关于一类非局部抛物型方程解的存在性及唯一性
一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性
Ｃ Ｉ （・ ｔ ， “ ， 其中 Ｃ ＞ 是常数和以后 的 Ｃ（ ） ｉ ２ ３ …） ） ，０ Ｔ （ ＝ ， ， 为仅依赖于 的常数． 由引理 １和引理 ２ ｓ ， 对任何初始值 Ｈ ∈ （ ， Ｍ＝Ｉ。 ， 。 Ｒ）令 ｛ 定义集合 Ｐ Ｍ，） ¨ ∈ ） “ （ ＝｛ Ｉ （ ，
收 稿 日期 ：０ ０—１ ２１ １—２ ５ 基 金项 目 ： 南 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 （ ０ ９Ｂ １ ０ ７）； 南 工 业 大学 校 基 金 （ ０ Ｔ ０ 河 ２ ０ １０ ０ 河 １ ＸＰ ０ ２）
作 者 简 介 ： 长 顺 （ ９ Ｏ ） 男 ， 南 平 顶 山人 ， 南 工 业 大学 理 学 院 讲 师 ． 侯 １８一 ， 河 河
（） １
（ ２）
其中 ＞ ０为 常数 ， ， ， ， ｆ ｈ ｇ为 给 定 的 非 线 性 函数 ， ） 给 定 的初 值 函数 ． 程 （ ） 如 下 的 非 线 性 抛 ｕ（ 为 方 １和
有 紧 密 联 系 ， 中 Ｏ， ， ＞ 为 常 数 ． 显 然 方 程 （ ） 方 程 （ ） 特 殊 情 况 ， 含 Ｇ Ｂ 方 程 和 Ｓ ｂ ｌ 其 ／ ０ 卢 １ 是 ３ 的 包 Ｂ Ｍ ｏ ｏｅ ｖ—
引理 ２ 假设／ Ｒ） ０ ＝ ， ∈Ｈ ｎＬ 且 ＝［ ］ ， 中 ＞ ． Ｊ ≤Ｍ， ∈Ｃ （ ， ） ０ Ｍ ｓ ＋１其 ０ 若 ｌ “ 则有 Ｉ（ ） ≤ ｌ ｕ Ｉ 厂
（ ） ， 中 （ ） 其 为依 赖 于 的常数 ．
引理 ３
（ ）ｌ 一 ｌ， Ｉ Ｉ
Ｉｌ ） １１ Ⅱ
。 ， ）
Ｖ“ （ ・ ∈ ）
易见 （ 是 一 Ｂ ｎ ｃ ） ａ ａｈ空 间． 定义算 子 Ｊ （ 一 （ 为 再 ｓ ） ： ）
一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性
一类带非局部项的allen-cahn方程解的存在性带有非局部项的Allen-Cahn方程是一类重要的非线性偏微分方程，研究它的解的存在性具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将介绍关于带非局部项的Allen-Cahn方程解存在性的一些主要研究工作和结果。
Allen-Cahn方程是一个经典的描述相分离现象的模型，它在物理、化学、材料学等领域中具有广泛的应用。
方程的基本形式为：ε²∆u-f(u)+λ∇W*u=0(1)其中，u(x)是未知函数，表示时间和空间变量，ε是小的正数，f(u)是一个给定的非线性函数，λ是常数，∆是拉普拉斯算子，W是一个权重核算子，*表示卷积操作。
带有非局部项的Allen-Cahn方程是在经典Allen-Cahn方程的基础上引入了非局部项的一个扩展。
非局部项代表了系统中物质的非局部相互作用，可以更好地描述物质的长程相互作用和相界面的形成过程。
关于带有非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性的研究工作主要集中在两个方面，一个是存在性的充分条件，另一个是存在性的证明方法。
首先，对于存在性的充分条件，很多学者通过构造合适的能量函数，证明了一些条件下带有非局部项的Allen-Cahn方程存在解。
其中一个经典的充分条件是“能量估计”，也称为Ginzburg-Landau能量估计。
根据能量估计，当能量的衰减速度快于等于非局部项的增长速度时，方程存在解。
此外，还有学者通过研究方程的动力学行为，证明了带有非局部项的Allen-Cahn方程的解存在。
其次，关于存在性的证明方法，主要有两类。
一类是基于变分方法的证明方法，另一类是基于解的连续性的证明方法。
变分方法是一种广泛应用的证明方法，它通过构造适当的变分问题，证明了方程的解存在。
而基于解的连续性的证明方法则是先证明该方程的解存在于一定的函数空间中，然后通过限制序列的紧性，得到方程的解存在。
在具体的研究中，学者们从不同的角度出发，针对不同类型的非局部项，展开了许多具体的研究。
一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性
一类非线性抛物方程初值问题整体解的存在唯一性
侯长顺;代辉亚
【期刊名称】《河南教育学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(020)001
【摘要】利用压缩映射原理和解的延拓定理证明一类非线性抛物方程初值问题的整体广义解和整体古典解的存在唯一性.
