数列单元设计
“课程思政”视域下中职数学教学设计研究以数列单元教学为例
基本内容
随着社会的不断发展，教育事业也在日新月异地进步。在这个背景下，初中 数学教学设计面临着新的挑战和机遇。本次演示将探讨在“课程思政”视域下， 如何进行初中数学教学设计，以更好地满足新时代教育需求。
初中数学教学设计在教学目标、教学内容和教学形式等方面存在着不足之处。 例如，教学目标往往局限于知识传授和技能培养，而忽视了学生的情感态度和价 值观的塑造；教学内容相对单一，缺乏与实际生活的和跨学科整合；教学形式和 流程也显得单调乏味，难以激发学生的学习兴趣和积极性。
在“课程思政”视域下，初中数学教学设计需要转变观念，从培养学生的全 面素质出发，注重价值引领和实践能力的培养。具体来说，可以从以下几个方面 进行实现：
首先，初中数学教学目标的设计应该学生的全面发展，除了知识传授和技能 培养之外，还应学生的情感态度和价值观的塑造。例如，可以融入社会主义核心 价值观的相关内容，让学生在数学学习中潜移默化地接受正确的价值观念。
数列单元教学在中职数学教育中具有重要意义。数列是数学中的一个重要概 念，它涉及到的知识点包括等差数列等比数列等，具有较强的规律性和实用性。 通过数列单元教学，可以帮助学生掌握基本的数列知识和技能，培养学生的逻辑 思维和数学应用能力。
在数列单元教学中，学生需要掌握数列的通项公式、前n项和公式等基本知 识点，并能够运用这些知识点解决实际问题。同时，数列单元教学还能够培养学 生的观察能力、归纳能力和数学建模能力。然而，对于一些学生来说，数列单元 教学可能存在一定的难度，需要教师采取有效的教学策略进行引导和帮助。
通过对个案的研究，我们发现“课程思政”视域下的初中数学教学设计能够 有效地提高学生的学习兴趣和积极性。在函数教学中，教师通过融入思想政治教 育的元素，引导学生运用函数思维解决实际问题，从而培养学生的数学思维和思 想政治素质。此外，这种教学设计还能帮助学生树立正确的人生观和价值观，提 高他们的思想觉悟和道德水平。
数列的概念教学设计
环节一数列的概念引入新课问题1：德国的天文学家提丢斯于1766年研究了一列数：3，6，12，24，48，96，192，…这列数的后一个数字恰好是前一个数字的两倍. 提丢斯发现：如果将0加在这列数字的最前面，再将每个数字加4除以10，就得到了如下的数列：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6，…这个数列能够反映太阳系诸行星与太阳的平均距离.如果你是天文学家，通过这列数，你有什么大胆的猜测？答案：猜测距离太阳19.6个天文单位和2.8个天文单位的地方也分别有两个天体. 果然，天文学家后来在这两个位置分别发现了天王星和谷神星. 由此可见数列在科学研究中的重要作用.课堂探究问题2：如何研究“数列”这一新的概念？答案：数列是一种特殊的函数，类比函数，可按照“事实——下定义——表示方法——性质——特殊元素”的路径研究数列.问题3：如何给“数列”下定义？答案：类比给函数下定义的思路，归纳几个具体的例子所满足的共同特征，通过“事实—概念（定义、表示）”的数学抽象过程，给数列下定义.现象1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.现象2：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.现象3：21-的n 次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：21-，41，81-，161，….它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？答案：记王芳第i 岁时的身高为h i ，i =1的时候，就表示1岁时的身高h 1，也就是75.同理，h 2＝87，h 3=96，h 17＝168．h i 中的i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h 1＝75是排在第１位的数，h 2＝87是排在第２位的数……h 17＝168是排在第17位的数. 如果它们之间交换位置，那么表示的意义就不一样了．所以，这是具有确定顺序的一列数.答案：记第i 天月亮可见部分的数为s i ，那么s 1＝5，s 2＝10，…，s 15＝240．这里，s i 中的i 反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置. s 1＝5是排在第1位的数，s 2＝10是排在第2位的数……s 15＝240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置．所以，这也是具有确定顺序的一列数.答案：记n =i 时，21-的n 次幂为t i ，那么t 1＝21-，t 2＝41，…．这里，t 1＝21-是排在第1位的数，t 2＝41是排在第2位的数……，它们之间不能交换位置．所以，这也是具有确定顺序的一列数.追问1：上述3个现象的共同特征是什么？答案：从构成上来看，都是一列数，并且数字之间不能交换位置，所以这列数具有确定的顺序.问题4：数列的定义是什么？答案：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.追问1：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？答案：不是同一个数列. 根据数列的概念，数列中的数是有先后顺序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的顺序不同，就是两个不同的数列.追问2：1，1，1，1，1…是不是一个数列？