高一数学必修一三角函数的概念及公式
高中数学必修一 三角恒等变形总结(采百家之长版)
一、三角函数公式：辅助角公式的重要作用:合一变形⇒把形如x b x a cos sin +的函数转化为)sin(ϕ+=x A y 的函数，即：两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−相除以上是三角函数公式的关系图二、三角恒等变换：一角二名三结构，对角、函数名、式子结构===化异为同三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：（2余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式 （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
三、三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。
化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量 使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
四、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一 情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =
那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6
解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645
sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9
2
（2）cos cos( 2 ) cos
sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而 的终边在 x 轴上，所以 tan 0
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：
（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为
4
是第四象限角，所以
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
7.2.3 三角函数的诱导公式 2023-2024学年高中数学苏教版必修第一册
图示
角π-α与角α
的终边关于
y轴对称
公式
sin(π-α)= sin α ,cos(π-α)= -cos α ,tan(π-α)= -tan α
4.诱导公式四
终边关系
图示
角π+α与角α
的终边关于
原点对称
公式
sin(π+α)= -sin α ,cos(π+α)= -cos α ,tan(π+α)= tan α
解 由
=3+2√2,
1-tan(-360°)
1+tan
2
得
=3+2√2,∴tan θ= 2 .
1-tan
cos2 +sincos+2sin2
2
原式=
=1+tan
θ+2tan
θ
2
cos
2
22
2
=1+ +2×( ) =2+ .
2
2
2
素养形成
思想方法——分类讨论思想在诱导公式中的应用
cos(π-)sin(π-)
-sin(-sin)cos sin
=
==-tan α.
cos
cos(-cos)sin
1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°)
(2)原式= sin(180°+70°)+cos(720°+70°)
1-2sin70°cos70°
|cos70°-sin70°|
变式训练2化简下列各式:
cos(π+)cos(3π-)tan(π+)
(1)
;
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高一数学必修一所有公式归纳
高一数学必修一所有公式归纳高一数学必修一所有公式归纳是如下：1、锐角三角函数公式：sinα=∠α的对边/斜边。
2、三倍角公式：sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)。
3、辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)。
4、降幂公式：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2。
5、推导公式：tanα+cotα=2/sin2α。
数学必修一数学公式如下：1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)。
2、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)。
3、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a。
4、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
5、-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB。
数学必修一公式归纳：一、指数与指数幂的运算1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时。
2、分数指数幂。
正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3、实数指数幂的运算性质。
高一数学人必修课件三角函数的积化和差与和差化积
180°。三角形内角和的应用 Nhomakorabea03
能够运用三角形内角和定理解决与三角形相关的角度、边长等
问题。
05
三角函数在物理中应用
振动与波动问题
简谐振动
描述物体在平衡位置附近的往复 运动，其位移与时间的关系可用
三角函数表示。
机械波
介质中质点振动的传播，波动方 程中包含三角函数，用于描述波 的传播特性和质点的振动状态。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角等运算，将复杂角度的三角函数转化为基本角度的三角函 数进行计算。常见的诱导公式有和差化积公式、积化和差公式、倍角公式等。
应用
诱导公式在三角函数计算中具有重要的应用，可以简化计算过程，提高计算效率 。例如，利用和差化积公式可以将两个角度的三角函数之和或差转化为单个角度 的三角函数进行计算。
具体推导过程如下：首先，根据三角 函数的加减化积公式，我们有 sin(a+b)=sinacosb+cosasinb和 cos(a+b)=cosacosb−sinasinb。
最后，通过观察和比较这两个表达式 ，我们可以发现和差化积公式的形式 。
公式应用举例
01
02
03
04
已知sinα=3/5,cosβ=−4/5， 且α,β为钝角，求cos(α+β)的
周期性、奇偶性与单调性
周期性
正弦函数、余弦函数具有周期性 ，周期$T = 2pi$；正切函数、余 切函数也具有周期性，周期$T =
pi$。
奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶 函数；正切函数、余切函数既不是 奇函数也不是偶函数。
单调性
正弦函数、余弦函数在各自周期内 具有单调性；正切函数、余切函数 在各自定义域内不具有单调性。
最新人教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.2.1 三角函数的概念
=sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30°
= ×
+× =
+=
+
.
(2)原式=sin - + +cos +
=sin +cos
·tan 0= .
·tan(4π+0)
提示:与点P的纵坐标和横坐标的符号有关.
？
(2)如何判断正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限
的符号?
提示:由三角函数的定义,可知sin α=y,cos α=x,tan α= (x≠0).
当α为第一象限角时,y>0,x>0,故sin α>0,cos α>0,tan α>0;同理
可得当α在其他象限时三角函数值的符号,如图所示.