【总页数】4页(P1-4)
【作者】侯长顺;代辉亚
【作者单位】河南工业大学,理学院,河南,郑州,450052;河南工业大学,人事处,河南,郑州,450052
【正文语种】中文
【中图分类】O157.2
【相关文献】
1.一类非线性抛物方程粘性解的存在唯一性及其在图像中的应用 [J], 季婕;许德良
2.一类二维奇异非线性抛物方程的弱解的存在唯一性 [J], 李联和;李德茂
3.一类非线性抛物方程的整体解和爆破解 [J], WU Jie;CUI Zejian
4.一类奇异半线性反应扩散方程初值问题整体解的存在唯一性及解的增长性 [J], 彭大衡; 王志成; 苏醒
5.一类奇异非线性抛物方程弱解的存在唯一性 [J], 李树华
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一类非局部Fisher-KPP方程解的局部存在性
t
∫ u(·，t) = G(·，t) * u0 + ( uα(·，s) ( 1 － k* fβ(·，s) ) ) * G(·，t － s) ds，
（ 3）
0
其中 G( x，t) =
e－Βιβλιοθήκη x2 4tN 是热核．
( 4πt) 2
～
接下来将证明存在 T0 ∈ ( 0，T) 使得 f∈XT0，u： = Φ( f) ∈ XT0． 在（ 2） 的两端乘以 u p－2u，结合 Young 不等式，可以得到
1
这里的 M = k ‖u0 ‖L1( ＲN) ∩L∞ ( ＲN) ，当 α ＞ 1 的时候，k = max{2，2α－1 } ，当 α = 1 的时候，k = 2． 任给 f ∈
XT，定义 Φ： = f ∈ XT → u ∈ XT，则 u 为初值问题
{u = Δu + uα( 1 － k* fβ) ，x ∈ ＲN，t ∈ ( 0，T) ， t
本文研究如下 Fisher-KPP 方程：
u = Δu + uα( 1 － k* uβ) ，xＲN，t（ 0，T） ，
（ 1）
t
∫ 其中 α ≥ 1，β ≥ 1 为常数，k( x) ≥ 0 为核函数，满足 k( x) ∈ L1( ＲN) ， k( x) dx = 1， ＲN ∫ k* uβ( x) = k( x) uβ( x － y) dy． ＲN
摘 要： 本文运用 Banach 不动点定理研究了一类 ＲN 上的非局部 Fisher-KPP 方程在给定初值条件下解的局 部存在性，唯一性和非负性． 关键词： 非局部 Fisher-KPP 方程； 局部存在性； Banach 不动点定理； 唯一性； 非负性 中图分类号： O175. 1 文献标识码： A 文章编号： 1005-8036（ 2019） 02-0093-04
一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性
一类p-laplacian椭圆抛物型方程解的存在和唯一性本文将讨论一类p-laplacian椭圆抛物型方程的存在性和唯一性。
p-laplacian椭圆抛物型方程是一类形式为$u_{xx}+u_{yy}+p(x,y)u=f(x,y)$的非线性方程，其中$p(x,y)$是非负可积函数。
在定义域$\Omega$上，这个方程有可能有多个解，但我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解，即存在唯一性。