答案：是一个数列. 数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现．问题5：如何用一般的符号来表示数列？答案：可用正整数表示数列确定的顺序，即用1a ，2a ，···，n a ，…分别表示数列的第1项（或称为首项）、第2项、…，第n 项，…. 数列的一般形式可以写成1a ，2a ，···，n a ，···，简记为{}n a ．追问：在数列中，符号{}n a 与n a 所表示的意义是否相同？答案：不同. n a 仅表示数列中的第n 项这一个数值．而{}n a 表示一个数列，通常要在其前面写上“数列”这两个字，即“数列{}n a ”.问题6：对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？答案：回顾第一个例子，一共有17项，第二个例子有15项，这都是含有有限项的数列.而第三个数列就不同了，它有无穷多个项. 因此，可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列）；无穷数列（项数无限的数列）．问题7：数列{}n a 中的各项k a 与各项序号k （k ＝1，2，3，···，n ，···）之间的对应关系是什么关系？答案：数列各项与序号一一对应：对于每一个正整数n ，都有唯一的数n a 与之对应，所以数列{}n a 中的各项k a 与各项序号k （k ＝1，2，3，···，n ，···）之间的对应关系是函数关系. 由此可见，数列实际上是由序号和项构成的函数.追问：21-，2)21(-，3)21(-，4)21(-，···，n )21(-，…和21-，2)21(-，3)21(-，4)21(-是同一个数列吗？能否从函数的角度解释一下？答案：第一个数列的n 可取一切正整数，所以定义域就是正整数集，它是个无穷数列. 而第二个数列是个有穷数列，它的定义域实际上是正整数集的一个有限子集. 因为定义域不同，所以不是同一个数列. 由此可见研究数列的函数特性是很有必要的. 不难得出：数列的定义域是正整数集或它的有限子集，值域是实数集的子集. 所以数列{}n a 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数.问题8：数列有哪些表示方法？答案：函数的表示方法有列表法、图象法、解析法. 数列作为一种特殊的函数，也有这三种表示方法．追问1：数列的图象有什么特点？答案：数列的图象是离散的，由一些孤立的点构成，不能连在一起，根源在定义域：以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量只能取一个一个的整数，是离散的数，所以画出的图象自然也就是离散的.追问2：数列通项公式的定义和作用是什么？答案：如果数列{}n a 的第n 项n a 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式．有了通项公式，就可以写出数列的各项．问题9：数列的单调性是怎样定义的？答案：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列. 类比递增数列的定义，可以给出递减数列的定义：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列，如前面提到过的1，1，1，1，1…．知识应用例1 根据下列数列{}n a 的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．（1）22n n a n +=；（2）2π)1(cos -=n a n 解：根据通项公式，令n =1，就得到了首项1a ，令n =2，就得到2a ，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项：1，3，6，10，15和1，0，-1，0，1. 根据前5项的数据进行描点.注意：描点后不能连线，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的.例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：（1）1，21-，31，41-，…； （2）2，0，2，0，…．解：第一个数列的特点是有正有负，正负相间. 我们常常用n )1(-或1)1(+-n 来表示正负相间的变化规律．除了正负方面的特征之外，（1）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为na n n 1)1(+-=. （2）中的数列前４项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为1)1(1+-=+n n a .例3 根据下列数列的通项公式，判断数列的增减性.（1）1n a n = （2）n b =（3）32n c n =- （4）2n n d =解：通过一个数列的通项公式判断数列的增减项，通常可以将其前几项写出，然后观察比较.（1）数列n a 每一项的分子为1不变，分母越来越大，因此数列随n 的增大而减小，是递减数列；（2）数列n b 随n 的增大而增大，是递增数列；（3）数列n c 随n 的增大而减小，是递减数列，是后续要学习的等差数列；（4）数列n d 随n 的增大而增大，是递增数列，是后续要学习的等比数列.课堂小结问题10：回顾本节课所学的知识，思考：（1）什么是数列？数列的本质是什么？（2）我们研究数列的基本路径是什么？答案：（1）一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列本质上是一种离散的函数. （2）我们研究数列的基本路径是“事实——下定义——表示方法——性质——特殊元素”.。