？
5.2.1
三角函数的概念
？
课标定位
素养阐释
1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)
的定义.
2.掌握三角函数在各象限的符号.
3.掌握诱导公式一,并会应用.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理和直观想
象素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
？
自主预习·新知导学
所以sin θ<0,cos θ<0.所以sin θcos θ>0.
？
反思感悟
判断三角函数值正负的两个步骤
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三角函数的概念及公式教学目标1、掌握同终边角的求法，熟悉象限角、轴线角，掌握角度与弧度的互化，会求弧长与扇形面积；2、掌握三角函数的概念，会求角的三角函数值；3、同角三角函数的基本关系；4、掌握诱导公式及应用。
重瞬占分析重点:''1、角度、弧度的转化；2、同角三角函数基本关系；3、诱导公式。
难点：1、角度的表示；2、同角三角函数值的求解；3、诱导公式的变换。
知识点梳理1、角度槪念：角可以看成是平而内一条射线绕着端点从一个位宜旋转到另一个位置所成的图形。
2、角度分类：按逆时针方向旋转的角叫做正角；按顺时针方向旋转的角叫做负角：若一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个零角。
3、彖限角：角的顶点与原点重合，角的始边与兀轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
4、终边相同的角：所有与角&的终边相同的角，连同Q在内，可构成一个集合S=___________________ , 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
5、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
6、弧度制与角度制的换算关系式：兀弧度=180°.7、在弧度制下，弧长公式为l = a・R、扇形而积公式为S = -l∙R.(α为圆心角，R为半径)28、一般的，设角Q终边上任意一点的坐标为(x, y),它与原点的距离为厂，那么(1)上叫做α的正弦，记作Sina；r(2)艺叫做a的余弦，记作COSa ；(3)上叫做α的正切，记作tana。
X9、同角三角函数关系的基本关系式(I)平方关系：sin2 x + cos2 x = l (2)商数关系：UmX =竺上COSX10、同角三角函数基本关系式的常用变形(1) sin2a = ______________ ； cos2a ≡_____________ ；(2)(Sina+ cosa)2=_________________ ；(Sina_cos&)'=_________________(3)Sina COSa= =_________________ 。
注意：用同角三角函数的基本关系式求值时应注意(1)注意“同角”，至于角的形式无关重要，如siι√4a+cos2 4a = 1等：(3)对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用(正用、反用、变形用)，如: CoSa = ±√l-sin2a,开方时要注意正负。
11、诱导公式：奇变偶不变、符号看彖限。
知识点1：终边角（终边相同、终边在一直线上）的表示【例U（1）写出与-35°角终边相同的角的集合；（2）在（1）的集合中，将适合不等式一720° Sα≤ 1080"的角α求出来。
【随堂练习】1、与610°角终边相同的角可表示为【】A.k∙360° ÷230o , kWZ BW∙360° +250o , ⅛∈ZCjt 360° +70° , k∈Z DJt∙360° +270o, Λ∈Z2、与一457。
角的终边相同的角的集合是【】A・{αlα=457o+⅛∙360o, k∈Z} B.{αlα=97o÷Λ∙360% k∈Z}C. {αlα=263o+⅛∙360o, k∈Z}D・{αlα=-263o÷^360o, k∈Z}3、与20iσ7终边相同的最小正角是__________ ,绝对值最小的角是 ________________【例2】若α=⅛∙180o+45o, k∈乙则α是第_____ 象限角【】A・一或三 B. 一或二 C.二或四D・三或四【随堂练习】1、在0°到360°范围内，与角一60°的终边在同一条直线上的角为____________ •知识点2：象限角的表示【例1】已知α是第二彖限的角，问：（1）2d是第几象限的角？（2）3是第几象限的角？（3）△是第几象限的角？2 3【随堂练习】1、已知Q为第三彖限角，则△所在的象限是【】2A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限2、若&为第一象限的角，则纟、△分别是第几象限的角？2 3【例2】如图，分别写出适合F列条件的角的集合:（1）终边落在射线OB上；（2）终边落在直线OA上；<3）终边落在阴影区域内（含边界）。
知识点3：角度与弧度的转换【例1】下列转化结果错误的是【】A. 60。
化成弧度是彳B. 一罟π化成度是一600。
C. -150°化成弧度是一召D.为化成度是15。
【例2】（1）、一570° = _ 弧度，是第_象限的角；3（2）、-π=_______ 度，与它有相同终边的角的集合为_____________ ,在［~2∏ , 0］上的角是【随堂练习】TT 4 TT1、- =____ 度42」=_____ 弧度-—=_______ 度一210。