为了证明方程在$\Omega$上只有一个解，我们首先需要证明它在$\Omega$上存在解。
为此，我们可以使用拉普拉斯变换法，该方法把二阶偏微分方程转化为可以解决的线性方程组。
具体来说，我们可以把原方程的拉普拉斯变换后的形式写成：$$\int_{\Omega}\int_{\Omega} \hat{u}(x,y) (-\Delta+p(x,y))u(x,y)dxdy=\int_{\Omega}\int_{\Omega}\hat{f}(x, y)u(x,y)dxdy$$其中$\hat{u}$和$\hat{f}$分别是$u$和$f$的拉普拉斯变换。
由于$-\Delta+p(x,y)$是可积的，因此可以证明方程在$\Omega$上存在解。
接下来，我们需要证明方程在$\Omega$上只有一个解。
为此，我们可以采用变分法。
我们首先利用变分法将原方程转换成一个绝对最小值问题：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{xx}+u_{yy})+p(x,y)u-f(x,y)\right]^2dxdy$$设$u_1$和$u_2$是方程的两个解，则有：$$\min \int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]^2dxdy=\int_{\Omega}\left[\frac{1}{2}(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]^2dxdy$$又因为$u_1$和$u_2$是方程的两个解，所以有：$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})+p(x,y)u_1-f(x,y)\right]dxdy=\int_{\Omega}\left[(u_{2xx}+u_{2yy})+p(x,y)u_2-f(x,y)\right]dxdy$$从而可以得到$$\int_{\Omega} \left[(u_{1xx}+u_{1yy})-(u_{2xx}+u_{2yy})\right]dxdy=0$$这表明$u_1$和$u_2$在$\Omega$上的二阶偏微分是相等的，因此$u_1=u_2$，即方程在$\Omega$上只有一个解。
具非局部边界条件的奇异分数阶微分方程正解的存在性和唯一性
引理 2.4 (Banach 压缩映射原理)假设 D 是 Banach 空间 E 的非空闭子集， T : D → D 是压缩算子，即 对任意的 x, y ∈ D ，有
Tx − Ty ≤ α x − y ,α ∈ (0,1) .
(iii) T 是压缩映射，
则存在 z ∈ E ，使得=z Sz + Tz 。
引理 2.3 (Arzela-Ascoli 定理)假设函数族 F = { f (t )} 在区间 [α, β ] 上是一致有界和等度连续的，则存 在子函数序列{ fn (t )} ⊂ F 在区间 [α, β ] 上是一致收敛的。
(qx)(t ) ≤ L2 ,t ∈[0,1], x1, x2 ∈ E.
( H3 ) 存在正函数 L3 (t ), L4 (t ) ，使得： tσ f (t, x1,ϕ x1 ) − tσ f (t, x2 ,ϕ x2 ) ≤ L3 (t ) x1 − x2 + L4 (t ) ϕ x1 − ϕ x2 ,t ∈[0,1], x1, x2 ∈ E.
