偏微分方程数值解法(1)
第十章 偏微分方程数值解法
第十章 偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。
除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。
因此，近似解法就显得更为重要。
本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念1.1 几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程),(2222y x f yu x u u =∂∂+∂∂=∆ 特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称为调和方程2222=∂∂+∂∂=∆yux u u Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y ux u y x ϕ 其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ称为定解区域，),(y x f ，),(y x ϕ分别为Ω，Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为),(),(y x u u y x ϕα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程220(0)u ua a t x∂∂-=>∂∂ 方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<-∞>=∂∂-∂∂x x x u x t x u a tu )()0,(,0022ϕ初边值问题221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u ua t T x l t x u x x x lu t g t u l t g t t Tϕ⎧∂∂-=<<<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩其中)(x ϕ，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
偏微分方程的数值解
第二十章 偏微分方程的数值解自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
§1 偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程),(2222y x f y ux u u =∂∂+∂∂=∆ （1）特别地，当0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程02222=∂∂+∂∂=∆yux u u （2）带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂=Γ=Ω∈=∂∂+∂∂Γ∈),(|),(),(),(),(2222y x y x u y x y x f y uxu y x ϕ （3）其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΓΩ 称为定解区域，),(),,(y x y x f ϕ分别为ΓΩ,上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成),(),(y x u n u y x ϕα=⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂Γ∈ （4）其中n 为边界Γ的外法线方向。
当0=α时为第二类边界条件，0≠α时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程)0(022>=∂∂-∂∂a xu a t u （5）方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=+∞<<∞->=∂∂-∂∂x x x u x t x u a t u )()0,(,0022ϕ （6）初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤===<<<<=∂∂-∂∂Tt t g t l u t g t u x x u l x T t x ua t u 0),(),(),(),0()()0,(0,002122ϕ （7） 其中)(),(),(21t g t g x ϕ为已知函数，且满足连接条件)0()(),0()0(21g l g ==ϕϕ问题（7）中的边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条件。
偏微分方程数值解法
}
}
void boundnote(int bd[],struct xy b[])//找出边界点
{
int i,j=1;
for(i=1;i<NG+1;i++)
{
if(b[i].x==0||b[i].x==1.0||b[i].y==0||b[i].y==1.0)
#define TSTP 0.01 //时间步长
#define TN 100 //时间迭代步数
#define J 1.0/(N*N) //雅可比行列式的绝对值
double u0(double x,double y) //初值函数u0
{
double z;
z=100*x*y*(x-1)*(y-1);
return z;
}
}
void AIJ(double **aij,double aryk[],int **a) //计算单元刚度矩阵
{
int i;
for(i=1;i<LEE+1;i++)
{
aij[i][1]=1.0/(12*N*N)+TSTP+2*TSTP*1.0/(54*N*N)*(aryk[a[i][1]]+aryk[a[i][2]]+aryk[a[i][3]]);// 1 1
//主元太小
}
//交换第ik行和第k行的元素
if(ik!=k)
{
double t;
for(i=k;i<NG+1;i++)
{
t=E[ik][i];
E[ik][i]=E[k][i];
偏微分方程数值解_图文_图文
估计误差
这种误差称为“局部截断误差”，如图。
局部截断误差是以点 的精确解 而产生的误差。
为出发值，用数值方法推进到下一个点
2.整体截断误差—收敛性
整体截断误差是以点 的初始值 为出发值，用数值方法推进i+1步到点
，所得的近似值 与精确值
的偏差：
称为整体截断误差。
特例，若不计初始误差，即 则
即 3.舍入误差—稳定性
五、线性多步（Linear Multistep Method）法
1. 预备知识：插值多项式
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况， 估算出函数在其他点处的近似值。
从几何上理解：对一维而言，已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式 曲线通过这些点。插值多项式一般常见的是拉格朗日插值多项式。
把
代入 中，有
经比较得到
取 为自由参数： 从而得到不同的但都是二阶的R-K方法，对应的有中点法、Heun（亨）法 以及改进的Euler法。
基于相同的过程，通过比较五次Taylor多项式，得到更加复杂的结果，给出了包含 13个未知数的11个方程。得到多组系数，其中常用的是以下四阶R-K法：
改进的Euler法、R-K法以及解析解的比较：
是待定的系数。
Euler法就是
的R-K法。
其系数的确定如下：将 展开成 的幂级数，并与微分方程的精确解
在点 的Taylor展开式相比较，使两者的前
项相同，这样确定的R-K法，
其局部截断误差为
，根据所得关于待定系数的方程组，求出它们的值后
代入公式，就成为一个 阶R-K方法。
例题 以二阶R-K法为例说明上述过程
2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc., 2004.
