河北省衡水第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题
12．若变量 x, y 满足 x ln
1 0 ，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ y
）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形， PA PB PC 2 ， PA PB ，三棱 锥 P ABC 的外接球的表面积为________ 2 14.已知集合 A＝{x|x＞5}，集合 B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不 必要条件，则实数 a 的取值的集合是________． 15. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x (0, ) 时， f ( x ) 2016 x log 2016 x ，则函 数 f ( x) 的 零点的个数是________ 16.下表给出了一个“三角形数阵” ：
只需 m 2 2 ，即 m 4 ．
1 A A A A 18.【答案】 （1）∵ m ＝（－cos ，sin ） ， n ＝（cos ，sin ） ，且 m · n ＝ ， 2 2 2 2 2 A A 1 1 2 ∴－cos2 ＋sin2 ＝ ，即－cosA＝ ，又 A∈（0，π） ，∴A＝ ． 2 2 2 2 3 1 2 又由 S△ABC＝ bcsinA＝ 3 ，所以 bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos ＝b2＋ 2 3
6. 给定函数 y f ( x ) 的图像如下列图中，经过原点和（1,1） ，且对任意 a n (0,1) ,由关系 式 a n 1 f ( a n ) 得到数列{ a n }，满足 a n 1 a n
( n N * ) ，则该函数的图像为（
）
7.已知三个正态分布密度函数 i x 示,则（ ）
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归直线方程
a ˆ bx ˆ． y
(3)预测饲养满 12 个月时，这种鱼的平均体重 x
i 1 i 1 n i 2 i
n
i
nx y
） ˆ y bx ，a
2 （Ⅱ）若二次函数 y x 2 x 3 与函数 y f x 的图象恒有公共点，求实数 m 的取值范
围．
18. （本小题共 12 分）已知角 A、B、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b、c，若 m
＝（－cos
1 A A A A ，sin ） ， n ＝（cos ，sin ） ，a＝2 3 ，且 m · n ＝ ． 2 2 2 2 2
（2）求 b＋c 的取值范围．
（1）若△ABC 的面积 S＝ 3 ，求 b＋c 的值．
19. （本小题共 12 分）在三棱锥 P ABC 中， PAB 是等边三角形， PA AC , PB BC ． P
B
A
C
（1）证明： AB PC ； （2）若 PC 2 ，且平面 PAC 平面 PBC ，求三棱锥 P ABC 的体积．
1 1 | 1} ， B {x 1} ，定义 A B {x | x A B 且 x A B} ， 2 x
） B． ）
1 3 , 0 1, 2 2
1 3 , 0 1, 2 2
2
n(ad bc)2 ．其中 n a b c d ． ） (a b)(a c)(c d )(d b)
22. （本小题共 12 分）已知数列中 {a n } 中， a1 1, an 1
an ( n N *) an 3
（1）求证：数列 {
1 1 } 是等比数列，并求数列 {a n } 的通项公式 a n an 2 n a n ， 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Tn ， 若 不 等 式 2n
c ＋bc， ∴16＝（b＋c）2，故 b＋c＝4 由正弦定理得：
2
------------10 分
b c a 2 3 ＝ ＝4， sin B sin C sin A sin 2 3
又 B＋C＝π－A＝
，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin（ －B）＝4sin（B＋ ） ， 3 3 3
C．
1 3 , 2 2
D． 0, 1
3．下列命题错误的是（
2 2
A．命题“若 x y 0 ，则 x y 0 ”的逆否命题为“若 x, y 中至少有一个不为 0 则
x2 y2 0 ”
B．若命题 p : x 0 R, x 0 x 0 1 0 ，则 p : x R, x x 1 0 C． ABC 中， sin A sin B 是 A B 的充要条件 D．若 向 量 a , b 满 足 a b 0 ， 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 4. 在数列{ a n }中， a1 2, a n 1 a n ln(1 A． 2 ln n B． 2 ( n 1) ln n
1 1 1 3 5 ，计算得 f (2) ， f (4) 2 ， f (8) ， （ n N ） 2 3 n 2 2 7 ） f (16) 3 ， f (32) ，由此推算：当 n 2 时，有（ 2 2n 1 2(n 1) 1 A. f (2n) （n N ） B. f (2n) （ n N ） 2 2 2n 1 n2 C. f (2n ) （ n N ） D. f (2 n ) （n N ） 2 2
20. （本小题共 12 分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观 测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间 x(单位：月)与这种鱼类的平均体重 y(单位：千克)得到一组观测值，如下表：
xi （月）
1
2
3 1.7
4
5 2.8
yi （千克） 0.5
0.9
2.1
(1)在给出的坐标系中，画出关于 x、y 两个相关变量的散点图．
取 AB 中点 M ，连结 PM , CM ，则 AB PM , AB MC AB 平面 PMC ，而 PC 平面
PMC AB PC （2）在平面 PAC 内作 AD PC ，垂足为 D ，连结 BD ∵平面 PAC 平面 PBC , AD 平 面 PBC ，又 BD 平面 PBC AD BD ，又 Rt PAC RtPBC
（1）写出 2×2 列联表；判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你 的理由； （下面的临界值表供参考）
P ( K 2 k0 )
0．10 2．706
0．05 3．841
0．010 6．635
0．005 7．879
k0
（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取 6 名选手，并抽取 3 名幸运 选手， 求 3 名幸运选手中至少有一人在 20～30 岁之间的概率． （参考公式： K
（ 2 ） 若 数 列 {bn } 满 足 bn (3 n 1)
( 1) n Tn
n 对一切 n N * 恒成立，求 的取值范围． 2n 1
衡水市第二中学 15—16 学年上学期期中考试 高二年级数学（文）试题
1.B 2.B 3．D 4.A 5.B 6. A 7. D 15.3 8.C 9.D 16. 10.D 11.C 12.B 13． 12 14.{ a | a＜5 }
2 2
1 ) ，则 a n （ n
） D． 1 n ln n
C． 2 n ln n
5. 若动直线 x a 与函数 f ( x ) sin x 和 g ( x ) cos x 的图像分别交于 M，N 两点，则
MN 的最大值为（
）
A．1
B． 2
C． 3
D． 2
衡水市第二中学 15—16 学年上学期期中考试 高二年级数学（文）试题
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 复数 z 满足 z · （1+2i）=4+3i，则 z 等于 A． 2 i 2.若 A {x | x 则 A B （ A． B． 2 i C．1+2i （ D． 1 2i ）
3 x 1 m, x 1 x 1 处 取 得 最 小 值 2, 因 为 f x x 3 m, 1 x 1 在 x 1 处 取 得 最 大 值 3 x m 1, x 1
m2,
2 所以二次函数 y x 2 x 3 与函数 y f x 的图像恒有公共点，
5 64
3 x 6, x 1 17.【答案】 （Ⅰ）当 m 5 时， f x x 2, 1 x 1 ， 4 3 x, x 1
由 f x 2 易得不等式解集为
2 4 , 0 Ⅱ） y x 2 2 x 3 x 1 2 ，该函数在 3
x y 1, 且目标函数 z 3 x y 的最大值为 4，则实数 m 10.已知实数变量 x, y 满足 x y 0, 1 mx y 1 0, 2
的值为(
) A.
3 2
B.
