试验五Z变换
试验五Z变换
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z 变换和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的 系统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n
c1
(z2)X(z) z
z2
1
c 2 (2 1 1 )! d d z(z 1 )2X z (z) z 1 (z 1 2 )2z 1 1
c 3 (2 1 2 )! (z 1 )2X z (z) z 1 (z 12 )z 1 1
即 X(z)z z2zz1(z z1)2 x(n)[2n1n]u(n)
用matlab求其部分分式
X(z)(z2)z (z1 )2(1z 1)z 2 (1 22z 1)
b=[0,0，1]; a=poly([1,1,2]); [r,p,k]=residuez(b,a);
%初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数 %求三个系数[r,p,k]
得到 r= 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000i
C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。 如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法； 如果是任意两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。
三、实验原理
例4
用部分分式法求逆z变换：X(z)
3z2
z 4z
1
z
1 3
X(z) z z1 3z24z1 34z1z2
MATLAB程序：
b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a);
Z变换及Z传递函数
上式中符号 G1G2 ( z) 是 ZG1 (s) G2 (s) 的 缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与 G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。
另一种是两个环节之间有同步采样开关 存在，如图所示。
G ( z) U ( s) T U ( z) G 1 ( s) T Y 1 ( z) G 2 ( s) Y ( z)
制性能越好。
3．对象的纯滞后时间对控制性能的影响
设扰动通道的纯滞后时间 n 、控制通道的纯 滞后时间 。 设扰动通道纯滞后时间 n 对控制性能无影 响，只是使输出量yn (t)沿时间轴平移了 n ，如 图所示。
yn(t) yn(t),τn＝0
yn(t),τn≠0 τn
t
n
被控对象的传递函数与性能指标
计算机控制系统的被控对象是指所要 控制的装置或设备，如工业锅炉、水泥立 窑、啤酒发酵罐等。
被控对象用传递函数来表征时，其 特性可以用放大系数K、惯性时间常 数 Tm ，积分时间常数 Ti 和纯滞后时 间 来描述。被控对象的传递函数可以归 纳为如下几类。
1．放大环节 放大环节的传递函数
由Z变换定义得： F ( z) f (0) f (T ) z 1 f (kT ) z k 比较两式得： 则：
*
f (0) c0 , f (T ) c1 ,, f (kT ) ck ,
f (t ) c0 c1 (t T ) c2 (t 2T ) ck (t kT )
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
5．正弦信号
f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
5 z变换理论
注意：对于t 0时，f t 0，则
Z f (t nT ) z n F ( z )
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
4. 位移定理2
n 1 m 若 Z f (t ) F ( z )， 则 Z f (t nT ) z F ( z ) f (m T) z m 0 若 f (0) f (n 1)T 0， 则 Z f (t nT ) z n F ( z ) n
7. 终值定理
若： Z f (kT ) F ( z )， f (kT )存在终值 证：考虑两个极限序列 lim f (kT ) lim(1 z 1 ) F ( z )
k z 1
f (kT ) z
k 0 n k 0
n
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 级数求和法
几类典型函数的Z变换
１．单位脉冲函数
1 f (kT ) (kT ) 0
k 0 k 0
F ( z ) (kT ) z k (0) 1
k 0
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第三节采样过程的数学描述及特性分析
三 Z变换的性质和定理 1. 线性性质
对任何常数和 , 若Z f1 (t ) F1 ( z ), Z f 2 (t ) F2 ( z ),则有 : Z f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( z ) F2 ( z )
第五次实验心得体会
心得体会今天我们做的实验是离散信号与系统的Z 变换分析, Z 变换分析法是分析离散时间信号与系统的重要手段, 实验前我书上和资料上了解到Z 变换它是由拉氏变换而来的, 属于一种线性坐标变换, 它将差分方程化为代数方程, 是分析采样系统的主要数学工具。