高中数学“数列”单元教学设计研究
A Study of Unit Teaching Design about "Sequence" inSenior High School MathematicsQiang DongNorthwest Normal UniversityNovember, 2016摘要近年来，高中数学单元教学设计成为基础教育研究的热点之一，“数列”在高中数学中占有重要的地位，以“数列”相关内容为线索进行单元教学设计有一定的实践意义。
采用文献法、问卷调查法、访谈法、教材分析法等研究方法研究三个基本问题，第一，“数列”单元学生的先备知识及认知水平如何？学生可能会有哪些方面的学习困难？第二，“数列”在高中数学课程中的地位及“数列”单元的知识网络是怎样的？第三，基于学生已有的认知现状及课程分析，“数列”单元教学设计的教学目标、单元框架、课时安排等如何调整？研究发现，第一，关于数列的学习，学生在不同的学段表现出了不一样的学习特征，越是高年级的学生对数列的学习积极性越低，不同学段的学生对数列的学习有不同的认知水平，学生对数列的函数本质的认识不到位。
第二，数列在整个高中数学课程安排中占有较高的地位，数列与函数、算法、微积分、排列组合、方程、不等式等内容有着密切的联系。
第三，不同版本的教科书呈现“数列”内容的方式有所不同。
第四，从数学思想方法上看，方程与方程组的思想、类比思想、归纳思想、数形结合思想、分类讨论的思想、化归与转化、函数的思想、算法思想等在数列单元均有所体现。
第五，基于学生和教材双方面的思考，对数列单元教学目标及单元框架进行了相应调整，并建议在“数列”单元教学中，整体把握教材、注重数学思想和数学方法的渗透，关注学生的主动参与和知识的发生发展过程等。
关键词：高中数学；数列；单元教学设计ABSTRACTIn recent years, the high school mathematics unit teaching design has become one of hot topics in the study of basic education," sequence" occupies an important position in the high school mathematics, with " sequence " relevant content for clues for unit teaching design has a certain practical significance.Using literature method, questionnaire survey method, interview method, teaching material analysis method etc，to research the three basic questions. First, how about the students' prior knowledge and cognitive level of "the sequence" unit? What are the aspects of learning difficulties students may? Second, the status of "sequence" in high school mathematics curriculum and knowledge network is what kind of? Third, based on the students' cognitive analysis of present situation and the course, how to adjust the teaching aim of "sequence" unit, teaching design, unit frame, teaching scheduling?The study found that first, the study about "sequence", students learn in different period showed different characteristics of learning. Students showed the more senior the lower enthusiasm to sequence study, different classmate of students have different cognitive level of sequence learning, the students’ understanding does not reach the designated position about the sequence' function nature. Second, sequence has a higher place in the high school mathematics curriculum, and sequence has the close relationship with function, algorithm, differential and integral calculus, permutation and combination, equation, inequality and so on. Third, the way of appearing about "sequence" content of different versions of the textbook is different. Fourth, from the point