Matlab做非线性规划
matlab解决非线性规划问题（凸优化问题）
matlab解决⾮线性规划问题（凸优化问题）当⽬标函数含有⾮线性函数或者含有⾮线性约束的时候该规划问题变为⾮线性规划问题，⾮线性规划问题的最优解不⼀定在定义域的边界，可能在定义域内部，这点与线性规划不同；例如：编写⽬标函数，定义放在⼀个m⽂件中；编写⾮线性约束条件函数矩阵，放在另⼀个m⽂件中；function f = optf(x);f = sum(x.^2)+8;function [g, h] = limf(x);g = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %⾮线性不等式约束h = [-x(1)-x(2)^2+2x(2)+2*x(3)^2-3]; %⾮线性等式约束options = optimset('largescale','off');[x y] = fmincon('optf',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],...'limf',options)输出为：最速下降法（求最⼩值）：代码如下：function [f df] = detaf(x);f = x(1)^2+25*x(2)^2;df = [2*x(1)50*x(2)];clc,clear;x = [2;2];[f0 g] = detaf(x);while norm(g)>1e-6 %收敛条件为⼀阶导数趋近于0p = -g/norm(g);t = 1.0; %设置初始步长为1个单位f = detaf(x+t*p);while f>f0t = t/2;f = detaf(x+t*p);end %这⼀步很重要，为了保证最后收敛，保持f序列为⼀个单调递减的序列，否则很有可能在极值点两端来回震荡，最后⽆法收敛到最优值。
x = x+t*p;[f0,g] = detaf(x);endx,f0所得到的最优值为近似解。
非线性规划的MATLAB解法
非线性规划问题通常具有多个局部最 优解，解的稳定性与初始条件有关， 需要使用特定的算法来找到全局最优 解。
非线性规划的应用场景
数据拟合、模型选择、参 数估计等。
生产计划、物流优化、设 备布局等。
投资组合优化、风险管理、 资本预算等。
金融
工业
科研
非线性规划的挑战与解决方法
挑战
非线性规划问题可能存在多个局部最优解，且解的稳定性与初始条件密切相关，需要使用特定的算法来找到全局 最优解。
共轭梯度法
总结词
灵活、适用于大型问题、迭代方向交替
详细描述
共轭梯度法结合了梯度下降法和牛顿法的思 想，通过迭代更新搜索方向，交替使用梯度 和共轭方向进行搜索。该方法适用于大型非 线性规划问题，具有较好的灵活性和收敛性。
04
非线性规划问题的约束 处理
不等式约束处理
处理方式
在Matlab中，可以使用 `fmincon`函数来求解非线性规划 问题，该函数可以处理不等式约 束。
要点二
详细描述
这类问题需要同时考虑多个目标函数，每个目标函数可能 有不同的优先级和权重。在Matlab中，可以使用 `gamultiobj`函数来求解这类问题。该函数可以处理具有 多个目标函数的约束优化问题，并允许用户指定每个目标 函数的权重和优先级。
谢谢观看
具体操作
将等式约束条件表示为线性方程组，并使用`Aeq`参 数指定系数矩阵，使用`beq`参数指定常数向量。
注意事项
等式约束条件需要在可行域内满足，否则会 导致求解失败。
边界约束处理
处理方式
边界约束可以通过在目标函数中添加惩罚项来处理，或者使用专门的优化算法来处理。
具体操作
在目标函数中添加惩罚项时，需要在目标函数中添加一个与边界约束相关的项，并调整 其权重以控制边界约束的重要性。
MATLAB优化工具箱--线性规划-非线性规划
linprog输入参数说明： f, A, b, Aeq, beq lb,ub 边界设置 说明： 如果x(i)无边界，则 lb(i) = -inf, ub(i) = inf
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linprog 输出参数说明： x 决策变量取值 fval 目标函数最优值
exitflag > 0 成功找到最优解 0 达到最大迭代次数也没有找到最优解 < 0 该线性规划问题不可行或者linprog计
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fmincon函数求解形如下面的有约束非线性规 划模型
一般形式：
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
Matlab求解有约束非线性最小化 1.约束中可以有等式约束 2.可以含线性、非线性约束均可
数学实验
输入参数语法：
例子：某农场种植两种作物A、B，需要甲、乙两种化肥。种植 每亩作物A和作物B分别需用的化肥数，可得利润及农场现有化
肥数量如下表所示：
问在现有条件下，如何安排种植，才能使利润最大？
作物
每亩所需化肥 （百公斤）
现有化肥
AB （百公斤）
化肥
甲
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100） 6 4
数学实验
例题建模
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(fun,x0,...)