在离散系统分析中为简化运算而建立的对函数序列的数学变换, 其作用与拉普拉斯变换在连续系统分析中的作用很相似。
在采样控制理论中,Z 变换是主要的数学工具。
Z 变换还在时间序列分析、数据平滑、数字滤波等领域有广泛的应用。
在MATLAB 语言中有专门对信号进行正反Z 变换的函数ztrans( ) 和itrans( )。
离散信号f(k)的Z 变换定义为:()()k k F z f k z ∞-=-∞=∑反Z 变换的定义为:11()()2k f k F z z dz j π-=⎰（1）求离散序列的Z 变换:1122()()cos()()k k f k k πε=程序：syms k zf=0.5^k*cos(k*pi./2);Fz=ztrans(f)运行结果: Fz =4*z^2/(4*z^2+1)（2）离散序列:3()()(5)f k k k εε=--程序: syms k z f=('Heaviside(k)-Heaviside(k-5)')Fz=ztrans(f)运行结果:f =Heaviside(k)-Heaviside(k-5)(3)但在离散序列:[]4()(1)()(5)f k k k k k εε=---程序: syms k z f=k*(k-1)*('Heaviside(k)-Heaviside(k-5)')Fz=ztrans(f)运行结果: Fz =2/z^4*(z^2+3*z+6)在两个离散序列出现了不同的结果, 前者直接输出原来的函数, 猜想是不是因为后者系数K （K-1）有关。
执行下列程序: syms k zf=k*(k-1)Fz=ztrans(f)运行结果: Fz =z*(1+z)/(z-1)^3-z/(z-1)^2(4)而3()()(5)f k k k εε=--的z 变换为: Fz=(z/z-1)-(z^（-5）*z/z-1)=(z-z^(-4))/z-1 和用MATLAB 仿真的f =Heaviside(k)-Heaviside(k-5)显然不符。
什么是z变换
什么是z变换
z变换
◆z变换在离散系统中的作用，与拉氏变换在连续系统中的作用非常相似。
￡
若设，并将写成F(Z),则得
F(z)就叫做的z变换，并且以表示的z变换。
在z变换中，只考虑采样时的信号值。因此，f(t)的z变换与f*(t)的z变换有相同的结果。即:
(7-4)
因为F(z)只取决于f(t)在t=kT(k=0,1,2,…)上的数值，所以F(z)的z反变换，只给出了f(t)在采样瞬间的信息。
注意:只要函数z变换的无穷级数F(z)，在z平面某个区域内收敛，则在
应用时，就不需要指出F(z)的收敛域。
例7-2 求下列函数的z变换........
f(t)=0(t＜0)
f(t)=eωt(t≥0)
解：
例7-3 求下列函数的z变换........
f(t)=0(t＜0)
f(t)=sinωt(t≥0)
解：
7
ω/(s2+ω2)
sinωt
zsinωT/(z2-2zcosωT+1)
8
s/(s2+ω2)
cosωt
z(z-cosωt)/(z2-2zcosωT+1)
9
1/(s+a)2
Te-at
TzeaT/(z-eaT)2
10
ω/[(s+a)2+ω2]
e-atsinωt
zeaTsinωT/(z2-2ze-aTcosωt+e-2aT)
⒉部分分式法
当给定某连续函数f(t)的拉氏变换F(s)时，欲求其z变换，可利用本法，因为许多函数F(s)利用部分分式可以化成如下形式：
通过其中的每一项拉氏反变换得到原函数f(t)为：
z变换实验报告
南昌大学实验报告(信号与系统)学生姓名：肖江学号：6100210030 专业班级：电子103班实验类型：□验证□综合□设计□创新实验日期：2012/6/1 实验成绩：Z变换、离散时间系统的Z域分析一、实验目的1、学会用matlab求解z变换与逆z变换。
2、学会离散系统零极点分布图的绘制，理解离散系统零极点分布图的含义。
3、求解离散系统的频率响应特性。
二、实验说明1、一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n),若激励为x(n)=a n u(n)，起始值y(-1)=0,求响应y(n)。
2、当H(s)极点位于z平面中各方框附近的位置，画出对应的h(n)波形填入方框中。
3、求系统差分方程为y(n)-1.1y(n-1)+0.7y(n-2)=x(n-1),的系统的频率响应特性。
三、实验内容1、syms n a b z%定义符号n a b zx=a^n; %定义激励信号X=ztrans(x); %计算激励信号的变换H=1/(1-b*z^(-1)); %写出系统z变换式Y=H*X; %计算输出的变换式y1=iztrans(Y); %计算输出时域表达式y=simplify(y1) %化简表达式2、pos=[26,19,18,17,24,27,13,11,9,23,28,7,4,1,22];figure,id=1; %生成新图框，子图id初始化为1for r=0.8:0.2:1.2 %极点的幅度依次为0.8,1.0,1.2for theta=0:pi/4:pi %极点的弧度依次为0，Π/4，Π/2，3Π/4,Πp=r*exp(j*theta);if theta~=0&theta~=pip=[p;p']; %如果极点不在实轴上添加一个共轭极点end[b