2021-2022学年四川省自贡市富顺第二中学校高二下学期5月月考数学(文)试题(解析版)

2021-2022学年四川省自贡市富顺第二中学校高二下学期5月月考数学（文）试题一、单选题1．命题“x ∃∈R ，220x x -<”的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，220x x -≥ B ．x ∃∈R ，220x x -> C ．x ∀∈R ，220x x -≥ D ．x ∀∉R ，220x x ->【答案】C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得出答案. 【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 所以命题“x ∃∈R ，220x x -<”的否定是x ∀∈R ，220x x -≥. 故选：C.2．已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，则()f x 极值点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】根据函数的极值点要满足两个条件，结合导函数的图象逐个分析即可. 【详解】对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右的导数值异号，由图象可知，导函数与x 轴有5个交点，因为在0附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '<，所以0不是()f x 极值点．其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点， 故()f x 极值点的个数是4. 故选：A.3．若函数()2sin f x x x =+，则()0f '=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．3【答案】C【分析】先求出导数，再代入值即可【详解】()2sin f x x x =+，()2cos f x x x '=+， ()020+cos0=1f '=⨯，故选：C4．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，P 为椭圆上一点，若12||||6PF PF +=，则12PF F △的周长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】结合椭圆的知识确定正确选项.【详解】12PF F △的周长为1212||||6410PF PF F F ++=+=. 故选：A5．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程y =，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．2C ．12D 【答案】B【分析】由渐近线方程可得b a =c e a ==可求解.【详解】解：因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程y =，所以ba=所以该双曲线的离心率为2c e a ==，故选：B.6．设函数()f x x lnx =⋅，则曲线y ＝f （x ）在点 （1，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣x ﹣1 B ．y ＝x +1C ．y ＝﹣x +1D ．y ＝x ﹣1【答案】D【分析】由导数的几何意义得：曲线y ＝f （x ）在点 （1，0）处的切线方程为，y ﹣0＝x ﹣1，即y ＝x ﹣1，得解．【详解】解：因为()f x x lnx =⋅，所以f ′（x ）＝ln x +1，所以f ′（1）＝1， 即曲线y ＝f （x ）在点 （1，0）处的切线方程为，y ﹣0＝x ﹣1，即y ＝x ﹣1， 故选：D ．7．命题:[1,2],23x p x ∀∈≥，命题020:[1,2],log 1q x x ∃∈≥，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．p q ∨ D ．()p q ∨⌝【答案】C【分析】通过恒能成立问题分别判断命题,p q 的真假，结合复合命题的真假性即可得结果.【详解】当1x =时，123≥为假命题，故命题:[1,2],23xp x ∀∈≥为假，p ⌝为真；当2x =时，2log 211=≥成立，故命题020:[1,2],log 1q x x ∃∈≥为真命题，q ⌝为假； 所以p q ∧为假，()()p q ⌝∧⌝为假，p q ∨为真，()p q ∨⌝为假， 故选：C.8．已知直线1:4360l x y +-=和直线2:1l x =，抛物线24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．115D ．3716【答案】A【分析】结合抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线24y x =-的焦点为()1,0F -，准线方程为1x =， 即直线2l 是抛物线24y x =-的准线.抛物线24y x =-上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和，也即是P 到直线2l 与焦点的距离之和，最小值为()1,0F -到直线1:4360l x y +-=的距离，即4625--=. 故选：A9．已知:{|52}p A x x =-<<，{|}B x x a =<，且A B B ⋃=，:q 一次函数()0y ax b a =+≠单调递增.则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据题意求得命题,p q 对应参数的取值范围，从集合的角度即可判断充分性和必要性.【详解】对命题p ：因为A B B ⋃=，故可得2a ≥；对命题q ：一次函数()0y ax b a =+≠单调递增，故可得0a >， 因为[)2,+∞是()0,+∞的真子集，故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .10．