三年高考全国卷数学真题之数列

三年高考数学真题全国卷

数列部分

1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ）

A ．12-

B ．10-

C ．10

D ．12

答案：B 解答：

1111113243

3(3)24996732022

a d a d a d a d a d a d ??+

?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-.

2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．

【答案】63n a n =-

【解析】13a =Q ，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-．

3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165

6615482

S a d a d ?=+

=+=，联立11

2724

,61548a d a d +=??

+=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()

3()482

a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，

即5328a a d -==，解得4d =，故选C.

4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

【答案】B

5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n

a 的首中·华.资*源%库 https://www.360docs.net/doc/4a5515224.html, 项为1，公差不为0．若2a ，3a ，

6a 成等比数列，则{}n

a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =?，即()()()2

11125a d a d a d +=++

又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ??=+=?+?-=-，故选A.

6．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，61165

6615482

S a d a d ?=+

=+=，联立11

2724

,61548a d a d +=??

+=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346()

3()482

a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，

即5328a a d -==，解得4d =，故选C.

7.（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________．

【答案】9

8.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n

a 的首中·华.资*源%库 https://www.360docs.net/doc/4a5515224.html, 项为1，公差不为0．若2a ，3a ，

6a 成等比数列，则{}n

a 前6项的和为（ ）

A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

【答案】A 【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .

则2

3

26a a a =?，即()()()2

11125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-

∴()616565

61622422

S a d ??=+=?+?-=-，故选A.

9.（2016全国Ⅰ理）已知等差数列

{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）

（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97

【解析】：由已知,11

93627

,98a d a d +=??

+=?所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.

考点：等差数列及其运算

【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这

些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一

10．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

（ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年 【答案】B 【解析】

试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1

130 1.12

n n a -=?，由题意，需

1130 1.12200n n a -=?≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.

考点：等比数列的应用.

11．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =_____________．

答案：63- 解答：依题意，1121,

21,

n n n n S a S a ++=+??

=+?作差得12n n a a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，又因为

11121a S a ==+，所以11a =-，所以1

2n n a -=-，所以661(12)

6312

S -?-==--.

12.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2

2

a b =_______.

【答案】1

【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d

q -+=-= ，求得

2,3q d =-= ，那么

221312

a b -+== . 13.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763

44

S S ==

,,则8a = . 【答案】32

【解析】当1q =时，显然不符合题意；

当1q ≠时，316

1(1)7

14(1)6314a q q a q q

?-=?-??-?=?-?，解得1142a q ?=

???=?，则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项

14.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11

n

k k

S ==∑

。 【答案】

21

n

n + 【解析】

试题分析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，

由题意有：1123

43

4102

a d a d +=??

??+=?? ，解得111a d =??=? ， 数列的前n 项和()()()

111111222

n n n n n n n S na d n --+=+=?+?=

, 裂项有：()1211211k S k k k k ??==- ?++??

，据此： 11111111221......21223111n

k k n S n n n n =??????????=-+-++-=-= ? ? ? ???+++?

?????????∑ 。 15．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列

{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．

【答案】8-

【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-??-=-?，即112

11

13a a q a a q +=-???-=-??①②， 显然1q ≠，10a ≠，

②

①

得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3

341128a a q ∴==?-=-．

16．（2016北京理）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.. 【答案】6

【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-， ∴616156615(2)6S a d =+=?+?-=，故填：6． 考点：等差数列基本性质.

【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.

17．（2016江苏） 已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若2

1253,S =10a a +=-，则9a 的值是 . 【答案】20.

【解析】由510S =得32a =，因此2

922(2d)33,23620.d d a -+-=-?==+?= 考点：等差数列性质

【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如

*1()()

,(1,)22

n m t n n a a n a a S m t n m t n N ++=

=+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n m a a n m d =+-

18.（2016全国Ⅰ理）设等比数列{}n a 错误!未找到引用源。满足a 1

+a 3

=10,a 2

+a 4

=5,则a 1

a 2

…a n

的最大值

为 ． 【答案】64 【解析】

试题分析：设等比数列的公比为q ,由1324105a a a a +=??+=?得,2

12

1(1)10(1)5a q a q q ?+=??+=??,解得1812

a q =??