1 2
C.2
D.1
1 1, x 1, 11.已知函数 f ( x ) x 在 R 上满足：对任意 x1 x2 ，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ， 2 x a , x 1
y 2 x
1 e 2 i
x i 2
2 i2
（ x R , i 1, 2,3 ） 的图象如图 1 所
2016年河北省衡水二中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．9910．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．212．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为．15．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．∴a=0或1或3或4．故选：D．3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选：C．6．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设t=a﹣a x，则y=为增函数，则函数y=（a＞0，a≠1）为单调函数，当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．7．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c【解答】解：设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1=；故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；故选：A．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选：B．9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99【解答】解：∵在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），∴a n+3=a n．即数列各项以3为周期呈周期变化∵98=3×32+2，∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，a1+a2+a3=2+3+4=9，∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1=33×9+2=299．故选：B．10．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，∴A1B⊥AM，∵AN B 1M，∴AM∥B1N，∴A1B⊥NB1，故②正确；在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选：D．11．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f（2015）=f（2015﹣4×504）=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βs in=．故答案为：．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：715．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为4．【解答】解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴C=．∵c=2，C=，由余弦定理，，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab，化为（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4．故答案为：4．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．【解答】解：（1）由不等式的性质得：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，则只要|a﹣1|≥a，解得：，所以实数a的取值范围为．（2）（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB．由AD为∠BAC 的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC．（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°=∠BDE，又由（1）得∠DBE=∠DBH，再根据BD=BD，可得△BDH≌△BDE，∴DE=DH．∵HE=4，∴ED=2．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，可得：a，所以cosA==，又0＜A＜π，∴A=，由sinAsinB=cos2，可得sinB=，sinB=1+cosC，∴cosC＜0，则C为钝角．B+C=，则sin（﹣C）=1+cosC，∴cos（C+）=﹣1，解得C=，∴B=．…（6分）（2）设{a n}的公差为d，由已知得a1=，且a24=a2a8．∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）．又d≠0，∴d=2．∴a n=2n．…（9分）∴==．∴S n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a 3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3•﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈，∴2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈（0，3]．（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=2．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：由题，…（2分）故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，取，则，…（5分）再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…（7分）故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，故，故k max=3…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴令，…（10分）又ln [（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n （n +1））]=ln （1+1×2）+ln （1+2×3）+…+ln（1+n ×（n +1））=即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n （n +1）]＞e 2n ﹣3…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
河北省衡水市第二中学2016届高三上学期期中考试文数试题 Word版含解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}a x x A <=，{}21<≤=x x B ，且()R B C A R =⋃，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2≥aB ．1≤aC ．1<aD ．2>a【答案】A 【解析】试题分析：因为{}21<≤=x x B ，所以{|1R C B x x =<或2}x ≥ 因为()R B C A R =⋃，所以2a ≥ 故答案选A考点：集合间的运算.2. 复数(1)i z i += ( i 为虚数单位) ，则z =（ ）A .1122i + B . 1122i -+ C . 1122i - D . 1122i -- 【答案】C考点：1.复数的运算；2.共轭复数.3、已知两条不重合的直线m 、n 和两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α； ②若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β； ③若m 、n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂β，n ⊥m ，则n ⊥α．其中正确命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】C考点：空间中线与面、面与面的位置关系.【易错点睛】空间中直线和平面的概念和性质作为高考命题的重要内容，经常出现在高考试题的选择题和填空题中，由于空间意识和对概念、性质、公理等的认识不够全面等原因，同学们对此类问题旺旺很难把握，经常出错. 4. 已知锐角α的终边上一点)50cos ,50sin 1(+P ，则锐角α=（ ）A .80 B . 70 C . 10 D . 20【答案】D 【解析】试题分析：由三角函数的定义得2cos50sin 402sin 20cos 20sin 20tan tan 201sin 501cos 402cos 20cos 20y x α======+-所以锐角20α=故答案选D考点：任意角的三角函数定义.【方法点睛】定义法求三角函数值的三种情况：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解；(2)已知角α的度数，可先求角α终边与单位圆的交点P 的坐标，之后同(1)即可求得三角函数值；(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 5. 已知函数()f x 是定义在R 上的最小正周期为3的奇函数，当3(,0)2x ∈-时，2()log (1)f x x =-，则(2011)(2012)(2013)(2014)f f f f +++=（ ）A . 0B . 1C . -1D . 2【答案】C考点：函数的奇偶性和周期性. 6．把函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的图象关于(,0)3π-对称，则()2f π-=( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图像向左平移6π个单位，得到()sin[2()]6g x x πϕ=++，即()sin(2)3g x x πϕ=++的图像因为()g x 的图像关于(,0)3π-对称，所以()03g π-=，即sin[2()]sin()0333πππϕϕ⨯-++=-+=所以()3k k Z πϕπ-+=∈，即()3k k Z πϕπ=+∈因为||2πϕ<，所以3πϕ=所以()sin(2)3f x x π=+所以2()sin()sin()233f ππππ-=-+=-= 故答案选A考点：三角函数图像的变换.7．已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）.A 14 .B 12.C 1 .D 2 【答案】B考点：线性规划.8）A B C D【答案】B考点：数列求和.9 ）.A B ．C D 【答案】D 【解析】所以lg lg a b =-所以1a =，即1ab =22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+==-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=所以22a b a b+-的最下值为故答案选D考点：基本不等式.10．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边长分别为a ，b ，c ，且22tan 2,3,tan Aa cb C-==则b 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．7【答案】B考点：1.正弦定理；2.余弦定理.11．已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC ,2AC =, 若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（ ） A ．π34 B ．π334 C ．π38 D ．π338 【答案】A【解析】考点：外接球的体积.【方法点睛】解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．求球半径，是解本题的关键．12.322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为（ ） (A )(3，+∞) (B )(3，72) (C ) (一∞，72] (D )(0，3) 【答案】B 【解析】试题分析：原题等价于方程()30f x '-=有两个大于零实数根. 因为322()13f x x x ax =-+- 所以2()22f x x x a '=-+考点：1.导函数的几何意义；2.二次函数的根的分布. 【方法点睛】一元二次方程20ax bx c ++=根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知数列}{n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若927S =,则423a a -等于 ．【答案】6-考点：等差数列.14.已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为 【答案】3π【解析】试题分析：因为|2|a b +=所以222244741470a a b b a b a b +⋅+=⇒⨯+⋅+=⇒⋅=即a 与b垂直如图，由平行四边形法则，a且a 与b 垂直，||1a =，||b = a 与a b + 的夹角为3π故答案为3π 考点：数量积.15．若1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，函数()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的最小值为 【答案】1考点：1.函数的零点；2.基本不等式.【方法点睛】1、基本不等式具有将“和式”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足取等条件是前提.“和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀；2、函数零点的求法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.16已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是【答案】4+故答案为4+：4+4+2cm2考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的侧面积.【易错点睛】解题时要看清楚是求表面积还是求侧面积，否则很容易出现错误．本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，读图时注意注意空间几何体的不同放置对三视图的影响，注意区分三视图中的实线和虚线，注意投影在三视图中的应用，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－a｜．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥4；（2）若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）17(,][,)22-∞-+∞；（2）⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.