某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数，且函数解析式为2117(0)y x x =>，生产成本2y （万元）是产量x （千台）的函数，且函数解析式为3222(0)y x x x =->，要使利润最大，则该产品应生产（ ）A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台【答案】A【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【详解】设利润为y 万元，则()2323212172218(0)y y y x x x x x x =-=--=-+>，∴26366(6)y x x x x =-+=-'-.令0y '=，解得0x =（舍去）或6x =，经检验知6x =既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品. 故选：A【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间[,]a b 上单调递增或递减，()f a 与()f b 一个为最大值，一个为最小值． (2)若函数在闭区间[,]a b 上有极值，要先求出[,]a b 上的极值，与()f a ，()f b 比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．11．若()f x 在R 上可导且()00f =，其导函数()f x '满足()()0f x f x '+<，则()0f x <的解集是（ ） A ．(),0∞- B ．(),1-∞C ．()0,∞+D ．R【答案】C【分析】先构造函数()()e xg x f x =，由()()0f x f x '+<确定()g x 单调递减，从而得到()0g x <的解集，即为()0f x <的解集.【详解】设()()e x g x f x =，则()()()()()()e e e x x xg x f x f x f x f x '''=+=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<在R 上恒成立，所以()g x 单调递减， 又()00f =得()00g =，由()0f x <等价于()0g x <， 所以0x >，即()0f x <的解集是()0,∞+. 故选：C.12．已知曲线()322f x x ax x =-+-与直线1y kx =-相切，且满足条件的k 值有且只有3个，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．[)3,+∞ D ．()3,+∞【答案】D【分析】设切点坐标为()32,2t t at t -+-，求出曲线()y f x =在x t =处的切线方程，将点()0,1-的坐标代入切线方程可得出2321at t =+，可知关于t 的方程2321at t =+有三个解，由参变量分离法可得出()2120a t t t =+≠，构造函数()()2120g t t t t =+≠，利用导数分析函数()g t 的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】设切点坐标为()32,2t t at t -+-，对函数()f x 求导得()2322f x x ax '=-+-， 所以，曲线()y f x =在x t =处的切线方程为()()()3222322y t at t t at x t --+-=-+--，因为直线1y kx =-过定点()0,1-，将点()0,1-的坐标代入切线方程()()()3222322y t at t t at x t --+-=-+--得2321at t =+，由题意可知，关于t 的方程2321at t =+有三个解， 显然0=t 不满足方程2321at t =+，则()2120a t t t =+≠， 令()()2120g t t t t =+≠，则()()3332122t g t t t-'=-=，列表如下：t (),0∞-()0,11()1,+∞()g t '+-+()g t增 减 极小值 减所以，函数()g t 的极小值为()13g =，且3102g ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由题意可知，当3a >时，直线y a =与曲线()y g t =有三个交点， 故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 二、填空题13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的长轴长为43C 的方程为_______．【答案】2214x y +=【分析】利用待定系数法求出椭圆的方程.【详解】椭圆C 的焦点在x 轴上，则2a =，32c a =，则3c =，221b a c =-=， 此时，椭圆C 的方程为2214x y +=；故答案为：2214x y +=14．若复数12(z i i =-为虚数单位)，则zz=___________. 【答案】3455i -+【分析】由共轭复数概念写出z ，再应用复数的除法求zz即可.【详解】由题设知：12z i =+， ∴212(12)431255z i i i z i ++-===-. 故答案为：3455i -+15．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________． 【答案】[1,)+∞【详解】试题分析：函数定义域为，2121()2mx x f x mx x x-+=+-='，函数为增函数则，转化为对恒成立， 显然0m >，所以对称轴10m>，所以即可，解得．【解析】导数判断函数的单调性. 【易错点晴】由两个初等函数的加减构成新的函数的单调性一般情况下都采用求导的方法，由()0f x '>将题转化成二次函数在给定的范围内恒成立的问题．含参二次函数恒成立可采用分类讨论的形式来解决．本题是函数部分的常见题，很容易找到解决的方法.导数是高考的重难点，一般用于判断单调性、极值、最值等．本题难度适中.16．关于函数()e sin x f x x =+，(,)x ππ∈-，下列四个结论中正确的为__________． ①()f x 在(,0)π-上单调递减，在(0,)π上单调递增； ②()f x 有两个零点；③()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<； ④()f x 有两个极值点． 【答案】②③【分析】利用导数可判断①，利用指数函数及正弦函数的性质可判断②，利用零点存在定理可知存在03(,)42x ππ∈--，使得'()0f x =，进而可知函数()f x 的单调性及极值情况，再结合函数的零点存在性定理及三角函数的图像性质可判断③④. 