一个抛物型方程组解的二阶收敛性质
关于二阶导数的级数敛散性问题
关于二阶导数的级数敛散性问题二阶导数的级数敛散性问题是微积分和数学分析中一个重要的话题，它涉及到级数的性质、收敛条件和解析性等多个方面。
本文将对二阶导数的级数敛散性问题进行深入探讨，并结合具体的例子和定理加以说明，希望对读者有所帮助。
我们先来回顾一下级数的概念。
在数学中，级数是由无穷多个项相加而成的和，形式上可以写成∑an = a1 + a2 + a3 + … + an + …。
如果这个级数的部分和序列{Sn}收敛到一个有限的极限L，那么我们称这个级数是收敛的，记作∑an=L；如果部分和序列{Sn}发散，那么这个级数就是发散的。
级数的收敛性由其项的性质决定，因此研究级数敛散性问题时需要对级数的各个项进行仔细的分析。
接下来，我们将关注于二阶导数的级数敛散性问题。
给定一个函数f(x)，我们可以求出其二阶导数f''(x)，然后考察f''(x)的级数∑f''(n)(x)在何种条件下是收敛的。
根据泰勒公式，我们知道一个函数在某个点x0的邻域内可以展开为一个无穷级数，其中每一项都是该点处的高阶导数。
研究二阶导数的级数敛散性问题是对函数的局部性质进行研究的一种方法。
在研究二阶导数的级数敛散性问题时，一个重要的定理是Taylor定理。
Taylor定理告诉我们，如果一个函数f(x)在某点x0处具有n阶导数，并且在该点的邻域内具有n+1阶导数，那么该函数可以在该点的邻域内展开为一个幂级数，这个级数的每一项都是该函数在x0处的高阶导数值。
我们可以把函数f(x)表示成如下的形式：f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)²/2! + … + f^(n)(x0)(x - x0)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)是余项，其具体形式取决于函数f(x)和展开点x0的性质。
利用Taylor定理，我们可以把函数f(x)在某一点的邻域内表示为一个级数，进而研究该级数的性质和收敛条件。
高中抛物线曲线二级结论
高中抛物线曲线二级结论
抛物线是数学中的一个重要曲线，高中数学中也会涉及到抛物线的研究与应用。
在这份文档中，我们将讨论高中抛物线曲线的二级结论。
什么是抛物线曲线二级结论？
抛物线曲线二级结论是指抛物线上两点的连线与抛物线的切线所夹角的大小。
在高中数学中研究抛物线时，我们常常需要计算抛物线上的各个点与切线的夹角，这就是二级结论。
如何计算抛物线曲线二级结论？
计算抛物线曲线二级结论可以通过求导的方法来进行。
具体步骤如下：
1. 首先，求出抛物线的一阶导数，得到抛物线的斜率函数。
2. 然后，求出抛物线的二阶导数，即斜率函数的导数，得到抛物线的曲率函数。
3. 最后，根据抛物线上某点的坐标，求出该点处的斜率和曲率，并计算与切线所夹角的大小。
抛物线曲线二级结论的应用
抛物线曲线二级结论在实际问题中有许多应用。
以下是一些例子：
1. 抛物线的切线问题：通过计算二级结论，可以确定抛物线上
某点处的切线方程，进而解决与切线相关的问题。
2. 摆线问题：摆线是由一个悬挂的细病带绕定轮得到的曲线，
利用二级结论，我们可以计算出摆线在不同点处的切线的方程。
3. 炮弹问题：炮弹在抛物线轨迹中飞行，计算炮弹在不同位置
的速度和加速度可以利用二级结论。
总结
高中抛物线曲线二级结论是计算抛物线上某点处切线与曲线之
间夹角的方法。
它有广泛的应用，在解决与抛物线相关的实际问题
时起到重要的作用。
研究和理解抛物线曲线二级结论对于高中数学的研究是至关重要的。
以上是关于高中抛物线曲线二级结论的简要介绍。
希望对你有所帮助！。
抛物线的二级结论及推导
抛物线的二级结论及推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线始终是数学中一个重要的概念，它具有很多重要的性质和实际应用。
在高中数学学习的过程中，我们经常会接触到关于抛物线的二级结论及推导。
在这篇文章中，我们将详细介绍抛物线的二级结论，并推导相关的内容。
抛物线是一条平面曲线，它的数学定义是平面上到一个定点的距离等于到一直线的距离的点的集合。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程是：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c都是常数，a ≠ 0。
在这个方程中，a决定了抛物线的开口方向（向上还是向下）、b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
抛物线的二级结论是指关于抛物线上的二次项的系数a的性质。
具体来说，当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
在我们的推导中，我们将证明这一结论的有效性。
我们来看当a > 0时，抛物线开口向上的情况。
我们假设抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
由于a > 0，所以当x取任意值时，ax^2的值都大于等于0。
整个方程的值都不会小于c（当x取顶点坐标时，ax^2 = 0）。
这说明抛物线的图象是向上开口的。
除了抛物线的开口方向之外，二级结论还包括了抛物线的顶点、焦点等重要性质。
在实际问题中，我们可以利用这些结论来解决一些与抛物线相关的问题，比如确定一个抛物线的开口方向、求解最值等。
抛物线的二级结论是抛物线研究中一个非常重要的内容，它帮助我们理解和利用抛物线的各种性质，为我们的数学学习和实际问题的解决提供了有力的支持。
希望通过本文的介绍，读者能够对抛物线的二级结论有更深入的理解，并能够灵活运用这些知识。
第二篇示例：抛物线是代数表达式的一种特殊形式，常见于数学课程中。
学习抛物线的二级结论及推导可以帮助我们更深入地了解这个概念，并应用于实际问题的求解中。
二阶非线性抛物方程解的定性性质
定理 １假设 Ｏ ｂ≤６ ，）０ （ ￡ ≤咖。对 于 ｚ Ｏ ‘（） ｚ ，（） ＜ 。 （ ￡ ， ≤口 ，） ＞ ， ｚ ）ｇ ｚ 均是 连续 的正 函数且 函数 ‘ ｚ ， ｐ Ｐ ） （
（） 是递 增 的。又假 定存 在一个 单位 向量 ＾∈Ｒ 和一 个正 常数 Ａ， 得 ： ｙ 使
数 （ ，） ，）Ｃ ｔ， （ ，） 加 某些 条 件 以及 构 造 某个 比较 函数 ， ｔ， （ ｔ ， （ ，）ｄ ｘ ￡施 已经得 到 该 方程 爆 破 的充 分 条 件 。本 文 中笔者将借 鉴 ＬＥＰ ｙ ｅ２， Ｗａｔ ［］Ｊ ｓｅ［］ ．．ａｎ ［］Ｗ： ｌ ｒ ，． ｈｒ 等的研究 方法 ， ｅ３ Ｅ ４ 即构 造方程 的上 、 下解 ， 由比较 原理 ， 探讨方 程 的正解 Ｕ满足 怎样 的条件 ｓ使得 它整体存 在 以及该 方程在 特殊情 形下 有 限时刻爆 破 的充 ，