of view of mathematics thinking method,equations and systems of thought, analogy thought,inductive thought,several form combining ideas,classification discussion ideas,reduction and transformation,function thought,algorithm thought and so on all reflected in sequence unit. Fifth, based on the two-sided thinking of students and teaching material,sequence units teaching goal and framework had been adjusted accordingly, and suggesting in the "sequence" unit teaching,to grasp the teaching material as a whole,to pay attention to penetration of mathematical thinking and mathematical method,to focus on the students' active participation and the development of knowledge and so on.Keywords:High school mathematics; Sequence; Unit teaching design目录摘要 (I)ABSTRACT ........................................................................................................................................... I I 一、问题的提出.. (1)（一）研究缘起 (1)（二）研究的问题 (3)（三）研究的目的及意义 (3)二、文献综述 (7)（一）核心概念的界定 (7)（二）数列教学的相关研究 (7)（三）数列单元教学设计的相关研究 (9)（四）文献综述小结 (11)三、研究思路与方法 (13)（一）研究思路 (13)（二）研究方法 (13)四、高中数学“数列”单元教学设计基本要素分析 (15)（一）高中数学“数列”单元学情调研与分析 (15)（二）高中数学“数列”单元教材分析 (21)（三）高中数学“数列”单元教学设计要素分析 (37)五、高中数学“数列”单元教学设计思路及案例分析 (53)（一）单元教学目标设计 (53)（二）单元教学重点设计 (53)（三）单元教学流程设计 (54)（四）单元课时安排调整 (55)（五）教学建议与实施 (56)（六）典型课例设计 (57)六、结论与反思 (65)（一）研究结论 (65)（二）反思与改进 (65)参考文献 (67)附录 (71)致谢 (72)一、问题的提出（一）研究缘起1.新课程要求从整体上把握不同的模块知识在新课程改革的背景下，高中数学教材出现了5种不同的版本，加上上海的独立课本，可以说全国共有6种不同的教材版本。
基于PBL_教学模式下的高中数学“等比数列”单元教学设计研究
基于ＰＢＬ教学模式下的高中数学 等比数列 单元教学设计研究叶轶群(浙江省淳安县汾口中学ꎬ浙江杭州３１１７００)摘㊀要:在新课改全面实施以来ꎬ教学设计的优化备受关注ꎬ提倡以单元为整体设计教学方案ꎬ引领学生构建系统的知识体系ꎬ促进学生将相关的学科知识与技能融合在一起ꎬ强调对知识的整体认知ꎬ提升自主探究能力.ＰＢＬ教学模式在单元教学设计中的运用ꎬ可以解决一直以来教师面临的教学难题ꎬ促使学生在解决问题的过程中通过独立思考㊁自主探究㊁合作学习等方式ꎬ掌握必要的知识与技能ꎬ从中积累经验ꎬ进而提升最终的学习效果.基于此ꎬ本文以«等比数列»这一单元教学为例ꎬ解读了ＰＢＬ教学模式的内涵ꎬ又进一步阐述了ＰＢＬ教学模式在高中数学单元教学设计中的运用ꎬ以供参考.关键词:高中数学ꎻＰＢＬ教学模式ꎻ等比数列ꎻ单元教学设计中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３０－００３２－０３收稿日期:２０２３－０７－２５作者简介:叶轶群(１９８３.１０－)ꎬ男ꎬ浙江省淳安人ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀新课标要求教师能够激活学生的问题思考ꎬ组织学生全程参与到学习活动中ꎬ锻炼学习能力ꎬ形成学科核心素养.由此ꎬ越来越多的教师开始改变教学方案设计手段ꎬ力求结合学生的实际学习与发展情况ꎬ提升教学设计与学情的适切性ꎬ引领学生逐渐地建构完善的知识体系.ＰＢＬ教学模式的出现ꎬ与新课改所提出的教学设计理念相符ꎬ从ＰＢＬ教学模式的视角出发设计单元教学方法ꎬ组织单元教学活动ꎬ可以进一步开发教学设计的新视角ꎬ引领学生在情境中建立知识点之间的联系ꎬ构建合理的知识结构ꎬ促进学生的数学核心素养形成.数列是高中数学教学中的重要部分ꎬ也是生活中广泛运用的数学模型ꎬ比如在人口㊁资源以及住房建设等方面均有涉及.等比数列是一种特殊的数列ꎬ也是高中数学选择性必修课中的教学内容ꎬ在高中生的数学学习中有着承上启下的作用ꎬ其中蕴含着转化思想㊁分类讨论思想㊁类比思想㊁划归思想以及恒等变形等能力ꎬ在整个高中数学教材中占据重要地位.因此ꎬ本文以 等比数列 单元教学为例ꎬ对ＰＢＬ教学模式在单元教学设计中的运用进行了阐述ꎬ希望为相关教师提供借鉴.