考点：1.绝对值不等式的解法；2.恒成立问题.18．已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足112n na bn a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．【答案】（Ⅰ）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1.（Ⅱ）因为n T m ≥恒成立，所以只需min ()n T m ≥即可，由（Ⅰ）知112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又112n na b n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，考点：1.数列的通项公式；2.数列的求和；3.数列的最值.【方法点睛】 数值最值的求解方法如下：1.邻项比较法，求数列{}n a 的最大值，可通过解不等式组11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩(2,)n n Z ≥∈求得n 的取值范围；求数列{}n a 的最小值，可通过解不等式组11n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩(2,)n n Z ≥∈求得n 的取值范围；2.数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式n a 对应函数()y f x =的特点，借助函数()y f x =的图像即可求解；3.单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性.19. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22()(2a b c bc --=，2sin sin cos2CA B =，BC 边上的中线AM (1)求角A 和角B 的大小； (2)求ABC ∆的面积【答案】（1）6π，6π；（2考点：1，解三角形；2.三角形的面积.20．(本小题满分12分)如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1CD⊥平面A1BC；（Ⅲ）若AB =10，BC =6，求三棱锥A 1﹣BCD 的体积．【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）证明略；（Ⅲ）48.（II ）因为矩形ABCD ， 所以11A D A B , 由（I ）知．又1BC A B B = ，BC ⊂平面1A BC ，1A B ⊥平面1A BC 所以1A D ⊥平面1A BC ．考点：1.直线与平面垂直的判定和性质；2.平面与平面垂直的判定；2.空间几何体的体积.21、(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA =PD 底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 若存在，求出AQQD值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明略；（Ⅱ）13. 【解析】试题分析：（Ⅰ）只需证明PO AD ⊥，又由面面垂直的性质定理知PO ⊥平面ABCD ；所以2PCD S ∆==由P DQC Q PCD V V --=，即111132322x ⋅⋅= 解得32x =所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =． 考点：1.平面与平面垂直的性质；2.几何体的体积.22. 已知函数（其中），函数在点处的切线过点.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数与函数的图像在有且只有一个交点，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）①当(0,2]a ∈时，1(0,)x e ∈单调递增，1(,)x e∈+∞单调递减；②当(,0)a ∈-∞时，1(0,)x e ∈单调递减，1(,)x e ∈+∞单调递增；（Ⅱ）1a =-或2ln 2a <-或02a <≤③当2a =时， ()h x 在(0,2]的递增，∵484()20h e e e ---=--<，(2)2ln 20f =+>，∴函数()h x 在(0,2]与x 轴只有唯一的交点，综上所述，a 的取值范围是1a =-或2ln 2a <-或02a <≤． 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数研究曲线上某点切线方程.【方法点睛】导数通常是考题中的压轴题，而零点问题又是常考题型，对于此种题型一般有两种方法：1. 分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；2. 把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数()y f x =，()y g x =，即把方程写成()()f x g x =的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.。
【全国百强校】河北省衡水第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数z 满足z ·（1+2i ）=4+3i ，则z 等于（ ）A ．2i -B ．2i +C ．1+2iD ．12i -【答案】B考点：复数的运算.【名师点睛】本题考查复数的乘法除法运算，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理，复数数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，同时注意运算的准确性，本题一定要看清题意这里求的是z ，不是题目中的z . 2.若1{||1}2A x x =-<，1{1}B x x=≥，定义{|}A B x x A B x A B ⨯=∈∉且， 则A B ⨯=（ ） A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]0,1 【答案】B 【解析】试题分析：由题意1{||1}2A x x =-<}2321|<<⎩⎨⎧-=x x ，1{1}B xx =≥{}10|011|≤<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=x x x x ，所以}⋃<<⎩⎨⎧-=⋃2321|x x B A {}=≤<10|x x }2321|<<⎩⎨⎧-x x , }⋂<<⎩⎨⎧-=⋂2321|x x B A {}=≤<10|x x {}10|≤<x x所以{|}A B x x AB x A B ⨯=∈∉且=13,01,22⎛⎤⎛⎫- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭考点：新定义及集合的基本运算.【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求{|}A B x x AB x A B ⨯=∈∉且，即是集合A 或B 的元素，但不是集合A,集合B 共有的元素,一般要在数轴上表示出来，形象直观，一定要注意端点值，看是否包括，是易错点.3.下列命题错误的是（ ）A ．命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0则022≠+y x ”B ．若命题01,:0200≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2>+-∈∀⌝x x R x pC ．ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件D ．若向量,a b 满足0<⋅b a，则a 与b 的夹角为钝角【答案】D考点：四种命题之间的关系、命题的否定、三角形中的角大小与其相应的正弦值之间的大小关系、向量的夹角.4.在数列{n a }中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （ ）A ．n ln 2+B ．2(1)ln n n +-C ．n n ln 2+D ．n n ln 1++ 【答案】A考点：累加法求通项公式.【方法点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.实际上，选择题特殊值法也很重要.5.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：设x=a 与f （x ）=sinx 的交点为M （a ，y 1），x=a 与g （x ）=cosx 的交点为N （a ，y 2），则|MN|=|y 1-y 2|=|sina-cosa|=2)4sin(2≤-πa .考点：三角函数的图象与性质.6.给定函数)(x f y =的图像如下列图中，经过原点和（1,1），且对任意)1,0(∈n a ,由关系式)(1n n a f a =+得到数列{n a }，满足)(*1N n a a nn ∈>+，则该函数的图像为（ ）【答案】A考点：函数的图像.7.已知三个正态分布密度函数()()222i i x i x μσϕ--=（R ∈x ,1,2,3i =）的图象如图1所示,则（ ）A ．321μμμ=<,321σσσ>=B ．321μμμ=>,321σσσ<=C ．321μμμ<=,321σσσ=<D ．321μμμ=<,321σσσ<= 【答案】D 【解析】试题分析：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴μ2＜μ1＜μ3∵σ的值越小图象越瘦长，得到σ 1最小，σ2最大，∴σ1＜σ3＜σ2，故答案为：μ2＜μ1＜μ3；σ1＜σ3＜σ 2.考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 8.设0>>b a ，则ba b a -++11的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．223+ 【答案】C考点：基本不等式的应用.【易错点睛】本题主要考查的是基本不等式，解题时一定要注意检验是否满足基本不等式的使用条件，都必须是正数，和或积是定值，同时是否能够取得等号，否则很容易出现错误．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 9.已知111()123f n n =++++（n N *∈），计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，由此推算：当2n ≥时，有（ ） A.21(2)2n f n +>（n N *∈） B.2(1)1(2)2n f n +->（n N *∈）C.21(2)2n n f +>（n N *∈）D.2(2)2n n f +>（n N *∈）【答案】D 【解析】试题分析：观察已知的等式23)2(=f ，23)4(>f 即222)2(2+=f ； 25)8(=f 即232)2(3+=f 25)16(=f 即242)2(4+=f由以上可得：2(2)2n n f +>所以答案为D. 考点：归纳推理.10.已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的( )A.32 B.12C.2D.1 【答案】D考点：简单的线性规划.11.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=1,2,1,11)(x a x x x x f 在R 上满足：对任意21x x ≠，都有)()(21x f x f ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A.]2,(-∞B.]2,(--∞C.),2[+∞D.),2[+∞- 【答案】C 【解析】试题分析：∵对任意21x x ≠，都有)()(21x f x f ≠成立，∴函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=1,2,1,11)(x a x x x x f 是R 上的单调函数，∴由x ＞1和x ≤1时，函数均为减函数，故当x=1时，112-≥+-xa x ,即-2+a ≥0， ∴a ≥2；即实数a 的取值范围是[2，+∞）．故选：C. 考点：分段函数的单调性. 12.若变量,x y 满足1ln0x y-=，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）【答案】B考点：指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________ 【答案】12π 【解析】试题分析：∵三棱锥P-ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB ≌△PAC ≌△PBC ．∵PA ⊥PB ，∴PA ⊥PC ，PB ⊥PC ．以PA 、PB 、PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC 外接球．∵长方体的对角线长为32222222=++ ∴球直径为32，半径3因此，三棱锥P-ABC 外接球的表面积是πππ12)3(4422==R ,故答案为：.12π 考点：长方体对角线公式和球的表面积计算.14.已知集合A ＝{x|x ＞5}，集合B ＝{x|x ＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值的集合是________． 【答案】{ a | a ＜5 }考点：求参数的取值范围.【方法点睛】解决充分条件和必要条件的题目方法: (1)从命题的观点：设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)从集合的观点：建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么： ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3)从等价命题观点：p 是q 的什么条件等价于q ⌝是p ⌝的什么条件．15.()f x 是定义在R 奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，2016()2016log x f x x =+，则函数()f x 的 零点的个数是________ 【答案】3考点：奇（偶）函数图象的性质应用，零点的个数. 16.下表给出了一个“三角形数阵”： 1411,24333,,48161111,,,248依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是 【答案】564【解析】试题分析：观察“三角形数阵”得出：每行的第一个数组成了首项为41，公差为41的等差数列，每行的数组成了公比为21的等比数列．所以第10行第1个数为：2541)110(41=⨯-+ 则第10行第6个数为：645)21(2516=⨯-.考点：等差等比数列的应用.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知函数()121f x m x x =---+ （Ⅰ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）4,03⎛⎫-⎪⎝⎭，（Ⅱ）4m ≥（Ⅱ）()222312y x x x =++=++，该函数在1x =-处取得最小值2,因为()31,13,1131,1x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1x =-处取得最大值2m -,所以二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图像恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥． ------------10分 考点：绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题【方法点睛】(1)利用正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去掉绝对值号，写出其等价形式，求出解集；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：1.