f
: (0,1]×[0, +∞)×[0, +∞)
→
[0, +∞)
连续，
(ϕ x)(t)
=
∫tγ 0
(t, s)
x (s)ds
，
γ
: [0,1] ×[0,1] → [0,+∞)
，
λ
>
0
，
lim f (t, x (t ),(ϕ x)(t )) = +∞ (即f在 t = 0 点奇异)，q是 [0,+∞) 上的非负有界连续函数。
= x (t )
两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析
两类带非局部项的非线性抛物方程的理论分析非线性抛物方程是一类重要的非线性偏微分方程，广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
它们的解决具有重要的理论和实际意义。
在非线性抛物方程中，如果存在非局部项，即方程中的其中一项不仅依赖于该位置的解，还依赖于其他位置的解，那么问题会变得更为复杂。
本文将针对两类带非局部项的非线性抛物方程展开理论分析。
第一类带非局部项的非线性抛物方程是具有非线性时滞项的方程。
这类方程的特点是方程中的其中一项不仅依赖于当下时刻的解，还依赖于过去时刻的解。
具体形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) + g(u(t-\tau))$$其中，$u$是未知函数，$f$和$g$是非线性函数，$\Delta$是拉普拉斯算子，$\tau$是延迟时间。
这类方程描述了一些物理过程的时滞效应，比如生物体内的传感器反应时间等。
对于这类方程，理论分析的关键是研究方程的稳定性和解的存在性。
通过选择合适的函数空间和适当的变量变换，可以将方程转化为一个更为标准的抽象形式，然后利用相应的抽象理论进行分析。
第二类带非局部项的非线性抛物方程是具有非局部响应函数的方程。
这类方程的特点是方程中的其中一项不仅依赖于该位置的解，还依赖于其他位置的解。
具体形式如下：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u + f(u) +\int_{\Omega} K(x, y)g(u(y)) dy$$其中，$K(x,y)$是非局部响应函数，描述了其他位置对该位置的影响。
这类方程可以描述一些具有长程相互作用的物理过程，比如热传导中的非局部效应。
对于这类方程，理论分析的关键是研究方程的解的存在性和唯一性，以及解的性质。
一种常用的方法是将方程转化为积分形式的方程，然后利用适当的函数空间和变分方法进行分析。
总结起来，带非局部项的非线性抛物方程具有一定的理论挑战，但也具有广泛的应用价值。
一类p-Laplacian方程非局部问题解的存在性
第３ ６卷
第６ 期
一
类 Ｐ—Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｅ ｉ ａ ｎ方程 非局部问题解的存在性
郑春华 ， 刘文斌２
（ １ ．陕西工业职业技术学院 基础部 ，陕西 咸阳 ７ １ ２ ０ ０ ０； ２ ．中国矿业大学 数学 系，江苏 徐州 ２ ２ １ １ １ ６）
摘要 ： Ｐ—Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｉ ａ ｎ方程边值问题不仅在非牛顿流体理论等实际问题 中应用广泛 ， 而且对偏微分 方程的
中相 应 的结果 ．
部 问题 受到 了广 泛重 视
． 文献 ［ ９ ］ 利 用 上下 解
方法 和 Ｍ ａ ｗ ｈ ｉ ｎ连 续定 理讨论 了方 程
（ （ （ ｔ ） ） ） ＋ ｔ ， ）＝０ ， ０ ＜ｔ＜ ｌ ， 在边值 条件
一
１ 预 备知 识
定义 １ 设 Ｏ Ｌ ∈Ｃ ［ ０ ， １ ］ ， 且 （ Ｏ Ｌ ）∈Ｃ ［ ０ ，
（ ２ ）
在边值条件（ １ ） 下３ 个正解的存在性 ， 其中， Ｐ＞１ ，
的， 可 以定 义方 程 （ ２ ） 在边 值条件 （ １ ） 下 的上 解． 定义 ２ 【 设 Ｅ是 一个 Ｂ ａ ｎ ａ ｅ ｈ空 间 ， Ａ ＣＥ是 个有 界开集 ， 称
Ｅ
： Ｒ － － － Ｒ ， （ Ⅱ ） ＝ Ｊ “ ｕ ， ０ ≤ｒ ｉ ＜ ｌ ， ∑ｒ ＜ ｌ ，
边 值理论研究也具有很重要 的意义 ． 运用上下解 方法 、 一 集压缩 映射理论及单调迭代技巧研究一类 非线性
项 和导数有关 的 Ｐ—Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｉ ａ ｎ方程的非局部边值 问题 ， 获得 了该 问题解 存在 的一些充 分条件 ， 同时 还得到 了收敛到该解 的迭代序列 ， 并在允许非线性 项变号的情况下 得到 了其非正解 和非负解 的存在性 ， 推广 和完