∑ａｘｔ ≤Ａ ￡ ， ｆ ， ， ∈ （，） ｄ ，ｘ ， （， － ｃ ， （ ￡ ｎ （ ∞ 。 ） ， ∑ ） Ａ （ ） ）Ｉ ０ ＞ ×
ｉ＝ ｊｌ ｌ ＝１
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＜。 ∈ ６ Ｐ ， 。
令 （）￡ １ｇ（）￡（）ｖ ｖ／ ｖ＝ （） ＋ｇｖ＋＋ Ｊ ｖ ）Ａ。如果对于 ｖ Ｏ 函数 ‘（）（）（ １＋ ） ＞， ｐ ＶｇＶ／ （）１是递减的 ， ，
第 ２ ３卷 第 ４期
２１ ０ ０年 ７月
浙 江 万里 学 院学报
Ｊ ｕ ｌ ｏ ｈ ｉ ｎ ｎ ｉＵｎｖ ｒｉ ｏ ｍａ ｆＺ ｅｉ ｚ Ｗａ ｌ ａ ｉｅｓ
Ｖｏ１２３ Ｎｏ． ．பைடு நூலகம் ４
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二 阶非 线性 抛 物 方 程解 的定 性 性 质
二阶抛物型偏微分方程
二阶抛物型偏微分方程
（原创版）
目录
1.二阶抛物型偏微分方程的定义与特点
2.二阶抛物型偏微分方程的求解方法
3.二阶抛物型偏微分方程的应用领域
正文
二阶抛物型偏微分方程是指一个包含二次项的偏微分方程，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
二阶抛物型偏微分方程的一般形式为：u/t + cuu/t + au = 0
其中，u 表示函数，t 表示自变量，a 和 c 是常数。
这个方程的特点是，它的解可以表示为抛物线的形式，因此被称为抛物型偏微分方程。
对于二阶抛物型偏微分方程的求解，通常采用以下几种方法：
1.直接积分法：直接积分法是将偏微分方程直接积分，以求得函数
u(t)。
然而，这种方法只适用于一些简单的二阶抛物型偏微分方程。
2.齐次化处理法：齐次化处理法是将非齐次方程转化为齐次方程，然后求解。
对于二阶抛物型偏微分方程，齐次化处理后的方程形式为：u/t + cuu/t + au = 0
u(t) = e^(bt) + ce^(-bt)
其中，b 和 c 是待定系数。
3.变易法：变易法是将原方程中的参数用其他变量表示，从而转化为一个新的方程。
对于二阶抛物型偏微分方程，可以通过变易法得到一个关于 u(t) 的一阶方程。
二阶抛物型偏微分方程在许多领域都有应用，例如物理学、工程学、
经济学等。
例如，在物理学中，它可以描述弹簧的振动、简谐波的传播等；在工程学中，它可以描述电路的振荡、机械振动等；在经济学中，它可以描述价格波动、利率变化等。
关于混合型双曲（抛物）-抛物型方程的初边值问题
1引言1 引言1.1 选题目的与意义混合型方程初边值问题是一个在现实和理论上都有重要意义的问题.方程式与混合型方程的区别是：（1）定义域不同；（2）初边值条件的提法不同（初始条件与边界条件中某一个是未知的）；（3）关于方程式利用的定义、定理、公式等理论在很多情况下不能直接应用于混合型方程问题;（4）实际应用不同.在混合型偏微分方程初边值问题分析性质方面，主要是研究问题解的唯一性和解关于初边值函数与自由项的连续依赖性以及解的存在性.混合型偏微分方程初边值问题是偏微分方程领域中的一个非常重要的分支，同时既是偏微分方程方向中的一个特殊方向之一，也是偏微分方程式的推广.本文改进了一些已有的结果，并进行推广，提出了一些问题和解的存在性，唯一性及连续依赖性.1.2国内外的研究现状对混合型二阶线性抛物-逆抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型三阶线性双曲-逆双曲型方程混合问题和Cauchy问题,混合型二阶线性双曲-抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型线性抛物-椭圆型方程混合问题,混合型线性双曲-椭圆型方程混合问题,混合型二阶非线性双曲-抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型非线性抛物-椭圆型方程混合问题,混合型非线性双曲-椭圆型方程混合问题等等,国内的陈恕行,倪星棠[3][4],刘丹平,王景荣,孙和生[19],闻国椿[6][9][11][12],孙龙祥[17],肖黎明[14],张福元, ,国外的Ж.О.Тахиров, Т.Д.Джураев等都作过广泛深入的研究并取得了不少的成果.近十余年以来,有许多学者在这方面也做了大量细致的工作.并取得了一些重要且完美的结果.在混合型偏微分方程初边值问题分析性质方面,则主要是研究问题解的先验估计式及利用先验估计式研究解的唯一性和解关于初边值函数与自由项的连续依赖性,而利用积分方程组理论研究解的存在性.混合型方程早在20世纪50年代特里谷米研究，在发现它们与空气动力学问题有联系后,对这类方程的研究就更加活跃了.1959年А.В.Бицадзе建立了混合型偏微分方程问题,在此基础上19世纪70年代末В.И.Врагов与Т.Д.Джураев对关于混合型二阶双曲-抛物型方程问题进行了多方面研究,取得合型偏微分方程问题，在此基础上19世纪70年代末В.И.Врагов与Т.Д.Джураев对于混合型二阶双曲—抛物型方程进行了多方面研究，取得了一系列成果.混合1引言型二阶双曲—抛物型方程未知边界问题，М.Мамажанов与Д.Халмуратов关于混合型三维带特征双曲-抛物型方程边值问题方面进行了进一步探讨并取得了很好的结果.20世纪90年代Д.Халмуратов研究了关于一般形式的混合型双曲-抛物型方程的边值条件问题并取得了很好的成果.20世纪90年代末Шавкат.Кадер研究了关于混合型拟线性双曲-抛物型方程边值问题并得到了一系列成果.2003年И.Т.Мамедов提出并研究了关于混合型二阶椭圆-抛物型方程边值问题,在这个问题方面得到了一系列有意义的研究成果.2004年Н.А.Пардаева提出并研究了一般二阶线性抛物型方程的非局部问题,得到了一些完美的结果.在国内陈恕行,倪星棠,王景荣,孙和生,闻国椿,孙龙祥,肖黎明,张福元等将偏微分方程中的研究成果及方法与积分方程理论和泛函分析中的一些重要理论及研究方法有机结合起来,研究了二阶和三阶混合型方程初边值问题解的存在唯一性和连续依赖性,得到了一系列创造性的成果.关于混合型双曲-抛物型方程初边值问题,国内外很多学者已作过许多重要研究,对于1维到n维,线性和非线性，双曲型和抛物型方程的初边值问题方面已经得到了很好的结果,如三阶非线性偏微分方程初边值问题解的存在性[7],一类拟抛物型方程的初边值问题[8]等,对于混合型方程初边值问题方面也有不少需要研究的问题，如一类双曲—抛物型方程的广义解[1]，半线性双曲方程和抛物方程解整体存在和不存在的两个门槛结果[2]等.尤其是高维混合型抛物-双曲型方程的初边值问题,如一类混合型椭圆—双曲型偏微分方程的正对称性证明与推广[5]，混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题在国内外还有待于进一步研究.