矩阵的因子分解优秀课件
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第五章 矩阵分解64页PPT文档
矩阵的LU分解最常应用于求解线性方 程组 Axb，首先我们作分解 PALU ，然 后求解方程组 LUxP，b 求解过程分两步 进行：
(1)首先解线性方程组 LyPb，可得 y L1Pb .
(2) 接着计算原方程组的解x U1y，即 求解方程组 Ux y 。
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
定理5.2.1 设 zCn是单位列向量，则对
C n 中的任意向量x，都存在Householder矩
阵使得
Hxz，其中
x
，且
2
x H z为实
数。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder变 换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3的 情形开始讨论 .
即 xˆ a1是 Axr1的精确解，从而达到改进 解的目的。当然很可能还存在误差，得到
的是 aˆ 1 ，而不是 a 1 。此时设r 2b A x ˆ a ˆ1，
解线性方程组 Axr2，得到 aˆ 2 ，将 Axb的 解改进为 xˆaˆ1aˆ2 。
如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ1a ˆ2, 最终会收 敛到 Axb 的解，通常只需迭代几步就可 以得到很精确的解。
3
2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2
0
v3
w3
接下来可构造H使得
H
v v
2 3
l2 0
其中
l2
v v
2 3
令
H2
(1)首先解线性方程组 LyPb，可得 y L1Pb .
(2) 接着计算原方程组的解x U1y，即 求解方程组 Ux y 。
例 5.1.5 例 5.1.6 例 5.1.7
定理5.2.1 设 zCn是单位列向量，则对
C n 中的任意向量x，都存在Householder矩
阵使得
Hxz，其中
x
，且
2
x H z为实
数。
例 5.2.1 例 5.2.2
5.2.2 矩阵的QR分解
下面我们探讨如何利用Householder变 换将矩阵化为上三角矩阵。我们以n=3的 情形开始讨论 .
即 xˆ a1是 Axr1的精确解，从而达到改进 解的目的。当然很可能还存在误差，得到
的是 aˆ 1 ，而不是 a 1 。此时设r 2b A x ˆ a ˆ1，
解线性方程组 Axr2，得到 aˆ 2 ，将 Axb的 解改进为 xˆaˆ1aˆ2 。
如此继续下去，可以证明，只要cond（A） 不是太大，序列 x ˆ,x ˆa ˆ1,x ˆa ˆ1a ˆ2, 最终会收 敛到 Axb 的解，通常只需迭代几步就可 以得到很精确的解。
3
2
此时
l1 v1 w1
H1A 0 v2 w2
0
v3
w3
接下来可构造H使得
H
v v
2 3
l2 0
其中
l2
v v
2 3
令
H2
矩阵理论课件-第二章 矩阵的分解
故xH AH Ax=xH x= 2 xH x，因为AH A=I，所以 2 =1.
(因为xH x= x 2 0)
:由条件UHAU=diag{1, , n}共轭转秩得UHAHU=
diag{1,
, n}，所以UHAAT U=diag{ 1 2 ,
,
n
2
}=I
，
n
所以AAT =In .
注1：设A Cnn ,则
Cmr r
,
C
Ir
D
Crn r
.
下设A的前r个列向量线性相关,只需先做列变换，变成
线性无关，
因此存在P
Cmmm，Q
Cnn n
,
满足
PAQ=
Ir 0
D 0
或A=P-1
Ir 0
D 0
Q-1
=P-1
Ir 0
I
r
=BC
D Q-1
其中B=P-1
Ir 0
Cmr r
,C
Ir
D
讨论知AH x1, , AH xp为AH A属于i 0的特征向量，只要证明
AH x1, , AH xp线性无关，就证明了AAH的p重特征值也是AH A 的p重特征值.
下证AH x1, , AH xp线性无关.
设k1AH x1
k p AH xp 0.则( AH x1,
,
AH
xp
)
k1
0
kp
H
=
1 2
11，可知|I-A|无重根，
A为单纯矩阵，但AAH AH A.
推论1：A为正规矩阵,当且仅当A有n个特征向量构成Cn的一组 标基，且A的不同特征值的特征向量正交.