?=??.所以2(1)1712(1)22212118()22

n n n n n n n

n a a a a q --++++-==?=L L ,于是当3n =或4时,12n a a a L 取得最大值6264=.

考点：等比数列及其应用

高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.

19. （2016上海文、理）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*

∈N n ，

{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.

【答案】4

【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *

∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-???满足条

件，所以max 4k =. 考点：数列的求和.

【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等. 20. （2016浙江理）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *

，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+?==，

再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥?-=?=≥，又213a a =，

所以515133(1),S 121.13

n n a a n +-=≥==-

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．

【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．

21.(2017北京理)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则2

2a b =_______.

【答案】1

【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d

q -+=-= ，求得

2,3q d =-= ，那么

221312

a b -+== . 22.(2017江苏) 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知36763

44

S S ==

,,则8a = . 【答案】32

【解析】当1q =时，显然不符合题意；

当1q ≠时，316

1(1)7

14(1)6314a q q a q q

?-=?-??-?=?-?，解得1142a q ?=

???=?，则7812324a =?=. 【考点】等比数列通项

23.（2017全国新课标Ⅱ理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11

n

k k

S ==∑

。 【答案】

21

n

n + 【解析】

试题分析：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，

由题意有：1123

43

4102

a d a d +=??

??+=?? ，解得111a d =??=? ， 数列的前n 项和()()()

111111222

n n n n n n n S na d n --+=+=?+?=

, 裂项有：()1211211k S k k k k ??==- ?++??

，据此： 11111111221......21223111n

k k n S n n n n =??????????=-+-++-=-= ? ? ? ???+++?

?????????∑ 。 24．（2017全国新课标Ⅲ理）设等比数列

{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．

【答案】8-

【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为q ．

121313a a a a +=-??-=-?，即112

1113a a q a a q +=-???-=-??①②， 显然1q ≠，10a ≠， ②①

得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，

()3

341128a a q ∴==?-=-．

25. （2016北京文）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =.

（1）求}{n a 的通项公式；

（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.

【答案】（1）21n a n =-（1n =，2，3，???）；（2）2

31

2

-+n n

（II ）由（I ）知，21n a n =-，1

3n n b -=．

因此1

213n n n n c a b n -=+=-+．

从而数列

{}n c 的前n 项和

()11321133n n S n -=++???+-+++???+

()12113213n n n +--=+-

2

31

2

n n -=+．

考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力.

【名师点睛】1.数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1=q 或1≠q )等. 26. （2016全国Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111

==

3

n n n n b b a b b nb +++=1，，,. （I ）求

{}n a 的通项公式；

（II ）求{}n b 的前n 项和. 【答案】（I ）31n a n =-（II ）

131

.223

n --?

（II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ,得13n n b b +=

,因此{}n b 是首项为1,公比为1

3

的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ,则

11

1()313.122313n

n n S --==-?-

27.（2016全国Ⅱ文）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （Ⅰ）求{n a }的通项公式；

（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（Ⅰ）23

5

n n a +=

；（Ⅱ）24. 试题解析：(Ⅰ)设数列

{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5

a d ==

， 所以

{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=

. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??

=????

， 当n =1,2,3时，23

12,15

n n b +≤

<=； 当n =4,5时，23

23,25

n n b +≤

<=； 当n =6,7,8时，23

34,35

n n b +≤

<=；

当n =9,10时，23

45,45

n n b +≤<=， 所以数列

{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=.

考点：等差数列的性质 ，数列的求和. 【名师点睛】求解本题会出现以下错误：①对“[]x 表示不超过x 的最大整数”理解出错；

28. （2016全国Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超

过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，．

（Ⅰ）求111101b b b ，，； （Ⅱ）求数列

{}n b 的前1 000项和．

【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的

最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．

试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =

111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======

考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.