线性和非线性混合型偏微分方程初边值问题是在偏微分方程式理论中的一个特殊方向之一,也就是说,是偏微分方程式理论的推广.在国内外，很多数学家对混合型方程进行了大量的研究.例如:倪星棠，Трикоми，Геллерстеда，Бицадзе，Франкля等数学家们研究局部和非局部初边值问题,变动边界问题和未知边界问题等等.问题的提出,证明的方法的大部分是现代混合型方程理论,主要是从如下的数学家们的研究中获得的,他们分别是А.В.Бчцадзе, М.С.Салахитдинов, Т.Д.Джураев, М.М.Смирнов, В.Н.Врагов, М.М.Мередов, Т.Ш.Калыменов, Нейсинтанг等.2预备知识2 预备知识2.1 定解问题的适定性定义和一些定理含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程.方程的个数是1的称为方程式，方程的个数多于1的称为方程组.对方程组而言，一般要求方程的个数与未知数的个数相同.如果方程的个数少于未知函数的个数，称方程组是欠定的.如果方程的个数多于未知函数的个数，称方程组是超定的.方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数.如果方程（组）中的项关于未知函数及各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的.非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性.给定一个常微分方程，有通解和特解的概念.通解只要求满足方程， 定义 1[44] 既有初始条件又有边界条件的定解问题称为混合问题（有时也称初边值问题）.定义 2[44] 如果方程在Ω的某一部分上是某一种类型的（比如双曲型的），而在Ω的其余部分上是另一种类型的（比如椭圆型的），则称它在Ω中是混合型的.定义 3 [50]设X 是一个非空集，X 叫作距离空间，是指在X 上定义一个双变量的实值函数(,)x y ρ，满足下面三个条件：(1) (,)0x y ρ≥,且(,)0x y ρ=当且仅当x y =； (2) (,)(,)x y y x ρρ=;(3) (,)(,)(,)x y x z z y ρρρ≤+,,,x y z X ∀∈;称ρ为X 上的一个距离，以ρ为距离的空间X 记为(,)X ρ.定义 4（自映射）设X 是距离空间，A ：X X →是映射，方程u Au =的解称为算子A 的不动点.若存在01α≤<使得对一切,x y X ∈，均有(,)(,)Ax Ay x y ραρ≤则称A 是X 上的一个压缩映射（自映射）.定理 1 （Gronwall 不等式）若函数()A t 满足()()()A t cA t B t ′≤+ ，0t > ， 其中()B t 是非负的单增函数，0c >是常数，则有2预备知识1()(0)(1)()ct ct A t A e e B t c ′≤+− ，0t ≥ .定理 2 （不动点定理）设X 是一个完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，则T 有唯一的不动点.定理 3 （强极值原理）设函数u 在Ω内调和.如果u 不是正常数，则u 在Ω内既达不到最大值也达不到最小值.定理 4 （弱极值原理）设()T u C Q ∈∩2,1()T C Q 且满足[]0u ϕ≤，则u 的值一定在T Γ上达到，即max max TQu Γ=.2.2 一些重要不等式与恒等式1．Cauchy 不等式对任意,0a b ≥，有2222a b ab ≤+ .2. 带ε的Cauchy 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，有2222a b ab εε≤+ .3. Young 不等式对任意,0a b ≥，1p < ，q <∞，111p q +=，有p qa b ab p q ≤+.4. 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>,1,p q <<∞,111p q +=有qpqpa b ab p qεε−≤+.5.Green 恒等式2uu udx u dx udS nΩΩ∂Ω∂Δ=−∇+∂∫∫∫. 其中Ω是n R 中的有界区域,∂Ω是Ω的边界，12(,,...,)n x x x x =，22222212...n x x x ∂∂∂Δ=+++∂∂∂,12(,,...)n x x x u gradu u u u ∇==，n 是∂Ω上的单位外法向量.3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题在这一章中，将研究1n +维混合型双曲—抛物方程的Cauchy 问题解的先验模估计，利用先验模估计[41][42][43]证明解的唯一性和连续依赖性.利用积分方程组理论证明解的存在性.3.1 问题的提出设函数(,)(()T u x t Q c ∈∩2,1())T Q c 满足下列方程和初值条件：问题Ⅰ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,0)(,0)()(,0)(,0)()tt t t t u x t u x t f x t v x t v x t g x t v x u x x v x u x x τγ+−+−−Δ=−Δ===== ,,,, (,)(,)T T n nx t Q x t Q x R x R +−∈∈∈∈ ,,,.(3.1.1)(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)其中121212(,,......)(,)(,,......,),(,)(,,......,),n n n x x x x u x t u x x x t f x t f x x x t ===，2221222212(,)(,,......,),......,{(,):}n t n g x t g x x x t x t x R t x x x ∂∂∂=Δ=+++Ω=≤−∂∂∂12((,,......),1,2,......),,(0,],n n n i T T T T R x x x x x R i n Q Q Q Q R T +−+==∈==∪=×[,0),[0,],[,0]n n n T T T Q R T Q R T Q R T −+−=×−=×=×−,(,),(,)f x t g x t 是已知连续可微函数 ，(),()x x τγ是未知连续可微函数 .3.2 问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性本节主要研究问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性，即把问题Ⅰ分成如下两个定解问题进行研究：问题Ⅱ (,)(,)(,)(,0)()(,0)()tt t u x t u x t f x t u x x u x x τγ−−−Δ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,,, (,)T n n x t Q x R x R +∈∈∈,,. (3.2.1)(3.2.3)(3.2.4) 问题Ⅲ (,)(,)(,)(,0)()t v x t v x t g x t v x x τ+−Δ=⎧⎨=⎩，， (,)T nx t Q x R −∈∈ .