()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，2.()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立.18.（本小题共12分）已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若m ＝（－cos 2A ，sin 2A ），n ＝（cos 2A ，sin 2A ），a ＝m ·n ＝12．（1）若△ABC 的面积S ，求b ＋c 的值． （2）求b ＋c 的取值范围．【答案】(1) b ＋c ＝4,(2) (]432，考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式.【方法点睛】(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角形中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（3））在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.19.（本小题共12分）在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，,PA AC PB BC ⊥⊥．（1）证明：AB PC ⊥；（2）若2PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）31A PB21)22(21212==⋅=∴∆a BD AD S ABD ∴312213131=⨯⨯=⋅=∆-PC S V ABD ABC P 考点：线线垂直及求三棱锥体积.【易错点睛】(1)一般证明线线垂直，通过证明线面垂直，证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理，学生易随便在找两条直线，来证垂直关系，造成错误；二是利用面面垂直的性质定理，有时候写的条件不够，造成失分；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算，高一定垂直于底面，学生容易出错.20.（本小题共12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x(单位：月)与这种鱼类的平均体重y(单位：千克)得到一组观测值，如下表：(1)在给出的坐标系中，画出关于x 、y 两个相关变量的散点图．(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归直线方程ˆˆya bx =+． (3)预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重(单位：千克)．（参考公式：1221()ni i i n i i x y b nx y xn x ==--=∑∑，ˆa y bx =-） 【答案】（1）见解析,(2) ˆˆ0.580.14yx b a x =+=-,(3) ˆ0.58120.14 6.82y =⨯-=.考点：回归分析的初步运用21.（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手， 求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率． （参考公式：))()()(()(22b d dc c a b a bc ad n K ++++-=．其中d c b a n +++=．） 【答案】（1）有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；（2）54.（2）设事件A 为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A 的结果有16种，则542016A P ==）（. 考点：回归分析的初步应用.22.（本小题共12分）已知数列中}{n a 中，111,(*)3n n n a a a n N a +==∈+ （1）求证：数列}211{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式n a （2）若数列}{n b 满足n n n n a n b ⋅⋅-=2)13(，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围．【答案】（1）132-=n n a ；（2）32<<-λ. 考点：求数列的通项公式及求参数的取值范围.【方法点睛】（1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项；(2)一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b的公比，然后做差求解.：。
河北省衡水中学高二(上)期中数学(文)试卷
2016-2017学年河北省衡水中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2B．1=2，s1＜s2C．1=2，s1=s2D．1＜2，s1＞s23．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？4．设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1 B．1或C．0或D．8．a，b∈R，命题P：a＞；命题q：直线y=ax+b与圆x2+y2=1相交，则p 是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l 的斜率为（）A．B．C．D．110．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：611．椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B 在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B．C．D．12．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若“m＞a”是“函数f（x）=（）x+m﹣的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为．14．在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于的概率是．15．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为．16．设A，B为抛物线y2=2px（p＞0）上相异两点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．18．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．19．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2（a﹣p）2﹣p2（a﹣p）2﹣p250，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在90，100）之间的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中50，60）的频率为0.008×10=0.08，由茎叶图知：分数在80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在90，100）之间的概率是．20．如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由椭圆的定义可知：|MF|=m+=4，及16=2pm，联立即可求得p的值，求得抛物线C的标准方程；（2）由题意设直线EA：x=ky﹣1，代入抛物线方程，根据△=0，求得斜率k，求得A 点坐标，同理求得B点坐标，求得直线AB的方程，即可求得直线AB是否经过焦点FF （0，2）．【解答】解：（1）抛物线C的准线方程为，∴|MF|=m+=4，由M（4，m）在椭圆上，∴16=2pm，∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，∴抛物线C的标准方程为x2=8y…（2）设EA：x=ky﹣1，联立，消去x得：k2y2﹣（2k+8）y+1=0，∵EA与C相切，∴△=（2k+8）2﹣4k2=0，解得k=﹣2，∴，求得，…设EB：x=ty﹣1，联立，消去x得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，∵EB与圆F相切，∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，即，∴，求得，…∴直线AB的斜率，可得直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）…21．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得•=0成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意设出椭圆的标准方程，并得到a，c的关系，联立求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系及判别式求得满足•=0成立的直线l：y=kx+m存在．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1，解得c=1，a=2．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）存在直线l，使得•=0成立．理由如下：由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若•=0，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，得，即，化简得，7m2=12+12k2，将代入3+4k2＞m2中，得，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，即或．∴实数m的取值范围是：（﹣∞，，+∞）．22．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点，线段FA的中点在抛物线上．设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．（1）求p的值；（2）试判断圆C与x轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点M，使得圆C恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得pD的值；（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q 的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．法二、由（2）中求出的P，Q的坐标求出PQ的中点坐标，得到以PQ为直径的圆的方程，利用方程对于任意实数k恒成立，系数为0列式求解x，y的值，从而得到顶点M 的坐标．【解答】解：（1）利用抛物线的定义得，故线段FA的中点的坐标为，代入方程y2=2px，得，解得p=1；（2）由（1）得抛物线的方程为y2=2x，从而抛物线的准线方程为，由，得方程，由直线与抛物线相切，得，且，从而，即，由，解得，∴PQ的中点C的坐标为．圆心C到x轴距离，，∵=∵k≠0，∴当时，，圆C与x轴相切，当时，，圆C与x轴相交；（3）方法一、假设平面内存在定点M满足条件，由抛物线对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），由（2）知，，，∴．由得，．∴，即或．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．证法二、由（2）知，，PQ的中点C的坐标为.．∴圆C的方程为．整理得．上式对任意k≠0均成立，当且仅当，解得．∴平面上存在定点，使得圆C恒过点M．2017年1月30日。
【全国百强校】河北省衡水中学2015-2016学年高二上学期第二次调研考试文数试题(原卷版)
河北省衡水中学2015-2016学年高二上学期第二次调研考试文数试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为22log 3+，则输出的y 的值为 （ ） A.83B.6C.12D.24开始结束2.若所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是 A.8k =? B.8?k ≥ C. 8?k < D.8k >?3.若变量,x y 满足约束条件0,4,0,x y x y y k -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且3z x y =+的最小值为8-，则k =A.3B.3-C.2D.2-4.下列函数是，最小值为2的是 A.1()f x x x =+B.1()sin ,(0,)sin 2f x x x x π=+∈C.()f x =D.()f x =+5.设不等式组4,0,10,x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A.⎡⎣B.C.D.)+∞6.若关于x 的不等式2230xa xa --<在区间[1,1]-上恒成立，则实数a 的取值范围是 A.[1,1]- B. [1,3]- C.(1,1)- D. (1,3)-7.用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是 A.1 B.2 C.3 D.48.定义12nnp p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b +++= A.111 B.910 C.1011 D.11129.执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值为否是开始结束A.10B.17C.19D.3610.执行如图所示程序框图（算法流程图），输出的结果是A.5B.6C.7D.8否是否是11.设等差数列{}n a的前n项和为n S，且满足20140S>，2015S<，对任意正整数n，都有n ka a≥，则k 的值为A.1006B.1007C.1008D.100912.已知关于x的22221421x xx m xm x x-+<+-+-对x R∈都成立，则实数m的取值范围是A.62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 62,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B.(]6,2,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D. ()6,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知数列{}n a 的前n 项和为1159131721(1)(43)n n S n +=-+-+-++-- ，则111221S S S +-的值是 .14.设a b c >>，n N ∈，且211n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是 . 15.已知,x y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若目标函数z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为 .16.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同零点，且,,2a b -这三个数适当排序后成等差数列，也可适当排列后成等比数列，则p q +的值等于 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)已知正数,x y 满足：3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y :2()()10x y a x y +-++≥恒成立，求实数a 的取值范围.18. (本小题满分12分)已知函数2()x f x ax b=+（,a b 为常数），且方程()10f x -=有两个实根为122,1x x =-=.(1)求函数()f x 解析式；(2)设1k >，解关于x 的不等式(1)().2k x kf x x+-<-19. (本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么满足上述营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？20. (本小题满分12分)已知正项数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和为n S满足2)n a n =+≥.(1)求证：为等差数列，并求数列{}na 的通项公式；(2)记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，不等式24n T a a ≤-恒成立 ，求实数a 的取值范围.21.(本小题满分12分)(1)已知,,(0,),1a b c a b c ∈+∞++=，求111y a b c=++的最小值； (2)设,0,5a b a b >+=+最大值；(3)若(,1)x ∈-∞，求函数22222x x y x -+=-的最大值22.(本小题满分12分)根据如图所示的程序框图，将输出,x y 的依次记为122008,,,x x x ，122008,,,y y y (1)求数列{}n x 的通项公式； (2)求数列{}n y 的通项公式；(3)求1122n n n z x y x y x y =+++ (*,2008)n N n ∈≤.否是开始结束高考一轮复习：。
