2.2 等差数列的性质
21-22版：§2.2 第2课时 等差数列的性质（步步高）
[素养提升] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量 (a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是 通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计 算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能 巧则巧，但不要刻意追求巧法.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，则a2＋a4＋
a6等于
√ A.20 B.24
C.26
D.28
解析 ∵等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30， 设公差为d，两式相减可得6d＝30－18＝12，∴d＝2. 则a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5＋3d＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75等于
√A.24
B.28
C.32
D.36
解析 ∵d＝a6600－ －1a515＝4152＝145， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.12
B.24
C.16
D.32
解析 令 bn＝ann，由题意可知 b3＝a33＝23，b15＝a1155＝2， 则等差数列{bn}的公差 d＝b1155－－b33＝19， 则 b9＝b3＋(9－3)d＝43，所以 a9＝9b9＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质
∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1.
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8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
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解：设这四个数依次为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题设知
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
解析：经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2
＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝
39－6＝33.
答案：D
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[例 2]
b＋c a＋c a＋b 1 1 1 已知a，b，c成等差数列，求证： a ， b ， c
也成等差数列． [思路点拨] 欲证三个数成等差数列，只需证中间一项是另
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[一点通]
a＋c 三数 a， c 成等差数列的条件是 b＝ 2 b，
(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中 项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
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4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，(a＋1)2，a＋3，则
该数列的通项公式是
am－an (2)等差数列{an}中，公差 d＝ (m，n∈N*)． m－n
返回
(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成 的数列仍成等差数列． (5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的
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[例3]
(12分)四个数成递增等差数列，中间两数的
和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] 四个数成等差数列，且中间两数的和
高中数学 2.2等差数列的性质导学案 新人教A版必修5
2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
等差数列的性质(52张PPT)课件
第二章 2.2 第2课时
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[点评] 本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应 注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练 1 (1)设{an}为等差数列，若 a3＋a4＋a5＋a6 ＋a7＝450，求 a2＋a8；
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第二章 2.2 第2课时
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课堂 互 动 探 究
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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第二章 2.2 第2课时
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典例导悟
类型一 等差数列的性质及应用 [例 1] 已知等差数列{an}， (1)若 a2＋a3＋a25＋a26＝48，求 a14； (2)若 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差 d.
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第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝a55－－a22＝3； 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝a55－－a22＝－3. ∴公差 d 为 3 或－3.
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(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求 3a9 －a13 的值．
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第二章 2.2 第2课时
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解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. (2)由a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
2.2.2等差数列的性质
[小组合作型]
灵活设元解等差数列
已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的积为 40，求 这四个数．
【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？ (2)等差数列相邻四项和为 26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？
【自主解答】
法一
设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题意，得 a＝2， b＝5， 解得 c＝8， d＝11 a＝11， b＝8， 或 c＝5， d＝2，
【答案 ③④
2．在等差数列{an}中，若 a5＝6，a8＝15，则 a14＝
.
【解析】 ∵数列{an}是等差数列， ∴a5，a8，a11，a14 也成等差数列且公差为 9， ∴a14＝6＋9×3＝33.
【答案】 33
3． 在等差数列 {an}中， 已知 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 则 a2＋a8＝
2．等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 m＋n＝p＋q， 则 am＋an＝ ap＋aq .
①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和 ， 即 a1＋an＝a2＋an－1＝„＝ak＋an－k＋1＝„.
第 2 课时
等差数列的性质
1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.重点、易错点 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.难点
[基础· 初探]
教材整理
等差数列的性质
阅读教材 P39 探究及练习第 4,5 题，完成下列问题． 1．等差数列的图象 等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 当 d＝0 时， an 是一固定常数； 当 d≠0 时，an 相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以 d 为斜率的直线上，是这条 直线上的一列孤立的点．
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
高考数学必修五 第二章 2.2 第2课时等差数列的性质
第2课时等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.知识点一等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.知识点二由等差数列衍生的新数列思考若{a n}是公差为d的等差数列，那么{a n＋a n＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案∵(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝d＋d＝2d.∴{a n＋a n＋2}是公差为2d的等差数列.梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.(√)2.等差数列{a n }中，若l ，m ，n ，p ，q ，r ∈N *，且l ＋m ＋n ＝p ＋q ＋r ，则a l ＋a m ＋a n ＝a p ＋a q ＋a r .(√)3.等差数列{a n }中，若m ＋n 为偶数，且m ，n ∈N *，则a m ＋a n2＝2m n a +.(√)类型一 等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.跟踪训练1 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A.0B.3C.8D.11考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1 ＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.类型二 等差数列与一次函数的关系例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)， 求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ] ＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p .它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列. 由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ， 所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .反思与感悟 根据等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知{a n }为等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)，此结论可用来判断{a n }是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 跟踪训练2 若数列{a n }满足a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 23解析 由3a n ＋1＝3a n －2，得a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，∴{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－23n ＋473.令a n ＝0，解得n ＝472＝23.5，∵d ＝－23，数列{a n }是递减数列，∴a 23>0，a 24<0，∴k ＝23. 