， (3.2.2)(3.2.4) 定理3.2.1 设(,)()T u x t c Q +∈∩2,1()T c Q +是初值问题Ⅱ的解，则对于依赖于T3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题的常数11()c c T =，u 满足先验模估计：2222210()[()]tttt u u dx c dx f dxdt γτΩΩΩ+Δ≤+Δ+∫∫∫∫，（3.2.5） 其中 12122222222212......,......,.....n n x x x x x x n u u u u dx dx dx dx ττττΔ=+++Δ=+++=⋅⋅.定理3.2.2 设2,1(,)()()T T v x t c Q c Q −−∈∩是初值问题Ⅲ的解，则对于依赖于T 的常数22()c c T =，v 满足先验模估计：222200()ttttttv dx v dxdt c dx g dxdt τΩΩΩΩ+Δ≤+∫∫∫∫∫∫， （3.2.6）证明：对问题Ⅲ中的方程两边乘以(,)u x t 并在T Q −上积分，得ttttt t t v vdx v vdxdt gvdxdt ΩΩΩ−Δ⋅=∫∫∫∫∫∫， （3.2.7）对(3.2.7)式进行变换，并对其左端第一项中关于t 积分，利用部分积分以及初值条件，得22200111()222ttt t vv dt v dt v τ==−∫∫， (3.2.8)对(3.2.7)式左端第二项和右端利用不等式，222ab a b ≤+可知，220001122t t ttttv vdxdt v dxdt v dxdt ΩΩΩΔ⋅≤Δ+∫∫∫∫∫∫， (3.2.9)220001122tt ttttgvdxdt g dxdt v dxdt ΩΩΩ≤+∫∫∫∫∫∫，(3.2.10) 把(3.2.8)、(3.2.9)和(3.2.10)代入(3.2.7)式，得22222002tttt tttt v dx v dxdt dx v dxdt g dxdt τΩΩΩΩΩ+Δ≤++∫∫∫∫∫∫∫∫. (3.2.11)记 22200(),().tttttY t v dxdt F t dx g dxdt τΩΩΩ==+∫∫∫∫∫利用Gronwall 不等式,得3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题20()(0)(1)()tttt v dxdt Y t Y ee F t Ω=≤+−∫∫220()()ttttte F t e g dxdt dx τΩΩ≤=+∫∫∫.把上式代入(3.2.11)式得(3.2.6)式成立. 其中22()21t c c T e ==+.定理3.2.3 设2,1(,)(()())T T u x t c Q c Q ∈∩是初值问题Ⅰ的解，则对于依赖于T 的常数()c c T =，u 满足先验模估计：222222222300()[()]ttttt tt t uu u dx u dxdt c dx f dxdt g dxdt γττΩΩΩΩΩ++Δ+Δ≤++Δ++∫∫∫∫∫∫∫∫（3.1.12）定理3.2.4 双曲—抛物型方程cauchy 问题Ⅰ至多有一个古典解.证明：设问题Ⅰ有两个古典解，12(,)(,)u x t u x t 和，令12(,)(,)(,)u x t u x t u x t =−， 则(,)u x t 满足对应于0f g τγ====的问题Ⅰ， 利用先验模估计式(3.2.12)，得2222()0ttt t u u u dx u dxdt ΩΩ++Δ+Δ=∫∫∫故12......0n t x x x u u u u ====即,u x t 与无关， 所以 (,)u x t c =， 由 (,0)0,u x = 得 (,0)0u x c ==， 则 12(,)0(,)(,)u x t c u x t u x t ===−， 即 12(,)(,)u x t u x t ≡， 所以问题Ⅰ有唯一解.定理3.2.5 设2,1(,)(()())T T u x t c Q c Q ∈∩是初值问题Ⅰ的解，33()0c c T =>，3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题使得222222222300()[()]ttttttt t u u u dx u dxdt c dx f dxdt g dxdt γττΩΩΩΩΩ++Δ+Δ≤++Δ++∫∫∫∫∫∫∫∫（3.1.13） 证明：由文献[44]我们知道，对于问题Ⅱ可以推得，222220[()]tttttu dx dx t dx e tef dxdt τγτΩΩΩΩ≤++Δ+∫∫∫∫∫(3.2.14)由(3.2.12)式加(3.2.14)式得证(3.2.13)成立. 其中 33()max{1}t c c T e c c t ==++，.定理3.2.6 任取00,[,]n x R t T T ∈∈−，则对于任意的0ε>，均存在0δ>，只要 22220012121212()()()((,))max{,(),,,t t t L L L L K x t f f ττττγγΩΩΩ−Δ−−−20012((,))}L K x t g g −,δ<对应于111(,,)f τγ和222(,,)f τγ，11(,)g τ和22(,)g τ的解1u 和2u 就满足2220000121212()((,))((,))max{,(),()}t tL L K x t L K x t u u u u u u εΩ−−Δ−<. (3.2.15)证明：记 1212121212,,,,f f f u u u g g g τττγγγ=−=−=−=−=−，则u 满足问题Ⅰ，于是(3.2.13)式成立.2222200001212121212()()()((,))((,))max{,(),,,}t t t L L L L K x t L K x t f f g g ττττγγΩΩΩ−Δ−−−−≤22200003121212()((,))((,))max{,(),()}t t L L K x t L K x t c u u u u u u Ω−−Δ−3c δ≤取 3c δε=，得(3.2.14)式成立.