a]=zp2tf([],p,1); %由零极点得到传递函数subplot(4,7,pos(id));[h,t]=impz(b,a,20); %计算20个点的单位样值响应stem(t,h,'k-','MarkerSize',5);%绘制单位样值响应id=id+1; %子图序号加1end%退出弧角循环end%退出幅度循环3、a=[1,-1.1,0.7];b=[0,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a) %绘制频率特性4、a=[1,-1.1,0.6];b=[0.6,-1.1,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a); %绘制频率响应n=[0:40]'; %生成时间点x1=sin(0.1*pi*n); %生成单频信号x2=0*n; %准备方波信号x2(mod(n,10)<5)=1; %生成周期为10的方波信号y1=filter(b,a,x1); %分别对两个信号滤波y2=filter(b,a,x2);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x1); %绘制单频信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y1);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x2); %绘制方波信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y2);四、实验结果1、y =(a^(1+n)-b^(1+n))/(a-b)2、输出波形如下3、输出波形如下：4、输出波形如下：五、实验总结通过本次实验的学习，对离散系统有了更多的了解，通过用matlab画出离散系统的零极点分布图，使我对离散系统的零极点分布与其对用的频响特性有了深刻的了解；同时对全通网络的相频失真有了进一步了解，幅度没有失真，但对不同的频率信号的相移不同，因此单频信号输入时，其输出信号的波形没有失真，只是整个波形发生了移位，但对于方波信号，由于其中包含了各种频率的信号，因此不同频率的信号相频失真不同，因此输出波形不再是方波。
Z变换知识点
Z变换知识点咱今儿就来好好唠唠 Z 变换这个听起来有点玄乎的玩意儿。
先来说说啥是 Z 变换。
你就想象啊，有一堆数字信号，就像一群调皮的小精灵，在时间轴上蹦跶来蹦跶去。
Z 变换呢，就是给这些小精灵穿上一件神奇的魔法袍，让我们能更清楚地看清它们的规律和特点。
比如说，有个简单的序列 x(n) ＝｛1, 2, 3, 4, 5} ，通过 Z 变换，就能把它变成一个数学表达式，方便我们去分析和处理。
那 Z 变换咋算呢？这就像是解一道有点复杂的数学谜题。
咱得先找到一个公式，就像找到了一把神奇的钥匙。
常见的 Z 变换公式就像一个万能的解题模板，把序列往里一套，就能得出结果。
我记得有一次，我给学生讲 Z 变换的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这 Z 变换到底有啥用啊？”我就跟他说：“你想想，你要预测未来几天的气温变化，是不是得先找到气温变化的规律？Z 变换就是帮我们找到数字信号里的规律，这样就能做出更准确的预测啦！”那孩子听了，眼睛一下子亮了起来。
再来说说 Z 变换的性质。
这就好比是小精灵们的各种特殊技能。
比如线性性质，就像是把几个小精灵的力量加起来，变得更强大；位移性质呢，就像是让小精灵们集体向前或者向后移动一步，看看有啥变化。
还有 Z 变换的逆变换。
这就像是把穿上魔法袍的小精灵再变回原来的样子。
通过一些特定的方法和技巧，我们就能把经过 Z 变换后的表达式，变回原来的数字序列。
在实际应用中，Z 变换可是大有用处。
比如说在通信系统里，它能帮助我们优化信号的传输，让信息传递得更清晰、更准确；在控制系统中，它能让我们更好地设计控制器，让系统运行得更稳定、更高效。
总之啊，Z 变换虽然听起来有点复杂，但只要咱静下心来，一步一步去理解，就会发现它其实就像我们身边的好朋友，能帮我们解决好多数字信号处理的难题。
希望大家都能跟 Z 变换成为好朋友，让它为我们的学习和工作助力！。
Z变换
0< z ≤∞
n1 ≥ 0 n2 ≤ 0
嘉兴学院
0≤ z <∞
数字信号处理
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2. z变换的收敛域
有限长序列收敛域 除外） ， 除外 （n1<0,n2>0;z=0，z=∞除外）
嘉兴学院
数字信号处理
2. z变换的收敛域
（2）右边序列 ） 在
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n ≥ n1 时 x ( n ) 有值，在 n < n1 时 x ( n ) = 0 有值，
嘉兴学院
数字信号处理
z = re
jω
jω
|r =1 = e
∞
jω
7
ω = ΩTs = 2π f f s
X (e ) =
n =−∞
∑ x ( n )e
− jω n
离散时间序列的 傅里叶变换， 傅里叶变换， DTFT
z 平面
Im[z]
z 平面
Re[z]
Im[z]
r =1
0
Re[z]
0
嘉兴学院
数字信号处理
数字信号处理
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2. z变换的收敛域
（4）双边序列 ） 在n为任意值 时 ，x(n)皆有值的序列 ，可以看成 为任意值 皆有值的序列 可以看成: 双边序列＝右边序列＋ 双边序列＝右边序列＋左边序列
X (z) =
n = −∞
∑
∞
x(n) z
−n
=
∑
∞
x(n) z
收 敛 域
−n
+
n=0
n = −∞
∑
收 敛 域
8
连续时间信号
X (s) =
∆
∫
∞
jΩ