类型三 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 方法一 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 所以a 4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?解设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q ＋a r ＋a s ＝3a 1＋(q ＋r ＋s －3)d ， ∵m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ， ∴a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s .2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 ∵a 3＋a 8＝10，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7， ∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝a 5＋a 5＋a 5＋a 7， 即3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 方法一 ∵(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d ， (a 3＋a 6＋a 9)－(a 2＋a 5＋a 8)＝3d ，∴a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列. ∴a 3＋a 6＋a 9＝2(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7) ＝2×33－39＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39， ∴a 1＋3d ＝13，①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4 D.－3考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ， 所以d ＝－20－105＝－6.2.在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A.32 B.－32 C.35 D.－35 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 C解析 由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ＝14－2＝12，得d ＝3， 所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3.等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.3 B.－3 C.32D.－32考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 A解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7， 所以a 2＝15－12＝3. 4.下列说法中正确的是( )A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ,2b ,2c 成等差数列考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列 答案 C5.在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( ) A.a n ＝34n －234B.a n ＝－5－32(n －1)C.a n ＝－5－34(n －1)D.a n ＝54n 2－3n考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 A1.在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.2.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.一、选择题1.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 B解析 由等差数列的性质，得 a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2.设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A.－182 B.－78 C.－148 D.－82 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82.3.下面是关于公差是d (d ＞0)的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3D.p 1，p 4考点 等差数列的性质 题点 两个等差数列的性质问题 答案 D解析 对于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，则p 1正确； 对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关. 故数列{na n }不一定递增，则p 2不正确； 对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确； 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.高中数学 高考数学∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确. 综上，正确的命题为p 1，p 4.4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5.若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.6.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.7.已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B.±3 C.－33D.－ 3 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 D高中数学 高考数学解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 8.若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于( )A.1B.34C.12D.38考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12 二、填空题9.设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝5(25－d 2)＝80， 又d 为正数，∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105.10.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列对称设项问题 答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴这三个数的积为－21.11.在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为________.考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题答案 0解析 方法一 设等差数列的公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1， 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0. 方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n . 所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0.三、解答题12.已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 (1)因为a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24，所以a 3＝6，a 4＝8，则公差d ＝2，所以a 20＝a 3＋17d ＝40.(2)由(1)得a n ＝a 3＋(n －3)d ＝6＋(n －3)×2＝2n ，所以b n ＝32×2n －412＝3n －412.由b n >0，即3n －412>0，得n >416，所以数列{b n }从第7项开始大于0. 13.看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一.请用所学数学知识对此给出简要的说明.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题解 由题意，在等差数列中，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .因为12＝4＋202＝5＋192＝6＋182＝11＋132， 所以12＝(4＋20)＋(5＋19)＋(6＋18)＋(11＋13)8. 四、探究与拓展14.若等差数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3，则{a n }的通项公式为__________________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝2n －52解析 由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝4.∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2.∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，∴a 1＝－12. ∴a n ＝2n －52. 15.正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .(1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .考点 等差数列的判定题点 证明数列是等差数列解 (1)数列{a n }是等差数列.∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n＋1－a n＝1，∴{a n}是等差数列，公差为1.(2)由(1)知{a n}是等差数列，且d＝1，∴a n＝a1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴a n＝n2.。
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的通项公式．
解：
an1
an 2an 1
数列 1 anLeabharlann 是首项为 1 a1
1，公差为2的等差数列
1 2an 1
an1
an
整理得： 1 1 2 an1 an
1 1 2(n 1) 2n 1 an
an
1 2n 1
数列的前n项和 我们把 a1 a2 an 称作数列的前n 项和，通常记为Sn a1 a2 an
知识点一 等差数列通项公式的推广
思考 1 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项 an＝a1＋(n－1)d，如果已知第 m 项 am 和公差 d，又如何表示通项 an?
解 an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d
两式相减得：an am (n m)d
即an am (n m)d
必修5 第二章 数列
§2.2 等差数列(二)
累加法与累乘法
（1）递推公式形如 an1 an f (n) ，可用累加法求通项公式 （2）递推公式形如 an1 f (n) ，可用累乘法求通项公式
an
等差数列的概念
等差数列： 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示，可 正可负可为零．
法二： a3 a4 a5 a6 a7 450
(a3 a7 ) (a4 a6 ) a5 450 5a5 450 a5 90
a2 a8 2a5 180
跟踪训练 2 等差数列an 中，a1 a4 a7 39, a2 a5 a8 33,则a3 a6 a9
3n2 2n (3n2 8n 5) 6n 5 an 6n 5(n 2) a1 1也满足an 6n 5
an 6n 5
（2） Sn 3n 1
解：由题得 a1 S1 4 当n 2时 Sn1 3n1 1
an Sn Sn（1 n 2）
3n 1 (3n1 1) 3n 3n1 3 3n1 3n1 2 3n1 an 2 3n（1 n 2） a1 4不满足an 2 3n1
知识点三 由等差数列衍生的新数列
知识点四 等差数列的判定方法
1.定义法：an1 an 常数（n N * ） an 为等差数列；
2.中项公式法：2an1 an an2 （n N * ） an 为等差数列；
3 通项公式法：an kn b （n N * ） an 为等差数列.
