几类非经典扩散方程的渐近行为
一类非经典反应扩散方程的指数吸引子
一类非经典反应扩散方程的指数吸引子
几何平均分散理论下的指数吸引子
（一）定义
指数吸引子是结合几何平均分散理论，用非经典反应扩散方程来解释
亚微米纳米动力学过程的数学建模。
它表示一种时变的概念，即在特
定的区域，当时间推移，给定的吸引子及其相应的参数，其核的强度
也能不断增强，从而达到指数级增强。
（二）几何平均分散理论
几何平均分散理论是一种微观动力学理论。
它定义了由几何平均分散
作用在分子活动体上所产生的非经典反应扩散系统。
该理论认为，一
个系统的反应动力，既受到分子给定的相互作用，也受到本源的非经
典影响，表现为非经典行为。
非经典反应扩散的作用，能够产生非线
性效应，如量子振荡、双極及超短信号等，这些理论也成为“指数吸引子”的基础。
（三）指数吸引子的应用
指数吸引子有着广泛的应用。
它可以用于模拟流体流动、热物理计算、传输过程等等。
例如，它可以用来模拟流体流动，其结果比经典模型
更接近实际情况。
在热物理计算中，它能够模拟准确的温度场和速度场，以改善热物理计算的精度和精确度。
此外，它也可以用来模拟传
输过程，模拟不同系统中的信号传输。
（四）指数吸引子的优点
指数吸引子的最大优点是，它能够提供更加准确的模拟结果，比常规
的经典反应扩散方程更具有准确性。
此外，由于几何平均分散的作用，它还能够提供更为强大的信号传输能力，以及更精确的模拟效果，这
对于解决技术问题有着重要的意义。
此外，由于它引入了本源端传递
与量子振荡，使得指数吸引子可以用来解决不同的问题，比如量子力学、量子计算和量子通信等。
具源项的奇异扩散方程解的存在性及渐近性
定理 １ 在假设 （ 之下， ２ ） 问题 （ 存在 唯一的光滑正解 札∈ｃ 。 ） （ ， ； ０１） １ ） ｏ（ ｎ 【 ∞）Ｌ （，） Ｇ ０ ．
其 中 ： Ｇ ＝（，） ０∞） ０１ ×（， ． 定 理 ２ 设 ｕ是 问题 （）的光 滑 正 解 ，则 存 在 正 常 数 ｃ 使 得 １ （ ｕ一面 ）ｄ Ｃ 了
在 Ｇ丁上 的光 滑 正 解 ，则 存 在 与 及 Ｕ 有 关 的 正 数 ＭＴ 使 得 Ｏ ，
ｕＩ一Ｇ ） ＭＴ Ｌ （Ｔ ｌ
其 中 ＭＴ＝【 １ ） 口 一ｐ ＋Ｍ１ｐ ． （ 一】
（ 集美大学理学院，福建 厦门 ３１２） ６０１
摘 要 讨论了—类具源项的奇异扩散方程的第二初边值问题， 证明了经典解的存在性以及时间充 分大时解的渐近性质．
关键词 源项；奇异扩散；渐近性质
中图分类号 ０ １７ ５ ． ８ 文献标识码 Ａ
１ 引 言
近 几 十 年 来 ，关 于 非 线 性 抛 物 方 程 ｕ ＝ （（） ＋６乱 （） ￡ ０ｕ札 ） （）＋ｃ札 的研 究 已有许 多 成 果 ． 当 ０ ａｘ） Ｍ ＜ ∞ 时 ，称 上 述 方 程 为 退 化 抛 物 方 程 ，它描 述 了 地 下 水 的 渗 透 （ 过 程 ；当 ａｚ） 为 无 限 时 ，方 程 变 为 奇 异 扩 散 方 程 ，也 称 为 快 扩 散 方 程 ，奇 异 扩 散 方 （ 可 程 有 其鲜 明 的 物 理 意 义 ． 比如 方 程 ｕ ＝ （ｒ－ ） 。 Ｕ １ ，当 ｍ ＝１时描 述 了等 离 子 体 的热 ｎ 扩 散 过 程 ；当 ｍ ＝ ０时 描 述 了 热 电子 云 的膨 胀 过 程 ；而 当 ” 一 １时 则 描 述 了固 态 氢
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
非稳态扩散名词解释
非稳态扩散名词解释非稳态扩散：非稳态扩散又称自发过程、非平衡扩散，是不需要外界能量的作用就能自发进行的一类扩散过程。
自然界中的扩散多数是非稳态扩散。
本文主要介绍非稳态扩散。
⑴非稳态扩散定义：在无限时间内，随着流体通过的断面面积变化而产生的浓度变化，称为非稳态扩散。
它是依靠单位时间通过的总面积或所有截面的总通量来描述的。