计算方法5_偏微分方程数值解法
菱形格式
uk , j +1 = uk , j −1 + 2 bs( uk＋1, j − uk , j +1 − uk , j −1 + uk −1, j ) k = 1,2 , ⋯ , N − 1, j = 0 ,1,2 , ⋯ k = 1,2 , ⋯ , N − 1 uk ,0 = ϕ ( kh) u0 , j = g1 ( jτ ), uN , j = g2 ( jτ ), j = 0 ,1,2 , ⋯
uk , j＋1 − uk , j uk＋1, j − uk , j +a =0 τ h
(5.2)
加上初始条件， 加上初始条件，构成差分格式
uk , j＋1 = uk , j − ar(uk＋1, j − uk , j ) uk ,0 = ϕk
差分格式的收敛性和稳定性
差分格式的依赖区域 库朗条件： 库朗条件：差分格式收敛的必要条件是差分格式的依 赖区域应包含微分方程的依赖区域 稳定性
(x, y) ∈ Ω (x, y) ∈ Γ
建立差分格式
将xy平面分割成矩形网格 平面分割成矩形网格
x = x k = kh, k = 0,±1,±2, ⋯ y = y j = jτ, j = 0,±1,±2, ⋯
表示网格节点(x 用(k,j)表示网格节点 k,yj)，网格节点上的函数 表示网格节点 ， 值为u(k,j) 值为
~ u(k , j + 1) − u(k , j − 1) τ2 ∂u = − u′′′ (k , t ) t 2τ 6 ∂t k , j u(k + 1, j) − u(k − 1, j) h2 ∂u ′ x = − u′x′ (~, j) 2h 6 ∂x k , j
偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析
偏微分方程数值解挑战偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程数值解挑战——偏微分方程的数值解法与稳定性分析偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）是数学中一个重要的研究领域，广泛应用于各个科学领域和工程实践中。
这些方程描述了动态系统中随时间、空间和其他自变量变化的物理规律，例如热传导、扩散、波动等。
然而，由于这些方程往往难以直接求解，研究者们发展了一系列数值方法来近似求解偏微分方程，并对其稳定性进行分析。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是最常见的数值解法之一，其基本思想是在求解区域上构建一个网格，将连续的偏微分方程离散化为差分方程，通过迭代求解差分方程来逼近真实解。
在空间上，可以采用中心差分、向前差分或向后差分等方法，以近似对应的偏导数；在时间上，通常采用欧拉显式格式或隐式格式来进行时间步进。
有限差分法简单易懂，适用于较为简单的情况，并且具有较好的稳定性。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种更为广泛适用的数值方法，其基本思想是将求解区域分割成多个小单元，通过在这些小单元上构造插值函数，将偏微分方程转化为代数方程组。
有限元法可以灵活地处理各种几何形状和边界条件，并且对于复杂问题具有较高的适用性。
通常，有限元法需要进行单元划分、构造刚度矩阵和质量矩阵，并通过求解线性或非线性代数方程组来得到数值解。
有限元法在实际工程问题中发挥着重要作用。
三、稳定性分析除了选择合适的数值方法，稳定性分析也是解偏微分方程数值解过程中必不可少的一步。
稳定性分析用于评估数值解法的解是否趋近于真实解，并且在数值计算过程中不会发散或发生不稳定的情况。
一种常用的稳定性条件是Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) 条件，它要求数值方法中时间步长和空间步长之间满足一定关系，以确保数值解的稳定性。
高等数学中的偏微分方程数值解法
偏微分方程是数学中的一大重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
其求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法要求方程具有可积性，适用于一些简单的方程，但是对于复杂的方程往往无法得到解析解。
而数值解法通过将方程离散化，利用数值计算方法得到数值解，是一种弥补解析解法不足的重要手段。
在高等数学中，偏微分方程数值解法主要包括差分法、有限元法和有限差分法。
其中，差分法是最早应用于求解偏微分方程的数值方法之一。
差分法通过将偏微分方程中的导数用差商的形式来近似表示，将连续的问题转化为离散的问题，再通过计算机程序来进行求解。
差分法的优点是简单易懂、计算速度快，适用于一些较为简单的偏微分方程。
但是差分法的精度受到离散化步长的影响，不适用于一些对精度要求较高的问题。
有限元法是一种更为广泛应用的偏微分方程数值解法。
有限元法通过将求解区域分割成有限多个小区域，用简单形状的基函数来逼近真实解，再通过求解线性方程组得到数值解。
有限元法的优点在于适用于复杂的几何形状、能够处理不规则的边界条件，并且精度较高。