2015-2016学年河北省衡水市景县中学高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2015-2016学年河北省衡水市景县中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（每小题5分）1．（5分）以点P（2，﹣3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2=4 B．（x+2）2+（y﹣3）2=9 C．（x﹣2）2+（y+3）2=4 D．（x﹣2）2+（y+3）2=92．（5分）“a=﹣1”是“函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分必要条件3．（5分）下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2+2x+2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x+cos2x=14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．75．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|（O为坐标原点）的值为（）A．4 B．2 C．8 D．9．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）A．2 B．C．D．10．（5分）从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人从0到1999编号，按等距系统抽样方法选取，若第一组采用抽签法抽到的号码是30，则最后一组入选的号码是（）A．1990 B．1991 C．1989 D．198811．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=012．（5分）在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．5 B．10C．15D．20二、填空题（每个5分）13．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是．14．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为．15．（5分）在区间[﹣2，2]上任取一个实数，则该数是不等式x2＜1的解的概率为．16．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=．三、解答题17．（10分）已知圆C：（x+3）2+（y﹣4）2=4．若直线l过点A（﹣1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．18．（12分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）•（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q 的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．19．（12分）已知p：∀x∈（0，+∞），x2+1≥﹣mx恒成立，q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若命题“p且q”为假，求实数m的取值范围．20．（12分）某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．21．（12分）双曲线C的方程为﹣y2=1，其渐近线为l1，l2（1）设P（x0，y0）为双曲线上一点，P到l1，l2距离分别为d1，d2，求证：d1d2为定值（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若•=，求直线l的方程．22．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．2015-2016学年河北省衡水市景县中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题5分）1．（5分）以点P（2，﹣3）为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2=4 B．（x+2）2+（y﹣3）2=9 C．（x﹣2）2+（y+3）2=4 D．（x﹣2）2+（y+3）2=9【解答】解：设圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=r2，∵圆与y轴相切，∴半径r等于圆心P到y轴的距离，即r=2因此，圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=4，故选：C．2．（5分）“a=﹣1”是“函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分必要条件【解答】解：若a=﹣1则函数f（x）=﹣x2+2x﹣1令f（x）=0则﹣（x﹣1）2=0故x=1所以当a=﹣1函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点1即a=﹣1”是“函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分条件若函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点即函数f（x）的图象与x轴只有一个交点也即f（x）=0有且只有一个实根当a=0时2x﹣1=0，得x=符合题意当a≠0时要使（x）=0有且只有一个实根则△=4+4a=0即a=﹣1∴函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点则a=0或﹣1，即函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点不是a=﹣1的充分条件故a=﹣1不是函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点的必要条件综上“a=﹣1”是“函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的充分不必要条件故选：B．3．（5分）下列命题的否定为假命题的是（）A．∃x∈R，x2+2x+2≤0B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x+cos2x=1【解答】解：∵x2+2x+2=（x+1）2+1≥1，故不存在x∈R，x2+2x+2≤0，原命题为假，其其否定为真命题；根据圆内接四边形的定义，可得任意一个四边形的四个顶点共圆为假命题，其否定为真命题；所有能被3整除的整数都是奇数，如整数6，它是偶数，故原命题为假，其否定为真命题；∀x∈R，sin2x+cos2x=1正确，所以D的否定是假命题，选D．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．5．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF 1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此椭圆的离心率为．故选：B．6．（5分）若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选：B．7．（5分）双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线=1的顶点（），渐近线方程为：y=，双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为：=．故选：B．8．（5分）如图，椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|（O为坐标原点）的值为（）A．4 B．2 C．8 D．【解答】解：∵椭圆方程为，∴椭圆的a=5，长轴2a=10，可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10．∴|MF1|+|MF2|=10∵点M到左焦点F1的距离为2，即|MF1|=2，∴|MF2|=10﹣2=8，∵△MF1F2中，N、O分别是MF1、F1F2中点∴|ON|=|MF2|=4．故选：A．9．（5分）圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是（）A．2 B．C．D．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，则所求距离最大为，故选：B．10．（5分）从2010名学生中选50人组成参观团，先用简单随机抽样方法剔除10人，再将其余2000人从0到1999编号，按等距系统抽样方法选取，若第一组采用抽签法抽到的号码是30，则最后一组入选的号码是（）A．1990 B．1991 C．1989 D．1988【解答】解：样本间隔为2000÷50=40，若第一组采用抽签法抽到的号码是30，则最后一组入选的号码是30+49×40=1990，故选：A．11．（5分）椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．3x+2y﹣12=0B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0【解答】解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，，，两式相减得，4（﹣）+9（﹣y22）=0，即4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以=﹣=﹣=﹣，即k AB=﹣，所以这弦所在直线方程为：y﹣2=﹣（x﹣3），即2x+3y﹣12=0．故选：B．12．（5分）在圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．5 B．10C．15D．20【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，则圆心坐标为（2，2），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选：B．二、填空题（每个5分）13．（5分）以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分（单位：分）若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b的值是8．【解答】解：甲运动员的中位数为19，即a=19，乙运动员的众数为b=11，则a﹣b=19﹣11=8，故答案为：8；14．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故答案为：65.5万元．15．（5分）在区间[﹣2，2]上任取一个实数，则该数是不等式x2＜1的解的概率为．【解答】解：由已知，区间[﹣2，2]长度为4，而不等式x2＜1的解是（﹣1，1），区间长度为2，由几何概型公式得到在区间[﹣2，2]上任取一个实数，则该数是不等式x2＜1的解的概率为；故答案为：．16．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=5．【解答】解：框图首先给变量a和变量i赋值，a=4，i=1．判断10=4不成立，判断10是奇数不成立，执行，i=1+1=2；判断5=4不成立，判断5是奇数成立，执行a=3×5+1=16，i=2+1=3；判断16=4不成立，判断16是奇数不成立，执行，i=3+1=4；判断8=4不成立，判断8是奇数不成立，执行，i=4+1=5；判断4=4成立，跳出循环，输出i的值为5．故答案是5．三、解答题17．（10分）已知圆C：（x+3）2+（y﹣4）2=4．若直线l过点A（﹣1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：①若直线l1的斜率不存在，直线l1：x=﹣1，符合题意．②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y=k（x+1），即kx﹣y+k=0．由题意得，，解得，∴直线l1：3x+4y+3=0．∴直线l1的方程是x=﹣1或3x+4y+3=0．18．（12分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）•（x﹣m﹣1）≤0，若¬p是¬q 的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【解答】解由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴￢p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴￢q：x＜m﹣1或x＞m+1．又￢p是￢q的充分而不必要条件，∴2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4]．19．（12分）已知p：∀x∈（0，+∞），x2+1≥﹣mx恒成立，q：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若命题“p且q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：由题意：若p为真，则有对x∈（0，+∞）恒成立；，当x=1时取“=”；∴；∴m≥﹣2；若q为真，则有m2＞2m+8＞0，即﹣4＜m＜﹣2或m＞4；由p且q为假，则p，q中至少一个为假而若p，q均为真，则m＞4；∴p且q为假，实数m的取值范围是（﹣∞，4]．20．（12分）某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛（每人被选到的可能性相同）．（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．【解答】解：（1）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．（2）事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{B，C}{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}共6种．∴事件M发生的概率为．21．（12分）双曲线C的方程为﹣y2=1，其渐近线为l1，l2（1）设P（x0，y0）为双曲线上一点，P到l1，l2距离分别为d1，d2，求证：d1d2为定值（2）斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，若•=，求直线l的方程．【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为x±2y=0，P（x0，y0）满足﹣y2=1，即，则d1d2==，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2+8mx+4（m2+1）=0，则由判别式△＞0，解得m2＞0，则，则•=x1x2+y1y2=x1x+（x1+m）（x2+m）=2x1x2+m（x1+x2）+m2=m2+，∴m2=4，解得m=±2，故直线方程为y=x+2或y=x﹣222．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意：e==，且，解得：a=2，b=1，∴椭圆E的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意得（*）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又方程（*）要有两个不等实根，m的值符合上面条件，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