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z ( z 2)( z 1) 2
X ( z) c1 ( z 2) z
c2
1
z 1
1 d 2 X ( z) ( z 1) (2 1)! z dz
1 ( z 2) 2
z 1
1
c3
1 2 X ( z) ( z 1) (2 2)! z
B，A X(z)的分子与分母多项式的系数向量 R为部分分式的系数向量； P为极点向量； K为多项式的系数。
三、实验原理
R= 0.3600 0.2400 0.4000
P=
0.5000 -0.3333 -0.3333 K= []
从运行结果可知
p2 p3
表示系统有一个二重极点。 所以，X(z)的部分分式展开为
n
n x ( n ) z
其中，符号表示取z变换，z是复变量。 相应地，单边z变换定义为：
X ( z ) Z[ x(n)] x(n) z
n 0
n
三、实验原理
1. 求z变换 a. 使用ztrans和iztrans MATLAB符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans和z反变换函数iztrans，其语句格式 分别为 Z=ztrans(x) x=iztrans(z) 上式中的x和Z分别为时域表达式和z域表达式的符号表 示，可通过sym函数来定义。
【例1】 试用ztrans函数求下列函数的z变换。
x(n) a cos(n)u(n)
n
x=sym('a^n*cos(pi*n)'); Z=ztrans(x); simplify(Z) % simplify(S) 对表达式S进行化简 ans= z/(z+a)
【例2】 试用iztrans函数求下列函数的z反变换。
R1 X (z) K 1 1 P1 z
Rn 1 Pn z 1
三、实验原理
例3 用MATLAB命令进行部分分式展开，并求出其z反变换。
X ( z) 18 18 3z 1 4 z 2 z 3 | z | 0.5
解：MATLAB源程序为
B=[18]; A=[18,3,-4,-1]; [R,P,K]=residuez(B,A)
19 x(n) (n) (5 3 n 1 3 2 n 1 )u (n) 6
三、实验原理
b. 使用部分分式展开求逆z变换
如果信号的z域表示式是有理函数，进行z反变换
的另一个方法是对X(z)进行部分分式展开，然后 求各简单分式的z反变换.如果X(z)的有理分式表 示为：
X ( z)
0.36 0.24 0.4 1 0.5 z 1 1 0.3333z 1 （1 0.3333z 1 ) 2
x(n) [0.36 (0.5) n 0.24 (0.3333 ) n 0.4(n 1)(0.3333 ) n ]u(n)
三、实验原理
1 z X ( z) 2 z 例4 用部分分式法求逆z变换： 3z 4 z 1 3
z z 1 X ( z) 2 3z 4z 1 3 4z 1 z 2
MATLAB程序： b=[0,1]; a=[3,-4,1]; [r,p,k]=residuez(b,a); 得到 r =[0.5, -0.5]’ p =[1, 1/3]’ k =[] %初始输入分子多项式的项数 %初始输入分子多项式的项数
z 1
1 ( z 2)
z 1
1
即 X ( z)
z z z z 2 z 1 ( z 1) 2
x(n) [2n 1 n]u(n)
用matlab求其部分分式
z z 2 X ( z) 2 ( z 2)( z 1) (1 z 1 )2 (1 2 z 1 )
b0 b1 z 1 b2 z 2 bm z m B( z) X ( z) 1 2 n A( z) 1 a1 z a2 z an z
r A Ck n k X ( z) Bn z 1 1 k 1 z z [ 1 z z ] n 0 k 1 k 1 k i M N M r
三、实验原理
MATLAB信号处理工具箱提供了一个对X(z)进行部分分式
展开的函数residuez，其语句格式为： [R,P,K]=residuez(B,A) 其中: B，A分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量， z 1 分子与分母多项式按照 升幂排列，从 z0的系数开始 R为部分分式的系数向量； P为极点向量； K为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K为零。
8 z 19 X ( z) 2 z 5z 6
| z | 3
Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); x=iztrans(Z); simplify(x) ans= -19/6*charfcn[0](n)+5*3^(n-1)+3*2^(n-1) charfcn[0](n)是(n)函数在MATLAB符号工具箱中的表 示，反变换后的函数形式为：
实验五 z变换
一、实验目的
1、学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换
和z反变换；
2、学会运用MATLAB分析离散时间系统的系
统函数的零极点分布与时频特性分析；
二、实验设备
1、计算机 2、MATLAB6.5 软件
三、实验原理
(1) 序列的正反Z变换
X ( z ) Z [ x(n)]
X ( z)
0.5 0.5 1 z 1 1 (1 3) z 1
பைடு நூலகம்
结合其ROC，可以得到信号为
x(n) 0.5 u(n 1) 0.5(1/3)nu(n 1)
三、实验原理
例5 用部分分式法求逆z变换：X ( z ) 解：
c3 c1 c2 X ( z) 1 z ( z 2)( z 1)2 z 2 z 1 ( z 1) 2