静定结构分析
理论力学中的静定与非静定结构力学分析与设计
理论力学中的静定与非静定结构力学分析与设计理论力学是一门研究物体在受力或受力系统作用下运动和静止平衡的学科。
在理论力学中，静定结构和非静定结构是两个重要的概念，它们在结构力学分析和设计中起着至关重要的作用。
本文将对理论力学中的静定与非静定结构的力学分析与设计进行探讨。
一、静定结构力学分析与设计静定结构是指构件受到的力和力系统完全平衡的结构。
在静定结构中，构件数目与支反力数目相等，且构件内力和位移可通过数学公式直接求解。
静定结构力学分析的关键是确定支反力，通过平衡条件、变形条件和约束条件等方法，可以求解出结构的各个内力、外力和位移。
在静定结构的设计过程中，需要考虑结构的稳定性、强度和刚度等因素。
稳定性是指结构在受到外力作用时保持稳定不倒塌的能力，强度是指结构抵抗外力作用的能力，刚度是指结构变形程度的大小。
设计时需要选择合适的材料、截面形状和尺寸，以满足结构的稳定性、强度和刚度要求。
静定结构力学分析与设计的应用非常广泛。
例如，在桥梁工程中，静定结构力学的应用可以确定桥梁的支反力和内力分布，以及设计桥梁的截面形状和尺寸；在建筑工程中，静定结构力学的应用可以确定建筑物的稳定性和强度，以及设计建筑物的结构形式和材料选择。
二、非静定结构力学分析与设计非静定结构是指构件受到的力和力系统不完全平衡的结构。
在非静定结构中，构件数目与支反力数目不相等，且构件内力和位移不能直接通过数学公式求解。
非静定结构力学分析的关键是确定未知量，通过应变能原理、力矩平衡和力平衡等方法，可以求解出结构的未知量。
非静定结构力学分析与设计相对于静定结构来说更加复杂且困难。
在非静定结构的设计过程中，需要考虑结构的振动、变形和稳定性等因素。
振动是指结构在受到外力作用时产生的周期性运动，变形是指结构受力后产生的形变，稳定性是指结构在受到外力作用时保持稳定不失去平衡的能力。
设计时需要进行动力分析、振动分析和稳定性分析，以满足结构的振动、变形和稳定性要求。
结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
第03章： 结构力学 静定结构内力分析
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
结构的静定与静不定
结构的静定与静不定结构分析是工程领域中极其重要的一部分，通过对结构的力学性能进行研究，可以确保工程的安全可靠。
在结构力学中，结构的静定与静不定是其中的重要概念之一。
本文将围绕着结构的静定与静不定展开探讨，介绍其基本概念、特点和应用方面的内容。
一、结构的静定静定是指结构在受力平衡的条件下，各个构件的位移可以由已知的力和几何条件唯一确定。
在静定结构中，构件的位移和应力可以通过静力平衡方程唯一求解。
简言之，一个结构如果满足所有构件的位移和应力能够通过静力平衡方程唯一确定，那么这个结构就是静定结构。
静定结构的特点有几个方面：1. 构件数量与方程数量相等：静定结构的构件数目等于描述结构平衡的方程数目。
2. 几何约束：静定结构的几何约束对于解的唯一性至关重要。
这些约束可以是连杆的铰接连接、构件的固定或约束等。
静定结构在工程实践中具有广泛的应用。
例如，在桥梁设计中常常需要保证桥梁结构在静力平衡的条件下，能够承受来自自身重力和车辆荷载的力。
此外，在建筑物的设计中也需要保证结构在静力平衡的条件下，能够承受地震等外部荷载的作用。
二、结构的静不定静不定是指结构在受力平衡的条件下，构件的位移和应力不能完全由已知的力和几何条件确定。
