标志着已初步遏 ，
得
，
即
，
得
．
故选：B．
6.在平面内， ， 是两个定点， 是动点，若
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
【答案】A
【解析】在平面内， ， 是两个定点， 是动点，
不妨设
，
，设
，
因为
，
，则点 的轨迹为( ) D. 直线
所以
，
解得
，
所以点 的轨迹为圆．
故选：A．
7.设 为坐标原点，直线 与抛物线 ：
则
．
故选：C．
12.已知函数
，则( )
A.
的最小值为
B.
的图象关于 轴对称
C.
的图象关于直线 对称
D.
的图象关于直线
对称
【答案】D 【解析】由
可得函数的定义域为
，故定义域关于原点对称；
设
，则
，
，由双勾函数的图象和性质得，
或
，故 A 错误；
又有
，故
义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故 B 错误；
所以
平面
，
而
平面
，
． 是长方体，
所以
，
因为
是长方体，且
，
所以
是正方形，
所以
，
又
．
所以 平面
，
又因为点 ， 分别在棱 ， 上，
所以
平面
，
所以
．
（2）点 在平面 内．
【答案】见解析
【解析】取 上靠近 的三等分点 ，连接 ， ， ．
2020年山东新高考11月30日模拟数学试卷及解析答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学8.若α＞b>c>I 且a c ＜护，则A.log 0 b > log b c >log e a c .log b c > log a b >log e a B.log e b > log b a >:log 0 c D.log b a > log e b > log 0 c 接秘密级事项管理，何启用前注意事项：I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题吕要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.下因为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．曲创阳呐一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={(x,y)lx+y=2},B ={(x ,y)ly =x 汗，则A 门B =A .{ ( 1 1)} B.{ ( -2, 4)}C .{ (1, 1), ( -2, 4)} D . 02.已知。
＋bi （α，b ε则是匕1的共辄复数，则α＋b =I+ i r一一生___!!_L A.一1 B.」飞 c.L l 」♂－」－．． ， I .{1 , ．－一一一一二．22＝－二、「－－一一一__L_二－3.设l句量a = (1, 1), b = （一l,3) , c = ( 2, 1），旦（a 一λb ）土c t D!IJ 1J ＝、， A.3～ B.2’，c .一2户I D. -3一4.c .！.一沪的展开式中均系数是卢" \ L e × e l .X 『·A.一210 B.一120C .120 D.2105己知三棱锥S-ABC 中，LSAB = L ABC = % , SB = 4 , SC = 2币，A B =2,BC=6,80706050403020100，可�·＇年（j非你也可�� �彤彤·＇年L J争4－�飞Cc>却。
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刷题小卷练30 椭圆的定义、标准方程及性质
小题基础练○30
一、选择题
1．椭圆x2
4
＋y2＝1的离心率为( )
A.1
2
B.
3
2
C.
5
2
D．2
答案：B
解析：由题意得a＝2，b＝1，则c＝3，所以椭圆的离心
率e＝c
a
＝
3
2
，故选B.
2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为1
2
，则
m
n
＝( )
A.3
4 B.
4
3
C.
3
2
或
23
3
D.
3
4
或
4
3
答案：D
解析：若焦点在x轴上，则方程化为x2
1
m
＋
y2
1
n
＝1，依题意得
1m －1n
1m ＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y21n ＋x21m
＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43
.故选D. 3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．2
2
答案：B 解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.
4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥P F 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )
A ．1－32
B ．2－3
C.3－12
D.3－1
答案：D
解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝
3， 由椭圆的定义可知，方程
x2a2＋y2b2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，。