2-2不定积分的积分法(1)
不定积分的计算
5 u 4 du u 5 c sin 5 2 x c. 引出凑公式法: Th 若 f ( x) dx F ( x) c,
u sin 2 x
(x )
连续可导,
则
f [ (t)] ( t) dt F [ (t )] c.
该定理可叙述为： 若函数 g (t ) 能分解为 g ( t ) f [ ( t )] (t ) 则有
们就可以用分部积分把不容易积分的 例4 若令
u (x )v (x )dx
计算出来
u x , v cos x v sin x ， 代入分部积分公式
x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
但若令 u cos x , v x v x 2 / 2 ， 代入分部积分公式 x2 1 x cos xdx cos x x 2 sin xdx 2 2 比原积分还复杂
x ln xdx
u ln x , v x v x 2 / 2
相比之下显然， x 容易积分，所以取
x2 1 x2 x2 x2 x ln xdx 2 ln x x 2 dx 2 ln x 4 C
由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那 个作 u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计 算不出来。 分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把 （相比之下） 容易积分， 积分后比较简单的函数作为 v ， 积分较难或积分后比较复杂的函数作为 u 例 4
2 arctgtdarctgt ( arctgt ) 2 c ( arctg x ) 2 c . 其他凑法举例: 例 18 e x e x d (e x e x ) dx x ln( e x e x ) c . e x e x e ex ln x 1 d ( x ln x ) (x ln x ) 2 dx (x ln x )2
第5章2不定积分换元积分(1)
例10 求 sin3 x dx.
解 sin3 x dx sin2 x sin x dx (1 cos2 x)d cos x
1 cos3 x cos x C 3
说明 当被积函数是三角函数相乘并有奇次幂 时，拆开奇次项去凑微分.
例11 求 sin2 x cos5 xdx.
积分： f [(x)](x)dx F[(x)d[(x)] dF[(x)
第一类换元法可表述为：
换元 ( x )u
积分
f [( x)]( x)dx f (u)duF(u) C
u ( x )还原
F[( x)] C
4
换元积分法
一、第一类换元法
例2 求 2xex2dx .
例3 求 x 1 - x2dx .
19
(1)
5
(1 3x)2 dx
2
(1
7
3x)2
C
21
(3)
1
x x
2
dx
1 ln(1 x2 ) C 2
(5) (ln x)2 dx 1x
(7)
ex x2
dx
1 ln( x)3 C 3
1
ex C
(9) dv 1 2v C 1 2v
(11)
x
2x 2
x
1
3
dx
ln x 2 x 3 C
解
tanxdx
sin cos
x x
dx
1 d cos x cos x
= - ln |cosx| + C
tanxdx = - ln |cosx| + C = ln |secx| + C
同理 cotxdx = ln |sinx| + C = - ln |cscx| + C
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
-2不定积分的分部积分法
dv
dv
vdu
简化
I1 2( x sin x cos x) C
推广 xn sin x d x, 令u xn
注 1° 设 f ( x)d x, 其中 f ( x) ( x) ( x).
选 u 的一般原则：
(1) d v ( x)d x
( x)d x 易积分, v 易求;
(2) v d u 比 ud v 易积分.
2
x cos x d x x2 cos x x2 sin x d x 更不易积分
2
2
显然，u 选择不当，积分更难进行.
解
x dsin x
简化
u dv
dv
x sin x sin x dx x sin x cos x C
uv
v du
（2）I2 x2 sin x d x x2 dcos x
引例 e x d x 令 x t 2 t et d t
（换元法无法解决） 二、分部积分公式
由导数公式 (uv) uv uv
积分得 uv uvdx uvdx uvdx uv uv dx
公式的作用： 改变被积函数
ud v uv v d u —— 分部积分公式
典型例题
例1 （1）I1 x e x dx
(3) xn arcsin x d x 设 u arcsin x
（例3(2)）
dv xnd x
3° 选 u 的优先原则： “对反代三指” 法
( 或称为“ LIATE ” 法).
选
L
对数函数
u 的
I
反三角函数
优
A
代数函数
先 顺
T
三角函数
序
E
指数函数
不定积分(公式大全)
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数)
都是函数f(x)＝2x的原函数。
[定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，
C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示
为F(x)＋C 证明：
于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表示成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式
∵(ex)'＝ex ∴v(x)＝ex，
x 1 1
元，令u
x
1
则原式＝
u
1
1
dx，再反解x＝u2＋1，
得dx＝2udu，代入
x
1 1
1
dx
2
u
u
1
du
2
(1
u
1 )du 1
2[u ln u 1] C 2 x 1 2ln | x 1 1| C
这就是第二换元积分法。
例 求 sin x x dx
dx
(
1 )dx arccos x C 1 x2
两式都是本题的解
[注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间
的关系是 arcsinx＝π ／2－arccosx
四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。
下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。
这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。
3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。
换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。
换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。
4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。
幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。
5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。
三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。
6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。
以上是一些常见的不定积分的基本方法。
在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。
同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
1 sin11 x 1 sin13 x C .