数学实验
输入参数的几点说明
模型中如果没有A,b,Aeq,beq,lb,ub的限制，则以空矩阵[ ]作为 参数传入； nonlcon：如果包含非线性等式或不等式约束，则将这些函数
编写为一个Matlab函数， nonlcon就是定义这些函数的程序文件名；
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多元非线性规划Matlab,非线性规划MATLAB代码
多元⾮线性规划Matlab,⾮线性规划MATLAB代码下⾯是三个⾮线性规划领域的算法。
课堂上给予了详细的讲解，在实践环节让学⽣编程实现，从⽽可以实验复杂⼀些的例⼦，加深对算法的理解。
下⾯共有四个程序grad，simplelinesearch，bfgs和phr，全部使⽤MATLAB语⾔编写。
这些代码远未完善，可修改余地很⼤，仅供教学之⽤。
function gradf=grad(hfun,x)%GRAD 数值法求函数在给定点处的导数值(⼀元函数)或梯度(多元函数)% gradf = grad(hfun,x0) hfun是函数句柄或内联函数，x0是⼀定点或⼀批点(按列)；返回% 值gradf是函数在该点处的导数或梯度。
% 要求函数能对成批的点求函数值。
⽐如：feval(hfun,X)返回⼀个与X同列的⾏向量，对应于以% X每⼀列作为函数⾃变量⽽求得的函数值。
%% Reference: 《最优化计算原理与算法程序设计》， 粟塔⼭等编著， 国防科技⼤学出版社% (湖南)， 2001.%% $Author: WBC $ $Date: 2003/10/25 $n = length(x);h=1e-3; % 数值法求梯度的步长w1=zeros(n,1);%h/2w2=w1; %-h/2w3=w1; %hw4=w1; %-hfor i=1:nx(i)=x(i)+h/2;w1(i)=hfun(x);x(i)=x(i)-h;w2(i)=hfun(x);x(i)=x(i)-h/2;w4(i)=hfun(x);x(i)=x(i)+2*h;w3(i)=hfun(x);x(i)=x(i)-h;endgradf=(8*(w1-w2)-(w3-w4))/(6*h);function [fv,x,lambda,exitflag]=simplelinesearch(hf,rho,l,u,lambda0,fv0,x0,g,d)%LINESEARCH 简单线搜索%输⼊参数：% hf -- 函数句柄，⽬标函数% rho -- 实标量，简单线搜索的参数，介于0到0.5之间的数% l -- 实标量，简单线搜索的参数，介于0到1之间的数% u -- 实标量，简单线搜索的参数，介于0到1之间的数，满⾜u>l% alpha0 -- 实标量，步长的初始值% fv0 -- 实标量，⼀维搜索的初始⽬标函数值，即 hf(x0+alpha_0*d)% x0 -- 实列向量，当前点% g -- 实列向量，函数hf在当前点处的梯度% d -- 实列向量，函数hf在当前点处的搜索⽅向%输出参数：% fv -- 实标量，⼀维搜索完成后的⽬标函数值，即 hf(x0+alpha*d)% x -- 实列向量，下⼀个点% lambda -- 实标量，可接受步长% exitflag -- 整型标量，等于0表⽰线搜索成功，等于-1表⽰线搜索失败(内部迭代次数⼤于iterMax) %参考⽂献：倪勤，最优化⽅法与程序设计，科学出版社% Date: 2009/12/20lambda = lambda0;x = x0;i = 0;imax = 30; % 最⼤迭代次数，⽤户可以修改% 主循环gd = dot(g, d);while i <= imaxfv = hf(x + lambda*d);i = i + 1;if fv < fv0 + lambda * rho * gd;x = x + lambda*d;exitflag = 0;return;endlambda_bar = -gd*lambda^2*0.5/(fv-fv0-lambda*gd);lambda = min(lambda_bar, u*lambda);endexitflag=0;if i >= imax && fv >= fv0fv = fv0;x = x0;lambda = 0;exitflag = -1;endfunction [fv, x, exitflag] = bfgs(hf, x0, epsi)%BFGS ⽆约束问题的BFGS算法%输⼊参数：% hf -- 函数句柄，⽬标函数% x0 -- 实列向量，初始点% epsi -- 实标量，终⽌误差%输出参数：% fv -- 实标量，⼀维搜索完成后的⽬标函数值，即 hf(x0+alpha*d)% x -- 实列向量，下⼀个点% exitflag -- 整型标量，等于0表⽰成功，等于-1表⽰失败(迭代次数⼤于iter_max) %参考⽂献：倪勤，最优化⽅法与程序设计，科学出版社% Date: 2009/12/20%%初始化%k = 0;rho = 0.01;l = 0.15;u = 0.85;x =x0;fv = hf(x);n = length(x);H = eye(n);iter_max = 100;%检查终⽌条件%g = grad(hf, x);while norm(g) > epsi && k<= iter_maxd = -H*g;lambda0 = 1.0;%%做线搜索，如果成功，则返回更新当前点%[fv, x, lambda, exitflag] = simplelinesearch(hf, rho, l, u, lambda0, fv, x, g, d); if exitflag == -1 %重开始H = eye(n);else%%更新H%g_old = g;g = grad(hf, x);p = lambda*d;q = g- g_old;Hq = H*q;pq = p'*q;qHq = q'*Hq;v = sqrt(qHq) * (p/pq-Hq/qHq);H = H + p*p'/pq - Hq*Hq'/qHq + v*v';endk = k+1;endexitflag = 0;if k > iter_maxexitflag = -1;endfunction [fv, x, exitflag] = phr(hf, cf, x0)%输⼊参数：% hf -- 函数句柄，⽬标函数% cf -- 函数句柄，约束条件，包含等式约束和不等式约束% x0 -- 实列向量，初始点%输出参数：% fv -- 实标量，⼀维搜索完成后的⽬标函数值，即 hf(x0+alpha*d)% x -- 实列向量，下⼀个点% exitflag -- 整型标量，等于0表⽰成功，等于-1表⽰失败(迭代次数⼤于iter_max) %参考⽂献：倪勤，最优化⽅法与程序设计，科学出版社% Date: 2009/12/20%%初始化%epsi = 1.0e-4;k = 0;sigma = 0.8;c = 1.5;theta = 0.8;x = x0;[ce, ci] = cf(x);l = length(ce);li = length(ci);lambda = ones(l+li, 1) * 0.1;iter_max = 100;phi = 0;if lphi = phi + ce'*ce;endif liphi = phi + sum(min(ci,lambda(l+1:end)/sigma).^2);endwhile phi > epsi && k <= iter_max%%hmf = @(x) mfun(x, hf, cf,lambda, sigma);[fv, x] = bfgs(hmf, x, epsi);[ce, ci] = cf(x);phi_old = phi;phi = 0;if lphi = phi + ce'*ce;endif liphi = phi + sum(min(ci,lambda(l+1:end)/sigma).