有限元法还具有较好的可扩展性，可以处理大规模的求解问题。
因此，有限元法在工程领域的应用非常广泛。
有限差分法是一种通过计算导数来逼近微分方程的数值解法。
有限差分法基于泰勒展开公式，将微分算子在某点处的展开为有限多个导数的差商的线性组合。
通过将微分算子离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，再通过求解方程组来得到数值解。
有限差分法的优点在于简单易懂，计算速度较快。
但是由于差商的导数逼近误差，有限差分法的精度受到离散化步长的影响，需要选择合适的步长来保证精度。
总的来说，高等数学中的偏微分方程数值解法是研究偏微分方程数值计算的一大热点和难点。
不同的数值方法适用于不同的问题，需要根据具体情况来选择适合的数值方法。
在求解偏微分方程时，还需要注意数值误差对结果的影响，并通过适当选择离散化步长和网格数量等参数来提高数值解的精度。
随着计算机技术的发展，偏微分方程数值解法将会越来越广泛地应用于实际问题的求解中。
偏微分方程数值解
2.1 直接差分法
(1) 取 N+1 个节点将 I =[a, b] 分成 N 个小区间:
a x0 x1 L xi L xN b
I i : xi 1 x xi , i 1, 2, L , N
hi xi xi 1 , h max hi .
i
于是，得到 I 的一个网格剖分.
(2) 对 I = [a, b] 进行对偶剖分 取 xi 1 , xi 的中点
x
1 i 2
1 xi 1 xi , 2
i 1, 2,
,N
称为半整数点，则
a x0 x1 x3
2 2
x
1 N 2
xN b
构成 I 的一个对偶剖分. (3) 将方程 (2.1) 在内点 xi 处离散化.
d2 du hi 1 hi dx 2 ( p dx ) 12 i
d 3u 2 p O ( h ) dx3 i
于是得逼近方程 (2.1)~(2.2) 的差分方程：
ui 1 ui ui ui 1 2 p 1 Lhui pi 1 i h h h h i i 1 i 1 i 2 2 i i 1, 2, ui 1 ui qiui fi , hi hi 1 u0 , uN
1 i 2
) W (x
1 i 2
)
x
i
x
1 2
i
1 2
qudx
x
f dx
i
1 2
du W ( x) , dx p ( x)
沿 [ xi 1 , xi ] 积分，得
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第十章 偏微分方程数值解法一、 典型的偏微分方程介绍 1．椭圆型方程 科学技术中经常遇到一些重要的、典型的偏微分方程。
在研究有热源稳定状态下的热传导，有固定外力作用下薄膜的平衡问题时，都会遇到Poisson 方程D y x y x f yux u ∈=∂∂+∂∂),(),(2222（10.1）其中D 表示平面区域。
特别在没有热源或没有外力时，就得到Laplace 方程02222=∂∂+∂∂y ux u （10.2）此外，当研究不可压缩理想流体无旋流动的速度势以及静电场的电位等，也会遇到（10.1）或（10.2）类型的方程。
2．抛物型方程 在研究热传导过程、气体扩散现象、电磁场的传播等问题中以及在统计物理、概率论和重子力学中，经常遇到抛物型方程。
这类方程中最简单、最典型的是热传导方程。
L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022（10.3）其中a 是常数。
它表示长度为L 的细杆内，物体温度分布的规律。
3．双曲型方程 在研究波的传播、物体的振动时，常遇到双曲型方程。
这类方程中最简单、最典型的是波动方程L x t xu a t u <<>=∂∂-∂∂0,0,022222（10.4）它表示长度为L 的弦振动的规律。
二、定解问题偏微分方程（10.1）~（10.4）是描述物理过程的普遍规律的。
要使它们刻划某一特定的物理过程，必须给出附加条件。
把决定方程唯一解所必须给定的初始条件和边界条件叫做定解条件。
定解条件由实际问题提出。
对方程（10.3）来说，初始条件的提法应为)()0,(x f x u =，其中f (x )为已知函数，它表示物体在初始状态下温度分布是已知的。
边界条件的提法应为物体在端点的温度分布为已知，即⎩⎨⎧≥==0)(),()(),0(t t t L u t t u ψϕ （10.5）其中ϕ（t ）和ψ（t ）为已知函数。
对（10.4）来说，边界条件的提法和（10.5）形式一样，它表示弦在两端振动规律为已知。
初始条件的提法为L x x g x tux f x u ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=0)()0,()()0,(其中f (x )和g (x )为已知函数。
它表示在初始时刻弦振动的规律和振动的速度。
对于方程（10.1）和（10.2）来说，因为它们反应稳定状态的情况，与时间无关，所以不需要提初始条件。
边界条件的提法为：),(),(y x y x u s ϕ=其中ϕ (x, y )为已知边界，s 是区域D 的边界。
由偏微分方程和定解条件所构成的问题叫定解问题。
许多实际问题提出的定解问题无法求出解析解，少数问题即使求得解析解，计算过程、解的表达式也可能很复杂。