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是满足下列性质的函数：
a(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在 m, M 满足 0 < m ≤ a(ξ ) ≤ M 。
（1.2）
b(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在α , β 满足 0 < α ≤ b(ξ ) ≤ β 。
（1.3）
l, y 是 L2 (Ω) 上的线性函数，分别为
∫ ∫ ∫ ∫ Ω utvdx + a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx +b( y(w(t)))
Ω
uvdx =
Ω
Ω
fvdx
-2-
∫ ∫ ∫ ∫ |
Ω ut vdx |=|
Ω
fvdx − a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx −b( y(w(t)))
定理 2.1 假设（1.2）、（1.3）、（1.4）、（1.5）、（2.1），则下面的方程
⎪⎧ ⎨
d dt
(u,
v)
+
a(l(u(t
)))∫
∇u
Ω
⋅
∇vdx
+b(
y(u(t)))(u,
v)
=
(
f
,
v)
⎪⎩u(x,0) = u0
必存在解 u = u(x, t) ，且满足
in D′(0,T ),∀ v ∈V （2.2）
The existence and uniqueness of solutions to a class of Nonlocal parabolic quation
Xin Kuidong
college of science, hohai-univ. , nanjing PRC（210098）
Abstract In this paper, by the method of the Schauder fixed piont,the existence of solutins to the nonlocal parabolic equation was studied, then we got the uniqueness of solutins. Keywords: nonlocal parabolic equation, Schauder fixed point, existence and uniqueness.
in D′[0,T ],∀ v ∈V
∫ 即
d dt
(u1
−
u2
,
v)
+
a(l(u1 (t)))
Ω ∇(u1 − u2 ) ⋅ ∇vdx +b( y(u1 (t)))(u1 − u2 , v)
∫ = {a(l(u2 (t))) − a(l(u2 (t)))} Ω ∇u2 ⋅ ∇vdx + {b( y(u2 (t))) − b( y(u2 (t)))}(u2 , v) （3.1）
Ω
uvdx |
Ω
≤ f v + m ∇u ∇v + α u v
22
2
2
22
≤ ( f + m ∇u + α u ) v
2
2
2
V
所以， ut L2 (0,T ;V ′) ≤ C~ 。 C~ 与 w 无关。
（2.4）
考虑集合 B = {v ∈ L2 (0,T ; L2 (Ω)) | v L2 (0,T ;L2 (Ω)) ≤ C} , C 是（2.3）中的常数。 显然， R 是映 B 到 B 的映射。 由（2.3）、（2.4）及阿采拉定理知， R(B) 是相对紧的。
在（2.3）中，取 v = u ，得
∫ 1 d u 2 + a(l(w(t))) ∇u 2 dx +b( y(u(t))) u 2 = ( f (t),u) ≤ f (t) u
2 dt 2
Ω
2
22
由（1.2）、（1.3）和杨不等式，我们得到
1 d u 2 + m ∇u 2 + α u 2 ≤ 1 f (t) 2 + α u 2
1. 引言
在本文中，我们研究了下面的非局部抛物型方程
⎪⎪⎪⎨⎧u∂∂tun−=a0(l(u(t)))Δu + b( y(u(t)))u =
f (x)
in Ω × R + on ∂Ω
⎪⎩u(x,0) = u0 (x)
in Ω
（1.1）
解的存在性及唯一性。其中 Ω 是 R n (n ≥ 1) 中的有界区域，∂Ω 光滑，记 a = a(ξ ), b = b(ξ )
∫ l(u(t)) = g(x)u(x,t)dx, g ∈ L2 (Ω) Ω
（1.4）
∫ y(u(t)) = h(x)u(x,t)dx, h ∈ L2 (Ω) Ω
（1.5）