^2); endif phi > epsi%%更新罚因⼦%if k >= 2 && phi/phi_old > thetasigma = c * sigma;end%%更新乘⼦%if llambda(1:l) = lambda(1:l) - sigma*ce;endif lilambda(l+1:end) = max(0, lambda(l+1:end) - sigma*ci); endendk = k+1;endexitflag = 0;fv = hf(x);exitflag = -1;end%%乘⼦罚函数%function fv = mfun(x, hf, cf, lambda, sigma)[ce, ci] = cf(x);l = length(ce);li = length(ci);fv = 0;fv = fv + hf(x);if lfv = fv - lambda(1:l)'*ce + 0.5*sigma*ce'*ce;endif lifv = fv + 0.5/sigma*sum(max(0,lambda(l+1:end) - sigma*ci).^2 - lambda(l+1:end).^2); end这⾥是演⽰代码：%% bfgs演⽰%教材P328.1-3hf1 = @(x) 100 * (x(2) - x(1).^2).^2 + (1 - x(1)).^2; %banana函数hf2 = @(x) (6 + x(1) + x(2)).^2 + (2 - 3*x(1) - 3*x(2) - x(1)*x(2)).^2;hf3 = @(x) x(1).^2 - 2*x(1)*x(2) + 4*x(2).^2 + x(1) - 3*x(2);[fv,x,exitflag]=bfgs(hf1,[0;0],0.001);fvxexitflag[fv,x,exitflag]=bfgs(hf2,[4;6],0.001);fvxexitflag[fv,x,exitflag]=bfgs(hf3,[1;1],0.001);fvexitflag%% phr算法%教材P414.5hf1 = @(x) x(1).^2 + x(2).^2;cf1 = @(x) deal([], x(1) - 1);hf2 = @(x) x(1) + (x(2) + 1).^2/3;cf2 = @(x) deal([],[x(1); x(2) - 1]);%教材P392.2hf3 = @(x) x(1).^2 + x(1).*x(2) + 2*x(2).^2 - 6*x(1) - 2*x(2) - 12*x(3);cf3 = @(x) deal(x(1)+x(2)+x(3)-2,...[x(1) - 2*x(2) + 3; x(1); x(2); x(3)]);%其它例⼦hf4 = @(x) 6*x(2)*x(5) + 7*x(1)*x(3) + 3*x(2)^2;cf4 = @(x) deal([3*x(2)^2*x(5) + 3*x(1)^2*x(3) - 20.875;x(1) - 0.3*x(2)],...[-x(1) + 0.2*x(2)*x(5) + 71-0.9*x(3) + x(4)^2 + 67x(3)x(5) - 1-x(3) + 20x(4) - 0.1*x(5)-x(4) + 0.5*x(5)x(3) - 0.9*x(5)]);hf5 = @(x) exp(x(1)) * (4*x(1)^2 + 2*x(2)^2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1);cf5 = @(x) deal([], [x(1) + x(2) - x(1)*x(2) - 1.5; x(1)*x(2) + 10]);[fv, x, exitflag] = phr(hf1, cf1, [3;2]); fv x exitflag [fv, x, exitflag] = phr(hf2, cf2, [3;2]); fv x exitflag [fv, x, exitflag] =phr(hf3, cf3, [1;1;0]); fv x exitflag [fv, x, exitflag] = phr(hf4, cf4, [1; 4; 5; 2; 5]); fv x exitflag [fv, x, exitflag] = phr(hf5, cf5, [-1; 1]); fv x exitflag。
MATLAB线性规划非线性规划
解 编写M文件xxgh1.m如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900];
返 回
解答
线性规划模型的一般形式
目标函数和所有的约束条件都是设计变量 的线性函数.
