大兴区2020届高三一模数学试题及答案

2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习2020.4数学本试卷共6页，满分150分．考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）在复平面内，21i+对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|22}B x x =-≤≤，则A B =I（A ）[11]-，（B ）[22]-， （C ）{02}，（D ）{202}-，， （3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20a =，41a =，则4S 等于（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）3（4）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增且存在零点的是（A ）e x y = （B ）1y = （C ）12log y x =- （D ）2(1)y x =-（5）在(2)n x -的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x 项的系数等于（A ）32-（B ）24-（C ）8 （D ）4（6）若抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离等于2，则M 到其顶点O 的距离等于（A （B ）2（C （D ）3（7）已知数列}{n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，则“对任意*n ∈N ，0n a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最长棱的棱长为 （A ）3 （B ）10 （C ）13 （D ）17（9）已知函数π()sin()6f x x ω=+(0)ω>．若关于x 的方程()1f x =在区间[0π]，上有且仅有两个不相等的实根，则ω的最大整数值为 （A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）6（10）如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB y =)．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，那么，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x 与y 的对应关系就是7710110()exy =，其中e 为自然对数的底．当点P 从线段AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为 （A ）ln2 （B ）ln3（C ）3ln 2（D ）4ln 3PCA第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）已知向量(11)=-，a ，(2)t =，b ， 若∥a b ，则t = ； （12）若函数22()cos sin f x x x =-在区间[0]m ，上单调减区间，则m 的一个值可以是 ；（13）若对任意0x >，关于x 的不等式1a x x +≤恒成立，则实数a 的范围是 ；（14）已知()()A a r B b s ，，，为函数2log y x =图象上两点，其中a b >．已知直线AB 的斜率等于2，且||AB =a b -= ；ab= ； （15）在直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（00a b >>，）的离心率2e >，其渐近线与圆22(2)4x y +-= 交x 轴上方于A B ，两点，有下列三个结论： ①||||OA OB OA OB -<+u u u r u u u r u u u r u u u r； ②||OA OB -u u u r u u u r存在最大值； ③ ||6OA OB +>u u u r u u u r．则正确结论的序号为三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题14分）在ABC ∆中，1c =，2π3A =，且ABC ∆的面积为3． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若D 为BC 上一点，且 ，求sin ADB ∠的值．从①1AD =，②π6CAD ∠=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（17）（本小题14分）为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M 采用分层抽样的方法从A 校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并得到如下频率分布直方图．根据规定，测试成绩低于60分为体质不达标。

已知本次测试中不达标学生共有20人． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）现从A 校全体同学中随机抽取2人，以频率作为概率，记X 表示成绩不低于90分的人数，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）另一机构N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了100名学生，经测试有20名学生成绩低于60分．计算两家机构测试成绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由。

（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC BC AA ===，160BCC ∠=o ，11ABC BCC B ⊥平面平面，D 是BC 的中点，E 是棱11A B 上一动点.（Ⅰ）若E 是棱11A B 的中点，证明：11//DE ACC A 平面； （Ⅱ）求二面角1C CA B --的余弦值； （Ⅲ）是否存在点E ，使得1DE BC ⊥，若存在，求出E 的坐标，若不存在，说明理由。