【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点. 29.（2016全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，2

11(21)20n n n n a a a a ++---=.

（I ）求23,a a ；

（II ）求{}n a 的通项公式.

【答案】（Ⅰ）

4

1

,

2

1

3

2

=

=a

a；（Ⅱ）

1

2

1

-

=

n

n

a．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将

1

1

a=代入递推公式求得

2

a，将

2

a的值代入递推公式可求得

3

a；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{}n a为等比数列，由此可求得数列{}n a的通项公式．

试题解析：（Ⅰ）由题意得

4

1

,

2

1

3

2

=

=a

a. .........5分

考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．

【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1

n

n

a

q

a

+=（常数）；（2）中项法，即证明

2

12

n n n

a a a

++

=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．

30（2016全国Ⅲ理）已知数列}

{

n

a错误!未找到引用源。的前n项和

n

n

a

Sλ

+

=1错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。其中

λ≠．

（I）证明}

{

n

a错误!未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式；

（II）若

32

31

5

=

S错误!未找到引用源。，求λ．

【答案】（Ⅰ）

1

)

1

(

1

1-

-

-

=n

n

a

λ

λ

λ；（Ⅱ）1

λ=-．

由

1

≠

a

，

≠

λ得0

≠

n

a

，所以

1

1

-

=

+

λ

λ

n

n

a

a

.

因此

}

{

n

a

是首项为

λ

-

1

1

，公比为1

-

λ

λ

的等比数列，于是

1

)

1

(

1

1-

-

-

=n

n

a

λ

λ

λ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

n n

S)

1

(

1

-

-

=

λ

λ

，由32

31

5

=

S

得32

31

)

1

(

15=

-

-

λ

λ

，即

=

-

5

)

1

(

λ

λ

32

1

，

解得1

λ=-．

考点：1、数列通项n

a

与前n项和为n

S

关系；2、等比数列的定义与通项及前n项和为n

S

．

【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明

1

n

n

a

q

a

+=

（常数）；（2）中项法，即证明2

12

n n n

a a a

++

=

．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．

31.（2016山东文）已知数列{}n a的前n项和238

n

S n n

=+，{}n b是等差数列，且1

n n n

a b b

+

=+.

（I）求数列{}n b的通项公式；

（II）令

1

(1)

(2)

n

n

n n

n

a

c

b

+

+

=

+

.求数列{}n c的前n项和n T.

【答案】（Ⅰ）1

3+

=n

b

n

;（Ⅱ）2

2

3+

?

=n

n

n

T

试题解析：（Ⅰ）由题意当2

≥

n时，5

6

1

+

=

-

=

-

n

S

S

a

n

n

n

，当1

=

n时，11

1

1

=

=S

a；所以5

6+

=n

a

n

；

设数列的公差为d，由

?

?

?

+

=

+

=

3

2

2

2

1

1

b

b

a

b

b

a

，即

?

?

?

+

=

+

=

d

b

d

b

3

2

17

2

11

1

1，解之得3

,4

1

=

=d

b，所以1

3+

=n

b

n

。（Ⅱ）由（Ⅰ）知1

1

2

)1

(3

)3

3(

)6

6(

=

-

?

+

=

+

+

=n

n

n

n

n

n

n

c，又

n

n

c

c

c

c

T+???+

+

+

=

3

2

1

，即

]

2)1

(

2

4

2

3

2

2[31

4

3

2+

+

+???+

?

+

?

+

?

=n

n

n

T

，所以]

2)1

(

2

4

2

3

2

2[3

22

5

4

3+

+

+???+

?

+

?

+

?

=n

n

n

T，以上两式两边相减得

2

2

2

1

4

3

22

3

]

2)1

(

1

2

)1

2(4

4[3

]

2)1

(

2

2

2

2

2[3+

+

+

+?

-

=

+

-

-

-

+

=

+

-

+???+

+

+

?

=

-n

n

n

n

n

n

n

n

n

T。

所以2

2

3+

?