u0 ∈ L2 (Ω), f ∈ L2 (Ω) 。 这种方程出现在一些细菌扩散模型中： u(x, t) 是细菌生物的密度， f 是从外部进来的
细菌密度， u0 是细菌的初始密度， a 是依赖 l(u(t)) 的扩散率，低阶项 u 是以死亡率 b( y(u(t))) 而被消除的细菌密度。a 对 l(u(t)) 的非局部依赖包括这种情形：细菌的扩散率依
赖于整个细菌生物系统，此时 g(x) = 1。
近来，这种非局部方程得到了很多学者的关注，例如：Robert Stancy 在文献[1]中，利用 格林函数和锥不动点理论得到了正解的存在性，类似的文献见[2]、[3]，对于问题（1.1）中
− u2 ) |2
dx +b( y(u1 (t)))
u1
− u2
2 2
≤ Az l(u2 (t)) − l(u1 (t)) ∇u2 2 ∇(u1 − u2 ) 2 + Bz y(u2 (t)) − y(u1 (t)) u2 2 u1 − u2 2 由（1.2）、（1.3）和带 ε 的柯西不等式 ab ≤ ε a 2 + 1 b 2 ，得
则，问题（2.2）有唯一解。
证明：设 u1,u2 是（2.2）的解，则
∫ d
dt
(u1
,
v)
+
a(l
(u1
(t )))
Ω ∇u1 ⋅ ∇vdx +b( y(u1 (t)))(u1, v) =
∫ d
dt
(u 2
,
v)
+
a(l
(u 2
(t
)))
Ω ∇u2 ⋅ ∇vdx +b( y(u2 (t)))(u2 , v)
u ∈ L2 (0,T ;V ) ∩ C(0,T ; L2 (Ω)),ut ∈ L2 (0,T ;V ) L2 (0,T ;V ) 。
证明：证明采用 Schauder 不动点方法。 由 J.L.Lions [5][4] 著名的结果知，下面的问题
⎪⎧ ⎨
d dt
(u,
v)
+
a(l(w(t
)))∫
∇u
Ω
u1 − u2
2 是单调递减的。所以
2
0
≤
t
− c(s)ds
e ∫0
u1 − u2
2 2
≤
u1 ( x,0)
− u2 (x,0)ຫໍສະໝຸດ 2 2=u0
− u0
2 2
=0
所以 u1 = u2 ，解的唯一性得证。
参考文献
[1] Robert stanczy,Nonlocal Elliptic equation[J], Nonlinear Analysis 47 (2001) 3579-3584. [2] C.O.ALVES,Positive Solutions for a Quasilinear Elliptic Equation of Kirchhoff Type[J], Comp.math..appl.49 (2005) 85-93. [3] T.F.MA, Positive Solutions for a Nonlinear Nonlocal Elliptic Transmission Problem[J], Appl.Math.Lett. 16 (2003) 243-248. [4] M.Chipot, Elements of Nonlinear Analysis[M],Birkhauser Advanced Text (2000). [5] R.Dautray,J.L.Lions,Mathmatical analysis and numercal methods for science and technoLogy[M],Springer Verlag (1990). [6] M.Chipot,B.Lovat,On the asmptopic behaviour of some nonlocal problems[J],Positivity,3 (1999) 65-81 [7] M.Chipot,B.Lovat,Existence and uniqueness results for a class of nonlocal elliptic and parabolic problems[J],DCDIS,Series A,8 (2001),#1,35-51. [8] M.Chipot,L.Molinet, asmptopic behaviour of some nonlocal diffusion problems[J],Applicable Analysis,80 (2001) 273-315. [9] M.Chipot,J.F.Rodrigues,On a class of nonlocal nonlinear elliptic problems[J],Math.Mod.and Num.Ana.,26 (1992) 447-468.
至于 R 在 L2 (0,T ; L2 (Ω)) 中的连续性，由文献[8]类似可证。