（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为21，且经过点)0,2(，一条直线l 与椭圆C交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求证：22||1||1OQ OP +为定值．（20）（本小题15分）已知函数()ln 1axf x x x =-+． （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：函数()f x 有且只有一个零点.EC 1B 1A 1DCBA（21）（本小题14分）已知数列1210a a a L ，，，满足：对任意的{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i j ∈，，若i j ≠，则i j a a ≠，且{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}i a ∈，设集合12{|1,2,3,4,5,6,7,8}i i i A a a a i ++=++=，集合A 中元素最小值记为()m A ，集合A 中元素最大值记为()n A .（Ⅰ）对于数列：10612783954，，，，，，，，，，写出集合A 及()()m A n A ，； （Ⅱ）求证：()m A 不可能为18；（Ⅲ）求()m A 的最大值以及()n A 的最小值．2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习高三数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）2-（12）答案不唯一，只要π02m <≤ （13）(2]-∞，（或{|2}a a ≤ （14）1；4（第一个空3分，第二个空2分）（15）①③ （不选或有错选得0分，只选对1个得3分，全部选对得5分．）三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ） 由于 1c =，2π3A =， 1sin 2ABC S bc A ∆=， ……2分所以2b =． ……3分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-， ……5分 解得a =． ……6分（Ⅱ）①当1AD =时，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b BCB BAC=∠， ……2分即2sin B=，所以sin B =． ……4分 因为1AD AB ==，所以ADB B ∠=∠． ……6分 所以sin sin ADB B ∠=， ……7分即sin ADB ∠=． ……8分②当30CAD︒∠=时，在ABC∆中，由余弦定理知，222cos2AB BC ACBAB BC+-===⋅．……3分因为120A︒=，所以90DAB︒∠=，……4分所以π2B ADB∠+∠=，……5分所以sin cosADB B∠=，……7分即sin ADB∠=．……8分（17）（共14分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m⨯++⨯=，……2分解得200m=. ……3分（Ⅱ）方法1：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯，……1分由已知，X的所有可能取值为012，，，……2分则022(0)(10.1)0.81P X C==⋅-=，12(1)0.1(10.1)0.18P X C==⋅-=，222(2)0.10.01P X C==⋅=. ……5分所以X的分布列为……6分所以=00.81+10.1820.010.2EX⨯⨯+⨯=. ……7分方法2：由图知，每位学生成绩不低于90分的频率为0.0110=0.1⨯，……1分由已知(2,0.1)X B～，……2分则022(0)(10.1)0.81P X C==⋅-=，12(1)0.1(10.1)0.18P X C==⋅-=，222(2)0.10.01P X C==⋅=. ……5分所以X的分布列为……6分所以=20.10.2EX ⨯=. ……7分（Ⅲ）机构M 抽测的不达标率为200.1200= ， ……1分 机构N 抽测的不达标率为200.2100=． ……2分 （以下答案不唯一，只要写出理由即可）①用机构M 测试的不达标率0.1估计A 校不达标率较为合理。

……3分 理由：机构M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N ，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布。

……4分 ②没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理． ……3分 理由：尽管机构N 的样本量比机构M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理。

……4分（18）（共14分）（Ⅰ）证明：取11A C 中点为P ，连结CP EP ，， 在111ΔC B A 中，因为P E 、为1111C A B A 、的中点， 所以11//C B EP 且1121C B EP =.……1分又因为D 是BC 的中点，12CD BC =， 所以BC EP //且CD EP =， 所以CDEP 为平行四边形所以DE CP //. ……2分 又因为DE ⊄平面11A ACC ， .……3分 ⊂CP 平面11A ACC ，所以//DE 平面11A ACC . ……4分 （Ⅱ）连结AD D C 、1，因为ABC Δ是等边三角形，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，因为11CC AA BC ==，ο60∠1=BCC ，z y xEC 1B 1A 1DCBAP ABCDA 1B 1C 1E所以1C D BC ⊥.因为11ABC BCC B ⊥平面平面， 11ABC BCC B BC =I 平面平面， 1C D ⊂平面11B BCC ，所以1C D ⊥平面ABC ， 所以1DC DA DB ，，两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系D xyz -， ……1分则00)A ，，(010)C -，，，1(00C ，，1(01CC =u u u u r，10)CA =u u u r，设平面1ACC 的法向量为()x y z =，，n ， 则100CC CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r n n ， ……2分即00y y ⎧=⎪+=， ……3分 令1=x1z =，所以(11)=，n. ……4分 平面ABC 的法向量为1(00DC =，uuu u r， 111cos ||||DC DC DC ⋅<>==⋅，uuu u ruuu u r uuu u r n n n又因为二面角11C CA B --为锐二面角， 所以二面角11C CA B --的余弦值为55.……6分 （如果没有建立坐标系，利用二面角的定义，比照步骤给分。