猴子分苹果问题

已经知道了整系数方程),(互质b a c by ax =+的一个解,,p 0
0q y x ==那么我们就能知道它的全部整数解。

事实上，如果y x ,是已知方程的另一解，则由
⎩
⎨⎧=+=+,,c bq ap c by ax 得 。

)()(q y b p x a --=-
由于b a ,互质，从而必有整数k 使,bk p x =-此时
ak q y -=-
于是，我们得到:
⎩⎨⎧-=+=,
,ak q y bk p x (k =0, ,2,1±±) 以上表明，如果我们能够看出二元一次不定方程的某个特殊解，那么要写出其全部整数解，几乎不会有什么困难。

1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出过以下有趣的问题：
“海滩上有一堆栗子，这是5只猴的财产，它们要平均分配。

第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把栗子分成相等的5堆。

分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿走5堆中的一堆走了。

第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把栗子分成相等的5堆，还是多一个。

它也扔掉一个，自己拿走一堆走了。

以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理。

问：原来至少有多少个栗子？最后至少有多少个栗子？”
这道题可以这样解答：设原来有x 个栗子，最后剩下y 个栗子。

依题意得： ,1)1)1)1)1)1(5
4(54(54(54(54y x =------ 整理得 1024x -3125y =8404。

要解上述不定方程似乎不太容易。

但如果注意到系数3125-1024=2101，恰为
8404的4
1， 也就知道=x -4，=y -4是方程的一个特解。

根据前面我们讲到的公式，上述不定方程的所有整数解可以写成：
⎩⎨⎧--=--=,
10244,31254k y k x (k =0, ,2,1±±) 上式当=k -1时，得到最小的正数=x 3121及最小的正数=y 1020。

这就是
李政道教授所提问题的答案。

李政道教授在讲到上述这一问题时还指出：著名的英国物理学家狄拉克，曾提出过一个巧妙的解法。

狄拉克的方法，这里不准备介绍；但最终的结论不能不提，因为它简洁得使人惊异！狄拉克的答案是：如果题中的猴子数为5，则有
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=。

4,44555y x
然而，怎样才能保证方程n qy px =+有整数解呢？我们说只要p 、q 互质，上述不定方程就必然有整数解。

事实上，当p 、q 互质时，我们一定能够找到一组整数l 、m ，使得：
,1=+qm pl
这样就有 ,)(n qm pl n =+
即得 ⎩⎨⎧==。

nm y nl x , 求l 、m 的方法，其历史相当古老，相传是由古希腊数学家欧几里得最早想到的。

欧几里得方法的核心是辗转相除。

两数p 与q （p <q ）辗转相除指的是：用p 除q ，得余数r 1；若r 1≠1，则用r 1除p ，又得余数r 2；若r 2≠1，则转过
来用r 2除r 1，再得余数r 3；如此反复，辗转相除。

由于p 、q 互质，上述步骤
必达某余数等于1而止。

利用辗转相除的式子，逐一倒推，即可求得l 、m 。

我们以上节李政道教授问题中的不定方程为例，来讲解这一道理。

令
1024l +3125m =1,
显然，p =1024，q =3125。

用辗转相除法：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=。

18217;231753;1719531024;53310243125 由上面各式逐一倒推可得
1=17-28⨯=17-（53-17⨯3）⨯8=17⨯25-53⨯8
=（1024-53⨯19）⨯25-53⨯8=1024⨯25-53⨯483
=1024⨯25-（3125-1024⨯3）⨯483
=1024⨯1474-3125⨯483，
于是得到l =1474，m =-483。

又因n =8404，
从而 ⎩
⎨⎧=⨯=-==⨯==。

40591324838404,1238749614748404nm y nl x 上一节讲过，不定方程1024x -3125y =8404的所有整数解是
⎩⎨⎧--=--=。

k y k x 10244,31254 上面所求的解，相当于k =-3964，这也是一个特解。

从表面上看，本节所求的特解要比上一节的特解=x -4，=y -4复杂得多，但两者是有很大不同的。

前者靠的是科学推理，后者凭的是一时的猜想。

一时的猜测乃思维的贫困，严密的推理系科学的结晶。