１ＰＢＬ教学模式的内涵ＰＢＬ教学模式又称为 项目式学习 ꎬ最早由加拿大的神经病学教授霍华德 巴罗斯提出ꎬ被运用于医学教学中ꎬ并取得了可喜的效果ꎬ后被沿用到其他课程的教学中[１].ＰＢＬ教学模式在实施的过程中关注教师对学生学习过程的指导ꎬ并且坚持以学生为中心ꎬ突出学生的学习主体地位ꎬ一般以问题或项目为核心ꎬ以合作学习小组为基础ꎬ引领学生在问题或项目的学习过程中全面地看待问题㊁分析问题以及解决问题ꎬ让学生学会学习.相较于传统的教学模式ꎬＰＢＬ教学方法的实施可以带领学生进入到有意义的问题情境中ꎬ促使学生在情境中联系生活实际去思考复杂的问题ꎬ具备明确的学习方向与目标ꎬ为２３了解决某一个特定的问题或项目ꎬ而自发地思考问题㊁探索方法ꎬ有助于提升学生的学习能力以及问题解决能力.由此可见ꎬＰＢＬ教学模式在实施的过程中以问题解决为核心ꎬ不拘泥于某一个单一的知识点ꎬ是基于数学整体观下实施的一种新型教学方法ꎬ需要教师系统地整合教学内容ꎬ让教学设计实现从 点 到 体 的变化ꎬ进一步优化教学效果.２基于ＰＢＬ教学模式下的高中数学 等比数列 单元教学设计２.１拆分单元教学目标ꎬ明确课时学习目标等比数列 是«数列»章节中的教学部分ꎬ在 等比数列 的学习之前ꎬ学生已经了解到数列的概念ꎬ并且学习并掌握了等差数列ꎬ在此基础上进一步延伸ꎬ进入到 等比数列 的学习中.在 等比数列 的这一单元中需要学生掌握的知识点主要有等比数列的概念㊁通项公式㊁前ｎ项和公式㊁等比中项的概念㊁等比数列的基本性质及其应用等ꎬ本单元的单元教学目标是让学生认识到等比数列是一种特殊的数列ꎬ认识到等比数列在生活中能够得到广泛的运用ꎬ促使学生在实际问题解答中建立数学模型ꎬ掌握其中蕴含的数量关系ꎬ发展学生的建模能力以及问题解决能力[２].为了更好地落实单元教学目标ꎬ促进单元教学目标的实现ꎬ在单元教学设计中教师应进一步地拆分单元教学目标ꎬ按照单元教学内容将其分成四个课时目标ꎬ为单元教学设计提供依据ꎬ具体为:第一课时学习目标:(１)理解等比数列的概念ꎬ掌握等比数列判断的方法ꎻ(２)自主独立思考ꎬ初步总结出等比数列的基本性质和通项公式ꎬ掌握等比数列的相关计算方法ꎻ(３)在小组合作学习中解决等比数列问题ꎻ(４)阅读相关材料ꎬ梳理并概括出等比数列的概念㊁性质ꎬ在组内讨论中表达个人的观点ꎬ总结讨论结果.第二课时学习目标:(１)在小组合作学习活动参与中掌握等比数列的特点ꎬ完成数学规律的探索ꎬ学会证明猜测ꎬ在合作探究中总结等比数列的性质ꎬ实现深层次的理解ꎻ(２)在合作学习中经历计算㊁验证等学习过程ꎬ在推理验证中掌握论证的方法.第三课时学习目标:(１)在合作学习中探索等比数列前ｎ项和的计算方法ꎻ(２)展示合作学习成果ꎬ鼓励各组成员阐述观点ꎬ提升对等比数列的理解ꎻ(３)整合各个学习小组的学习成果ꎬ总结出不同的证明方法或者是论证方法ꎬ促使学生掌握多种证明方法或论证方法.第四课时学习目标:(１)掌握等比数列在物理㊁金融等多个领域的应用ꎻ(２)能够运用所学解决不同领域中面临的实际问题ꎬ如计算投资收益中的倍增现象等.２.２设计核心问题情境ꎬ链接单元核心问题从问题情境出发ꎬ设计出可以激活学生学习热情的驱动性问题是ＰＢＬ教学模式的关键环节之一.在 等比数列 的单元教学设计中教师应找到问题情境与教学内容之间存在的关系ꎬ设计出具有引导作用的核心问题.以情境为载体引出核心问题ꎬ每一个问题对应单元核心知识点ꎬ促使学生在问题的驱动下主动思考问题ꎬ在问题探索中总结出数学知识ꎬ带领学生从被动接受的学习状态中走出来ꎬ成为数学学习中的探索者[３].教师在单元教学设计中所设计的核心问题及其对应的核心知识如下:第一ꎬ核心情境.案例一㊀ 一个人在参加派对时饮酒了ꎬ酒后血液中酒精含量为８０ｍｇ/１００ｍＬꎬ已知在此种情况下此人停止饮酒ꎬ血液中的酒精含量以每小时２０％的速度减少ꎬ但是交规中明确要求机动车驾驶人血液中酒精含量需要小于２０ｍｇ/１００ｍＬ .案例二㊀ Ｈ公司为了减少员工的违纪现象发生ꎬ规定公司员工每违纪一次ꎬ便将工资降为之前的五分之一 .由此教师提出的核心问题为: 如何从一个人喝酒后酒精含量的变化情况以及连续违纪员工的薪资变化中认识等比函数列? 此核心问题对应的核心知识为:(１)等比数列的定义ꎻ(２)等比中项的定义ꎻ(３)等比数列的通项公式ａｎ＝ａ１ｑｎ－１ꎻ(４)等比数列与函数之间的关系.第二ꎬ核心问题情境为 这个人喝酒后多久才能够正常驾驶? 这个情境的设计可以引领学生将生活问题转化为数学问题ꎬ引领学生思考这３３是一个怎样的数列?由此可以促使学生思考 如何用数列的方式表示一个人喝酒后１~６小时的血液酒精含量?等比数列的首项是什么?此等比数列的公比又是什么?如何证明已知的数列是否属于等比数列呢? 这样的问题情境设计指向的核心知识是引领学生从等差数列过渡到等比数列ꎬ实现核心知识的迁移运用ꎬ培养学生形成数学转化思想.第三ꎬ核心问题情境为 如何恰当地使用公式表示出这个人喝酒后１~４小时各时刻血液中酒精含量的总和? 对应的核心知识是用等比数列表示前ｎ项和ꎬ在问题的带领下类比等差数列前ｎ项和公式的求法ꎬ进而推导出公式ꎬ明确等比数列的求和目的.第四ꎬ核心问题情境为 如何计算出连续违纪１０次员工的工资? 这个情境对应的核心知识是当ｎ无限增大时求和的表示方法ꎬ掌握Ｓｎ的变化与哪些量有关ꎬ学会用等比数列解决问题.２.３小组讨论分析问题ꎬ设计问题解决方案小组合作学习是ＰＢＬ教学模式实施中的常用方法ꎬ教师在单元教学设计中需要从合作学习的视角出发提出问题ꎬ引领学生在小组学习中围绕问题展开讨论ꎬ小组长对组内讨论结果进行总结ꎬ促使学生在合作学习中锻炼学习能力ꎬ突破最近发展区ꎬ获得各项学习能力的锻炼[４].比如ꎬ教师在单元教学设计中首先要求学生回忆等差数列概念的抽象过程ꎬ并由此提出小组讨论问题:(１)在上一个单元的学习中你是如何抽象出等差数列概念的?(２)等比数列的概念是否也可以使用同样的方法获得?(３)在之前的学习过程中ꎬ我们了解到等差数列有等差中项ꎬ那么ꎬ等比数列中是否也会有等比中项的概念呢?