所以问题Ⅰ的解连续地依赖于,,f g τγ和.3.3 解的存在性本文主要利用级数的收敛性定理证明解的存在性，首先给出一个引理.引理：设0lim (,)0tt t u x t →=及1(,)f x t −Δ存在，(,),(,)f x t g x t 是已知的连续可微函数，则20()(),x c τ∈Ω0()()x c γ∈Ω存在.3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题证明：因为(,)u u f x t tt−Δ=，当0t −→时， ()(,0)x f x τ−−Δ= . （3.3.1） (,)v v g x t t −Δ=， 当0t +→时，()()(,0)x x g x γτ+−Δ=. （3.3.2）由（3.3.1）式得1()(,0)x f x τ−−=Δ， 将（3.3.1）-（3.3.2）式整理,得()(,0)(,0)()x g x f x F x γ+−=−=，因为(,)(,)f x t x t 和g 是已知连续可微函数，所以()()x x τγ和存在唯一.定理 3.3.1设在n R 上(),()x x c τγ∞∈，在t Q +上(,)f x t c ∞∈，及满足12max (),max (),n ni i x Rx RM x M x τγ∈∈=Δ=Δ12322()M M TM T M =++，则问题Ⅱ的解存在.证明： 因为2212100001(,)()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t i i i i x i i i t t u x t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+====Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 所以2212100001(,)()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t iii ix i i i t t u x t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+===≤Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 2212100001()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t i ii i x i i i t t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+===≤Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 22122123000(2)!(21)!(21)!(22)i i i i i i T T T M M M i i i i ++∞∞∞===≤+++++∑∑∑22122123000(2)!(2)!(2)!i i i i i i T T T M M M i i i ++∞∞∞===≤++∑∑∑221230()(2)!ii T M M T M T i ∞=≤++∑221232102()2ii i T M M T M T ∞−=≤++∑3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题20(2)!i i T M i ∞=≤∑202ii T M ∞=⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∑.由Fourier 级数收敛定理[43]，因为202ii T M ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数(,)u x t 绝对收敛.故问题Ⅱ的古典解存在.定理 3.3.2设在n R 上()x c τ∞∈，在t Q −上(,)g x t c ∞∈，及满足1max (),njx RN x τ∈=Δ2(,)[,0)max (,)}nj x x t R t N g x t ∈×−=Δ，12N N TN =+，则问题Ⅲ的解存在.证明：因为001(,)()()(,)!!j j j j x tj j t v x t x t g x t d j j τττ∞∞===Δ+−Δ∑∑∫所以0001(,)()()(,)!!j jj jx t j j t v x t x t g x t d j j τττ∞∞===Δ+−Δ∑∑∫12001()!!j jt j j T N N t d j j ττ∞∞==≤+−∑∑∫11200!(1)!j j j j T T N N j j +∞∞==≤++∑∑1200!!j jj j T T N N T j j ∞∞==≤+∑∑!jj T N j ∞=≤∑.由Fourier 级数收敛定理[43],因为级数0!jj T N j ∞=∑收敛，所以(,)v x t 绝对收敛.4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题混合型方程的未知边界问题是在偏微分方程中比较特殊的一种问题，在这一章中，是在未知的边界区域上讨论一类混合型抛物—半抛物型方程的初边值问题，并研究这个问题解的唯一性.4.1 问题的提出在本节中先提出问题，为了讨论方便，把问题在化成两个定解问题进行讨论.设D t x u ∈),(满足如方程：0)),((sgn ),(=−t x u t t x u t xx ， D t x ∈),( ， （4.1.1） 及在1Γ、2Γ、3Γ、4Γ、5Γ上满足如下初边值条件，,)),(()(,)),(()(,0)),((,0)),((,),(),0(,)()0,()0,(0t t h u t h t t s u t s t t h u t t s u t x u t u x x u x u x x βατ−=======••−+,),(,),(,),(,),(,],[,0,),(535302Γ∈Γ∈Γ∈Γ∈−∈<<Γ∈t x t x t x t x T T t c x t x )7.1.4()6.1.4()5.1.4()4.1.4()3.1.4()2.1.4( 其中1D D =∪2D ， }0),(0:),{(1T t t s x t x D <<<<= ，},0),(0:),{(2≤≤−<<=t T t h x t x D },0,0:),{(1T t x t x ≤≤==Γ},0,0:),{(2c x t t x ≤≤==Γ},0,)(:),{(3T t t s x t x ≤≤==Γ}0,0:),{(4≤≤−==Γt T x t x ，}0,)(:),{(5≤≤−==Γt T t h x t x .)