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
ln cosx C
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.
拆出个正\余 弦的1次幂
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
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设 b
f fC([ax, b])，F为10,,f
f ( x)dx F(b)
的任1一原x函数 ，0,则 0 x 1.
F(a) : F( x) b ．
a
a
Note：Thm 的条件可减弱为： f ( x) 在[a, b] 上可积，
an ，
∴ a1 2a2
nan
lim x0
f (x) x
．同理，1 lim sin x x0 x
.
由 f ( x) sin x f ( x) sin x ( x 0)
x
x
故，由极限局部保序性知， a1 2a2 nan 1
m
n
凹凸性： f x (1 )y f (x) (1 ) f ( y) 关系
法一（等式右端启发） f ( x) a x , x m, y n loga b
法二（等式左端启发） f ( x) ln x, x am , y bn
ln ab ln a ln b 1 m ln a 1 nln b 1 ln am 1 ln bn
且 f ( x) 在[a, b]上存在原函数 F( x)，则
b f ( x)dx F (b) F (a) ． a
2．不定积分的概念及基本积分公式
1) Def. 2 f ( x) 的原函数的全体（或一般表达式）
称为 f ( x) 不定积分，记为
f ( x)dx ．
若 F ( x)为 f ( x) 的原函数，则
② 运算法则
10 f ( x) g( x)dx f ( x)dx g( x)dx ，（可加性）
20 kf ( x)dx k f ( x)dx ， （齐次性）
n
n
ki fi ( x)dx ki fi ( x)dx ．（线性性质）
i 1
i 1
f ( x)dx F( x) C ， 其中 C 为任意常数
2) 不定积分的几何意义
积分常数
y
... ...
... 0
F(x)
.. .. x
f (x)dx F(x) C
――一簇曲线，相互间只差一常数，
3) 基本积分公式
即从一条曲线上下平移而得
3) 基本积分公式
f ( x)dx
在微[a积,b分]上学可基积本定的理函（数第未一必大有定原理函）数，如
Thm 2 （Newton-Leibniz 公式）
设 b
f fC([ax, b])，F为10,,f
f ( x)dx F(b)
的任1一原x函数 ，0,则 0 x 1.
F(a) : F( x) b ．
a
a
Note：Thm 的条件可减弱为： f ( x) 在[a, b] 上可积，
且 f ( x) 在[a, b]上存在原函数 F( x)，则
b f ( x)dx F (b) F (a) ． a
09-10-2 作业讲评10
表扬： A 有进步 徐力达 02-3，吉月婷 胡乔 02-4
吴竞 02-5 范玉斌 徐磊 聂彤 02-6，
27P143 f ( x) a1 sin x a2 sin 2x an sin nx , f ( x) sin x ．
f (0证) ： a1 2a2 nan 1
(sin x) x0
f (0) lim x0
f ( x) f (0) x0
lim
x0
(2) x2 (1 x2 ) dx = x2 (1 x2 ) dx
=
1 x2
dx
1 1 x2
dx
=
1 x
arctan
x
C
．
结果是否正确，唯一的检验方法
求导，看积分结果的导函数是否为被积函数
例 5 (3) tan2 x dx (sec2 x 1)dx tan x x C
f ( x) 的原函数的全体
① 不定积分是微分（或导数）的逆运算
10 f ( x)dx f ( x) ， 或 d f ( x)dx f ( x)dx
先不定积分再求导 =本身
20 f ( x)dx f ( x) C ， 或 df ( x) f ( x) C ．
③ 基本积分公式
P161 基本积分表
添上
1 dx arccos x C ， 1 x2
1
1 x2
dx
arc cot
x
C．
例5
(1) ( x 1)2 dx = ( x 2 x 1)dx
x2 4 3 = x2 x C
23
1 2 x2
(1 x2 ) x2
m
n
m
n
30(7) P 144 证： ab 1 am 1 bn （ m, n 1, 1 1 1 ）
mn
mn
凹凸性或单调性 有很 构多 造辅种助构函造数辅是助思函路数
单调性： 将一个字母看出变量，其它字母看出常数，
所构造的函数 求导简单，便于后面的计算
在微[a积,b分]上学可基积本定的理函（数第未一必大有定原理函）数，如
∴ f (0) f (1) M ． 错
在区间内部的最值点处用两次 Lagrange 中值 Thm
区间内部的可导的最值点处，导数为零 （Fermat 引理）
30(7) P 144 证： ab 1 am 1 bn （ m, n 1, 1 1 1 ）
mn
mn
凹凸性或单调性 取有很多1种, 1构造辅 助1 函？数f , x, y
EXE
(4)
1 dx
1 x2
1 1
x2
dx
arcsin
x
C1 ，
或 arccos x C2
28P143 在[0,1] 上 f ( x) M ，且 f ( x) 在 (0,1) 内取到最大值．
证： f (0) f (1) M
f , f 联系，由什么建立 Lagrange 中值 Thm
f (1) f (0) f ( ) f (1) f (0) M ，