⑵非稳态扩散过程的分类(1)化学平衡理论解释的平衡分布过程(2)熵值理论解释的平衡分布过程(量子力学认为所有物质的微观运动形式都服从统计规律)。
⑶非稳态扩散机理研究意义：⑴使对象更加复杂；⑵导致各个部分的性质发生改变；⑶导致结构变得更加复杂；⑷使人们可以获取到更加丰富的信息。
非稳态扩散：非稳态扩散又称自发过程、非平衡扩散，是不需要外界能量的作用就能自发进行的一类扩散过程。
自然界中的扩散多数是非稳态扩散。
非稳态扩散分为两大类：吸附扩散和分子扩散。
吸附扩散是分子或颗粒物质因受其他物质吸引，相互接近而引起的一种扩散过程。
其特点是扩散的浓度比在空气中低，扩散的传质系数比在空气中大。
分子扩散是指由于温度差或化学反应等引起的扩散。
其特点是扩散的浓度比在空气中高，扩散的传质系数比在空气中小。
⑷扩散过程与状态变化特点：①属于等温、等压、等体积过程；②扩散速率不受浓度差的影响；③扩散的方向性；④存在固定的扩散系数；⑤有特定的传质系数。
⑸浓度梯度与传质系数：在某一瞬时，物料中每一点上的浓度梯度是该点处各个浓度单位的相应值的连乘积。
传质系数k是单位时间内从扩散体系一侧通过单位截面积物料的量，也就是单位时间内每单位面积上的物料浓度梯度除以物料的体积V。
⑹不稳态扩散与稳态扩散：稳态扩散与不稳态扩散之间的区别是前者有外力推动。
而后者则没有，这是非稳态扩散与稳态扩散最根本的区别。
⑺稳态扩散与不稳态扩散的比较：在稳态扩散中，由于断面面积变化而产生的浓度变化可忽略，所以其分析的方法与其他类型的扩散相同。
而在不稳态扩散中，外力推动必须满足浓度变化的情况下才有意义，故其分析方法不同。
一类非经典反应扩散方程全局吸引子的正则性
局吸引子的正则性的讨论， 证明系统（ ） 砩（ 中的全局吸引子Ａ 即为系统在 Ｄ Ａ Ｉ在 力） （ ）中的
全局 吸 引子 Ａ 。
２ 预 备 知 识
首先 ， 令 日 ＝ （ ，Ｖ： （ ， Ａ）＝ （ ）ｎ （ ） 中 Ａ ＝一△， 别用 （ ， ） ． 表 ） ） Ｄ（ 其 ｉ ｎ ｆ ｓｏ ｕ ｔ ｏ
Ｇ ｎ ｉｇ Ｚ ｎ ａｑｎ ｏｇＪ ｎ ｅ ｇＭｉｏ ｉ ＱｎＧ ｉｉ ｇ ｉ ｕｘａ ｎ
（ ．Ｓｈｏ ｏ ｔｅ ａｉ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ， ｈｎｓａＵ ｉｅｓｙｏ ｃ ｎｅａ ｄＴ ｃｎ ｌ ｙ Ｃ ａｇｈ ， １０ ４ １ ｃ ｏｌ ｆ ｈｍ ｔ ｓａｄＣ ｍ ｕ ｔ ｎ Ｃ ａｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｉ ｃ ｎ ｅｈｏｏ ， ｈｎｓａ ４ ０ １ ） Ｍａ ｃ ａｏ ｔ Ｓｅ ｇ （ ．Ｂ ｓ ｅｓＳｈｏ， ｅｔ ｌ ｏ ｔ Ｕ ｉ ｒｉ ，ｈ ｎｓａ４０ ８ ） ２ ｕｉ ｓ ｃｏｌＣ ｎｒ ｕｈ ｎ ｅ ｔ Ｃ ａｇｈ ，１０ ３ ｎ ａ Ｓ ｖｓ ｙ
示 中 内 与 数 用ｉｌ ｎ ｌ 示 的 数 （） 的 积 范 。 ｊ 中 范 。 ＝『 Ｉ Ｉ 表
对非 线项 ／作 如 下假设 ： 厂∈ Ｃ （ Ｒ）满 足 ：
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一
类非经典反应扩散方程全局 吸引子的正则性
２ ９
［ ］Ｅ ２ ｉ， ｉ￣Ｔ系统 （）整体弱解对应的解半群在空间 Ｖ＝ （ １ 力）中全局吸引子的存在性， 文献
［］ ３ 证明了系统 （ ） １ 整体强解对应的解半群在空间 Ｄ Ａ （ ）＝１ （ ｔ ）ｎ （ 中全局吸引子的 ２ ）
反应反常扩散和非遍历动力学_模型、理论及应用
反应反常扩散和非遍历动力学_模型、理论及应用反应反常扩散和非遍历动力学：模型、理论及应用引言：反应扩散是生物学、物理学、化学和地理学等多个领域中的重要现象之一。
在传统的扩散理论中，颗粒或分子的移动规律是随机的，在一个均匀的介质中自由扩散，具有线性时间依赖性。