【详解】∵()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '=+，因为,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，e 0x >，cos 0x >，所以()0f x '>，所以()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；()f x 有两个零点等价于e sin 0x x +=有两个根，即函数e x y =与sin y x =-有两个交点，根据e x y =与sin y x =-的图象，可知在(,)ππ-上有两个交点，故②正确；2e 02f ππ⎛⎫'-=> ⎪⎝⎭，34343312e cos 44e f ππππ-⎛⎫⎛⎫'-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23342e e e 2ππ⎛⎫=>> ⎪⎝⎭， 34e2π∴>34122eπ<，304f π⎛⎫'∴-< ⎪⎝⎭∴存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=且00e cos 0x x += ∴在()0,x π-上，()0f x '<，在()0,x π上，()0f x '>，在()0,x π-上，()f x 单调递减，在()0,x π上，()f x 单调递增， ()f x ∴在(,)ππ-上存在唯一极小值点0x ，()000000e sin sin cos 24x f x x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，0(1,0)4x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故③正确．令()()e cos x g x f x x '==+，则()e sin x g x x =-， 当(,0)x π∈-时，0e 1x <<，sin 0x <，e sin 0x x ->， 当(0,)x π∈时，e 1x >，0sin 1x <<． ()e sin 0x g x x ∴=->在(,)ππ-恒成立，()g x ∴单调递增且()ecos()e10g ππππ---=+-=-<，22e cos e 220g ππππ--⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭>⎪， ()g x ∴存在唯一零点0,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，使得00e cos 0x x += ()0,x x π∴∈-，()0g x <，即()0f x '<，()0,x x π∈，()0>g x ，即()0f x '>，()f x ∴在0x 处取得极小值故有唯一极小值点，故④错误．故答案为：②③. 三、解答题17．已知:22p a -<<，:q 关于x 的方程20x x a -+=有实数根． (1)若q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)(]1,2,24⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用判别式法直接求解；（2）先判断出p ，q 一真一假，分类讨论，列不等式组，求出实数a 的取值范围. 【详解】(1)因为方程20x x a -+=有实数根，只需140a ∆=-≥，解得：14a ≤，即实数a 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ，q 一真一假若p 为真命题，q 为假命题，即2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得：124a <<若p 为假命题，q 为真命题，即2214a a a ≤-≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或，解得：2a ≤- 综上所述：实数a 的取值范围(]1,2,24⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.18．已知函数()3287f x x x x =+-+(1)求函数的导数；(2)求函数的单调区间和极值点. 【答案】(1)2()328f x x x '=+-；(2)函数的单调递增区间为(,2)-∞-和4(,)3+∞，单调递减区间为4(2,)3-.函数的极大值点为2-，极小值点为43.【分析】（1）直接利用导数求导得解； （2）令()0f x '=，求出方程的根，再列表得解. 【详解】(1)解：由题得2()328f x x x '=+-. (2)解：2()328(34)(2)f x x x x x '=+-=-+， 令()(34)(2)0,2f x x x x '=-+=∴=-或43x =. 当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表，所以函数的单调递增区间为(,2)-∞-和4(,)3+∞，单调递减区间为4(2,)3-.函数的极大值点为2-，极小值点为43.19．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，开口向右且焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线C 的标准方程.(2)若过C 的焦点F 的直线n 与抛物线C 交于,A B 两点，且163AB =，求直线n 的方程. 【答案】(1)24y x =0y -=0y +【分析】（1）利用焦点到准线距离可得p ，由此可得抛物线方程；（2）设:1n x ty =+，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用弦长公式可构造方程求得t ，进而可得直线方程.【详解】(1)设抛物线()2:20C y px p =>，抛物线C 的焦点到准线的距离为2，2p ∴=，∴抛物线C 的标准方程为：24y x =；(2)由（1）得：()1,0F ，设直线:1n x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由214x ty y x =+⎧⎨=⎩得：2440y ty --=，则121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩，163AB ∴===，解得：t = ∴直线n方程为：1x y =+或1x y =+0y -=0y +=. 20．