(x τ是连续可微的未知函数，且0)(=′′c τ，)(t s 、)(t h 分别为在],0[T ，]0,[T −上连续可微的未知边界函数，c h s ==)0()0(，H t s <<•)(0，0)(<<−•t h K ，βα,,,,c K H 均为正常数，)6.1.4(、)7.1.4(分别为求)(t s ，)(t h 的条件.为了方便讨论，把定解问题（4.1.1）—（4.1.7）分成如下两个问题：4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题问题Ⅰ ,)),(()(,0)),((,),(),0(,)()0,(,0t t s u t s t t s u t x u t u x x u u u x xx t ατ=====−⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•+ ,],0[,],0[,],0[,0,0,),(01T t T t T t c x c x D t x ∈∈∈<<≤≤∈ 问题Ⅱ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=====+•−,)),(()(,0)),((,),(),0(,)()0,(,00t t h u t h t t h u t x u t u x x u u u x xx t βτ ,]0,[,]0,[,]0,[,0,0,),(02T t T t T t c x c x D t x −∈−∈−∈<<≤≤∈4.2 解的唯一性为了证明问题Ⅰ和问题Ⅱ解的唯一性，应先证明未知边界函数()s t 和()h t 的唯一性，而要证明未知函数()s t 和()h t 的唯一性，必须要确定未知函数()s t 和()h t 的单调性，并利用弱极值原理证明问题解的唯一性.由此我们给出这样的两个定理，并给与证明.定理4.2.1设0)(>x τ，则0)(<<−•t h K 成立.证明：由混合型抛物型方程极值原理[24]，问题Ⅱ中的),(t x u 只能在542,,ΓΓΓ上取得极值。
一类退化抛物型方程组解的渐近性质___
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):664-668一类退化抛物型方程组解的渐近性质覃思乾,周泽文,凌征球(玉林师范学院数学与统计学院,广西玉林537000)摘要：本文利用正则化技术和上下解方法,研究一类退化抛物型方程组，确定了解的整体存在与爆破的渐近性质.关键词：退化抛物型方程组;渐近性质;上下解中图分类号：O175.2AMS(2000)主题分类：35K15;35K55;35K65文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0664-051.简介本文研究下列退化的抛物型方程组解的渐近性质，并专注于讨论方程组解的整体存在与爆破的条件:u t=∆u m+∥u p1v q1∥pα,(x,t)∈Ω×(0,T),(1.1)v t=∆v n+∥u p2v q2∥qβ,(x,t)∈Ω×(0,T),(1.2)u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈Ω,(1.3)u(x,t)=0,v(x,t)=0,(x,t)∈∂Ω×(0,T),(1.4)其中Ω是R N(N 1)中具有光滑边界∂Ω的一个有界区域,m,n>1,α,β 1,p,q>0,u0(x),v0(x)是非负的有界函数,∥·∥αα=∫Ω|·|αd x.方程(1.1)-(1.2)组成一个反应扩散系统的简单例子,可用于描述化学反应、热传导以及种群动力系统等过程的数学模型.最近,出现了许多非线性抛物方程组解的渐近性质问题的研究成果,如DENG[1],杨婕[2],雷学红[3]，王文海[4],凌征球[5]等,他们通过使用不同的方法与手段,讨论各种退化抛物型方程组解的性质。
特别,周泽文[6]研究了p1=q1=1,p2=q2=1时方程组(1.1)-(1.2)的情况,借助于正则化技术与上下解方法,给出了方程组解的局部存在性,整体存在与爆破条件.受以上文献思想启发,本文在更一般的情况下讨论方程组(1.1)-(1.2)的解的渐近性质,主要目的是要扩展文[6]的结果,而且给出有别于文[6]的方法得到了方程组解的整体存在与爆破的条件.首先,当初值u0(x),v0(x)非负且具有紧支集和满足适当相容性条件的光滑函数时,使用文[1]的方法,我们可以建立最大值原理与比较原理,而且通过正则化手段,还可以得到下列解的局部存在性定理:定理1假设u0,v0 0,u0,v0∈L∞(Ω),则存在T∗=T∗(u0,v0)>0使得对于任意的T<T∗,问题(1.1)-(1.4)都存在一个非负的弱解(u(x,t),v(x,t)),而且,T∗=+∞或者lim sup t→T∗∥u(·,t)∥∞=+∞或lim supt→T∗∥v(·,t)∥∞=+∞.∗收稿日期：2018-08-20基金项目：国家自然科学基金(11461076)作者简介：覃思乾,男,汉族,广西人,副教授,研究方向：微分方程理论.通迅作者：凌征球.第3期覃思乾等：一类退化抛物型方程组解的渐近性质665这里我们省略上述的细节而专注于讨论解的性质.对于定理1的T ∗,如果T ∗<+∞,我们称方程组的解(u (x,t ),v (x,t ))在有限时刻爆破,否则称解是整体存在的.2.解的整体存在定理及证明定理2如果下列的条件之一成立:(i)m >pp 1,n >qq 2,pq 1m −pp 1<n −qq 2qp 2;(ii)m >pp 1,n >qq 2,pq 1m −pp 1=n −qq 2qp 2以及区域(|Ω|)充分小;(iii)m >pp 1,n >qq 2,pq 1m −pp 1>n −qq 2qp 2或m ≤pp 1或n ≤qq 2,以及初值数据u 0(x ),v 0(x )充分小.那么,问题(1.1)-(1.4)的每个非负解都具有整体性.证根据比较原理,对于任意的T >0,我们只需要构造有界的、正的上解即可.假设φ(x )表示下列线性椭圆问题的唯一正解:−∆φ(x )=1,x ∈Ω;φ(x )=1,x ∈∂Ω.令C =max x ∈Ωφ(x ),那么1≤φ(x )≤C .定义如下的函数¯u (x,t )=k 1(φ(x )+1)1m,¯v (x,t )=k 2(φ(x )+1)1n,(2.1)其中k 1,k 2>0是待定常数.显然,对于任意的T >0,(¯u ,¯v )都是有界函数.另外,简单的计算得到¯u t −∆¯u m =k m 1,∥¯u p 1¯v q 1∥p α≤k pp 11k pq 12(C +1)p (p 1m +q 1n )|Ω|pα.(2.2)类似地,¯v t −∆¯v n =k n2,∥¯u p 2¯v q 2∥q β≤k qp 21k qq 22(C +1)q (p 2m +q 2n )|Ω|qβ.(2.3)记C 1=(C +1)(p 1m +q 1n )pm −pp 1|Ω|pα(m −pp 1),C 2=(C +1)−1p 2(p 2m +q 2n )|Ω|−1βp 2.