换言之，一个结构如果无法通过静力平衡方程唯一求解所有构件的位移和应力，那么这个结构就是静不定结构。
静不定结构的特点如下：1. 构件数量与方程数量不相等：静不定结构的构件数目多于描述结构平衡的方程数目。
2. 多余约束：静不定结构的多余约束使得构件的位移和应力无法由已知的力和几何条件唯一确定。
静不定结构的分析需要借助一些附加的条件，例如材料的变形规律、拉伸和剪切的本构关系等。
常用的方法包括力法、位移法和能量法等。
这些方法可以通过添加一些简化假设和辅助约束，将静不定结构的问题转化为静定结构的求解来解决。
静不定结构在实际工程中的应用也非常广泛。
例如，在梁柱设计中，为了提高结构的承载能力和刚度，常常采用悬臂梁、悬臂柱等静不定结构形式。
第3章 静定结构内力分析Ⅰ
掌握不同杆系的受力特点和内力计算，能够准 确绘出其内力图。 掌握静定结构的静力特性。
重点:
杆系结构基本部分、附属部分的特征及层次图的 绘制。 用控制截面法正确绘制杆系结构的内力图。 拱合理拱轴线的定义及求法。 静定结构的静力特性。
难点：
基本部分、附属部分的特性。
截面法绘制杆系的内力图。 拱合理拱轴线的求法。
l
M
M
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
1 FP l 2
l
1 FP l 4
FP
l/2
M
M M
l l
l/2
M M
M
2M
M
l
M M M
l
l
l
1 FP l 2
l
1 FP l 4
FP
l/2
q
l/2
M
1 2 ql 2
l
l
2M
M
M
M
M
M M M
M M
l l
M M
M
练习: 利用微分关系等作弯矩图
练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图
内力图的变化规律 （a）无均布荷载的区段，FQ图为水平线、M为斜线。 有---------------------， FQ图为斜直线、M为曲线。 凹向与均布荷载的方向一致。
（b）M图的极值点在FQ =0处或FQ图变号处。
（c）铰处无力偶作用时，M=0； 有---------------------，弯矩等于力偶值。 （d）集中力作用时， M图是折线； FQ图有突变， 突变值等于作用力。 （e）集中力偶作用时， M图有突变，突变值等于力偶值。
20k N/m G H
2m
2m
静定结构内力分析
FQ图
FP
自由端无外力偶则自由端截面无弯矩.
例3-4 不求支反力，直接作图示
A
梁弯矩图、剪力图.
FPl/2 FP
B
B FPl/2
l
铰接杆端无外力偶则该截面无弯矩. FP/2
l/2
FP
练习 ：不求支座反力，直接作弯矩图、剪力图。
3FPl
3FP
FPl
FP
l
l
2FP
l
FP
3FP
FPl
FP
FP
FPl
l
l
l
M图 FQ图
2ql 2
D FQDE
q
ql 2
11ql/4
E FQED
M D 0 2 q 2 4 q l 2 l l q 2 F Q E l 4 l D 0 FQED
11ql 4
F y 0F Q D F E Q E D 4 q 0 l
FQD E
5 4
2l
l
自由端有外力偶, 弯矩等于外力偶
练习: 不求支座反力，直接作弯矩图,剪力图
FPl
FP
M
l
l
l
M
l
M MБайду номын сангаас
M/l
2M
MM
l
l
练习: 不求支座反力，直接作弯矩图,剪力图
M
M
l
M
M
l
M
lM
M
l
5.叠加法作弯矩图
ql2/4
q
ql2/4
l