又应该如何定义等比中项呢?通过小组合作学习活动组织的方式ꎬ使学生回顾已知ꎬ从 已知 过渡到 未知 ꎬ走向 新知 的探索ꎬ激发学生的求知欲ꎬ促使学生主动地参与到数学问题的探究中.接下来ꎬ以小组为单位阅读案例材料ꎬ明确合作学习的方向ꎬ在合作学习中解决如下的几个问题:(１)从材料阅读中你得到了哪些信息?(２)驾驶人血液中的酒精含量达到多少才能在道路上驾驶?(３)此人在停止喝酒后几小时内开车属于饮酒驾驶?几小时后开车属于安全驾驶?(４)请尝试表示出此人在停止喝酒后每小时的血液酒精含量值ꎬ并观察数据ꎬ分析其中存在的等比数列关系ꎬ找出首项㊁公比ꎬ并完成计算任务ꎻ(５)如何证明等比数列的性质 通过布置合作学习任务的方式ꎬ促进学生合作学习行为的发生ꎬ培养学生形成问题解决能力㊁团结协作能力ꎬ学会学习ꎬ能够在合作学习中获取新知ꎬ完善知识结构ꎬ掌握数学学习方法.２.４展示合作学习成果ꎬ实施多元教学评价在合作学习之后ꎬ教师应给学生提供合作学习成果展示的机会ꎬ鼓励学生相互分享㊁倾听ꎬ在成果分享中实现思维的碰撞ꎬ在比较中发现自身的不足ꎬ促使学生取长补短ꎬ让课堂教学效果最大化[５].在此基础上教师还应立足于ＰＢＬ教学模式的视角下ꎬ优化单元教学评价的设计ꎬ完善教学评价体系ꎬ以教学评价的有效实施促进教学质量的提升.总之ꎬＰＢＬ教学模式在高中数学单元教学设计中的运用ꎬ符合新课改的要求ꎬ能够推动教师教学理念的革新ꎬ可以促进教学设计的优化ꎬ因此教师应结合具体的教学内容ꎬ设计单元教学目标ꎬ设计核心问题ꎬ组织学习活动ꎬ完善教学评价体系ꎬ为高中生的数学学习提供优质的服务.参考文献:[１]戴梦玮ꎬ吴晓红.ＰＢＬ教学模式的运用在高中数学教学中的困境与突破:以«任意角的三角函数»为例[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２０(２８):１５１－１５２ꎬ１５５.[２]张正宪ꎬ甄荣.ＰＢＬ教学模式在高中数学教育教学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２１(２０):８９－９０.[３]袁思情.基于Ｃ－ＰＢＬ的高中数学混合式教学设计与实践[Ｊ].现代教学ꎬ２０２１(Ｓ２):２５－２６.[４]李福宇ꎬ王洪凯ꎬ潘洪艳.ＰＢＬ教学模式在高中数学概念教学中的策略研究[Ｊ].中学课程资源ꎬ２０２２ꎬ１８(８):１８－２０.[５]邱进军.基于ＰＢＬ模式的高中数学微课教学研究[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２３(１６):１４－１６.[责任编辑:李㊀璟]４３。
《数列》单元学习主题设计及检验提示单
【作业表单2：单元学习主题设计及检验提示单】1. 在以下四个数中，是数列{})1(+n n 中的一项的是 （ ）.A. 380B. 39C. 32D. 18参考答案：A2. 设数列为 ,11,22,5,2则24是该数列的 （ ）.A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项参考答案：C3. 数列12 3 4 5--，，，，的一个通项公式为n a n n 1)1(+-=．4. 图1中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形，在图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.图1教师借助多媒体动画演示，师生共同探讨数列的特征，并得到通项公式. 解：如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27. 则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n =3n -1.二、主题探究，合作交流1. 观察以下数列，并写出其通项公式：,11,9,7,5,3,1)1( 答：12-=n a n ； ,8,6,4,2,0)2(---- 答：)1(2--=n a n ； ,81,27,9,3)3( 答：n n a 3=．思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？2,,25,2213,1)1(123121+=+==+=+===-n n a a a a a a a ；2,0)2(11-==-n n a a a ；113,3)3(-==n n a a a ．2. 定义：已知数列}{n a 的第一项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.10,,观察可得： 314 4n a a --=-=-，，14(124(1).a n n =--=--n a ,211==+观察法2222a ==⨯=，，，，2n n a =.1212,2n n a a a a -=⨯⨯=即。
高中数学单元设计数列教案
高中数学单元设计数列教案
一、教学目标：
1. 了解数列的定义和性质；
2. 能够识别和推断等差数列、等比数列；
3. 能够求解数列的通项公式；
4. 能够利用数列解决实际问题。
二、教学重点：
1. 数列的定义和分类；
2. 等差数列和等比数列的特点；
3. 数列的通项公式的求解方法。
三、教学难点：
1. 数列的通项公式的推导过程；
2. 利用数列解决实际问题的能力。
四、教学内容：
1. 数列的定义和性质；
2. 等差数列和等比数列；
3. 数列的通项公式；
4. 数列在实际问题中的应用。
五、教学过程：
1. 概念引入：通过举例介绍数列的概念和分类；
2. 理论讲解：依次介绍等差数列、等比数列的概念和性质；
3. 示例演练：通过例题演练，让学生掌握数列的求解方法；
4. 拓展应用：结合实际问题，让学生掌握利用数列解决问题的能力；