因此必须寻求方程简单、可以在计算机上计算的数值方法。
本章将对三类典型的偏微分方程定解问题给出数值计算方法。
本章主要针对几个典型的微分方程介绍常用的差分方法和有限元方法。
这些方法基本思想是：把一个连续问题离散化，通过各种手法化成有限形式的线性方程组，然后求其解。
§1 差分法简介 差分法是求偏微分方程数值解的重要方法之一，它的主要做法是把偏微分方程中所有偏导数分别用差商代替，从而得到一代数方程组——差分方程，然后对差分方程求解，并以所得的解作为偏微分方程数值解。
为此，必须对区域进行剖分，用网格点来代替连续区域，因此差分法亦称“网格法”。
我们用一个简单例子来说明差分法的基本思想和具体要求。
取一边长为1的正方形均匀薄板， y π上下侧面绝热，四周保持恒温（如图10 .1）， 求板内各点的稳定温定分布。
这个总是如在数学物理方程中所知，它可以化为拉普拉斯方程第一边值问题： 0 u=0 1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====<<<<Ω=∂∂+∂∂=∆====yuu u uy x y ux u u x y y x πsin 0)10,10:(011002222 (10.1)一般的来说对这类问题我们无法求出解的解析表达式，有的即便能求出也是很复杂的，在实际问题中往往也并不需要求出u 在区域Ω内每点值，实际上能求出在区域内某些点的近似值也就满足需要了。
在图10.1中作平行于坐标轴间隔为41=h 的两族直线，我们求u 在网格点（落在Ω内两族直线的交点）上的值，并且以后采用下列记号：()()()),(,,,,k i y y x u kh ih y x k i k i ==我们利用u 在这些点满足主程02222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ikik y u x u （10.2）求出u 在网格点上的值，（10.2）中( )ik 表示u 在（i , k ）点上的值。
从方程（10.2）中是无法直接求出u 值，而我们求出u 在网格点上的近似值也就可以了，为此，和常微分方程的差分方法一样，将（10.2）中偏导数用差商代替，则有222),1(),(2),1(h k i u k i u k i u x u ik ++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （10.3）222)1,(),(2)1,(h k i u k i u k i u y u ik -+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （10.4）于是就得到u (i , k )的近似u i,k ，所满足的线性代数方程组：()0411,1,,1,12=-+++-+-+ik k i k i k i k i u u u u u h（10.5）其中)3,2,1,(0400====i k u u u i i k ，⎪⎩⎪⎨⎧=====3707.0211707.04sin ;4k k k k u kπ 用迭代法来解方程组（10.5）。
首先将方程组（10.5）化成迭代形式()1;1;;1;141-+-++++=k i k i k i k i ik u u u u u （10.6）然后用下边方法取初始值先用线性插值，注意边界条件()010======k y x u uu给定区域内部的四个网格点的值（表10.1），然后再用（10.6）算出其五个网格点的值，则得到初始值，如表10.2。
计算)1(ik u 时可将（10.6）与成简单迭代形式：())(1;)(1,)(;1)(;1)1(41n k i n k i n k i n k i n ik u u u u u -+-+++++=然后，用（表10.2）中初始值进行计算k=4 k=3 k=2 k=1k=0i =0 i =1i =2i =3i =4u (0)u (1) (简单迭代)u (1) (采德尔迭代)当我们计算)1(ik u 时只要将)0(ik u 周围四个点加起来除以4，将所得的值填表10.3 (i , k )位置上，这样就得到表10.3，再用这个方法由表10.3计算出)2(ik u ，如此下去算到)(n ik u 满足所需要的精度为止。
同样我们也可以用采德尔迭代法来解上述方程组，作法可由左到右，由下到上，从图10.2可知k 小的先作；对固定k ，i 小的先作，于是便有下述迭代公式：())(1,)(,1)1(1,)1(,1)1(41n k i n k i n k i n k i n ik u u u u u +++-+-++++=计算)1(ki u 时初始值仍为表10.2，先由表10.2中的值计算出)1(u 并计入表10.4中位置（1.1）上。
然后用 i-1,k i,k i +1,k 表10.2中（i +1，k ），（i ，k +1）位置)0(u 值和表10.4中（i -1，k ），（i ，k -1）位置上的)1(u 值相加除以4，将所 图 10.2 得的值填入表10.4中（i , k ）的位置上，得出表10.4。
如此继续下去就可能计算出)2(u ，)3(u ，……直到所需要的精度为止。
由上面的例子可以看出用差分法解椭圆型方程需要考虑三个问题： 1．选用网格，将微分方程离散化为差分方程。