min u ci xi
i 1
n
n aik xk bi , i 1, 2,..., n. s.t. k 1 x 0, i 1, 2,..., n. i
矩阵形式： min u cx Ax b s.t. vlb x vub
Aeq=[]; beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];
To MATLAB (xxgh1)
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
例2
min z 6x1 3x2 4x3 s.t. x1 x2 x3 120 x1 30 0 x2 50 x3 20
编写M文件xxgh3.m如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1]; To MATLAB (xxgh3) beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[]; [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)
MATLAB非线性规划问题
一．非线性规划课题实例1 表面积为36平方米的最大长方体体积。
建立数学模型：设x、y、z分别为长方体的三个棱长，f为长方体体积。
max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)实例2 投资决策问题某公司准备用5000万元用于A、B两个项目的投资，设x1、x2分别表示配给项目A、B的投资。
预计项目A、B的年收益分别为20%和16%。
同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资金，才能使期望的收益最大，同时使风险损失为最小。
建立数学模型：max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]s.t x1+x2≤5000x 1≥0,x2≥0目标函数中的λ≥0是权重系数。
由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。
非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。
实例1为无约束问题，实例2为有约束问题。
二．无约束非线性规划问题：求解无约束最优化问题的方法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method)，单变量用fminbnd,fminsearch,fminunc;多变量用fminsearch,fminnuc 1．fminunc函数调用格式：x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)[x,fval]=fminunc(…)[x,fval, exitflag]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)说明：fun为需最小化的目标函数，x0为给定的搜索的初始点。
非线性规划matlab求解
在matlab 中非线性规划的数学模型可写成一下形式：minf(X)s.t. Ax ≪B Aeq .x =Beq C (x )≪0Ceq x =0其中，f(x)是标量函数；A,B,Aeq,Beq 是相应维数的矩阵和向量；C(x),Ceq(x)是非线性向量函数。
Matlab 中的命令是X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量x 。
其中，FUN 是用M 文件定义的函数f(x)。
X0是X 的初始值。
A ，B ，Aeq ，Beq 定义了线性约束AX ≪B ，Aeq*X=Beq ，如果没有线性约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]。
LB 和UB 是变量x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[],UB=[];如果X 无下界，则LB=-inf;如果X 无上界，则UB=inf 。
NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x)。
OPTIONS 定义了优化函数，可以使用MATLAB 默认的参数设置。
例求解下列非线性规划问题：max z= X 1+ X 2+ X 3+ X 4 s.t.x 1≪4001.1x 1+x 2≪4401.21x 1+1.1x 2+x 3≪4841.331x 1+1.21x 2+1.1x 3+x 4≪532.4X i≫0,i =1,2,3,4(1)编写M 文件，定义目标函数：function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)) );(2)编写M 文件，定义约束条件function[g,ceq]=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0(3)编写主程序x0=[1;1;1;1];lb=[0;0;0;0];ub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval] = fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon1')输出结果x =86.1883104.2879 126.1883 152.6879fval =-43.0860。
非线性规划及matlab应用
非线性规划及matlab 应用目录1.概念 ............................................................................................................................................... 1 2.二次规划........................................................................................................................................ 1 3.一般非线性规划 ............................................................................................................................ 2 4. 案例：供应与选址 . (4)1.概念定义：如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性规划问题．其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．2.二次规划用MATLAB 软件求解,其输入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b); 2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. [x,fval]=quadprog(...); 7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 实例1：2212121122121212min (,)2622..2220,0=--+-++≤-+≤≥≥f x x x x x x x x s tx x x x x x写成标准形式标准型为： Min Z= 21X T HX+c T Xs.t. AX<=b beq X Aeq =⋅ VLB ≤X ≤VUB111222 1 -12min (,) 1 26Tx x z x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212 1 121 2200x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Matlab 命令H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6]; A=[1 1; -1 2]; b=[2;2]; Aeq=[]; beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)运算结果为：x =0.6667 1.3333 z = -8.22223.一般非线性规划标准型为：min ()..()0()0≤≤=≤≤F X s t AX bG X Ceq X VLB X VUB其中X 为n 维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： ● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)● x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) ● [x,fval]= fmincon(...)● [x,fval,exitflag]= fmincon(...)● [x,fval,exitflag,output]= fmincon(...) 1.fun 为目标函数2.x0为初始值3.A 是不等式约束AX<=b 的系数矩阵4.b 是不等式约束AX<=b 的常数项4.Aeq 是等式约束AeqX=beq 的系数矩阵，5.beq 是等式约束AeqX=beq 的常数项，6.lb 是X 的下限，7.ub 是X 的上限，8.nonlcon 为非线性不等式约束 9.option 为设置fmincon 的参数 注意：fmincon 函数提供了大型优化算法和中型优化算法。