=n

n

n

T

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

32.（2016山东理）已知数列{}n a的前n项和S n=3n2+8n，{}n b是等差数列，且1.

n n n

a b b

+

=+

（Ⅰ）求数列{}n b的通项公式；

（Ⅱ）令1

(1).(2)n n n n

n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .

【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+?=n n n T . 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n

c 的通项公式，

再用错位相减法求其前n 项和. 试题解析：（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，

当1=n 时，1111

==S a ，所以56+=n a n .设数列{}n b 的公差为d ，

由???+=+=322

211b b a b b a ，即???+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ，

所以13+=n b n .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知11

(66)3(1)2(33)

n n n n

n c n n +++==+?+， 又n n c c c c T +???+++=321，

得2

3

4

1

3[223242(1)2

]n n T n +=??+?+?+???++?，

345223[223242(1)2]n n T n +=??+?+?+???++?，

两式作差，得

234123[22222(1)2]

n n n T n ++-=??+++???+-+?

22

4(21)

3[4(1)2]

21

32n n n n n ++-=?+-+?-=-? 所以223+?=n n n T

考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.

32.（2016浙江文）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*

N n ∈. （I ）求通项公式n a ； （II ）求数列{

2n a n --}的前n 项和.

【答案】（I ）1*

3,n n a n N -=∈；（II ）2*

2,13

511,

2,2

n n n T n n n n N =?

?=?--+≥∈?

?.

考点：等差、等比数列的基础知识.

【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列

{}n n a b 的求和，其中{}n a 是等差数列，{}

n b 是等比数列；（2）裂项法：形如数列()()1f n g n ??????????或()()f n g n ???±??的求和，其中()f n ，()g n 是关

于n 的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．

33.(2017北京文)已知等差数列

{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1

=b 1

=1,a 2

+a 4

=10,b 2b 4

=a 5

．

（Ⅰ）求

{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++K ．

【答案】（Ⅰ）21n a n =- ；（Ⅱ）31

2

n -.

34（2017全国新课标Ⅰ文）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2

=2，S 3

=?6．

（1）求

{}n a 的通项公式；

（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．

【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得12

1

(1)2,

(1) 6.a q a q q +=??++=-?解得2q =-，12a =-． 故{}n a 的通项公式为(2)n

n a =-．

（2）由（1）可得1

1(1)22()133

1n n n n a q S q +-==--+-． 由于321

2142222()2[()]23133

13n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．

35（2017全国新课标Ⅱ文）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，

11221,1,2a b a b =-=+=.

（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .

36（2017全国新课标Ⅲ文）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K .

（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ??

??+??

的前n 项和.

案】（1）1

22-=n a n ；（2）122+n n

【答

【解析】试题分析：（1）先由题意得2≥n 时，)1(2)32(3121-=-+++-n a n a a n Λ，再作差得1

22

-=

n a n ，

验证1=n

时也满足（2）由于

1

21

121)12)(12(212+-

-=+-=+n n n n n a n ，所以利用裂项相消法求和.

37.（2017山东文）已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.

(I)求数列{a n }通项公式；

(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??

????

的前n 项和n T .

【答案】(I)2n

n a =；(II) 25

52n n

n T +=-

试题解析：(I)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知, 22

111(1)6,a q a q a q +==. 又0n

a >，

解得1,22a q ==， 所以2n

n a =.

两式相减得2111311121222222n n n n T -++??=++++- ???L 所以25

52n n

n T +=-.

38.(2017天津文）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*

()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列2{}n n a b 的前n 项和*

()n ∈N

.

【答案】（Ⅰ）32n

a n =-.2n n

b =.（Ⅱ）2(34)216n n T n +=-+.

试题解析：（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得

21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=.又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =.

由3

412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11,3a d ==，由此可得32n a n =-.

所以，{}n a 的通项公式为32n

a n =-，{}n

b 的通项公式为2n n b =.

39.（2017天津理）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *

∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大

于0，2

312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.