2．当网格步长h →0时差分方程的准确解是否收敛于微分方程的解？ 3．如何解相应的代数方程组？ 关于第3个问题，在第三章中已经讨论，这里就不再重复，下面就第1，第2个问题进行讨论。
§2 椭圆型方程的差分解法 椭圆型方程最简单的典型问题就是拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂=∆yux u u和泊松方程),(2222y x f yux u u =∂∂+∂∂=∆下面以泊松方程第一边值问题为例，来建立差分方程。
考虑泊松方程第一边值问题：(10.7)),(),,((10.7) ),(),,(212222⎪⎩⎪⎨⎧Ω∂∈=Ω∈=∂∂+∂∂=∆Ω∂y x y x u y x y x f y ux u u ϕ （一） 矩形网格设Ω为xy 平面上一有界区域，∂Ω为其边界，是分段光滑曲线。
图10.3取定沿x 轴和y 轴方向的步长分别为h 1和h 2。
()2/12221h h h +=。
作为坐标轴平行的两族直线：,1,0,1±==i ih x,1,0,2±==k kh y两族直线的交点（ih 1, kh 2）称为网点或节点，记为（x i ，y k ）或（i ，k ）。
以(){}Ω∈=Ωk i h y x ,表示所有属于Ω内部节点集合，并称此类节点为内点。
以∂ Ωh 表示网线x = x i 或y = y k 与∂ Ω的交点集合，并称此类的点为边界点。
令h h h Ω∂+Ω=Ω，则h Ω就是代替连续区域Ω∂+Ω=Ω的网点集合。
若两个节点之间距离等于一个步长称此两个节点为邻点。
若内点（x i ，y i ）的相邻点都属于Ωh ，就称为正则内点；否则就称做非正则内点。
图10.3中打“〇”号的点为正则内点，打“×”号的点为非正则内点，打“• ”号的点为界点。
（二）五点差分格式 现在假设（i ，k ）为正则内点。
沿着x ，y 轴方向分别用二阶中心差商代替u xx ，u yy ，则得ik k i ik k i ki ik k i ik h f hu u u hu u u u =+-++-=∆-+-+221,1,21,1,122（10.8）称（10.8）为差分方程。
式中u ik 表示节点（i ，k ）上的网函数。
若以u h ，f h 表示网函数，),(),(,),(k i ik k i h ik k i h y x f f y x f u y x u ===，则差分方程（10.8）可简写成：h h h f u =∆（10.9）利用Taylor 展式),1(),(),(!6!5!4!3!2),(66615551444133312221,1k i k i k i x u h x u h x u h x u h x u h x u h u u k i ik ik ik ik ik ik ki +≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=+),(),(),1(!6!5!4!3!2),(6661555144413331222121,1k i k i k i x u h x u h x u h x u h x u h x u h u u k i ik ik ik ik ik ik ki ≤'≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=- )1,(),(),(!6!5!4!3!2),(6662555244423332222221,+≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=+k i k i k i y u h y u h y u h y u h y u h y u h u u k i ik ik ik ik ik ik k i ),(),()1,(!6!5!4!3!2),(6662555244423332222221,k i k i k i y u h y u h y u h y u h y u h y u h u u k i ik ik ik ik ik ik k i ≤'≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-='- 这四个式子两两相加便有：)(36012261664144212221,1,1h O x u h x u h x u h u u u ikik ik ki ik k i +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+ （10.10）)(360122626642442222221,1,h O y u h y u h y u h u u u ikik ik k i ik k i +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+--+ （10.11） 于是可得差分方程（10.9）的截断误差)()(121),(),()(24,44224421h O h O y u h x u h y x u y x u u R ki k i h k i ik =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∆-∆= 其中u 是方程（10.7）的光滑解。