推论2：设A R nn ,则
矩阵因式分解
矩阵因式分解（LU分解）与列昂惕夫投入产出模型矩阵的因式分解是把一个矩阵A表示为两个或更多个矩阵的乘积，是将复杂的数据进行分解，其中有多种方法，例如：LU分解，秩分解，QR分解，奇异值分解，谱分解等。
这里主要介绍对LU分解的认识。
根据参考的书籍，这里的LU分解只限于一系列具有相同系数矩阵的线性方程：Ax=b1, Ax=b2, … , Ax=b p （1）当A为可逆矩阵时，可计算A-1，然后计算A-1 b1，A-1 b2，等等。
但是，真正在社会实践的运用中，又是如何计算并使用的呢？实际而言，（1）中的第一个方程是由行变换解出的，并同时得出矩阵A的LU分解。
设A为m×n阶矩阵，则A m×n可进行化简为阶梯形，此时不必行对换，那么A可写成形式A=LU，L是m×m下三角矩阵，主对角线元素全是1，U是A的一个等价的m×n阶梯形矩阵。
如下：这样的一个分解称为LU分解，矩阵L是可逆的，我们称L为单位下三角矩阵。
由上，我们可知，当A=LU时，方程Ax=b可写成L（Ux）=b，把Ux写成y，可以有解下面一对方程来求解x：Ly=bUx=y首先解Ly=b然后解Ux=y求得x，如下，每个方程都比较容易解，因和都是三角矩阵。
下面，举出一道例题;例：求下列矩阵的LU分解：因为A有4行，故L为4×4矩阵，L的计算方式为第一列是A的第一列除以它的第一行主元元素，L如下：比较A与L的第一列。
把A的第一列的后3个元素变换为零同时也为L的后三列变换，下面是A变为阶梯形U:将上述A到U的行变化结果放入L中：故得到所求出的L和U满足LU=A，利用LU分解，我们可以进行线性方程组的计算，简化这种计算。
后我又参考了网络上的最新信息，得到即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。
实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
目前，在任意域上一个方块矩阵可进行LU分解的充要条件已经被发现，这些充要条件可以用某些特定子矩阵的秩表示。
数值分析用矩阵分解法解线性代数方程组PPT课件
1
其 中A Rnn非 奇 异,U、V Rn ,且1 V T A1U 0,
A UV T非 奇 异, V T A1U。
选 择 向 量U、V使 原 方 程 组Ax d化 为 ( A UVT )x d
其 中A为 三 对 角 矩 阵,利 用 谢 尔 曼 莫 里 森 公 式 ， 此方程组的解为
第10页/共31页
function x=lupqdsv(A,b) n=length(b); [LU,p,q]=lupqd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n
y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end z(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n))=z(n); for i=(n-1):-1:1
例：
a11
a1q
a22
a
p1
0
an,n p1
1
1
l
p1
0
ln,n p1
0
an
q1,n
ann
0 u11
u1q
u22
1 0
第18页/共n
当A为三对角阵,且 b1 c1 , bi ci ai ，(i 1, 2,
bn cn 时，A有LU分解展开式
b1 c1 a2 b2 c2
(k n 1, n 2,,1)
u11 u12 u1n x1 y1
u22
u2n
x2
y2
unn
xn
y
n
第2页/共31页
二、用列主元的三角分解PA LU求解Ax b
LY Pb
Ax
b
PAx
Pb
LUx
Pb
Ux
Y
例：用列主元三角分解求解Ax=b
其 中A Rnn非 奇 异,U、V Rn ,且1 V T A1U 0,
A UV T非 奇 异, V T A1U。
选 择 向 量U、V使 原 方 程 组Ax d化 为 ( A UVT )x d
其 中A为 三 对 角 矩 阵,利 用 谢 尔 曼 莫 里 森 公 式 ， 此方程组的解为
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function x=lupqdsv(A,b) n=length(b); [LU,p,q]=lupqd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n
y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end z(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n))=z(n); for i=(n-1):-1:1
例：
a11
a1q
a22
a
p1
0
an,n p1
1
1
l
p1
0
ln,n p1
0
an
q1,n
ann
0 u11
u1q
u22
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当A为三对角阵,且 b1 c1 , bi ci ai ，(i 1, 2,
bn cn 时，A有LU分解展开式
b1 c1 a2 b2 c2
(k n 1, n 2,,1)
u11 u12 u1n x1 y1
u22
u2n
x2
y2
unn
xn
y
n
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二、用列主元的三角分解PA LU求解Ax b
LY Pb
Ax
b
PAx
Pb
LUx
Pb
Ux
Y
例：用列主元三角分解求解Ax=b
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵的因子分解PPT课件
1 2 1 1 0 0
0 5
3
3 1 0
0 0 12 / 5 2 / 5 1 / 5 1
从而得 L1 A U , 这里
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1 0 0 1 2 1
L1
3
1 0 ,U 0 5
3
2 / 5 1 / 5 1 0 0 12 / 5
因为 所以
1 0 0
L
L11