（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *

∈N .

【答案】 （1）32n

a n =-.2n n

b =.（2）1328

433

n n n T +-=

?+. 【解析】

试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.

（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ， 由262n

a n =-，12124n n

b --=?，有221(31)4n n n a b n -=-?，

故2

3

245484(31)4n

n T n =?+?+?++-?L ，

23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=?+?+?++-?+-?L ，

上述两式相减，得2

3

1

324343434(31)4

n

n n T n +-=?+?+?++?--?L

1

112(14)4(31)414

(32)48.

n n n n n ++?-=---?-=--?- 得1328433

n n n T +-=?+.

所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328

433

n n +-?+.

40.（2018北京文）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++L ．

1．【答案】（1）ln2n ；（2）122n +-．

【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，235ln 2a a +=Q ，1235ln 2a d ∴+=， 又1ln2a =，ln 2d ∴=，()11ln 2n a a n d n ∴=+-=． （2）由（1）知ln 2n a n =，ln 2ln 2e e e 2n

n a n n ===Q ，

{}

e n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，

2

12ln 2ln 2ln 221e e e e e e =222=22n

n a a a n n +∴+++=++++++-L L L ， 121e e e =22n a a a n +∴+++-L ．

41．（2018天津文）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *

）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和

为T n （n ∈N *

）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （Ⅰ）求S n 和T n ；

（Ⅱ）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．

5．【答案】（1）()12

n n n S +=，21n

n T =-；（2）4．

【解析】（1）设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得2

20q q --=．

因为0q >，可得2q =，故1

2n n b -=．所以，122112

n n n T -==--．

设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=．由5462b a a =+，

可得131316a d +=，从而11a =，1d =，故n a n =，所以，()12

n n n S +=．

（2）由（1），有(

)

(

)131

12212222

2

212

n

n

n n T T T n n n +?-+++=+++--=---L L =

，由

()124n n n n S T T T a b ++++=+L 可得

()

1112222n n n n n n ++++--=+，

整理得2340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4．

42．（2018天津理）设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *

∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，

322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.

（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *

∈N ，求n T ；

【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）①1

22n n T n +=--；②证明见解析．

【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．由11a =，322a a =+，

可得2

20q q --=因为0q >，可得2q =，故12n n a -=，

设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得134b d +=，

由5462a b b =+，可得131316b d +=，从而11b =，1d =，故n b n =， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n =．

（2）①由（1），有122112

n

n n S -==--，

故()(

)1

1

1

2122

12

2

212

n

n

n

k

k

n n k k T n n n +==?-=

-=

-=

-=---∑∑，

43．（2018全国新课标Ⅰ文）已知数列

{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设

n

n a b n =

．

（1）求123b b b ，

，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{}n a 的通项公式． 7.答案：

（1）1231,2,4b b b === （2）见解答 （3）1

2

n n a n -=?

解答：依题意，21224a a =??=，321

(23)122

a a =??=，∴1111a

b ==，2222a b ==，3343a b ==.

（1）∵12(1)n n na n a +=+，∴121n n

a a n n

+=+，即12n n b b +=，所以{}n b 为等比数列. （2）∵1112n n n n

a b b q n

--===

，∴12n n a n -=?. 44．（2018全国新课标Ⅱ文、理） 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并求n S 的最小值．

【答案】（1）29n a n =-；（2）

2

–8n S n n =，最小值为–16． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-， 由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，

∴当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．

45．（2018全国新课标Ⅲ文、理）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，

． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

答案：（1）1

2n n a -=或1

(2)

n n a -=-；（2）6.解答：（1）设数列{}n a 的公比为q ，∴2

5

3

4a q a =

=，∴2q =±. ∴1

2

n n a -=或1

(2)

n n a -=-.

（2）由（1）知，122112n n

n S -=

=--或1(2)1[1(2)]123

n n n S +-==--+， ∴2163m

m S =-=或1[1(2)]633

m m S =--=（舍），∴6m =.