已知直线2y =-上有一个动点Q ，过Q 作直线l 垂直于x 轴，动点P 在直线l 上，且OP OQ ⊥，记点P 的轨迹为1C ，(1)求曲线1C 的方程；(2)已知圆()222:2C x y a +-=，若1C 、2C 在交点处的切线相互垂直，求a 的值．【答案】(1)()220x y x =≠ (2)12a =- 【分析】（1）利用直接法求曲线的方程；（2）不妨设1C 、2C 的一个交点为()11N x y ,，利用斜率的关系联立求出a 的值．【详解】(1)设点P 的坐标为(),x y ，则(),2Q x -，∵OP OQ ⊥，∴0OP OQ ⋅=∴220x y -=，当0x =时，P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠．∴曲线C 的方程为()220x y x =≠．(2)不妨设1C 、2C 的一个交点为()11N x y ,，1C 的方程为212y x = 则在1C 上N 点处切线的斜率为1y x '=．2C 上过N 点的半径的斜率为11y a k x -=111y a x x -=， 又21112y x =，得1y a =-，212x a =-∵()11N x y ,在圆2C 上，∴2242a a -+=，∴12a =-或1a = ∵10y > ∴0a <，∴12a =-21．已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率12e =，左、右顶点分别为曲线226y x =-与x 轴的交点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的下焦点作一条斜率为k 的直线l ，l 与椭圆C 相交于点A 与B ，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.【答案】(1)22143y x += (2)32【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）利用弦长公式、点到直线的距离公式求得OAB 面积的表达式，结合导数求得OAB 面积的最大值.【详解】(1)设椭圆的半焦距为(0)c c >.由曲线226y x =-与x 轴的交点，可得椭圆C的左、右顶点分别为(，，即b = 椭圆的离心率12e =，即12c a =， 因为222a b c =+，所以22132a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得24a =，2,1a c ==， 所以椭圆C 的方程为22143y x +=. (2)由（1）可知C 的下焦点为(0,1)-，故l 的方程为1y kx =-， 由221143y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2234690k x kx +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122634k x x k +=+，122934x x k =-+，所以||AB =()2212134k k ++. 又O 到:10l kx y --=的距离为d所以()22611||234OAB k S AB d k +===+△令1t =≥，则221k t =-，则2661313OAB t S t t t==++. 对于函数()2'22113131,30t y t t y t t t-=+≥=-=>， 即函数()131y t t t=+≥在[1,)t ∈+∞上单调递增， 所以当1,0t k ==时，13y t t=+取得最小值4， 此时OAB S 取得最大值6342=. 22．已知()e x f x mx =+．(1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围． 【答案】(1)10x y +-=(2)ln 3⎡-⎣【分析】（1）根据导数的几何意义可利用斜率求得切点坐标，由此可得切线方程；（2）令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，将问题转化为当0x ≥时，()min 0g x ≥恒成立；讨论当10m +≥时，由导数可证得()g x 单调递增，由(0)0g ≥可求得m 范围；当10+<m 时，利用零点存在定理可说明存在()00g x '=，并得到()g x 单调性，知()min g x =()002013e e 022x x g x =-++≥，由此可解得0x 的范围，根据00e x x m -=可求得m 范围．【详解】(1)当2m =-时，()2x f x e x =-，()2x f x e '=-；令()21x f x e '=-=-，解得：0x =，∴切点坐标为()0,1，∴所求切线方程为：1y x =-+，即10x y +-=；(2)令()()2213222m g x f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2x 213e 222m mx x =+--+， 则原问题转化为：当0x ≥时，0x ≥恒成立，即()min 0g x ≥恒成立；()e x g x m x '=+-，()e 1x g x ''=-，则当0x ≥时，()0g x ''≥，∴()g x '在[)0,∞+上单调递增，∴()()01g x g m ''≥=+；①当10m +≥，即1m ≥-时，()0g x '≥，∴()g x 在[)0,∞+上单调递增，∴()()2min 301022m g x g ==-+≥，解得：m ≤∴m ⎡∈-⎣； ②当10+<m ，即1m <-时，()00g '<，当x →+∞时，()g x '→+∞；∴()00,x ∃∈+∞，使得()00g x '=，即00e x x m -=，则当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>； ∴()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∴()()0min g x g x ==0220013e 222x m mx x +--+()()000202000e 13e e 222x x x x x x x -=+---+ 00213e e 022x x =-++≥， 解得：01e 3x -≤≤，即0ln 3x ≤，又()00,x ∈+∞，∴(]00,ln3x ∈， 令()e x h x x =-，则()1e xh x '=-，∴当(]0,ln3x ∈时，()0h x '<， ∴()h x 在(]0,ln3上单调递减，∴()[)000e ln33,1xh x x =-∈--，即[)ln33,1m ∈--；综上所述：实数m 的取值范围为ln 3⎡-⎣．。