ql2/4
=
ql2/4
ql2/8 + q
ql2/8
第3章静定结构的受力分析
M0
1 2 ql 8
弯矩图的叠加指纵坐标的叠加， 不是图形的简单拼合。
任意直段杆的弯矩图：以(a)中的AB端为例，其隔离体如图(b)。
与图(c)中的简支梁相比， 显然二者的弯矩图相同。
因此：作任意直杆段弯矩图
就归结为作相应简支 梁的弯矩图。 AB段的弯矩图如图(d)。
M0 1 2 ql 8
§3-5 静定平面桁架
武汉长江大桥
1
桁架的特点和组成 由杆件组成的格构体系， 荷载作用在结点上， 各杆内力主要为轴力。
钢筋混凝土组合屋架
优点：重量轻，受力合理，能承受较大荷载，可作成较大 跨度。
武汉长江大桥采用的桁架形式
第3 章
静定结构的内力分析
§3-1 杆件内力计算 §3-2 静定梁 §3-3 静定刚架 §3-4 三铰拱 §3-5 静定桁架 §3-6 静定结构的内力分析和受力特点
第3章 静定结构的内力分析
本章讨论静定结构。 内容：静定结构的内力分析。 静定结构分析的要点： 1、如何选择“好的”隔离体； 2、怎样建立比较简单而又恰当的平衡方程， 计算最为简捷。
FQB FQA q y dx xA xB M B M A FQ dx xA
xB
积分关系的几何意义： B端的剪力=A端的剪力-该段荷载qy图的面积
B端的弯矩=A端的弯矩+此段剪力图的面积
5. 分段叠加法作弯矩图
图(a)结构荷载有两部分： 跨间荷载q和端部力偶MA、MB 端部力偶单独作用时，弯 矩图为直线，如图(b): 跨间荷载q单独作用时，弯 矩图如图(c): 总弯矩图为图(b)基础上叠加图 (c)，如图(d):
FQ >0 F <0 增函数 降函数 Q 自左向右折角 斜直线 曲线
静定结构的受力分析
M A 0KN m
M B 17KN m
M C 26KN m
M E 30KN m
M
L F
23KN
m
M
R F
7KN
m
M G 0KN m
依次在M图上定出各控制点旳弯矩值，在AB、 BC、EF和FG各段以等直线连接。CE段有均 布荷载，须叠加上以CE为跨度旳简支梁在均 布荷载作用下旳弯矩图。经过计算D点旳弯矩 为36KN.m
❖ 选用隔离体
FNDB
A 5kN
FQDB MDB D2
D1
FQDA
5kN
MDA
B
FNDA
4kN
A FQDC 5kN
D3 FNDC MDC
5kN B
4kN
❖ 分别对隔离体应用平衡条件，可得内力如下：
FNDA FQDA
0 5kN
M DA 5kN m
左侧受拉
FNDB 4kN FQDB 5kN M DB 15kN m
B
43FP
A FP
4
FP.a
4
FP
4
FPa
弯矩图
F
E
剪力图
FE
-
FP
DC
Fpa
FP
2
2
+
C
D
Fpa
4
A B
BA
-
FP
4
内力计算旳关键在于: 正确区别基本部分和附
属部分. 熟练掌握单跨梁旳计算.
例：试求铰D旳位置，使正负弯矩峰值相等。
q
A
D
B
l-x
x
l
C l
❖ 先求得支座反力为 q(l x)
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M图
Q图
例: 作内力图 铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
M图 Q图 无剪力杆的 弯矩为常数. M图 Q图 自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
5.叠加法作弯矩图
注意:
是竖标相加,不是 图形的简单拼合.