然而，当扩散系统中存在其他因素时，扩散行为可以展示出非线性的、非均匀的特性，即反应反常扩散。
反应反常扩散是非线性动力学的重要组成部分，具有广泛的应用价值。
本文将对反应反常扩散以及与之相关的非遍历动力学进行概述，并探讨这些理论在生物学、物理学和化学等领域中的应用。
一、反应反常扩散的模型反应反常扩散的模型通常可以通过扩散方程和反应方程相结合来描述。
在一维扩散方程中，扩散系数可以是时空相关的，具有非线性的扩散通量。
另外，在反应方程中，反应速率也可能取决于浓度的空间分布。
这些非线性因素使得扩散和反应之间的相互作用变得复杂，导致系统表现出反应反常扩散现象。
二、理论基础理论上，反应反常扩散可以通过两种重要的概念进行解释：扩散界面和反应梯度。
扩散界面是指介质中的两个物质浓度不同的界面，该界面通常具有非线性特性。
反应梯度是指反应的速率与浓度梯度之间的关系。
当反应梯度随着扩散进行逐渐增大或减小时，系统将呈现出不同的动力学行为。
三、应用领域1. 生物学：反应反常扩散在生物学中起着关键作用。
例如，在神经元的传递过程中，离子通过细胞膜的扩散不仅取决于浓度梯度，还与细胞膜上的离子通道的分布和活性有关。
另外，许多生物体的生长和分布也受到局域性的非线性扩散过程的调控。
2. 物理学：反应反常扩散在物理学中具有重要的实验和理论研究价值。
例如，金属腐蚀和合金相变中的非线性扩散过程可以通过模型来解释。
此外，反应反常扩散也在复杂材料的制备和性能优化中发挥着重要作用。
3. 化学：许多化学反应都涉及到扩散过程。
反应反常扩散可以改变化学反应的速率和平衡点，进而影响产物的形成。
在化学工程中，利用反应反常扩散来调控化学反应的效率和选择性是一种重要的策略。
具Sobolev—Galpern型湿气迁移方程解的渐近性和Blow—up
关 键 词 ： 非 线 性 ； Ｓ ｂ ｌｘＧａｐ ｒ 型 ； 迁 移 方 程 ； 解 的 渐 近 行 为 和 爆 破 ｏ ｏｃ， ｌ ｅｎ 一
中图分类号 ： Ｏ ｌ ５ ７
Ｍ Ｒ 分类 号 ： ３ Ｋ５ ；３ Ｋ２ ５ ７ ５ ０
文献 标识码 ： 、
文章编号 ：１０ ６ ６ ２ ０ ）３ ０ ０ ６ ０ ９ ２ （０ ２０ ３ ５ ０ １
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ｎ Ｕ
及 更 一 般 的方 程 Ⅱ ｔＡｕ —ｃｔｕ ＝ ｇ ｕ ． ＋Ｆ ｔＶｕ＋ ｆ ｘ ｔＡ“ （ ） ｔ （）ｔ （． ） （ ） ｃ ， （ ，）
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边 值 问题 在解 存 在 唯 一下 ，讨 论 其解 渐 近 行 为和 Ｂ 。、． １、 ｒ ｐ现象 ，得 到 了 相应 问题 的新 结 果 ． 一 众 所 周 知 ，土 壤 中 的 湿气 源 于 土 壤 因子 、环 境 和 气 象 因子 ．它 涉及 到 地 形 、海 拔 、光 照时 间、空 气 湿 度 、风 力等 诸 多 因 素，它 们 均 与 该 两 大 因子 参 数 有 关 ．即 据 地 下 水 流 过 区 域 、地 热 和 压 力 ，周 围 温 度均 有 关 ．一 般讲 较 有 规 律 和 相 对 稳 定 的湿 气 ，对 促 进 以 自然 生 态 环 境 为 主 的 生物 种 群 的生 存 及 持 续 生 存 是 比较 适 合 有 益 的 ．
维普资讯
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扩散模型分类
扩散模型分类在数学和物理学中，扩散模型是一种描述扩散过程的数学模型。
扩散是指物质在不同浓度区域间的自发传输。
扩散模型可以应用于多个领域，包括化学、生物学、环境科学等。
根据不同的条件和假设，扩散模型可以分为不同的分类。
本文将对扩散模型的分类进行详细的介绍。
1. 精确解与近似解扩散模型的解可以分为精确解和近似解两种。