5. 总结反思：总结本节课的重点和难点，让学生对数列的概念有更深刻的理解。
六、教学手段：
1. 讲义和教材；
2. 幻灯片和黑板；
3. 课堂练习和作业。
七、教学评价：
1. 考试成绩；
2. 课堂表现；
3. 作业质量。
八、教学反馈：
1. 随堂测验；
2. 学生互评；
3. 教师评语。
数列教学设计精选5篇
数列教学设计精选5篇数列教案篇一关键词高中数学；案例式教学问题教学是数学学科知识内涵和要点的有效载体，是教学目标理念展现的重要途径，是能力素养培养的重要平台。
长期以来，问题教学活动方略的实施，一直以来成为广大高中数学教师进行探究和实践的重要课题。
但在传统问题教学活动中，部分教师片面的将问题教学看作是知识内容、解题方法传授的“工具”，在问题内容的设置和问题解答的传授中，不能精心准备，有的放矢，导致问题教学的效能达不到预期目标。
新实施的高中数学课程标准则指出：“要注重发挥数学问题承载知识内涵的重要载体以及学生能力培养的功能特性”，“设置‘少而精’的数学问题，实现学生知识内涵有效掌握和能力品质的有效提升。
”可见，传统“胡子眉毛一把抓”的“题海式”问题教学模式，已经不能适应新课改的要求。
“少而精”的“典型性”的案例式教学模式，以其在反映教学内涵要义上的精准性，培养学生学习能力上的功能性等特征，成为有效教学的重要组成部分。
近几年来，本人就如何做好案例式教学活动进行了尝试，现就如何选取典型案例，培养学生学习能力方面进行简要阐述。
一、问题案例应凸显“精”字，体现精辟性，使学生在感知问题内涵中领会设计意图案例1 已知A（-2，-3），B（4,1），延长AB至点P，使AP的绝对值等于PB绝对值的三倍，求点P的坐标。
上述问题是教师在教学“平面向量的坐标运算”知识内容，在讲解“向量定比分点的几何运用”考察点时所设置的一道问题案例。
教师在引导学生进行问题分析过程中，使学生了解到该问题是考查学生向量的定比分点坐标公式的应用。
然后，教师再次引导学生进行问题解答方法的探索，通过对问题条件关系的分析，发现该问题可以采用两种不同的解答方法，一种是利用向量定比分点坐标公式求，考虑P为分点，应用定比分点坐标公式求点P的坐标。
第二种是把向量的定比分点坐标公式看做是一个等量关系，通过解方程的思想处理问题。
学生在上述问题解答过程中，对向量定比分点坐标公式的运用有较为准确和深刻的掌握，并对如何运用该知识点内容做到“胸中有数”。
数列部分单元教学设计
数列部分单元教学设计一、单元内容及其解析1.单元内容结构图2.单元内容解析（1）数列作为一种特殊的函数，是反应自然规律的基本数学模型，它有着广泛的实际应用。
用函数观点来理解数列，既能够深化认识函数，又能够使数列统一到函数“麾下”，完成知识的整合。
同时研究数列的过程又为培养学生的归纳推理能力提升数学核心素养提供良好素材，因此数列是高中数学代数部分的核心内容之一。
（2）从单元内容上看，把握数列是一种特殊的离散函数是教学的主线，单元中强化了用函数的观点呈现数列，用函数的观点研究数列的性质,将数列作为一种特殊函数来学习，函数思想贯穿教学的始终。
在数列是一种特殊函数的教学主线下零碎的概念被有效地串联起来，使整个单元教学环环相扣、层层递进，实现了知识的深化与对接。
从教学内容上看，以数列的概念教学为本章的引领，教学中呈现大量的事实性知识（各种数学符号、表达方式）和概念性知识（基本概念和数列类型等），特别强调了数列的函数背景，为下面的研究奠定了基础。
而等差数列和等比数列作为两个重要的数列模型在研究中呈现出很多程序性知识（公式、推导方法、运算技巧），突出体现了函数思想、类比思想（数列模型与函数模型的类比，等差数列与等比数列的类比）和归纳思想（公式的得出过程中学生经历观察、发现、猜想、归纳、概括、总结等学习体验）。
从学习过程看，在数列概念的引入部分学生通过观察生活实例，发现数列的项与序号间的关联，结合函数思想，猜想其对应关系，归纳概括规律，总结形成数列的概念及其通项公式。
在等差数列的学习中教师引导学生用数学的眼光观察和思考，由教师辨析，帮助学生形成正确的认识，加深理解，并用数学的方式来表达。
而在等比数列的学习中类比等差数列学生可以完成独立的学习过程，甚至可以辨析总结的成果，提出新的研究问题，使学习过程得到升华。
整个的单元教学中我们应重点引导学生经历直观想象、数据分析、数学抽象、逻辑推理的学习体验过程，帮助学生建构知识网络，逐步丰富对数列知识的理解与运用，提高学生的数学核心素养。
单元教学设计等差数列
单元教学设计：等差数列引言：等差数列作为数学中的一个重要概念，是初中数学学科中的基础知识。
通过对等差数列的教学设计，可以帮助学生理解数列的概念和性质，以及掌握等差数列的求和公式和通项公式。
本文将围绕单元教学设计等差数列展开，通过设置合适的教学目标、内容、方法和评价来提高学生的学习兴趣和学习效果。
一、教学目标：1. 知识与技能目标：了解等差数列的概念和性质；掌握等差数列的求和公式和通项公式；能够应用等差数列解决实际问题。
2. 过程与方法目标：发展学生的逻辑思维能力和问题解决能力；培养学生合作学习的意识和能力；激发学生的数学兴趣和学习动力。
3. 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和正确认识，促进他们对数学的积极态度二、教学内容：1. 等差数列的基本概念：定义等差数列，解释首项、公差和通项的含义，探究等差数列的特点和性质。
2. 等差数列的求和公式：推导等差数列的求和公式，通过具体例子使学生理解公式的应用。
3. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，通过实例引导学生掌握公式的使用方法。
4. 实际问题中的等差数列：通过实际问题引导学生应用等差数列，解决日常生活和实际情境中的数学问题。