练习:
q
1 2 ql 16
静定结构受力分析
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的相反 顺序进行逐步分析即可 本章内容： 静定梁； 静定刚架； 三铰拱；静定桁架； 静定组合结构； 静定结构总论 学习中应注意的问题：多思考,勤动手。本章是后 面学习的基础，十分重要,要熟练掌握！
q
A
F Ax
l
B 解:
FBy
FAx 0, FAy ql / 2(), FBy ql / 2()
FAy
F
x
0, N ( x ) 0
M Q
1 ql 2
1 Fy 0, Q( x) 2 ql qx 1 2 ql 1 x 8 M 0, M ( x ) qlx qx 1 2 2
q
l
ql 2
1 2 ql 16
ql 2
l
6.分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
q
C
B
1 ql 8
q
l/2
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
q
1 2 ql 32 1 2 ql 32
q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A
1 2 ql 32
应利用叠加法确定分布荷载区间的中点弯矩值。
不用确定分布荷载区间的中点弯矩值。
1 2 当 h ql ，分布荷载区间内弯矩无极值。 2
静定结构内力的概念分析 内力的概念分析：利用已知的力学概念及 基本理论对内力、反力进行简便计算的方法。 静定结构内力的概念分析用到的概念及理论： 1、荷载与内力的微分关系。 2、叠加法作内力图。 3、荷载的静力等效变换。 叠加法作M图，采用两种基本类型的梁： 1、已知两端点弯矩，求中点弯矩采用简支梁。 2、已知一端点弯矩，求另一端点弯矩采用悬臂 梁。
0 k
q
B
A
ql xsin
k
l
q
结论：斜梁不管两端支承如 何，在竖向荷载作用下，弯 A 矩分布与等跨度且同荷载的 水平代梁相同，但剪力不同， 且有轴力。（适用于超静定结构）
k
B
l
§3-1 静定梁受力分析
一.单跨梁
1.单跨梁支反力 2.截面法求指定截面内力 3.作内力图的基本方法 4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系 5.叠加法作弯矩图 6.分段叠加法作弯矩图
侧的所有外力代数和。
dx 截面弯矩等于该截面一 侧的所有外力对该截面 的力矩之代数和。
Q( x)
Q dQ
例: 作内力图
M图 铰支端无外力偶 则该截面无弯矩. Q图 活动铰支座两侧截面， 弯矩平衡，剪力突变。
3 P 2
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同.
M图 Q图
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与荷载相同. 4.集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶 值; Q图无变化.
ql2 / 2
ql
ql / 2
ql
2
Q=0的截面为抛 物线的顶点.
M图
Q图
例: 作内力图
ql2 / 2
M图 Q图
5 ql 4
ql2 / 2
M图
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样?
Q图 M图
Q图
1.无荷载分布段(q=0),Q图为水平线,M图为斜直线. 2.均布荷载段(q=常数),Q图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同. 3.集中力作用处,Q图有突变,且突变量等于力值; M 图有尖点,且指向与 2 ql 4
q
1 2 ql 2
1 ql 2
l
ql
l
3 2 l ql 8
ql 2
在均匀分布荷载作用下，利用叠加法作M图 一般不能确定弯矩极值，但可以判别分布荷载区 间弯矩是否存在极值，条件是： 设均布荷载 q 两端弯矩确定的高度差为 h ,
1 2 当 h ql ，分布荷载区间内弯矩有极值。 2
§3-1 静定梁受力分析
一.单跨梁
1.单跨梁支反力
例.求图示粱支反力
X M A L/2 P L/2
解:
Y
F 0 F 0 M 0
X Y A
X 0 Y P() M PL / 2( )
2.截面法求指定截面内力
K
内力符号规定: 弯矩 以使下侧受拉为正。 剪力 绕作用截面顺时针转为正。 轴力 拉力为正。
例:求跨中截面内力
q
解: FAx 0, FAy ql / 2(),
B
A
F Ax
C
FBy ql / 2()
l
FAy
FBy
F 0, N 0 F 0, Q 0 M 0, M ql
x C y C c C
/8 (下侧受拉)
2
3.作内力图的基本方法 内力方程式: M M ( x) 弯矩方程式 Q Q( x) 剪力方程式 例:作图示粱内力图 N N ( x) 轴力方程式
2 ql
4.弯矩,剪力,荷载集度之间的微分关系
q
A
x
l
B
M ( x) qdx
N ( x)
M dM
N dN
微分关系: dQ( x) / dx q( x)
dM ( x) / dx Q( x) d 2 M ( x) / dx2 q( x) 1.无荷载分布段(q=0),Q图 Pl 为水平线,M图为斜直线. M图 自由端无外力偶 则无弯矩. Q图 截面剪力等于该截面一
2 kN.m
A 4m
3kN/m
B 2m C
16 kN.m
A 2m
40 kN
10 kN/m
C 2m 4m B
D
qa
2
4qa
D
q
B
2qa
C
A
a
a
a/2
竖向荷载作用下，斜梁两端任意支承的内力：
Mk M 0 FQk FQk cos 1 FNk ql cos tg 2