精确解是指通过严格的数学分析和求解，得到的能够准确描述扩散过程的解。
精确解常常是基于一些理想化的假设和边界条件得出的。
而近似解则是通过采用近似方法，将扩散模型简化为更容易求解的形式得到的解。
近似解可以通过数值方法或者解析方法得到，常常适用于复杂的扩散模型。
2. 线性与非线性模型线性扩散模型是指扩散过程中物质浓度与浓度梯度之间满足线性关系的模型。
线性扩散模型通常适用于物质浓度变化较小的情况。
而非线性扩散模型则是指扩散过程中物质浓度和浓度梯度之间存在非线性关系的模型。
非线性扩散模型适用于物质浓度变化较大的情况，通常需要借助数值方法进行求解。
3. 稳态与非稳态模型扩散模型还可以根据是否考虑时间因素进行分类。
稳态模型是指扩散过程中物质浓度不随时间变化的模型。
稳态模型适用于描述无外部影响，且物质浓度分布保持不变的情况。
非稳态模型则是指扩散过程中物质浓度随时间变化的模型。
非稳态模型适用于描述外部影响较大，或者物质浓度分布随时间变化的情况。
4. 离散与连续模型扩散模型还可以分为离散模型和连续模型两种。
离散模型是指将扩散过程离散为一系列的离散点，对每个离散点进行建模和计算。
离散模型适用于描述扩散在离散介质中的传播过程。
而连续模型则是指将扩散过程看作是在连续介质中的传播，通过连续的微分方程进行描述。
连续模型适用于描述扩散在连续介质中的传播过程。
5. 空间维度的不同最后，扩散模型还可以根据空间维度的不同进行分类。
一维扩散模型是指扩散过程在一维空间中进行，常用于描述沿直线传播的扩散。
二维扩散模型是指扩散过程在二维平面中进行，常用于描述平面上的扩散。
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几类非经典扩散方程的渐近行为
本文研究几类发展型非线性偏微分方程的渐近行为,涉及Fujita (?)临界指标与第二临界指标、整体解的渐近profile与非整体解的life span等问题.论文所考虑的四类非线性偏微分方程(组)特别包括伪抛物祸合组与非局部扩散方程这两类非经典扩散方程.我们着重考虑伪抛物耦合组中高阶粘性项,以及非局部扩散方程的源的局部化对解的渐近行为的特殊影响.本文分为以下四个章节：第一章介绍本文研究问题的实际背景及国内外发展情况,并概述主要内容和结果.第二章考虑一类非线性伪抛物耦合组的Cauchy (?)司题.借助压缩不动点定理得到温和解的局部存在性,进而得到古典解的局部存在性.借助于伪抛物方程基本解的正性性质建立该耦合组问题的比较原理.在这些准备工作的基础上,深入研究该问题的Fujita临界指标、第二临界指标,以及整体解的渐近profile.结果表明,高阶粘性项的存在形式上并没有改变对应经典抛物问题的两个临界指标以及渐近profile.然而，这一高阶项的出现给问题的研究带来了本质性困难,例如解的自相似性与正则性的缺失,基本解形式的复杂性等.第三章讨论源的非齐次性对解的渐近行为的影响.第一节研究具有局部化源的非局部扩散方程.结果表明,尽管扩散为非局部的,源的局部化仍然保持了对解的渐近行为的巨大影响.在空间维数大于等于二时,不再存在Fujita现象.即使在一维情形，与非局部扩散方程的局部源情形相比,局部化因子的存在不仅使Fuiita (?)旨标变小(亦即使解对任意初值爆破的指标范围缩小),而且使第二临界指标也变小(从而提高了在整体解和非整体解共存区域爆破对于初值的门槛要求).第二节研究一类具有径向加权非线性源的p-Laplace方程.在已有Fujita (?)临界指标结果的基础上,进一步研究其第二临界指标，并对齐次源情形得到关于非整体解life span的一
致性估计.第四章研究一类含有非齐次项的快扩散非线性耦合组的Fujita (?)临界指标与第二临界指标.结果表明,非齐次项存在,就会使问题的Fujita (?)临界指标发生改变,具体说,使解对任意初值爆破的指标范围扩大.但另一方面,小的非齐次项不改变第二临界指标.。