3
1 0
1 1 / 5 1
2
|
3 3
|
(0,0,1)T
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所以A的QR分解为：A=QR
1
2
Q
( 1 , 2 , 3 )
1
2 0
2 0
R
QT
A
0
2
0
0
1
0
2
1 2
0
0
1
1
2
1
2 2
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二、Householder 变换法 步骤：
1. 取A的列向量1， 2 ，… n，对1，由Householder矩阵性
交规范矩阵Q1和rn行满秩矩阵R，使得
A=Q1R，
Q1H Q1 I
➢列正交规范矩阵指的是mr矩阵Q1满足
。
矩阵Q1是列正交规范矩阵的充要条件是Q1的列向量组是 标准正交向量组
第31页/共101页
矩阵的QR分解方法
一、Schmidt 方法
步骤：1.将矩阵A的列向量1， 2 ，… n施以Schmidt标 准正交化,得到1， 2 ，… n 标准正交组：
的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
1...k k A1...k 0,k 1,2,...n 1
因子分析因子分析PPT课件
1/ 5 2 / 5
1/ 5 2 / 5
1
21
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特征根为： 1 1.55 2 0.85 3 0.6
0.475 0.883 0
U
0.629
0.331 0.707
0.629 0.331 0.707
0.475 1.55 0.883 0.85
A 0.629 1.55 0.331 0.85
因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量 的线性组合表示原始变量。
因子分析（探索）与结构方程模型（验证）
3
第3页/共96页
第二节 因子分析的数学模型
一、数学模型 1.R型因子分析数学模型（按列）
设 X i (i 1,2,, p) p 个变量，如果表示为
X i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 11 12
或
X
2
21
22
X
p
p1
p2
1m F1 1
2m
F2
2
pm
Fm
p
或X AF
4
第4页/共96页
称为 F1, F2,, Fm公共因子，是不可观测的变量，
他们的系数称为因子载荷。i 是特殊因子，是不能被
前m个公共因子包含的部分。并且满足：
3、公共因子Fj方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵中各列元素的平方和
Sj
a p i 1
2 ij
p
r
i 1
2
(
xi
,
Fj
)
称为Fj ( j 1,, m) 对 X i 的方差贡献和。衡量Fj的相对重
要性。
12
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（三）因子分析模型的性质
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1
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特征根为： 1 1.55 2 0.85 3 0.6
0.475 0.883 0
U
0.629
0.331 0.707
0.629 0.331 0.707
0.475 1.55 0.883 0.85
A 0.629 1.55 0.331 0.85
因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量 的线性组合表示原始变量。
因子分析（探索）与结构方程模型（验证）
3
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第二节 因子分析的数学模型
一、数学模型 1.R型因子分析数学模型（按列）
设 X i (i 1,2,, p) p 个变量，如果表示为
X i ai1F1 aimFm i (m p)
X1 11 12
或
X
2
21
22
X
p
p1
p2
1m F1 1
2m
F2
2
pm
Fm
p
或X AF
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称为 F1, F2,, Fm公共因子，是不可观测的变量，
他们的系数称为因子载荷。i 是特殊因子，是不能被
前m个公共因子包含的部分。并且满足：
3、公共因子Fj方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵中各列元素的平方和
Sj
a p i 1
2 ij
p
r
i 1
2
(
xi
,
Fj
)
称为Fj ( j 1,, m) 对 X i 的方差贡献和。衡量Fj的相对重
要性。
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（三）因子分析模型的性质
《矩阵的分解》课件
矩阵分解的算法实 现
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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添加标题
迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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A
LU
3
1
0 0 5
1 1 / 5 1 0 0
1
3
12 / 5
说明
1. 即使矩阵A非奇异，如果A不满足前n-1个顺序主子式 非零，未必能做LU分解，
2.适当改变非奇异矩阵的行的次序，可使改变后的矩阵 做LU分解，引入排列阵的概念
定义1 设e1, e2,…, en是n阶单位矩阵I的n个列向量，矩阵 P=(ei1, ei2, ,…, ein )称为一个n阶排列阵，其中i1, i2,…, in是
Image lk
i
akj ajj
,ki