三、教学方法：1. 探究式教学法：引导学生通过观察和实践，从经验中发现等差数列的规律与特性，培养学生的数学思维能力。
2. 合作学习法：将学生分为小组，让他们合作解决问题，增强学生的团队意识和解决问题的能力。
3. 演示与讲解法：通过演示和讲解，向学生传递知识和技能，使他们更好地理解和掌握等差数列的概念和方法。
四、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的发言、讨论和实际操作表现，评价学生对知识的理解和应用能力。
2. 作业评价：对学生完成的课后作业进行评价，了解他们对等差数列的掌握程度和问题解决能力。
3. 测试与考试评价：设计相应的测试或考试，评价学生对等差数列知识和技能的掌握情况。
结语：通过以上的教学设计，希望能够帮助学生全面理解等差数列的概念、性质和应用，并掌握求和公式和通项公式的使用方法。
HPM视角下的数学单元教学设计——以“数列”为例
数学研究的 重要对象
数列求和公式的推导
⑤１７世纪英 国 数 学 家 沃 利 斯 首 次
解决了一般的等比数列求和问题
递推 公式
①１３世纪意大利数学家斐波那契所 递 推 公 式 是
著《计算之书》中的兔子繁殖、棋盘问 在 认 识 数 列
题、砝码问题都涉及了递推思想 过 程 中 产 生
② 古印度的“汉诺塔”问题
一、核心概念溯源，厘清历史脉络
一方面，教材是按照一定的逻辑结构和学习要求 加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数 学概念和 方 法 形 成 的 实 际 背 景、知 识 背 景、演 化 历 程 以及导致其演化的各种因素，因此教材对数学概念的 历史“关联性”的 揭 示 存 在 先 天 的 不 足；另 一 方 面，许 多数学概念的原始生成过程随着时间的流逝已经“模 糊不清”或 随 着 数 学 的 发 展 逐 渐 丧 失 了 它 原 本 的 面 貌，犹如“迷案”一 样，后 人 根 本 无 法 搞 清 楚 到 底 是 怎 么一回事．因此，基于 ＨＰＭ 的数学单元教学设计的第 一步就是进行概念“溯源”，所谓的“溯源”就是通过深 入挖掘教 材 的 背 景 知 识、查 阅 相 关 历 史 文 献，探 索 数 学概 念 的 来 龙 去 脉，通 过 合 理 的 想 象 与 合 情 的 推 理， 厘清其发展的历史脉络．对数学知识的“溯源”主要围 绕着以下三个方面进行．
其所承载的
等差 ③ 莱因德纸草书
问题也基本
数列 ④《九章算术》中衰分章、均输章、是 古 代 生 活
盈不足问题．
中所遇到的
⑤《张丘建算经》中“织布”问题 实际问题，后
等比 数列
① ②
苏美尔泥版 古巴比伦时
ＭＳ３０４７ 期的泥版
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多个课时、可自行复制添加表格。
附件：单元整体教学设计参考模板
单元整体教学设计参考模板
课标导向下高中数学数列单元教学设计
单元名称：数
人教版A版
单元学习概述：1、主要内容：数列的概念和简单表示法、等差数列、等比数列
2、地位作用：承前启后的作用，过去学过的方程、函数等知识在本章得到延伸，又为后面的函数极限作了铺垫。
五、教学重点及难点
重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。
难点：将数列作为一种特殊函数去认识、了解数列与函数之间的关系
六、教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
观察三角形数，找出这些数之间的规律，与它表示的三角序号有什么关系
正方形数呢？
都是递增的，前后两数差是定值，按照一定顺序排列
单元教学目标：数列核心概念和思想方法的研究
课时划分：四个课时
课时一：数列的概念和简单表示法
课时二：等差数列
课时三：等比数列
课时四：数列的通项公式和求和公式
各课时的联系从一般数列的研究，转入两类特殊数列——等差数列、等比数列，再
通过这两种特殊数列回归到一般数列的通项公式和求和公式的研究。
课时一
一、教学内容分析：
数列的学习过程中蕴含了很多数学思想方法：类比思想、归纳思想、数形结合思想，这些方法会让数学学习更加生动有趣，既结合了几何图形，又让学生从找规律中找到归纳的乐趣，但是这也让数列的学习更具有灵活性，规律性。
四、教学策略选择与设计
对数列本质的认识，了解数列两种表示形式——通项公式和递推公式，并认识数列是一种特殊的函数，在本节课的教学中不断让学生去归纳，总结，大胆猜想，教师予以引导，得出正确结论。
明确数列基本概念、分类，明确数列与函数之间的关系，研究有关数列的简单表示法，为后面特殊数列——等差数列、等比数列的学习打下基础。
二、教学目标：
1、知识技能：了解数列的概念及分类
2、过程与方法：了解数列是一类离散函数，体会数列之间的依赖关系。
3、情感态度与价值观：感受数列是刻画自然规律的数学模型。
三、学习者特征分析
概况数列定义
数列概念辨析
数列元素和集合元素的区别
加深数列概念的理解
举出数列的例子
举出数列的例子，归纳总结这些数列的特点，并和之前的数列一起引出数列的分类
加深数列概念顺序的理解，了解数列的分类
以下几个数列项和项数之间有什么规律
学生去发现解决问题，体会与函数之间的关系
引入不完全归纳法归纳数列的通项公式
对数列与函数关系如何理解
总结，评价
加深对数列概念的认识
例题3数列的前后项有怎样关系
数列的另一种表示形式的归纳
了解数列的第二种表示法
七、教学评价设计
初级要求：发现数列的规律，能归纳数列通项公式
中级要求：正确举出数列不同分类的例子
初级要求：根据递推公式求出数列有限项
提升要求：能根据递推公式得到通项公式
八、PPT及板书设计
九、新课标的具体体现