河北省衡水市冀州中学高二数学上学期期中试题B卷 文
河北冀州中学2015—2016学年度上学期期中考试高二年级 文科数学 试题考试时间150分钟 试题分数120分一 选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.命题“存在实数x ,，使1x >”的否定是（ ）A ．对任意实数x , 都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x , 都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤2．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式n a 是( )A.n 2n ＋1 B. n 2n －3 C. n 2n －1 D.n2n ＋33．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶1∶3，则此三 角形的最大内角的度数是( )A ．120°B ． 60° C． 90° D ．135° 4．在等差数列{}n a 中，3738a a +=，则2468a a a a +++=（ ）A ．20B ．38C ． 64D ．765．上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 为（ ）A 0B 14C 4D 2 6．设集合{}|20A x x =->，{}2|20B x x x =->，则“x∈A”是“x∈B”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 8.已知数列{}n a 中11a =，2112a =+，31123a =++，411234a =+++，⋅⋅⋅n (3211)a n ++++=…..，则数列{}n a 的前n 项的和n s =（ ）A.21n n + B. 1n n + C. 1nn + D.221nn + 9. 在ABC ∆中，若cos a B c =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形10. 某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是110，其中正确的是( )A ．10个教职工中，必有1人当选B ．每位教职工当选的可能性是110C ．数学教研组共有50人，该组当选教工代表的人数一定是5D ．以上说法都不正确 11. 对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若λ＝，则λ＝0或＝B ．若·＝0，则＝或＝C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c12. 若函数)x (f y =是（-2，4）上的增函数，且)m 3(f )m 2(f -<，则实数m 的取值范围是（ ）A. (－1，1 )B. (－∞，1)C. ( 1，＋∞)D. (－2，3 )二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且边 a =4，c=6，则△ABC 的面积等于_____________14．若命题“0m x 2x ,R x 2≤++∈∃”是假命题，则实数m 的取值范围是________．15．递减等差数列}a {n 的前n 项和n S 满足：105S S =，欲使n S 最大，则n= . 16. 100个个体分成10组，编号后分别为第1组：00，01，02，…，09；第2组：10，11，12，…， 19；…；第10组：90，91，92，…，99．现在从第k 组中抽取其号码的个位数与()1k m +-的个位数相同的个体，其中m 是第1组随机抽取的号码的个位数，则当m=4时，从第7组中抽取的号码是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）命题p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0，其中a ＜0；命题q ：实数x 满足x 2﹣x ﹣6≤0或x 2+2x ﹣8＞0；若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分） 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0≤φ≤π2在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π时，y min ＝－3. （1）求此函数的解析式； （2）求此函数的单调递增区间．19（本小题满分12分）设各项均为正数的等比数列{n a }中，1310a a +=，3540a a +=.设2log nn b a =(1)求数列{n b }的通项公式； (2)若11c =，1nn n nb c c a +=+，求证：3n c <；20. （本小题满分12分）下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y (万元)的几组统计数据：x2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0（1）请在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；（2）请根据散点图，判断y 与x 之间是否有较强线性相关性，若有求线性回归直线方程a ˆx b ˆyˆ+=； （3）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ （参考数值：3.112y x 51i i i =∑= 80x 51i 2i =∑=）（参考公式：∑∑∑∑====--=---=n1i 22i n1i i i n1i 2i n 1i i i x n x yx n y x )x x ()y y )(x x (bˆ ；x b ˆy a ˆ-= ；）0.01频率组距21、（本小题满分12分）已知函数[]2(),3,21xf x x x =∈--+ （1）求证：()f x 在[]3,2--上是增函数； （2）求()f x 得最大值和最小值.22. （本小题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（3）从成绩是40～50分及90～100分的学生中选两人，记他们的成绩为x ，y ，求满足“ 10|y x |>-”的概率.2015—2016学年度上学期期中考试 高二文科数学答案一 选择题 A 卷DBBDB ABCCB BC B 卷CCADD BBADB AA二 填空题14．__ m>1 _. 15. 7或8 . 16. 60 三解答题17.解：x 2﹣4ax+3a 2=0对应的根为a ，3a ；由于a ＜0，则x 2﹣4ax+3a 2＜0的解集为（3a ，a ），故命题p 成立有x ∈（3a ，a ）；…3分 由x 2﹣x ﹣6≤0得x ∈[-2,3]，由x 2+2x ﹣8＞0得x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q 成立有x ∈（﹣∞，﹣4）∪[-2, +∞)……6分 若￢p 是￢q 的必要不充分条件 所以 3a ≥-2或a ≤-4,即a ≥-32或a ≤-4….10分 18. 解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π，…...2分∴T＝10π，∴ω＝2πT ＝15………..4分∴y＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋φ.∵点(π，3)在此函数图象上，∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋φ＝3. ∴π5＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.∵0≤φ≤π2，∴φ＝3π10…………..6分 ∴y＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10.(2)当－π2＋2k π≤15x ＋3π10≤π2＋2k π，即－4π＋10k π≤x ≤π＋10k π时， (9)分函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋3π10单调递增，所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10k π，π＋10k π](k ∈Z)．…………12分19解：(1)设数列{a n }的公比为q(q ＞0)，由题意有21124111040a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩， ∴12a q ==，………2分∴2nn a =， ………3分 ∴b n ＝n.………..4分(2)∵c 1＝1＜3，c n ＋1－c n ＝n2n ， …………….5分当n≥2时，c n ＝(c n －c n －1)＋(c n －1－c n －2)＋…＋(c 2－c 1)＋c 1＝1＋12＋222＋…＋n －12n －1，…7分∴12c n ＝12＋122＋223＋…＋n －12n . 相减整理得：c n ＝1＋1＋12＋…＋12n －2－n －12n －1＝3－n ＋12n －1＜3，…….11分综上所述 c n ＜3………..12分 20. 解：（1）散点图如下：….4分.（2）从散点图可知，变量y 与x 之间有较强的线性相关性。
2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列命题是真命题的有（）①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题．③“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（5分）命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q3．（5分）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xyC．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy 4．（5分）如图是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜205．（5分）如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x+yi 的实部大于虚部的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．49．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右两个焦点．若C上存在一点P，使得||•||=2a2，则C的离心率e的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞） C．（1，]D．[，+∞）10．（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜112．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．14．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1，若a是从区间[0，2]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，则此函数在[1，+∞）上递增的概率为．15．（5分）直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为．16．（5分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．18．（12分）公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2011年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．依据上述材料回答下列问题：（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率．（酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a，b，c，d表示）19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．20．（12分）没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=16，定点N（1，0），P是圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）下列命题是真命题的有（）①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题．③“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”的逆否命题．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题是，“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是，“若两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不等”，是假命题；③当k＞0时，4+4k＞0，方程x2+2x﹣k=0有实根，∴“若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实根”为真命题，其逆否命题为真命题．