1,...n,
则LiA在(i+1,j),(i+2,j)…(n,j)的位置上为0
(4)
1
0
1
No Li L j
li1i
Image 0
0
1
l j1 j
l ni
l nj 0 1
定理1 ( LU分解定理 ) 设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L
（主对角线上元素全为1的下三角矩阵）与唯一的上三角 矩阵U ，使得
ALU 的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
1..k. kA1..k.0,k1,2,.n ..1
矩阵的LU分解也称为Doolitte分解 若L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵,称为Crout分解。
定理2 ( LDU分解定理 ) 设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵
2.取L= L11：因为L1是一系列初等下三角矩阵乘积（对应
初等行变换），所以L是单位下三角矩阵。
例 1 求下列矩阵的LU分解：
1 2 1
A
3
1
0
1 1 2
解：
1 2 1 1 0 0
( A,
I)
3
1
0 0 1 0
1 1 2 0 0 1
1 2 1 1 0 0 0 5 3 3 1 0 0 1 3 1 0 1
2 0
0 1
1 1
1 2
1 1
C
26 2
同样，我们也可以选取
1
B 1 2 4
0
1 1
C 42 2
2
1 C 0
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
C 26 2
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。
但是不同的分解形式之间有如下联系：
注：如果 A BC B1C1 均为矩阵A 的满秩分解，那么存在
1 2 1 1 0 0
0 5
3
3 1 0
0 0 12 / 5 2 / 5 1 / 5 1
从而得 L1 A U , 这里
1 0 0 1 2 1
L1
3
1 0 ,U 0 5
3
2 / 5 1 / 5 1 0 0 12 / 5
因为 所以
1 0 0
L
L11
3
1 0
1 1 / 5 1
1 0 0 1 2
例1 求下面矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
1
2
2
1
3
3
2 4 3 1 4 5
4 8 6 2 8 10
解 思路：对矩阵A实施初等行变换得简化阶梯形矩阵H （阶梯型的非零行的第一个非零元为1，其所在的列其它元 素为0）,取A的r个使H阵满秩的列为B，将H全为零的行去 掉后即可构成行满秩矩阵C。
矩阵的因子分解
数据集中可能包含大量特征，维灾难使得数据分析很 困难，
1.维归约（降维）：利用旧属性的线性组合得到新属性， 使得新属性相互正交，捕获到数据的最大变差（PCA：主 成分分析(principle components analysis)和SVD）
2.选择特征子集：嵌入（决策树分类其），过滤和包装 （搜索，特征加权等）
1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1
1
22
13
3
0
0
1
1
2 1
2 4 3 1 4 5 0 0 0 0 0 0
4 8 6 2 8 10 0 0 0 0 0 0
由此可知rank(A)=2，且该矩阵第一列、第三列是线性无关
的。选取
1
B 1 2 4
1
2 3
C 42 2
6
1 C 0
1,2…n的一个排列.
➢ P是排列阵的充要条件是P为一系列形如P(i,j)的初等交换
矩阵的乘积.
排列阵的性质：
1. P是排列阵，则PT和P-1也是排列阵，且PT=P-1
2. P1 ，P2是排列阵，则P1P2是排列阵
3.
P
( e i1
,ein
),
A
A1
An
(a1,an ),
Ai1
则
初等下三角矩阵性质
(1)det(Li)=1,
No 1
1
0
Image L1 i
l 1 i 1 i
0
0
l ni
1
(2)用初等下三角矩阵左乘矩阵A，等于将A的第i行依次乘
以-li+1i,…,-lni 分别加到第i+1行到第n行上去。
No (3)设A=(aij) nn,且a jj 0，并且取
L，对角矩阵D=diag(d1,d2,…dn)和单位上三角矩阵U ，使 得
A=LDU 的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
1...k k A1...k0,k1,2,..
k k1
,k
2,...n,
矩阵的LU分解方法
矩阵的LU分解方法有很多种，这里主要介绍初等行变换 消元法 步骤： 1. 通过初等行变换将A化为上三角矩阵U： （A，I）（U，L1）
PT
A
Ain
,
AP
(ai1 , ain
)
即：用排列阵左乘矩阵A相当于将A的行按照排列阵的次序重 排，右乘对A的列按排列阵的次序重排。
引理1 设A是n阶非奇异矩阵，则存在排列阵P，使得PA的 所有顺序主子式要条件均非零。 定理3 设A是n阶非奇异矩阵，则存在排列阵P，使得
）
矩阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相当重要的角色。 由于变换即矩阵，所以各种分解从根本上看是各种变换， 其目的是将矩阵变换成特殊的矩阵。
§4.2 矩阵的满秩分解
满秩分解定理：设 ACrmn为任意矩阵，则存在 B C rm r,C C rrn 使得 A=BC,
其中B为列满秩矩阵,C为行满秩矩阵.
➢任一非（行或列）满秩的非零矩阵可表示为一列满秩矩 阵和一行满秩矩阵的积； ➢B的列可取为A的列的任一极大线性无关组； ➢C可取为其行为A的行所生成的空间的基, 然后用定理确 定矩阵B。 ➢应用于极小最小二乘解和极小范数最小二乘解的算法 中。
矩阵 GCnnn满足
B B1G , C G 1C 1
§4.3 矩阵的三角分解
定义1 如果方阵A可以分解成一个单位下三角矩阵L与一个上 三角矩阵U的乘积
A LU
则称其为A的 LU 分解或三角分解。
初等下三角矩阵
1
0
No
Li
1 li1i 1
Image
0
0
l ni
1