(i)如果m >pp 1,n >qq 2以及pq 1m −pp 1<n −qq 2qp 2,那么一定存在足够大的常数k 1≥∥u 0∥∞,k 2≥∥v 0∥∞使得C 1k pq 1m −pp 12≤k 1≤C 2k n −qq 2qp 22.(2.4)由此得到¯u t −∆¯u m ≥∥¯u p 1¯v q 1∥p α,¯v t −∆¯v n ≥∥¯u p 2¯v q 2∥q β,(2.5)这样,函数(¯u ,¯v )就是问题(1.1)-(1.4)的一个上解.(ii)如果m >pp 1,n >qq 2并且pq 1m −pp 1=n −qq 2qp 2.不失一般性,我们假设Ω⊂⊂B ,这里B 是一个充分大的球,并且设ψB (x )是下列椭圆问题的唯一解−∆ψ(x )=1,x ∈B ;ψ(x )=1,x ∈∂B.令C 0=max x ∈B ψB (x ),那么C ≤C 0.因此,只要Ω充分小满足|Ω|<(1C 0+1)δ1δ2,其中δ1=(p 1m +q 1n )p m −pp 1+1p 2(p 2m +q 2n ),δ2=p α(m −pp 1)+1βp 2.那么C 1<C 2,或者C 1k pq 1m −pp 12≤C 2k n −qq 2qp 22.这样我们就可以选择充分大的正数k 1,k 2满足(2.4)和¯u (x,0)=k 1(φ(x )+1)1m ≥u 0(x ),¯v (x,0)=k 2(φ(x )+1)1n ≥v 0(x ).(2.6)由此知道,定义的函数(¯u ,¯v )就是问题(1.1)-(1.4)的一个上解.666应用数学2019(iii)如果m>pp1,n>qq2和pq1m−pp1>n−qq2qp2,这样我们首先选择常数k2∈(0,1)充分小使得C1kpq1m−pp12<C2kn−qq2qp22,然后再选取k1>0满足(2.4)式。
一类抛物方程组弱解梯度的有界性
一类抛物方程组弱解梯度的有界性
对于一类抛物方程组$F(u) = 0$，其弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 的有界性取决于其线性部分的系数矩阵是否具有有限的特征值，也就是说是否具有有限的条件数。
如果系数矩阵具有有限的特征值，那么$F(u)$ 的弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 就是有界的。
如果系数矩阵具有无限的特征值，那么$F(u)$ 的弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 就是无界的。
另外需要注意的是，这只是对于某一类抛物方程组，其弱解梯度有界性的一般结论，具体的某个方程组是否有界，还需要具体分析。
如果系数矩阵是有限条件数的，那么它的逆存在，这意味着线性部分对于整个方程组是可逆的。
这样的话，梯度的范数就可以通过系数矩阵的范数来进行估算。
因此当系数矩阵具有有限特征值时，梯度的范数是有界的。
另外，如果系数矩阵是非奇异的，那么它的逆存在，这意味着线性部分对于整个方程组是可逆的。
这样的话，梯度的范数就可以通过系数矩阵的范数来进行估算。
因此当系数矩阵是非奇异的时，梯度的范数是有界的。
总之，具体是否有界需要结合具体的系数矩阵进行分析。
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1引言本文讨论的抛物型方程组是：
鄣ｕ１－Ｌ１ｕ１＝ｆ１（ｔ，ｘ，ｕ１）－ｕ
２
（ｔ，ｘ）∈ＤＴ
鄣ｕ２鄣ｔ
－Ｌ２ｕ２＝ｆ２（ｔ，ｘ，ｕ２）－ｕ
１
（ｔ，ｘ）∈ＤＴ
Ｂ１ｕ１＝α１鄣ｕ１鄣γ＋ｕ１＝Ω
乙Ｋ１（ｘ，ｙ）ｕ１（ｔ，ｙ）ｄｙ＋ｈ１（ｔ，ｘ）（ｔ，ｘ）∈ΓＴ
Ｂ２ｕ２＝α２鄣ｕ２鄣γ＋ｕ２＝Ω乙
Ｋ２（ｘ，ｙ）ｕ２（ｔ，ｙ）ｄｙ＋ｈ２（ｔ，ｘ）（ｔ，ｘ）∈ΓＴｕ１（０，ｘ）＝ｕ１０（ｘ）ｘ∈Ωｕ２（０，ｘ）＝ｕ２０（ｘ）
ｘ∈乙
乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙
Ω
其中对Ｌｉ（ｉ＝１，２）及Ｂｉ（ｉ＝１，２）的要求可以参见文献［１］，在［１］中我们只讨论了这个方程组解的存在唯一性，但对于［１］中定义的迭代序列的收敛速度问题没有涉及，本文讨论的就是这个迭代序列的收敛速度问题．2
迭代序列的收敛速度
在［１］的假设条件（Ｈ１）（Ｈ２）下对于迭代序列的收敛速度我们有：
定理
设（ｕ１，ｕ２）是方程组（１）的唯一解，则如文献［１］中定
义的迭代序列（１．４）（１．５）的收敛速度是二阶的．
证明
设Ｐ１，ｎ＝ｕ１－ｕ１，ｎ，Ｑ１，ｎ＝ｕ１－ｕ１，我们有：
鄣Ｐ１，ｎ鄣ｔ
－Ｌ１Ｐ１，ｎ＝Ｆ１（ｕ１）＋Ｇ１（ｕ１）－ｕ２－Ｆ１（ｕ１，ｎ－１）＋ｕ２，ｎ－１－Ｇ（ｕ１，ｎ－１
）－［鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｇ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）］（Ｕ１，ｎ－ｕ１，ｎ－１）＝Ｆ１（ｕ１）－Ｆ１（ｕ１，ｎ－１）＋Ｇ１（ｕ１）－Ｇ１（ｕ１，ｎ－１）－（ｕ２－ｕ２，ｎ－１）－［鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｇ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）］（Ｕ１，ｎ－ｕ１，ｎ－１）≤Ｆ１（ｕ１）－Ｆ１（ｕ１，ｎ－１）＋Ｇ１（ｕ１）－Ｇ１（ｕ１，ｎ－１）－［鄣Ｆ１１（ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｇ１１（ｕ１，ｎ－１）］（Ｕ１，ｎ－ｕ１，ｎ－１）≤鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１）Ｐ１，ｎ－１＋鄣Ｇ１鄣ｕ１
（ｕ１，ｎ－１）Ｐ１，ｎ－１－［鄣Ｆ１１（ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｇ１１（ｕ１，ｎ－１）］（ｕ１，ｎ－ｕ１，ｎ－１）≤［鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１）－鄣Ｆ１鄣ｕ１
（ｕ１，ｎ－１）］（ｕ１－ｕ１，ｎ－１）＋［鄣Ｇ１１（ｕ１，ｎ－１）－鄣Ｇ１１（ｕ１，ｎ－１）］（ｕ１－ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）（ｕ１－ｕ１，ｎ）＋鄣Ｇ１鄣ｕ１
（ｕ１，ｎ－１）］（ｕ１－ｕ１，ｎ）一个抛物型方程组解的二阶收敛性质
张正林，孙善辉
（宿州学院
数学与统计学院，安徽宿州
234000）
摘要：本文讨论了在非局部边界条件下的一个抛物型偏微分方程组，本文通过定义该方程组的上下解和构造迭代序列，运用比较原理，得到了迭代序列的二阶收敛性质.