∴真命题有两个，故选：C．2．（5分）命题p：函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2（x2﹣2x）化为y=log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y=log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1，所以，函数t=x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y=log2t是增函数，所以，复合函数y=log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y=的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选：B．3．（5分）将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（）A．∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy B．∃x，y∈R，都有x2+y2≥2xyC．∀x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xy D．∃x＜0，y＜0，都有x2+y2≤2xy【解答】解：由于对于任意实数x，不等式x2+y2≥2xy都成立，于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题为：“∀x，y∈R，都有x2+y2≥2xy”．故选：A．4．（5分）如图是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【解答】解：由于程序的功能是求S=1+++…+的值，分母n的初值为1，终值为39，步长为2，故程序共执行20次故循环变量i的值不大于20时，应不满足条件，继续执行循环，大于20时，应满足条件，退出循环故判断框内应填的是i＞20故选：C．5．（5分）如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：根据系统抽样的定义和方法可得，抽取的学生号成等差数列{a n}，其中已知a59=293，求得公差为=5，求a1的值．由a1+（59﹣1）×5=293，解得a1=3，故在第1段抽到的数为3，故选：B．6．（5分）甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x+yi 的实部大于虚部的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子点数分别为x、y 得到复数x+yi的数是36，满足条件的事件是复数x+yi的实部大于虚部，当实部是2时，虚部是1；当实部是3时，虚部是1，2；当实部是4时，虚部是1，2，3；当实部是5时，虚部是1，2，3，4；当实部是6时，虚部是1，2，3，4，5；共有15种结果，∴实部大于虚部的概率是：=，故选：B．7．（5分）在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，则方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则4﹣m＞m＞0，∴0＜m＜2，∴区间的长度为2，∵在区间[﹣1，5]上随机取一个实数m，区间长度为6，∴方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率为=．故选：A．8．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．9．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1的左、右两个焦点．若C上存在一点P，使得||•||=2a2，则C的离心率e的取值范围是（）A．（1，]B．[，+∞） C．（1，]D．[，+∞）【解答】解：∵||•||≥（a+c）（c﹣a）=c2﹣a2，∴若C上存在一点P，使得||•||=2a2，则2a2≥c2﹣a2，即c2≤3a2，即e2≤3，则e，∵e＞1，∴1＜e，故选：C．10．（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d 1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选：D．11．（5分）过点C（4，0）的直线与双曲线﹣=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（）A．|k|≥1 B．|k|＞C．|k|≤D．|k|＜1【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x﹣4），由消去y，得（3﹣k2）x2+8k2x﹣16k2﹣12=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，∴，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞．故选：B．12．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为，故选：D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．【解答】解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要14．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣bx+1，若a是从区间[0，2]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，则此函数在[1，+∞）上递增的概率为．【解答】解：函数f（x）在[1，+∞）上递增，由二次函数的单调性可知﹣≤1，即2a≥b．由题意得，画出图示得阴影部分面积．∴概率为P==．故答案为：15．（5分）直线y=x+3与曲线=1的公共点个数为3．【解答】解：当x≥0时，曲线=1的方程为当x＜0时，曲线=1的方程为，∴曲线=1的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故答案为316．（5分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣} ．【解答】解：曲线即x2+y2=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得b=（舍去），或b=﹣，数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为￢p是￢q的必要而不充分条件，其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件；…（5分）（2）∵|4x﹣3|≤1，∴．解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．∴[，1]⊊[a，a+1]．∴a≤且a+1≥1，得0≤a≤．∴实数a的取值范围是：[0，]．…（10分）18．（12分）公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于2011年4月1日起正式施行．酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q＜80时，为酒后驾车；当Q≥80时，为醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）．依据上述材料回答下列问题：（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率．（酒后驾车的人用大写字母如A，B，C，D表示，醉酒驾车的人用小写字母如a，b，c，d表示）【解答】解：（Ⅰ）检查的总数为200，由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，则违法驾车发生的频率为；酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为．（Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A、B、C、D；醉酒驾车的2人分别为a、b，则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）；共有15个．设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E，则事件E含有9个结果：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）．则．19．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．（Ⅱ）平均分为：．（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：0.25×60=15人；[90，100]分数段的人数为：0.05×60=3人；∵用分层抽样的方法在80（分）以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于9（0分）”为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．事件A包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种．∴恰有1人的分数不低于9（0分）的概率为．20．（12分）没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由题意得，解得，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线l的方程为，与椭圆的方程联立，消去y得到x2﹣3x﹣8=0，∵x1+x2=3，∴线段AB的中点的横坐标为．∴线段AB的中点的纵坐标为=．∴线段AB的中点的坐标为．21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=16，定点N（1，0），P是圆M上任意一点，线段PN的垂直平分线l交PM于点Q，点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】（1）解：∵圆M方程为：（x+1）2+y2=16，∴点M（﹣1，0），半径R=4，∵线段PN的中垂线与线段PM相交于点Q，∴QN=QP，∴QM+QN=QM+QP=PM，∵点P是圆M上的动点，∴PM长为圆M的半径4，∴动点Q满足QM+QN=4，即点Q的轨迹C是以M、N为焦点，2a=4的椭圆，∴a2=4，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴曲线C的方程为：；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），易知椭圆C的右顶点为D（2，0），联立，消去y整理得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，且△=3+4k2﹣m2，而AD⊥BD，即•=0，∴，∴（1+k2）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，整理得：7m2+16mk+4k2=0，解得：m1=﹣2k，m2=﹣，且均满足3+4k2﹣m2＞0，当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当m2=﹣时，l的方程为，直线过定点；∴直线l过定点，定点坐标为．22．（12分）如图，F为抛物线y2=2px的焦点，A（4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，且|PA|+|PF|的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）如果过F的直线l交抛物线于M、N两点，且|MN|≥32，求直线l的倾斜角的取值范围．【解答】解：（1）设P点到抛物线的准线x=﹣的距离为d，由抛物线的定义知d=|PF|，∴（|PA|+|PF|）min=（|PA|+d）min=+4，∴+4=8⇒p=8，∴抛物线的方程为y2=16x．…（6分）（2）由（1）得F（4，0），设直线l的方程为y=k（x﹣4），显然k≠0．设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线方程代入抛物线，得k2x2﹣（8k2+16）x+16k2=0，x1+x2=，x1•x2=16，∴|MN|=×=×=×=×16=≥32，∴k2≤1，即﹣1≤k≤1，∴直线l斜率的取值范围为[﹣1，0）∪（0，1]，∴直线l倾斜角的取值范围为：（0，]∪[，π）…（13分）。
2015-2016年河北省衡水二中高二上学期期中数学试卷及答案(文科)
2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）复数z满足•（1+2i）=4+3i，则z等于（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）若A={x||x﹣|＜1}，B={x|≥1}，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A ∩B}，则A×B=（）A．∪ B．∪ C．D．（0，1] 3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn5．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．26．（5分）给定函数y=f（x）的图象如下列图中，经过原点和（1，1），且对任意a n∈（0，1），由关系式a n=f（a n）得到数列{a n}，满足a n+1＞a n（n∈N*），+1则该函数的图象为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ38．（5分）设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+29．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）10．（5分）已知实数变量xy满足，且目标函数z=3x﹣y的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．111．（5分）已知函数f（x）=在R上满足：对任意x1≠x2，都有f （x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）12．（5分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．14．（5分）已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是．15．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2016x+log2016x，则函数f（x）的零点的个数是．16．（5分）下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．18．（12分）已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC．（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P﹣ABC的体积．20．（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）21．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．