=________ 弧度6 32、三角形三内角的比是7： 8 ：15,各内角的弧度数分别是______ o知识点4：弧长与扇形面积【例1】已知一扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为L,而积为S,若α=60o , R=IoCnK求扇形的弧长L和而积S。
【例2】设扇形的周长为6,而积为2,则扇形的圆心角是(单位：弧度)【A・1B・4C. πD・1或4【随堂练习】1、已知一扇形的中心角是Q ,所在圆的的半径是R O若α = 75∖R^∖2cnιa求扇形的弧长及该弧所在弓形面积。
2、若扇形的周长为10c∕n,而积为4cm2.求圆心角α?知识点5：三角函数值【例1］已知角a的终边过点P(4,-3)侧SilIa= ____ ,COS a =______ 、tana = ____2【随堂练习】IX 已知角α的终边在直线3x+4y = O 上，求Sin a , COSa , tana 的值.【例2】讣算下列角度的各个三角函数值【例 3】cos300 = _____ , sin(-150 )= ______【随堂练习】知识点6：已知一个三角函数值，求它的其余三角函数值【例1】已知&是第二象限的角，tanα = -l,贝IJCoSa= ________ a2【随堂练习】4IX 若Sin^ =tan~>O,则COS^= ________________ 。
32、若CoSa = —一 , αw(-,龙)，贝IJtana 二 ___5 21、sin-= ______ 3πCOS-= ______ 2 Sin 210 = _____19 6 SIn -—6tan 690 = _____3、已知sin — ^是第—象限的角，则coS-【4'。
是第四象限角'ta 11a = --,PlUsina=—知识点7:利用Sina±cosα与Sina ∙cosα之间的关系解题【例 1】已知 Sina-CoSa=则 Sina ∙cosa= ___________ 。
【例 2] sin 4^-COS θ = - , a 为第二象限的角，贝∣J COS a = __ , Sin a= ______3【随堂练习】1、 若 sin0 + cosθ =、总，贝IJSin^COS^= ___ J22、 若a 是三角形的内角，且Sina +cosa=予 则这个三角形是【】A.等边三角形 C.锐角三角形知识点8:己知角&的正切函数值，求含Sina 与CoSa 的齐次式的三角函数值 【例1】若空空竺竺=3,则Rma= _____ osin σ-cos a【例2】已知Mna =——,贝IJSina COSa 等于【2√5τ1 - 9C.1 - 9B.√5τB.直角三角形 D •钝角三角形2⅞B∙^⅛D∙i⅛【随堂练习】IX 若 tanα =2 ,则 Sina ÷cosα+c θs= Sina-COSa 2、已知=2,讣算下列各式的值: SIn a —cos a. 3sin a —cos a"1 2sin a+3cos a知识点9：诱导公式【例1】利用诱导公式进行下列化简sin(2∕r + a)= ____ , sin(∕r + a)= ____ , Sin(Tr-tz)= _____ , sin(2∕r -a) =cos(π + a) = _______ , cos(π-Ct) = _________ , cos(2∕r 一 a)= ________ 。
Sin(K + a)cos(2π 一 a)sin(-a + -—) tan a 【例2】已知&是第三象限的角.且f(a) =-------------------------------- 2 ------sin(Λr 一 a) cos(--a) (1) 化简 /(α):(2) 若COS@ —)=—,求/ (α)的值:(2) sin 2a~2Sin acos a÷ 1 oCoSs =S 宀卜 I 2 ) ---------- (3π COS --- a =(3) 若α = -1860°,求/(α)的值。
3、已知sin(540β+α) = -≤,则cos(α-270β)= _________ 4、若次为第二象限角，则［Sin(180C -Cr)+ c °scσ~36OB)I ^ ________________【随堂练习】sin(- + θ) 一 cos(龙 一 θ) 1、已知tan8 = 2,则——Z --------------sin(-- Θ) 一 sin(π 一 Θ) 2sin(-α - —)cos(- - α) tan 2a 2、化简 ---------- 2 ------ 3 ---------- cos(y - α) SinG + ⑴ -tanasin(-α) + sin(-90 -(Z)5x 若Sin(180 +α)=cos(540 -α) + cos(-270 —α)知识点10：综合应用【例1］已知SinS+α)=Λ且α是第四象限角，则cos(α—2兀)的值是【：53 3 3 4(A)-- (B)- (C)±- (D)-5 5 5 5【随堂练习】3IX 若cos(α +≤a < 2π.则sin(-α-2龙)的值是【】A. -B. --C. -D.--5 5 5 52、已知αe(0, ∙y), COSa =丰 > 则sin(∕-o)= _______ ・【例2】已知sin(f + α) = W,贝IJSin(--σ)值为【】4 2 41 1 √3√3A. —B. —-C. —D.——2 2 2 2【随堂练习】1、已知cos(-+ α) = ^-,则cos(-+ σ)=_________ 。