关键词：迭代序列；偏微分方程；比较原理；二阶收敛中图分类号：Ｏ１７５．２６
文献标识码：A
文章编号：1673-260X （2012）08-0010-02
Vol.28No.8
Aug.2012
赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）第28卷第8期（上）
2012年8月基金项目：宿州学院硕士科研启动基金项目（No:2008yss23）；安徽省优秀青年人才基金项目（No.2010SQRL202）
１０－－
≤鄣２Ｆ１１（ξ）ｐ２１，ｎ－１＋鄣２
Ｇ１１（ζ）（ｕ１，ｎ－１－ｕ１，ｎ－１）Ｐ１，ｎ－１
＋［鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｇ１鄣ｕ１
（ｕ１，ｎ－１）］Ｐ１，ｎ
又因为
鄣２
Ｆ１１（ξ）ｐ２１，ｎ－１
＋鄣２
Ｇ１１（ζ）（ｕ１，ｎ－１－ｕ１，ｎ－１）Ｐ
１，ｎ－１＝鄣２Ｆ１鄣２ｕ１２（ξ）ｐ２１，ｎ－１＋鄣２Ｇ１鄣２ｕ１２
（ζ）（Ｐ１，ｎ－１＋Ｑ１，ｎ－１）Ｐ１，ｎ－１≤δ１（ｐ２１，ｎ－１＋Ｐ１，ｎ－１Ｑ１，ｎ－１）≤３δ１（ｐ２１，ｎ－１＋Ｑ２１，ｎ－１）
这里δ１＝ｍａｘ｛｜鄣２
Ｆ１
１（ｕ１）｜，｜鄣２
Ｇ１１
（ｕ１）｜，ｕ１≤ｕ１≤ｕ１｝，δ＝３δ１／２，
因而δＰ１，ｎ鄣ｔ－Ｌ１Ｐ１，ｎ－［鄣Ｆ１鄣ｕ１（ｕ１，ｎ－１）＋鄣Ｇ１鄣ｕ１
（ｕ１，ｎ－１）］Ｐ１，ｎ≤δ（ｐ２１，ｎ－１＋Ｑ２１，ｎ－１），
也就是说
δＰ１，ｎ－Ｌ１Ｐ１，ｎ＋ｃ１Ｐ１，ｎ
≤δ（ｐ２１，ｎ－１＋Ｑ２１，ｎ－１）
取覬１＝δ［ｍａｘ（ｐ２１，ｎ－１＋Ｑ２１，ｎ－１）］／ｃ１，
由定理条件得：δ覬１鄣ｔ－δＰ１，ｎ鄣ｔ－Ｌ１覬１＋Ｌ１Ｐ１，ｎ＋ｃ１覬１－ｃ１Ｐ
１，ｎ
≥ｃ１覬１－δ（ｐ２１，ｎ－１＋Ｑ２１，ｎ－１）≥０，
覬１－Ｐ１，ｎ＝覬１－
Ω
乙Ｋ１（ｘ，ｙ）Ｐ
１，ｎ
（ｙ，ｔ）ｄｙ
≥
Ω
乙Ｋ１
（ｘ，ｙ）（覬１
－Ｐ
１，ｎ
）（ｙ，ｔ）ｄｙ．
根据文献［２］中的引理１，我们有覬１≥Ｐ１，ｎ，即：
０≤ｕ１－ｕ１，ｎ＝Ｐ１，ｎ≤δ［ｍａｘ（ｐ２１，ｎ－１＋Ｑ２
１，ｎ－１）］ｃ１
．
这说明收敛速度是二阶的，同样可以获得对Ｐ２，ｎ，Ｑ１，ｎ，Ｑ２，ｎ
的收敛性，证明完成．3
小结
有了迭代序列的收敛速度是二阶的性质，我们就可以较快地找到这个方程组的解，从而减少工作量，在应用上有一定的实际意义．
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—参考文献：
〔1〕张正林,孙善辉.一个抛物型方程组解的存在唯一性[J].赤
峰学院学报,2011,3(11):153-154.
〔2〕叶其孝,李正元.反应扩散方程引论[M].北京：科技出版
社,1990.
〔3〕张正林,王远弟.非局部边界条件下的抛物型偏微分方程
组,[J].计算数学与应用数学学报,2008,1(22):21-30.〔4〕于伟,王远弟.抛物型偏微分方程一类边值问题解的性质
[J].上海大学学报,2005(4):391-396.
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