2015-2016学年河北省衡水二中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）复数z满足•（1+2i）=4+3i，则z等于（）A．2﹣i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：∵•（1+2i）=4+3i，∴===2﹣i，∴z=2+i．故选：B．2．（5分）若A={x||x﹣|＜1}，B={x|≥1}，定义A×B={x|x∈A∪B且x∉A ∩B}，则A×B=（）A．∪ B．∪ C．D．（0，1]【解答】解：∵A={x||x﹣|＜1}，B={x|≥1}，∴，B={x|0＜x≤1}，∴A∩B={x|0＜x≤1}，，∴故选：B．3．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”B．若命题，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件D．若向量，满足•＜0，则与的夹角为钝角【解答】解：A．依据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，可知：命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”．可判断出A正确．B．依据命题的否定法则：“命题：∃x0∈R，﹣x0+1≤0”的否定应是“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，故B是真命题．C．由于，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0，∴，又0＜B＜A＜π，∴0＜A﹣B＜π，∴，∴．据以上可知：在△ABC中，sinA＞sinB⇔＞0⇔A＞B．故在△ABC中，sinA ＞sinB是A＞B的充要条件．因此C正确．D．由向量，∴，∴的夹角，∴向量与的夹角不一定是钝角，亦可以为平角π，∴可以判断出D是错误的．故选：D．4．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【解答】解：∵，，…∴=故选：A．5．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选：B．6．（5分）给定函数y=f（x）的图象如下列图中，经过原点和（1，1），且对任=f（a n）得到数列{a n}，满足a n+1＞a n（n∈N*），意a n∈（0，1），由关系式a n+1则该函数的图象为（）A．B．C．D．=f（a n）＞a n知f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1结合图象可得只有A符合．故选：A．7．（5分）已知三个正态分布密度函数（x∈R，i=1，2，3）的图象如图所示，则（）A．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＞σ3B．μ1＞μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3C．μ1=μ2＜μ3，σ1＜σ2=σ3D．μ1＜μ2=μ3，σ1=σ2＜σ3【解答】解：∵正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A，D两个答案中选一个，∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，故选：D．8．（5分）设a＞b＞0，则a++的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．3+2【解答】解：解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a++=（a﹣b）+++b≥4=4当且即当（a﹣b）===b即a=2且b=1时取等号，∴a++的最小值为：4故选：C．9．（5分）已知f（n）=1+++…+（n∈N*），计算得f（2）=，f（4）＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞，由此推算：当n≥2时，有（）A．f（2n）＞（n∈N*）B．f（2n）＞（n∈N*）C．f（2n）＞（n∈N*）D．f（2n）＞（n∈N*）【解答】解：观察已知的等式：f（2）=，f（4）＞2，即f（22）＞f（8）＞，即f（23）＞，f（16）＞3，即f（24）＞，…，归纳可得：f（2n）＞，n∈N*）故选：D．10．（5分）已知实数变量xy满足，且目标函数z=3x﹣y的最大值为4，则实数m的值为（）A．B．C．2 D．1【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=3x﹣y得y=3x﹣z，显然直线y=3x﹣z过A点时，z取得最大值4，∴z==4，解得：m=1，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=在R上满足：对任意x1≠x2，都有f （x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，﹣2]C．[2，+∞）D．[﹣2，+∞）【解答】解：∵对任意x1，x2∈R，当x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2）成立，∴函数f（x）=是R上的单调函数，∴由x＞1和x≤1时，函数均为减函数，故当x=1时，﹣2x+a≥﹣1，即﹣2+a≥0，∴a≥2；即实数a的取值范围是[2，+∞）．故选：C．12．（5分）若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B． C．D．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，即ln=|x|，即﹣lny=|x|，即lny=﹣|x|，即y=，显然函数的定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为12π．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，∴△PAB≌△PAC≌△PBC．∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PB⊥PC．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图：则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π．故答案为：12π．14．（5分）已知集合A={x|x＞5}，集合B={x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是{ a|a＜5 } ．【解答】解：∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A⊊B，∴a＜5．因此实数a的取值的集合是{ a|a＜5 }．故答案为：{ a|a＜5 }．15．（5分）f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2016x+log2016x，则函数f（x）的零点的个数是3．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；∵f（x）=2016x+log2016x在（0，+∞）上连续单调递增，且f（）＜0，f（1）=2016＞0；故f（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，∴函数f（x）的零点的个数是3；故答案为：3．16．（5分）下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．【解答】解：观察“三角形数阵”得出：每行的第一个数组成了首项为，公差为的等差数列，每行的数组成了公比为的等比数列．所以第10行第1个数为：+（10﹣1）×=，则第10行第6个数为：×（）6﹣1=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣|x+1|．（1）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m=5时，，…（3分）由f（x）＞2得不等式的解集为．…（5分）（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为，在x=﹣1处取得最大值m﹣2，…（8分）所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，即m≥4．…（10分）18．（12分）已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若=（﹣cos，sin），=（cos，sin），a=2，且•=．（1）若△ABC的面积S=，求b+c的值．（2）求b+c的取值范围．【解答】解：（1）∵=（﹣cos，sin），=（cos，sin），且=（﹣cos，sin）•（cos，sin）=﹣cos2+sin2=﹣cosA=，即﹣cosA=，又A∈（0，π），∴A=…．（3分）又由S△ABC=bcsinA=，所以bc=4．由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•c os=b2+c2+bc，∴16=（b+c）2，故b+c=4．…（7分）（2）由正弦定理得：====4，又B+C=π﹣A=，∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（﹣B）=4sin（B+），∵0＜B＜，则＜B+＜，则＜sin（B+）≤1，即b+c的取值范围是（2，4]．…（12分）19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是等边三角形，PA⊥AC，PB⊥BC．（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：在Rt△PAC和Rt△PBC中取AB中点M，连结PM，CM，则AB⊥PM，AB⊥MC，∴AB⊥平面PMC，而PC⊂平面PMC，∴AB⊥PC…（6分）（2）在平面PAC内作AD⊥PC，垂足为D，连结BD∵平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBC，∴AD⊥BD，又Rt△PAC≌RtPBC，∴AD=BD，∴△ABD为等腰直角三角形…（9分）设AB=PA=PB=a，则在Rt△PAC中：由PA•AC=PC•AD，得，解得…（11分）∴，∴．…（13分）20．（12分）某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）（参考公式：=，=﹣）【解答】解：（1）散点图如图所示…（3分）（2）由题设=3，=1.6，…（4分）∴===0.58，a=﹣=﹣0.14…（9分）故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…（10分）（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…（11分）饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…（12分）21．（12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表，…（3分）根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2==3∵3＞2.706…（5分）∴有1﹣0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．…（6分）（2）按照分层抽样方法可知：20～30（岁）抽取：6×=2（人）；30～40（岁）抽取：6×=4（人）…（7分）在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30（岁）有2人，年龄在30～40（岁）有4人．…（8分）年龄在20～30（岁）记为（A，B）；年龄在30～40（岁）记为（a，b，c，d），则从6名选手中任取3名的所有情况为：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d）、（a，b，c）、（a，b，d）、（a，c，d）、（b，c，d），共20种情况，…（9分）其中至少有一人年龄在20～30岁情况有：（A，B，a）、（A，B，b）、（A，B，c）、（A，B，d）、（A，a，b）、（A，a，c）、（A，a，d）、（A，b，c）、（A，b，d）、（A，c，d）、（B，a，b）、（B，a，c）、（B，a，d）、（B，b，c）、（B，b，d）、（B，c，d），共16种情况．…（10分）记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P（A）==…（11分）∴至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）求证：{}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）•a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）…（2分）（2）由得即…（4分）又所以是以为首项，3为公比的等比数列．…（6分）所以即…（8分）（3）…（9分）=两式相减得，∴…（11分）∴若n为偶数，则若n为奇数，则，∴﹣2＜λ＜3…（14分）。
必修1.1 集合与函数的概念(第03期)-2015-2016学年高一高二数学(文)百所名校好题速
第01章 集合与函数的概念一、选择题：1. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】集合},1|y {},,3|{22R x x y B R x x y x A ∈-==∈-==,则=⋂B A ( ),1)} B.φ C.{z|-1≤z } D.{z|0≤z } 【答案】C考点：交集运算。
2. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】若函数f(x)的定义域是 [0，4]，则函数g(x)＝f （2x ）x的定义域是( )A.[]0,2B.(0，2)C.[0，2)D.(0，2] 【答案】D 【解析】试题分析：要使函数有意义，依题意需有⎩⎨⎧≤≤≠4200x x 解得，20≤<x 。
所以选D 。
考点：求函数定义域。
3. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】下列四组函数中，表示同一函数的是( )A.y ＝x －1与y ＝（x －1）2B.y ＝x －1与y ＝x －1x －1C.y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D.y ＝lg x －2与y ＝lg x 100【答案】D 【解析】试题分析：y ＝（x －1）21-=x ,所以选项A 中函数解析式不一样，故不是同一函数；选项B 中两函数的解析式实质一样，定义域不一样；当x>0时选项C 中的解析式一样，显然两函数不是同一函数；选项D 中的函数定义域和解析式均一样，所以表示同一函数。
故选D 。
考点：函数的三要素。
4. 【河北省保定市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次段考】设函数)(x f 是定义在上的奇函数，并且)()2(x f x f -=+当1x 0≤≤时，有5.0)(=x f ，则)5.3(f 等于（ ） A. 0.5 B. -0.5 C. 1 D. -1 【答案】B考点：函数奇偶性、周期性的应用。
5. 【西藏日喀则地区第一高级中学2015-2016学年高二10月月考】已知集合{}24,R x x x A =≤∈，}4,x B =≤∈Z ，则A B =（ ）A ．()0,2B ．{}0,1,2C ．[]0,2D ．{}0,2 【答案】B 【解析】试题分析：解得，{}2A ≤≤-=x x 2，{}z x x x ∈≤≤=,B 160，所以A B ={}0,1,2。