例 3 已知数列an 中，a1 1 ， an1 an an1 an ，则数列通项an ___________．
a3 a4 a2 a5
猜想：在等差数列中若 m n p q，则有am an ap aq
知识点二 等差数列的性质
猜想：在等差数列中若 m n p q，则有am an ap aq
证明： an a1 (n 1)d ，am a1 (m 1)d
am an 2a1 (m n 2)d 同理：ap aq 2a1 ( p q 2)d
解： an1an an1 an (两边同除： an1an )
1 1 1 1 1 1
an an1
an1 an
数列
1 an
是首项为
1 a1
1，公差为1的等差数列
1 1 (n 1) (1) n an
an
1 n
跟踪训练3
在数列an 中，满足a1
1 ， an1
an 2an
1
，试求数列an
）
A.45
B.75
C. 180
D.300
法一： a3 a4 a5 a6 a7 450 (a1 2d) (a1 3d) (a1 4d) (a1 5d) (a1 6d) 450
5a1 20d 450 a1 4d 90
a2 a8 2a1 8d 2(a1 4d ) 180
a3 9，a7 17
d a7 a3 2 73
an a3 (n 3)d 2n 3
知识点三 由等差数列衍生的新数列
思考：将等差数列的奇 数项排列成数列 a1，a3，a5，a7， ，此数列是等差数列吗 ？
思考 若{an}是公差为 d 的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
an 2n 11
(2)－1,11,23,35，…； an 12n 13
(3)8,5,2，…；
an 3n 11
(4)－5，－9，－13，…；an 4n 1
(5)a，a，a，a，a，…. an a
等差数列通项公式： an kn b，其中k为此数列的公差
跟踪训练 数列{an}的通项公式 an＝2n＋5，则此数列( ) A．是公差为 2 的等差数列 B．是公差为 5 的等差数列 C．是首项为 5 的等差数列 D．是公差为 n 的等差数列
a1 2不满足an 2n 1 2 ，n 1
an 2n 1 ，n 2
数列的前n项和
思考：已知数列 an的前n项积为Tn
n2，则 a6 a5
__________
Tn a1 a2 a3 an1 an
Tn1 a1 a2 a3 an1
an
Tn（n Tn1
2）
谢谢！
例 1 在等差数列{an}中，已知 a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
法一： a2 5，a8 17
aa11
d 5 7d 17
da1
3 2
d 2 an 3 2(n 1) 2n 1
法二： a2 5，a8 17 d a8 a2 2 82 an a2 (n 2)d
4 ，n 1 an 2 3n1 ，n 2
数列的前n项和
2 ，n 1
【练习】已知数列an 的前n 项和为 Sn n2 1，则an __2_n___1__，___n____2
a1 11 2
n 2时，an Sn Sn1
n2 1 (n 1)2 1
2n 1
an 2n 1(n 2)
法一： a3a7 153，a2 a8 26
法二： a2 a8 26
(a1 2a1
2d )(a1 8d 26
6d
)
153
a3 a7 26 又 a3a7 153
a3与a7为方程x2 26 x 153 0的两根
由（x 9）(x 17) 0 解得：x 9或x 17
d 0 a3 a7
mn pq am an ap aq
知识点二 等差数列的性质 梳理 在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
特别地，若 m＋n＝2p，则 an＋am＝2ap.
例 2 在等差数列an 中,若a3 a4 a5 a6 a7 450 ，则a2 a8 （
5 2(n 2) 2n 1
d 2 an 2n 1
跟踪训练 1 一个等差数列中a15 = 33， a25 = 66，则a35 =_____．
知识点二 等差数列的性质
思考 用a1 和 d 表示下列两组值a3 a4 ，a2 a5 ，你有怎样的猜想？
a3 a4 a1 2d a1 3d 2a1 5d a2 a5 a1 d a1 4d 2a1 5d
（） A．30
B．27
C．24
D．21
a1 a4 a7 39 3a4 39 a4 13
a2 a5 a8 33 3a5 33 a5 11
a3 a6 a9 3a6
【思考】已知等差数列{ an }中，d＞0，a3a7 =153 ，a2 a8 =26，求数列{an }的通项公式．
S1
常用公式： an
，n 1
Sn Sn1 ，n 2
数列的前n项和
【例】已知下列各数列an 的前n 项和为 Sn ，求数列an 的通项公式.
（1） Sn 3n2 2n ；
解：由题得 a1 S1 1 当n 2时 Sn1 3(n 1)2 2(n 1) 3n2 8n 5 an Sn Sn（1 n 2）
等差数列递推公式： an1 an d
梳理 如果三个数 a，A，b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项，且 A＝a＋b. 2
首项为a1，公差为d的等差数列的通项公式 为：__a_n___a_1 __(_n__1_)_d____
例 写出下列等差数列的通项公式
(1)9,7,5,3，…；